数学张量分析
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ur ur 原式 (i ei )(a j ej )
ia j ij iai
1a1 2a2 3a3
ax ay az x y z
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
第二章 张量分析
2.1 基础知识
1 偏导数的记法
f
xi
i f
f,i
2 哈密顿算子
ur i ei
3 梯度
f gradf
标量的梯度：
标量函数：
r f f (r)
则梯度为： 展开后有：
ur f gradf eii f
ur
ur
ur
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f
r i
f
a
.张量场的旋度
设T为任意二阶张量，则它的左旋度定义为：
curlT T
e j j Tikeiek
e jip jTik e pek
Tpk e pek
其中： T pk e jip jTik
右旋度定义为：
curlT T
Tik eiek e j j
ekjp jTik ei e k
展开后有：
ur
ur
原式 (1T11 2T21 3T31)e1 (1T12 2T22 3T32 )e2
ur (1T13 2T23 3T33)e3
( x
Txx
y
Tyx
z
Tzx
r )i
( x
Txy
y
Tyy
z
Tzy
r )j
( x
Txz
y
Tyz
z
Tzz
r )k
关于二阶张量场 T T的P右散度定义为：
Ñ Pdx Qdy Rdz
C
S
[(
R y
Q z
)dydz
( P z
R x
)dzdx
( Q x
P y
)dxdy]
r a (P、Q、R)
r d l (dx、dy、dz)
根据Stokes定理有：
divT T
divT T Tkiek ei e j j
ij
Tki x j
ek
Tki xi
ek
iTkiek
一般地，divT di，vT当T为对称张量的时候，两者相等
5 旋度
矢量场的旋度：
左旋度：
r
r
curla a
展开后有：
uur
ur
(ekk )(ai ei )
uur
＝ ekijk ai ej
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
divT T
ur
ur ur
divT T (ekk ) (Tij ei ej )
ur
kTijki ej
ur iTij ej
ur
ur
ur
iTi1e1 iTi2 e2 iTi3e3
grada a
aiei e j j
ai xj
eie
j
ai, jeie j
aij eie j
其中：
a
ij
ai x j
写成矩阵形式为：
a1 x1
a1 x2
a1 x3
a
wenku.baidu.com
a2
x1 a3
a2
x2 a3
a2
x3 a3
x1 x2 x3
两者关系
右梯度
a (a)T
左梯度
ur
uur
ur
(2a3 3a2 )e1 (3a1 1a3)e2 (1a2 2a1)e3
（ az
-
ay
r ）i （
ax
-
az
r ）j
（
ay
-
ax
r ）k
y z
z x
x y
右旋度：
curla a a j e j ei i
ej
ei
a j xi
e jik
a j xi
ek
eijk ia jek
x1 x2 x3 a1 a2 a3 e1 e2 e3
ur
uur
ur
原式 (eki1kai )e1 (eki2kai )e2 (eki3kai )e3
ur
uur
(e2312a3 e3213a2 )e1 (e1321a3 e3123ai )e2
ur (e1231a2 e2132a1)e3
r j
f
r k
x y z
矢量的梯度： 左梯度
r r ur ur grad a a (i ei )(aj ej )
ur ur (eii )(aj ej )
ur ur (iaj )(ei ej )
ax x
ay x
az x
ax y
ay y
az y
ax z
ay z
az z
右梯度
(i j f )ij
ii f 11 f 22 f 33 f
2 f 2 f 2 f
x2 y2 z2
2.3 物质导数
r 若 f f (t, r(t))
则：Df f f r f f x f y f z
Dt t r t t x t y t z t
f
x
y
z
t (1 f ) t (2 f ) t (3 f ) t
r a (P、Q、R)
根据Gauss定理有：
左边 (a1n1 a2n2 a3n3)dS
S
ainidS
Sr r
r ur
a ndS a d S
S
S
右边 (1a1 2a2 3a3)dV
V
r
iaidV adV
V
V
r ur
r
a d S adV
S
V
2 Stokes定理
张量的梯度：
设T为任意二阶张量 它的左梯度gradT定义为：
gradT T
ei i Tjke jek
iTjkeie jek
T的右梯度定义为：
gradT T
Tjke jek ei i
iTjke jekei
一般地 T T
4 散度
矢量场的散度 矢量场的左散度定义为：
rr diva a
f t
xi t
i
f
f t
Vi i
f
f
ur V f
t
D
()
ur () V ()
Dt
t
2.4 积分定理
1 Gauss定理
S
(P
cos
Q
cos
R
cos
r)ds
V
(
P x
Q y
R )dxdydz z
有向面积：
ur
r3
ur r2
dS2 dS1
ur dS3 r1
uur ur ur d Suu1r d ru2r d rur3 d Suur2 d urr3 durr1 d S3 d r1 d r2
T ip eie p
其中： T ip ekjp jTik
小 结：
哈密顿算子 梯度
散度 旋度
ur i ei
ur gradf f eii f
rr diva a iai
r
r
curla a
2.2 Laplace算子
公式：
2 f f
展开后有：
ur
uur
原式 (i ei ) ( j f ej )
ia j ij iai
1a1 2a2 3a3
ax ay az x y z
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
第二章 张量分析
2.1 基础知识
1 偏导数的记法
f
xi
i f
f,i
2 哈密顿算子
ur i ei
3 梯度
f gradf
标量的梯度：
标量函数：
r f f (r)
则梯度为： 展开后有：
ur f gradf eii f
ur
ur
ur
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f
r i
f
a
.张量场的旋度
设T为任意二阶张量，则它的左旋度定义为：
curlT T
e j j Tikeiek
e jip jTik e pek
Tpk e pek
其中： T pk e jip jTik
右旋度定义为：
curlT T
Tik eiek e j j
ekjp jTik ei e k
展开后有：
ur
ur
原式 (1T11 2T21 3T31)e1 (1T12 2T22 3T32 )e2
ur (1T13 2T23 3T33)e3
( x
Txx
y
Tyx
z
Tzx
r )i
( x
Txy
y
Tyy
z
Tzy
r )j
( x
Txz
y
Tyz
z
Tzz
r )k
关于二阶张量场 T T的P右散度定义为：
Ñ Pdx Qdy Rdz
C
S
[(
R y
Q z
)dydz
( P z
R x
)dzdx
( Q x
P y
)dxdy]
r a (P、Q、R)
r d l (dx、dy、dz)
根据Stokes定理有：
divT T
divT T Tkiek ei e j j
ij
Tki x j
ek
Tki xi
ek
iTkiek
一般地，divT di，vT当T为对称张量的时候，两者相等
5 旋度
矢量场的旋度：
左旋度：
r
r
curla a
展开后有：
uur
ur
(ekk )(ai ei )
uur
＝ ekijk ai ej
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
divT T
ur
ur ur
divT T (ekk ) (Tij ei ej )
ur
kTijki ej
ur iTij ej
ur
ur
ur
iTi1e1 iTi2 e2 iTi3e3
grada a
aiei e j j
ai xj
eie
j
ai, jeie j
aij eie j
其中：
a
ij
ai x j
写成矩阵形式为：
a1 x1
a1 x2
a1 x3
a
wenku.baidu.com
a2
x1 a3
a2
x2 a3
a2
x3 a3
x1 x2 x3
两者关系
右梯度
a (a)T
左梯度
ur
uur
ur
(2a3 3a2 )e1 (3a1 1a3)e2 (1a2 2a1)e3
（ az
-
ay
r ）i （
ax
-
az
r ）j
（
ay
-
ax
r ）k
y z
z x
x y
右旋度：
curla a a j e j ei i
ej
ei
a j xi
e jik
a j xi
ek
eijk ia jek
x1 x2 x3 a1 a2 a3 e1 e2 e3
ur
uur
ur
原式 (eki1kai )e1 (eki2kai )e2 (eki3kai )e3
ur
uur
(e2312a3 e3213a2 )e1 (e1321a3 e3123ai )e2
ur (e1231a2 e2132a1)e3
r j
f
r k
x y z
矢量的梯度： 左梯度
r r ur ur grad a a (i ei )(aj ej )
ur ur (eii )(aj ej )
ur ur (iaj )(ei ej )
ax x
ay x
az x
ax y
ay y
az y
ax z
ay z
az z
右梯度
(i j f )ij
ii f 11 f 22 f 33 f
2 f 2 f 2 f
x2 y2 z2
2.3 物质导数
r 若 f f (t, r(t))
则：Df f f r f f x f y f z
Dt t r t t x t y t z t
f
x
y
z
t (1 f ) t (2 f ) t (3 f ) t
r a (P、Q、R)
根据Gauss定理有：
左边 (a1n1 a2n2 a3n3)dS
S
ainidS
Sr r
r ur
a ndS a d S
S
S
右边 (1a1 2a2 3a3)dV
V
r
iaidV adV
V
V
r ur
r
a d S adV
S
V
2 Stokes定理
张量的梯度：
设T为任意二阶张量 它的左梯度gradT定义为：
gradT T
ei i Tjke jek
iTjkeie jek
T的右梯度定义为：
gradT T
Tjke jek ei i
iTjke jekei
一般地 T T
4 散度
矢量场的散度 矢量场的左散度定义为：
rr diva a
f t
xi t
i
f
f t
Vi i
f
f
ur V f
t
D
()
ur () V ()
Dt
t
2.4 积分定理
1 Gauss定理
S
(P
cos
Q
cos
R
cos
r)ds
V
(
P x
Q y
R )dxdydz z
有向面积：
ur
r3
ur r2
dS2 dS1
ur dS3 r1
uur ur ur d Suu1r d ru2r d rur3 d Suur2 d urr3 durr1 d S3 d r1 d r2
T ip eie p
其中： T ip ekjp jTik
小 结：
哈密顿算子 梯度
散度 旋度
ur i ei
ur gradf f eii f
rr diva a iai
r
r
curla a
2.2 Laplace算子
公式：
2 f f
展开后有：
ur
uur
原式 (i ei ) ( j f ej )