2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区) (4)

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初中数学一元二次方程与二次函数的关系

初中数学一元二次方程与二次函数的关系

一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系,我们可以利用方程(组)解决函数问题,也可以利用函数解决方程(组)问题.我们知道,二次函数的一般形式是,而一元二次方程的一般形式是.显然当二次函数中时就能得到一元二次方程,所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接透彻理解数学概念,提升你的数学内涵!1.利用一元二次方程解决二次函数问题:(1)对于二次函数来说,当时,就得一元二次方程,因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程的取值与二次函数图像与轴的交点坐标的情况之间的关系:①当时,一元二次方程有两个不相等的实数根,抛物线与轴有两个交点;②当时,一元二次方程有两个相等的实数根,抛物线与轴有唯一交点(这个唯一交点就是抛物线的顶点);③当时,一元二次方程没有实数根,抛物线与轴没有交点(抛物线要不全部在轴上方,要不全部在轴下方).c bx ax y ++=2)0(≠a 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a x ac b 42-=∆x 042>-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042=-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042<-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x x x(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与轴交点横坐标的有关求值问题:当一元二次方程有两个不相等的实数根、时,抛物线与轴交于两点A(,0)、B(,0),此时有,·.此时抛物线与轴两交点的距离为: AB==(公式①). (3)推广:我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与与直线(当时为一次函数的图像,当时为平行于轴或与轴重合的一条直线)的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面,反过来,我们可以根据抛物线与x 轴的交点情况去判断一元二次方程的根的情况.另一方面,我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲参与数学解题过程,品味数学内在魅力! 例1(福州市中考题)已知二次函数的图象如图10-1所示,则下列结论正确的是()A .a >0B .c <0C .b 2-4ac <0D .a +b +c >0 x 02=++c bx ax 1x 2x c bx ax y ++=2x 1x 2x a bx x -=+211x ac x =2x 21x x -221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=c bx ax y ++=2b kx y +=0≠k 0=k x x b y =c bx ax y ++=202=++c bx ax c bx ax y ++=2分析:a决定抛物线的开口方向,c决定抛物线与y轴的交点情况,抛物线的对称轴由a、b共同决定,b2-4ac决定抛物线与x轴的交点情况.本题中,由于抛物线开口方向向下,因此a<0;抛物线与y轴的交点(0,c)在x轴上方,因此c>0;由于抛物线对称轴在y轴右侧,所以x=-b2a>0,所以b>0;由于抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0.a+b+c是x=1时的函数值,而图像上点(1,a+b+c)在x轴上方,所以a+b+c>0.答案:D.技巧提升:本题是二次函数图像信息探究问题.解决这类问题就应熟练掌握a、b、c、x=-b2a、a+b+c、b2-4ac等与抛物线的位置特征之间的关系.例2(徐州市中考题)平面直角坐标系中,若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象,使其与x轴交于两点,且此两点的距离为1个单位,则平移方式为()A.向上平移4个单位B.向下平移4个单位C.向左平移4个单位D.向右平移4个单位分析:因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x轴交于点(2008,0)和(2009,0),这两点间的距离为1,而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到. 答案:B .技巧提升:本题也可以倒过来想,容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点(2009,4)、(2008,4),这两点的距离围为1,要将这两点平移到x 轴上,应将图像向下平移4个单位.研究抛物线平移问题,一般我们要抓住特征对应点来分析.例3(镇江市中考题)已知实数x ,y 满足x 2+3x +y -3=0,则x +y 的最大值为.分析:可以利用二次函数最值方法来求,由x 2+3x +y -3=0得,x +y =-x 2-2x +3=-(x +1)2+4,所以当x =-1时,x +y 最大值为4;也可以尝试用换元法解决,设,则原方程可化为,因为这个关于必有实数根,所以,解得,所以(即x +y )的最大值为4.答案:4.技巧提升:第一种分析方法,由等式是一个关于x 的二次方程,也是关于y 的一次方程,所以可以联想到把式子转化为“x +y ”关于x 的二次函数,利用函数知识求解;第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数的取k y x =+0322=-++k x x x 0)3(44≥--=∆k 4≤k k k值范围问题来解决,有异曲同工之效.例4(日照市中考题)如图10-2,是二次函数y =ax 2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线x =1,若其与x 轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax 2+bx+c <0的解集是.分析:由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A (3,0),且与对称轴x =1的距离为2,所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧,且与直线x =1的距离也为2,其坐标应为(-1,0).观察图像可知,当-1<x <3时,抛物线在x 轴下方,所以不等式ax 2+bx +c <0的解集是-1<x <3答案:-1<x <3.技巧提升:不等式ax 2+bx +c >0(或<0)的解集就是二次函数y =ax 2+bx+c 的图象在x 轴上(下)方的点所对应的x 的取值范围,因此不等式ax 2+bx +c >0(或<0)的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关,所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标. 例5(咸宁市中考题)已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为(,0),(,0)().(1)证明;(2)若该函数图象的对称轴为直线,试求二次函数的最小值. 分析:本题是二次函数问题,可借助一元二次方程与二次函2y x bx c =+-x m 3m -0m ≠243c b =1x =数的关系来解决.解:(1)证明:法一:依题意,,是一元二次方程的两根. 根据一元二次方程根与系数的关系,得,. ∴,,∴.法二:由题意得,①—②得,因为,所以.代入①得,所以,所以,,所以.法三:由抛物线的轴对称性可知其对称轴为,可得(下同法二).(2)解:法一:依题意,,∴. 由(1)得. ∴.∴二次函数的最小值为.法二:因为函数图象与轴两交点的坐标分别为(,0),(,0),所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线, 所以,所以,故抛物线与x 轴的两交点为、,所以抛物线的解析式为,当时,,∴二次函数的最小值为.技巧提升:本题两小题都给出了不同的解法,应注意体会不同解法的异同.一题多解,多中选优,平时解题的思考会带来解题能力的提升.例6(杭州市中考题)定义[]为函数的特征数,m 3m -20x bx c +-=(3)m m b +-=-(3)m m c ⨯-=-2b m =23c m =224312c b m ==⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m 0482=+-bm m 0m ≠m b 2=0222=-+c m m 23m c =2124m c =22123m b =243b c =2)3(2m m b x -+=-=m b 2=12b -=2b =-2233(2)344c b ==⨯-=2223(1)4y x x x =--=--4-x m 3m -m x -=1=-m 1-=m )0,1(-)0,3(32)3)(1(2--=-+=x x x x y 1=x 4321-=--=最小y 4-,,a b c 2y ax bx c =++下面给出特征数为[2m,1-m,-1–m]的函数的一些结论:①当m =-3时,函数图象的顶点坐标是(,);②当m>0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于;③当m<0时,函数在x>时,y 随x 的增大而减小;④当m ≠0时,函数图象经过同一个点.其中正确的结论有()A .①②③④B .①②④C .①③④D .②④分析:把m =-3代入[2m ,1–m,–1–m],得a =-6,b =4,c =2,函数解析式为y =-6x 2+4x+2,易求出其图像顶点为(,),故①正确;当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时,△=b 2-4ac =(1-m)2-4×2m ×(-1-m)=(3m+1)2,根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为=,当m >0时,=>,故②正确;∵m <0,∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x =-==,∴在对称轴左侧,即当时,y 随x 的增大而增大,对称轴右侧,即当时,y 随x 的增大而减小.在∵<,所以当x>时,图像有可能一部分在对称轴左侧,一部分在对称轴右侧,故③不正确;对于抛物线31382341313821x x -a ∆=m m 2)13(2+=m m 213+21x x -m m m 2123213+=+322b a 122m m--⨯1144m -m x 4141-<m x 4141->141144m -41y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时,当x=1时,y=2m+1-m+(-1-m)=0,∴当m ≠0时,抛物线一定经过(1,0)这个点,故④正确. 答案:B.技巧提升:本题综合考查了二次函数的各个方面的知识,比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识,应引起重视.例7(2008年扬州市中考题改编)若关于x 的一元二次方程的两根在1与2之间(不含1和2),则a 的取值范围是.分析:这是一个一元二次方程问题,如果直接用一元二次方程的根来列不等式组,需要列5个不等式,也就是:、、、 、,这样将会很麻烦.那么如何解才能比较简单呢?如果我们利用二次函数图像来帮助分析,0522=++ax x 0402>-=∆a 04402>-+-a a 14402<-+-a a 04402>---a a 14402<---a a解法将简单得多.令,如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像.根据图像对称轴在y 轴右侧,可知,解得.再根据可得.根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数,所以可得,可解得.这样就能得到a 的取值范围是.答案:.技巧提升:利用一元二次方程解决二次函数问题,这种题型比较多,也容易想到.而反过来,利用二次函数解决一元二次方程问题,这种题型就比较少了,遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题,用方程知识不好解决时,可以尝试用用二次函数.例8(潍坊市中考题)已知函数y 1=x 2与函数y 2=-12x +3的图象大致如图10-4,若y 1<y 2,则自变量x 的取值范围是()A .-12 <x <2B .x >2或x <-32C .-2<x <32D .x <-2或x >32分析:当y 1<y 2时,在图象中反映的是直线在抛物线的上方,522++=ax x y 04>-a 0<a 0402>-=∆a 102-<a ⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a 213->a 102213-<<-a 102213-<<-a也就是两函数图像两个交点之间的部分,所以我们要求出这两个函数图像的交点.由解得、,因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是-2<x <32. 答案:C .技巧提升:作为选择题,解答本题时,也可以不解方程组.先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ,再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴(y 轴)可排除答案A .例9(2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)已知点A ,B 的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次函数的图象与线段AB 恰有一个交点,则的取值范围是.分析:要注意抛物线与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况:⑴抛物线与x 轴只有一个交点,这个交点恰好在线段AB 上.由判别式解得.当时,,不合题意;当时,,符合题意.⑵抛物线与x 轴有两个交点,其中只有一个在线段AB上.设抛物线与x 轴的两个交点为C ()、D (),则.若只有点D 在线段AB 上,则,,显然,不合题意;若只有点C 在线段AB 上,则⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y ⎩⎨⎧=-=4211y x ⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ()233y x a x =+-+a ()233y x a x =+-+()233y x a x =+-+012)3(2=--=∆a 0∆=323a =±323a =+123x x ==-323a =-123x x ==()233y x a x =+-+0,1x )0,(2x 21x x <321=x x 101<<x 212≤≤x 321<x x,.当点D 与点A 、B 都不重合时,函数如图10-5所示,从图像可以看出,图像上横坐标为1的点在x 轴上方,横坐标为2的点在x 轴下方,所以,解得.当当点D 与点A 重合时,由,得,此时,,符合题意;当点D 与点B 都重合时,由,得,此时,,不符合题意.综上所述,的取值范围是≤,或者.答案:≤,或者技巧提升:本题中要注意对不同情况进行分类讨论,既要考虑到一般情况,还要考虑到特殊情况.例10(全国初中数学联合竞赛试题)设是大于2的质数,k 为正整数.若函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k 的值.分析:函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程的两根,可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决.解:由题意知,方程的两根中至少有一个为整数.由根与系数的关系可得,从而有①211≤≤x 22>x ⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a 112a -<<-031)3(12=+⨯-+a 1a =-11=x 32=x 032)3(22=+⨯-+a 12a =-21=x 232=x a 1-12a <-3a =-1-12a <-3a =-p 4)1(2-+++=p k px x y 04)1(2=-+++p k px x 04)1(2=-+++p k px x 21,x x 4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++(1)若,则方程为,它有两个整数根和.(2)若,则.因为为整数,如果中至少有一个为整数,则都是整数.又因为为质数,由①式知或.不妨设,则可设(其中m 为非零整数),则由①式可得,故,即.又,所以,即② 如果m 为正整数,则,,从而,与②式矛盾. 如果m 为负整数,则,,从而,与②式矛盾.因此,时,方程不可能有整数根. 综上所述,.技巧提升:由于方程两根之和为质数,所以只要有一个根是整数,则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的1k =0)2(22=-++p px x 2-2p -1k >01>-k 12x x p +=-21,x x 21,x x p 2|1+x p 2|2+x p 2|1+x p 12x mp +=212k x m-+=121(2)(2)k x x mp m-+++=+1214k x x mp m-++=+12x x p +=-14k p mp m--+=+41)1(=-++mk p m (1)(11)36m p +≥+⨯=10k m->1(1)6k m p m-++>(1)0m p +<10k m-<1(1)0k m p m-++<1>k 04)1(2=-+++p k px x 1=k p特征来分析.根据一元二次方程求根公式可知方程的根应为,要使得其根为整数,根的判别式的值必须是完全平方数.由于是质数,因此当的值是完全平方数时,关于的二次三项式必然等于(为非负整数),也就是说应成为关于的一个完全平方式,因此可得其,可解得,(舍去).三.学力训练检测自己能力,体验成功乐趣! 1.选择题:(1)(天津市中考题)已知二次函数()的图象如图10-6所示,有下列结论:①;②;③;④.其中,正确结论的个数是() A .1B .2C .3D .4(图10-6)(图10-7)(图10-8)(2)(百色市中考题)二次函数y=-x2+bx +c的图象如图10-7所示,下列几个结论:①对称轴为x=2;②当y≤0时,x <0或x >4;③函数解析式为y =-x(x -4);④当04)1(2=-+++p k pxx216)1(42++-±-=p k p p x 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p 2)(n p ±n 16)1(42++-p k p p 064)1(162=-+=∆k 11=k 32-=k 2y ax bx c =++0a ≠240bac ->0abc >80a c +>930a b c ++<x ≤0时,y 随x 的增大而增大.其中正确的结论有() A .①②③④ B .①②③ C .①③④ D .①③(3)(“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题)把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m ,n ,则二次函数的图象与x 轴有两个不同交点的概率是()A .B .C .D .(4)(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中,如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点,将二次函数y =-x2+6x -274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色,则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是( ) A .5B .6 C .7 D .82.填空题:(1)(新疆维吾尔自治区中考题)抛物线y =-x 2+bx+c 的部分图象如图所示,若y >0,则x 的取值范围是_______.(2)(玉溪市中考题)如图10-9是二次函数在平面直角坐标系中的图象,根据图形判断①>0;②++<0;③2-<0;④2+8>4中正确的是(填写序号).(3)(2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷)函数y =x 2-2006|x |+2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于2y x mx n =++51249173612)0(2≠++=a c bx ax y c a b c a b b a a c__________.(4)(全国初中数学联合竞赛题)二次函数的图象与轴正方向交于A ,B 两点,与轴正方向交于点C .已知,,则.3.(佛山市中考题)(1)请在坐标系中画出二次函数的大致图象;(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程的根在图上近似的表示出来(描点); (3)观察图象,直接写出方程的根.(精确到0.1)(图10-10)4.(长沙市中考题)已知:二次函数的图象过点(1,0),一次函数图象经过原点和点(1,-b ),其中a>b>0且a 、b 为实数.(1)求一次函数的表达式(用含b 的式子表示); (2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点; (3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为、,求的范围.c bx x y ++=2x y AC AB 3=︒=∠30CAO c =xx y 22-=122=-x x 122=-x x22y ax bx =+-1x 2x 12||x x -5.(肇庆市中考题)已知二次函数的图象过点(2,1).(1)求证:; (2)求的最大值;(3)若二次函数的图象与轴交于点,,,,的面积是,求.6.(2007年全国初中数学联合竞赛试题)设为正整数,且,二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为,二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立,求的值.7.(2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)已知抛物线与动直线有公共点,,且.(1)求实数t 的取值范围;(2)当t 为何值时,c 取到最小值,并求出c 的最小值. 8.(全国初中数学联合竞赛试题)已知二次函数的图象经过两点P ,Q .(1)如果都是整数,且,求的值. (2)设二次函数的图象与轴的交点为A 、B ,与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整12+++=c bx x y P 42--=b c bc x 1(x A )02(x B )0ABP ∆43b n m ,2≠m mt x mt x y 3)3(2--+=x 1d nt x n t x y 2)2(2+-+-=x 2d 21d d ≥t n m ,2y x =c x t y --=)12(),(11y x ),(22y x 3222221-+=+t t x x 2y x bx c =+-(1,)a (2,10)a ,,a b c 8c b a <<,,a b c 2y x bx c =+-x y x 20x bx c +-=数,求△ABC 的面积.第10讲.一元二次方程与二次函数的关系参考答案 1.选择题:(1)D ;(2)C ;(3)C ;(4)C ;2.填空题:(1)-3<x <1;(2)②、④;(3)0;(4).3.解:(1)如图所示;(2)如图所示,抛物线与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程的两根,也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数; (3)方程的根为-0.4、 2.4.4.解:(1)设一次函数的表达式为y =kx(k 为常数,k ≠0).∵一次函数图象经过原点和点(1,-b ),∴把点(1,-b ),代入y =kx ,得-b =k,即k =-b . ∴一次函数的表达式为y =-bx . (2)∵y=ax 2+bx -2过(1,0)即a+b=2 由得①∵△=19x x y 22-=122=-x x 122=-x x≈1x ≈2x 2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩22(2)20ax a x +--=224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根,∴方程组有两组不同的解, ∴两函数有两个不同的交点.(3)∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴ ∴或由求根公式得出∵a>b>0,a+b=2,∴2>a>1 令函数,∵在1<a<2时y 随a 增大而减小, ∴,∴. 5.解:(1)∵的图象过点(2,1) ∴ ∴(2) 当时,此时, ∴当时,有最大值,最大值为2。

2008竞赛答案-3月20日

2008竞赛答案-3月20日

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分) 1. 答案:C 解:xyy x y x y x +=+=+11, ∵ 0≠+y x ,∴ 1=xy .2. 答案:B解:按题意作图(如图所示),n =6.3. 答案:A解:通过列表或画树状图,可知四位同学的比赛顺序共有24种情况,其中由甲交给乙共有6种情况:甲乙丙丁、甲乙丁丙、丙甲乙丁、丁甲乙丙、丙丁甲乙、丁丙甲乙,故所求概率是41246=.4. 答案:B解:如图,设P (m ,n ),因为点P 在C 1上,所以mn =k 1,A (m ,m k 2),B (nk2,n ). OBD OC A PC OD PAOB S S S S ΔΔ--=四边形四边形2122)(21k k nk n m k m mn -=⋅+⋅-=.5. 答案:C解:二次函数42762-+-=x x y 的图象与x 轴有两个交点(23,0),(29,0). 在23=x 与29=x 之间共有3个整数2,3,4. 当x =2,4时,45=y ,满足0≤y ≤45的整数是0,1,整点有4个;当x =3时,49=y ,满足0≤y ≤49的整数是0,1,2,整点有3个.故共得7个整点.(第4题)6)(第2题)(第7题)BACD (第10题)6. 答案:C解:若分割出棱长为3的正方体,则棱长为3的正方体只能有1个,余下的均为棱长为1的正方体,共37个,不满足要求.设棱长为2的正方体x 个,棱长为1的正方体y 个,则⎩⎨⎧=+=+.648,29y x y x 解得⎩⎨⎧==.24,5y x7. 答案: D解:636)23(22=+=AB .∵ DE ∥BC ,∴ △AED ∽△ACB , ∴AC AECB ED =,423226=⨯=ED . 过点O 作OF ⊥DE ,F 是垂足,连结OD ,则221==ED FD . 由△OFD ∽△BCA ,得CA FDBA OD =,故所求半径3223263=⨯=OD .8. 答案:B解:只有当a 2=2,a 3=a 1+a 2= 3,a 4=a 2+a 3= 5,a 5=a 3+a 4= 8,a 6=a 4+a 5= 13时,7条线段中的任意3条都不能构成三角形,故a 6= 13.二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9. 答案:b >a >c解:共有10名同学制作图片,制作的张数为4,4,4,4,5,5,5,6,6,6,a =4.9,b =5,c=4,∴ b >a >c .10. 答案:35解:如示意图,在△ABC 中作高CD ,∵ AC =6,33sin =A ,∴ 32sin =⋅=A AC CD . 15)32()33(22=-=DB .∴ 353315cos ===BC DB B .A DBCE(第11题)11. 答案:5解:连结AC ,易证△CDE ≌△CBA (SAS ),∠ACE =90°.因为CA =CE =24cm ,所以AE =8 cm ,故AD =5 cm .12. 答案:2条或3条解:如图所示,其中∠ABP 1=∠C ,∠CBP 2=∠A ,当点P 位于点A 至P 1之间(包括点P 1)或位于点C 至P 2之间(包括点P 2)时,满足条件的直线共有3条;而当点P 位于点P 1至P 2之间(不包括点P 1,P 2)时,满足条件的直线共有2条.13. 答案:4解:设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米.每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则 s y x =-66. ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则 s y x =+33. ② 由①,②可得 x s 4=,所以4=xs. 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟. 14. 答案:8解:∵ 3Δ=AEH S cm 2,2Δ=EBF S cm 2,24=ABC D S 长方形cm 2,∴ 142)23(24=⨯+-=EFGH S 四边形(cm 2). 易证四边形EFGH 是平行四边形, ∴ 7214ΔΔ==+PFG HEP S S (cm 2). ∵ 2Δ=PEH S cm 2,∴ 5Δ=PFG S cm 2.∴ 835=+=PFC G S 四边形(cm 2),即四边形PFCG 的面积为8cm 2.C(第12题)(第14题)三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分) 15. 解:(1)设小王胜x 次,平y 次,x ,y 为自然数,则⎪⎩⎪⎨⎧<<≤+=+.40,7,103x y x y x ……3分 解得x =3,y =1或x =2,y =4.即小王的比赛结果为3胜1平3负,或2胜4平1负. ……2分 (2) 小王在前3次划拳游戏中,为一胜一平一负,积4分;则小李在前3次划拳游戏中,为一负一平一胜,也积4分.设在后4次比赛中,小王胜x 次,平y 次,则小王得分为3x +y ,小李得分为3(4-x -y )+y ,小王要胜出应有:⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤++-->+.40,4,)4(33x y x y y x y x ……4分解得⎩⎨⎧==;0,4y x ⎩⎨⎧==;1,3y x ⎩⎨⎧==;0,3y x ⎩⎨⎧==;2,2y x ⎩⎨⎧==;1,2y x ⎩⎨⎧==.3,1y x即小王四胜、三胜一平、三胜一负、二胜二平、二胜一平一负,或一胜三平都能保证胜小李. ……3分16.解:(1)令0=x ,得22->+=b b y ,;令0=y ,得002<>+-=k kb x ,. ……2分 A ,B 两点的坐标分别为A (kb 2+-,0),B (0,2+b ),△OAB 的面积为)2()2(21kb b S +-⋅+=. 由题意,得 322)2()2(21++++-=+-⋅+b k b k b b , 解得 )5(222++-=b bb k ,0>b . …… 4分(2) 由(1)得S =b b b )5)(2(++=b b b 1072++ ……1分=710++b b =1027)10(2++-bb ……3分 当010=-bb ,即10=b 时,S 有最小值1027+, 所以,△OAB 面积的最小值为1027+. ……2分ABDE C12 3 4 56G(第17题)17. 解:(1) 如图,连接BC ,∵ AB =AC =AE ,∴ ∠5 = ∠2,∠2 + ∠3 = ∠6.又 ∠4 +∠5 = ∠6 = ∠2 +∠3, ∴ ∠4 = ∠3.而 ∠1 = ∠4 +∠3, ∴ ∠1 = 2∠4.即 ∠CAD =2∠DBE . ……6分 (2) 设BC 与AD 的交点为G ,∵ ∠2= ∠5,∠BAG =∠DAB , ∴ △BAG ∽△DAB .∴ AD AG AB ⋅=2. ……2分 ∴ )(222AG AD AD AD AG AD AB AD -=⋅-=-= DG AD ⋅. ……2分又 ∵ ∠5 =∠ADC ,∠DBG =∠1,∴ △BDG ∽△ADC . ∴DCDGAD DB =,DC BD DG AD ⋅=⋅. ∴ DC BD AB AD ⋅=-22. ……2分18. 解:(1)①BC Q PAQ OC P OABC C PQ S S S S S ΔΔΔΔ---=矩形)()(t t t t 216102121102162160-⨯-⋅--⨯⨯-=303412+-=t t 21)6(412+-=t (0≤t ≤10).……2分故当t =6时,C PQ S Δ最小值为21, 此时点Q 的坐标为(10,3). ……1分② 如图,当∠1=∠2时,PAQAOP OC =, ∴ ttt -=10216, 0606212=-+t t , 解得39261+-=t ,39262--=t (舍去).当∠1=∠3时,t t t21106-=,解得 7=t . ……2分因此,当3926+-=t 或7时,即当Q 点的坐标为(10,393+-)或(10,27)时△COP 和△P AQ 相似.……1分(2) 假设存在a 的值,使△OCP 与△P AQ ,△CBQ 这两个三角形都相似, 设此时P ,Q 运动的时间为t 秒,则OP =t ,AQ =at . ① 当∠1=∠3=∠4时,BQ BC AQ PA OP OC ==,atat t t -=-=610106. 解得18,221==t t (舍去).此时34=a ,Q 点的坐标为(10,38). ……3分 ② 当∠1=∠3=∠5时,∠CPQ =∠CQP =90°不成立;……1分③ 当∠1=∠2=∠4时,BQ BC AP QA OP OC ==,att at t -=-=610106. 即有由②,得 61036tat -=, 代入①,得 61036660tt t )(-=-,整理,得01803652=+-t t ,△<0, 方程无实数解;……3分④ 当∠1=∠2=∠5时,由图可知∠1=∠PCB >∠5,故不存在这样的a 值. ……1分 综上所述,存在a 的值,使△OCP 与△P AQ 和△CBQ 这两个三角形都相似, 此时34=a ,点Q 的坐标为(10,38). ,62at t =- ①.10636t at =- ②。

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)本题共有6小题,每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1.设213a a +=,213b b +=,且a b ≠,则代数式2211a b+的值为 ( ) )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=,2310b b -+=,且a b ≠,所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根,故3a b +=,1ab =,因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2.如图,设AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,若6AB =,5BC =,3EF =,则线段BE 的长为 ( ) )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解 因为AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,易知,,,B C E F 四点共圆,于是△AEF ∽△ABC ,故35AF EF AC BC ==,即3cos 5BAC ∠=,所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中,424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 ( ))(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解 能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .4.在△ABC 中,12ABC ∠=︒,132ACB ∠=︒,BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线,且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上,则 ( ))(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒,BM 为ABC ∠的外角平分线,∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒,∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒, ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠,∴CN CB =. 因此,BM BC CN ==.故选B .5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r ,则r 的最小值为 ( ))(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解 容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ,过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅,其中k 为自然数,且0k n ≤≤. 要使r 的值最小,五种商品的价格应该分别为:98()()1010i n i a -⋅⋅,1198()()1010i n i a +--⋅⋅, 2298()()1010i n i a +--⋅⋅,3398()()1010i n i a +--⋅⋅,4498()()1010i n i a +--⋅⋅,其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6. 已知实数,x y满足(2008x y =,则223233x y x y -+-2007-的值为 ( ))(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵(2008x y =,∴x y -==y x -==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =,解得22008x =,所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.设12a -=,则5432322a a a a a a a+---+=-2-.解 ∵221a a ===-,∴21a a +=, ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2.如图,正方形ABCD 的边长为1,,M N 为BD 所在直线上的两点,且AM =135MAN ∠=︒,则四边形AMCN 的面积为52解 设正方形ABCD 的中心为O ,连AO ,则AO BD ⊥,2AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=︒, 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠,所以△ADN ∽△MBA ,故AD DNMB BA =,从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知,四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△. 3.已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ,n ,且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ,q ,则p q +=12解 根据题意,,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根,所以m n a +=-,mn b =. ∵1m n +≤,∴1m n m n +≤+≤,1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥,∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-,故14b ≥-,等号当且仅当12m n =-=时取得; 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤,故14b ≤,等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =,14q =-,于是12p q +=. 4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 1 .解 21到23,结果都只各占1个数位,共占133⨯=个数位; 24到29,结果都只各占2个数位,共占2612⨯=个数位;210到231,结果都只各占3个数位,共占32266⨯=个数位;232到299,结果都只各占4个数位,共占468272⨯=个数位;2100到2316,结果都只各占5个数位,共占52171085⨯=个数位;此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411,结果都只各占6个数位,共占695570⨯=个数位.所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字,即为1.第二试 (A )一.(本题满分20分) 已知221a b +=,对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ,不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ (1)恒成立.当乘积ab 取最小值时,求,a b 的值.解 整理不等式(1)并将221a b +=代入,得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ (2)在不等式(2)中,令0x =,得0a ≥;令1x =,得0b ≥.易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式(2)对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ (3) 消去b ,得42161610a a -+=,所以224a -=或224a +=. 又因为0a ≥,所以a =a =, 于是方程组(3)的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14,此时,a b 的值有两组,分别为a b ==a b ==二.(本题满分25分) 如图,圆O 与圆D 相交于,A B 两点,BC为圆D 的切线,点C 在圆O 上,且AB BC =.(1)证明:点O 在圆D 的圆周上.(2)设△ABC 的面积为S ,求圆D 的的半径r 的最小值.解 (1)连,,,OA OB OC AC ,因为O 为圆心,AB BC =,所以△OBA ∽△OBC ,从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥,所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠,所以DB DO =,因此点O 在圆D 的圆周上.(2)设圆O 的半径为a ,BO 的延长线交AC 于点E ,易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤,OE x =,AB l =,则222a x y =+,()S y a x =+,22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =,所以△BDO ∽△ABC ,所以BD BO AB AC=,即2r a l y =,故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥,即2r ≥其中等号当a y =时成立,这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 三.(本题满分25分)设a 为质数,b 为正整数,且29(2)509(4511)a b a b +=+ (1)求a ,b 的值.解 (1)式即2634511()509509a b a b ++=,设634511,509509a b a b m n ++==,则 509650943511m a n a b --== (2) 故351160n m a -+=,又2n m =,所以2351160m m a -+= (3)由(1)式可知,2(2)a b +能被509整除,而509是质数,于是2a b +能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程(3)有整数根,所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=(t 为自然数),则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,所以只可能有以下几种情况:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去. 综合可知251a =.此时方程(3)的解为3m =或5023m =(舍去). 把251a =,3m =代入(2)式,得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 (B )一.(本题满分20分)已知221a b +=,对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ,不等式 220ay xy bx -+≥ (1)恒成立.当乘积ab 取最小值时,求,a b 的值.解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在(1)式中,令0,1x y ==,得0a ≥;令1,0x y ==,得0b ≥.将1y x =-代入(1)式,得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥,即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ (2)易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式(2)对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ (3) 消去b ,得42161610a a -+=,所以2a =2a =0a ≥,所以a =或4a =. 于是方程组(3)的解为,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组,分别为44a b ==44a b == 二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第三题相同.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(B )卷第一题相同.二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)设a 为质数,,b c 为正整数,且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解 (1)式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=, 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==,则 5096509423511m a n a b c ---== (3) 故351160n m a -+=,又2n m =,所以 2351160m m a -+= (4)由(1)式可知,2(22)a b c +-能被509整除,而509是质数,于是22a b c +-能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程(4)有整数根,所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=(t 为自然数),则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,所以只可能有以下几种情况:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去.综合可知251a =,此时方程(4)的解为3m =或5023m =(舍去). 把251a =,3m =代入(3)式,得50936251273b c ⨯-⨯-==,即27c b =-. 代入(2)式得(27)2b b --=,所以5b =,3c =,因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。

2008年全国初中数学竞赛浙江初赛试卷

2008年全国初中数学竞赛浙江初赛试卷

2008年全国初中数学竞赛浙江初赛试卷作者:来源:《数学金刊·初中版》2008年第06期一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知x+y=x-1+y-1≠0,则xy的值为()A. -1B. 0C. 1D. 22.甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100 m接力跑比赛,如果任意安排四位同学的跑步顺序,那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是()A. B. C. D.3.如图1,两个反比例函数y=和y=(其中k1>k2>0)在第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,则四边形PAOB的面积为()A. k1+k2B. k1-k2C. k1·k2D.4.在平面直角坐标系中,如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点,将二次函数y=-x2+6x-的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是()A. 5B. 6C. 7D. 85.如图2,⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于点E,且DE∥BC.已知AE=2,AC=3,BC=6,则⊙O的半径是()A. 3B. 4C. 4D. 2二、填空题(每小题6分,共24分)6.△ABC中,∠A和∠B均为锐角,AC=6,BC=3,且sinA=,则cosB的值为_________.7.如图3,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,E是AD延长线上一点,若DE=AB=3 cm,CE=4 cm,则AD的长是_________.8. 已知△ABC为钝角三角形,其最大边AC上有一点P(点P与点A,C不重合),过点P作直线l,使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似,这样的直线l可作的条数是_________.9.如图4,矩形ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,点P在矩形ABCD内.若AB=4 cm,BC=6 cm,AE=CG=3 cm,BF=DH=4 cm,四边形AEPH的面积为5 cm2,则四边形PFCG的面积为_________cm2.三、解答题(本题3小题,共46分)10.(15分)小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布”的划拳游戏.游戏规则为:胜一次得3分,平一次得1分,负一次得0分,一共进行7次游戏,游戏结束时,得分高者为胜.(1)若游戏结束后,小王得分为10分,则小王7次游戏比赛的结果是几胜几平几负?(2)若小王前3次游戏比赛的结果是一胜一平一负,则他在后面4次比赛中,要取得怎样的比赛结果,才能保证胜小李?11.(15分)在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b+2(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.(1)用b表示k;(2)求△OAB面积的最小值.12.(16分)如图5,AB,AC,AD是圆中的三条弦,点E在AD上,且AB=AC=AE.请你说明以下各式成立的理由:(1)∠CAD=2∠DBE;(2)AD2-AB2=BD·DC.参考答案见P60。

关于公布2008年全国初中数学竞赛(丽水赛区)获奖名单的通知

关于公布2008年全国初中数学竞赛(丽水赛区)获奖名单的通知

丽水市教育局教研室文件
丽教研数字[2008] 73 号
关于公布2008年全国初中数学竞赛(丽水赛区)
获奖名单的通知
各县(市、区)教育局教研室:
2008年全国初中数学竞赛(丽水赛区)的初赛、复赛工作,在各地的大力支持下,已圆满结束。

丽水赛区全市共有324名参赛学生分获一、二、三等奖,其中一等奖47名,二等奖116名,三等奖161名。

对获一等奖学生的指导教师颁布优秀指导教师奖,评出2008年全国初中数学竞赛(丽水赛区)优胜团体5名,现予公布。

附件:1、2008年全国初中数学竞赛(丽水赛区)获奖名单
2、2008年全国初中数学竞赛(丽水赛区)优胜团体奖
二00八年五月十二日
主题词:初中数学竞赛获奖通知
校对:田用杰共印30份
附件1:2008年全国初中数学竞赛(丽水赛区)获奖名单
一等奖(47名)
二等奖(116名)
三等奖(161名)
附件2:
2008年全国初中数学竞赛(丽水赛区)优胜团体名单
市直丽水市实验学校
龙泉市龙泉市育才学校
松阳县松阳县凌霄外国语学校
遂昌县遂昌二中
缙云县缙云县实验中学。

2008年全国初中数学竞赛试题参考答案

2008年全国初中数学竞赛试题参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x y ,满足 42424233y y x x -=+=,,则444y x+的值为( ).(A )7 (B ) (C ) (D )5 【答】(A )解:因为20x >,2y ≥0,由已知条件得21x ==, 2y ==, 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7. 另解:由已知得:2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩,显然222y x -≠,以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=,所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +=22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m ,n ,则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( ).(A )512 (B )49 (C )1736(D )12(第3题)E【答】(C )解:基本事件总数有6×6=36,即能够得到36个二次函数. 由题意知∆=24m n ->0,即2m >4n .通过枚举知,满足条件的m n ,有17对. 故1736P =. 3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点能够确定的不同直线最少有( ).(A )6条 (B ) 8条 (C )10条 (D )12条【答】(B )解:如图,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线能够确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E ,F 中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线.从而这6个点能够确定的直线很多于8条.当这6个点如图所示放置时,恰好能够确定8条直线. 所以,满足条件的6个点能够确定的直线最少有8条.4.已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且1AB a =<.以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D 为圆O 上不同于点A 的一点,且DB AB a ==,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( ).(A )2 (B )1 (C )2(D )a 【答】(B )解:如图,连接OE ,OA ,OB . 设D α∠=,则 120ECA EAC α∠=︒-=∠.又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-,所以ACE △≌ABO △,于是1AE OA ==. 另解:如图,作直径EF ,连结AF ,以点B 为圆心,AB 作⊙B ,因为AB =BC =BD ,则点A ,C ,D 都在⊙B 上,由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5.将1,2,3,4,5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ).(第4题)(第8题)(A )2种 (B )3种 (C )4种 (D )5种 【答】(D )解:设12345a a a a a ,,,,是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.首先,对于1234a a a a ,,,,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.又如果i a (1≤i ≤3)是偶数,1i a +是奇数,则2i a +是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.所以12345a a a a a ,,,,只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件: 2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3; 4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1. 二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为:u v uv v *=+.若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 .【答】0a >,或1a <-.解:由1()4x a x **=-,得21(1)(1)04a x a x ++++=,依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩,, 解得,0a >,或1a <-.7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.【答】4.解:设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米.每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则 s y x =-66. ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则s y x =+33. ② 由①,②可得 x s 4=,所以4=xs. 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.(第9题答案)8.如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为 . 【答】9.解:如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB . 又//MF AD ,所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠,所以 12FN MN AB ==. 所以 1122FC FN NC AB AC =+=+=9.另解:如图,过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ,延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ,所以四边形CENF 是等腰梯形, 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9.△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,则DE 的长为 .【答】163. 解:如图,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r , BC 边上的高为a h ,则11()22a ABC ah S abc r ==++△, 所以 a r a h a b c=++. 因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,所以a a h r DEh BC-=, 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++, 故 879168793DE ⨯+==++().另解:ABC S rp∆===(第8题答案)(这里2a b c p ++=)所以12r ==2ABC a S h a ===△由△ADE ∽△ABC ,得23a a h r DE BC h -===, 即21633DE BC === 10.关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 .【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x ,y 都是偶数.设2,2x a y b ==,则22104()a b a b +=-,同上可知,a ,b 都是偶数.设2,2a c b d ==,则2252()c d c d +=-,所以,c ,d 都是偶数.设2,2c s d t ==,则2226()s t s t +=-,于是 22(13)(13)s t -++=2213⨯, 其中s ,t 都是偶数.所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<.所以13s -可能为1,3,5,7,9,进而2(13)t +为337,329,313,289,257,故只能是2(13)t +=289,从而13s -=7.于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,;,所以 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,,另解:因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数,所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为:1,4,5,6,9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6; 当22,a b 的个位数是1和1时,则,a b 的个位数字能够为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数,与22a b +的十位数字为3矛盾。

浙江省2008年初中数学联赛(初二组)初赛试卷及答案

浙江省2008年初中数学联赛(初二组)初赛试卷及答案

2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题(本卷满分120分,考试时间120分钟,允许使用科学计算器。

)一、选择题(共8小题,每小题5分,计40分。

每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案,其中有且只有一个正确,请将它前面的代号填入题后的括号内,多选、少选、不选皆不得分。

)1.关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根为2和3,则方程ax 2-bx -c=0的根为( ) A . -2,-3 B. -6,1 C.2,-3 D. -1,6 2.已知动点P 在边长为2的正方形ABCD 的边上沿着A -B -C -D 匀速运动,x 表示点P 由A 点出发所经过的路程,y 表示△APD 的面积,则y 和x 之间函数关系的图像大致为 ( )A B C D3.将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若所得的和中没有一个数字是偶数,则称这个数为“奇和数”。

那么,所有的三位数中,“奇和数”有多少个? ( ) A.200 B.120 C.160 D.100 4.设a 、b 、c 均为正数,若ac bc b a b a c +<+<+,则a 、b 、c 三个数的大小关系是 ( )A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a5.三角形的三内角A 、B 、C 的对边长分别是a 、 b 、 c(a 、 b 、 c 都是素数),且满足a +b +c =16,又设∠A 是最小内角。

则cosA 的值是( ) A .71 B .72 C.4947D.条件不足,无法计算 6.美是一种感觉,本应没有什么客观的标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考,在数学上,这个比例称为黄金分割.在人体躯干(由脚底至肚脐的长度)与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,也就是说,若此比值越接近0.618,就越给别人一种美的感觉.如果某女士身高为1.60m ,躯干与身高的比为0.60,为了追求美,她想利用高跟鞋达到这一效果,那么她选的高跟鞋的高度约为 ( ) A.2.5cm B.5.1cm C.7.5cm D.8.2cm 7.如图2,一个边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上,那么这个正方形的面积是( )。

2008浙江数学竞赛及答案

2008浙江数学竞赛及答案

bECDB2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题答题时注意;1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分.以下每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分) 1.一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米,它们相向行驶在平行的轨道上,若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒,则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )(A )7.5秒 (B )6秒(C )5秒 (D )4秒 解:答案:【D 】设高速列车和普通列车的车速分别为x 米/秒和y 米/秒,则100520(/)x y m s -=÷=,所以坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是:80÷20=4(秒)2.将一张边长分别为a ,b )(b a >的矩形纸片ABCD 折叠,使点C 与点A 重合,则折痕的长为( )(A (B(C (D 解:答案:【A 】CPE CBA ∆∆2PE CP CP PE AB AB BC BC a⇒=⇒==2EF PE ⇒==3.如图,设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,黑、白 两个甲壳虫同时从A 点出发,以相同的速度分别沿棱向前爬行,黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……,白甲壳虫爬行的路线是AB →BB 1→……,并且都遵循如下规则:所爬行的第n n 与第2+条棱所在的直线必须是既不平行也不相交(其中n 是正整数).那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时,它们之间的距离是( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 解:答案:【C 】 黑甲壳虫爬行的路径为:111111111......AA A D D C C C CB BA AA A D →→→→→→→→ 白甲壳虫爬行的路径为:111111111......AB BB B C C D D A A A AB BB →→→→→→→→(第3题)ABCD A 1B 1C 1D 1黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径,因2008=334×6+4,所以当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止时,黑甲壳虫停在点C ,白甲壳虫停在点D 1,因此1CD =4.设m ,n 是正整数,满足m +n >mn ,给出以下四个结论:① m ,n 都不等于1; ② m ,n 都不等于2;③ m ,n 都大于1;④ m ,n 至少有一个等于1.其中正确的结论是( ) (A )① (B )② (C )③ (D )④ 解:答案:【D 】 由m n mn +>,得(1)(1)1m n --<,因m ,n 是正整数,所以(1)(1)0m n --=, 即11m n ==或5.小明按如图所示设计树形图,设计规则如下:第一层是一条与水平线垂直的线段,长度为1;第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段,长度为其一半;第三层按第二层的方法,在每一条线段的前端生成两条线段;重复前面的作法作到第10层.则树形图第10层的最高 点到水平线的距离为( ) (A )11024 (B )17041024(C )17051024(D )2 解:答案:【C 】设第n 层的最高点到水平线的距离记为:(1,2,,10)n a n =由题意,得224412132435411111;();();();();2222a a a a a a a a a ==+=+=+=+66106576109111();();;();222a a a a a a =+=+=+把这10条式子左右相加,得2468101010111111170512[()()()()()]()2222221024a =+⨯++++-=6.有10条不同的直线n n b x k y +=(n = 1,2,3,…,10),其中369k k k ==,47100b b b ===,则这10条直线的交点个数最多有( )(A )45个 (B )40个 (C )39个 (D )31个 解:答案:【B 】如图,满足已知条件的6条直线至多有10这6条直线最多有6个交点,再增加一条直线与前7交点,……一直增加到第10条直线与前9条直线最多有9个 交点,所以这10条直线的交点个数最多有:10+6+7+8+9=40(个二、填空题(共6小题,每小题6分,满分36分) 7.在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F , 使13AE AB =,14AF AD =,连结EF 交对角线AC 于G ,则AC的值是 . 水平线第一层 第二层 第三层 第四层(第5题)x ,y ,zz y x ++11,x z y ++11,yx z ++11 (第10题)M解:答案:17如图,1//33AE AF AB CD DM AE DM FD ⇒==⇒=113367AG AE AE AE AG GC CM CD DM AEAE AC ∴====⇒=++ 8的圆过一个半径为2的圆的圆心,则图中阴影部分的面积为 . 解:答案:2连结OO 1, AB ,则有OO 1⊥AB 于点P ,在1Rt APO Rt APO ∆∆和中,222222222111112)AP AO OP O A O P O P O P O P =-=-⇒-=-⇒即点O 1在AB 上与点P 重合,易知AB 是圆O 1的直径,三角形ABO 是直角三角形. 所以222111=(22)2242S ππ⨯⨯-⨯⨯-⨯=阴影 9.已知y =26x mx +-,当1≤m ≤3时,y <0恒成立,那么实数x 的取值范围是. 解:答案:332x -<<由26<0x mx +-,22mmx +-<<=解得-当1≤m ≤3时,1=3 22m +-则 -的最大值为-; 所以,当1≤m ≤3时,y <0恒成立,即260x mx +-<恒成立时, x 的取值范围是3x -<<. 10.如图是一个数的转换器,每次输入3个不为零的数,经转换器转换后输出3个新数,规律如下:当输入数分别为x ,y ,z 时,对应输出的新数依次为z y x ++11,x z y ++11,yx z ++11.例如,输入 1,2,3,则输出56,34,23. 那么当输出的新数为31,41,51时,输入的3个数依次为 .(第8题)解:答案:1111 1132,, 2221112=333()1113=4()3(0)425()26111=5x y z kx k x y z xy xz x y z xy k xy yz x y z yz k y k k y z x yz xz x y z xz k z k z x y ++=⎧⎧+=⎪⎪+⎪+=++=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪+⇒+=++−−−−→=⇒=>⎨⎨⎨⎨+⎪⎪⎪⎪+=++=⎩⎩⎪⎪=+⎪⎪⎩+⎩令1111,,1132k x y z x y z ⇒=++=++=++⇒=== 11.10张卡片上分别写有0到9这10个数,先将它们从左到右排成一排,再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作,规则如下:当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时,交换它们的位置,否则不进行交换.若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作,那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何,至多经过 次操作,就能将它们按从小到大的顺序排列. 解:答案:45记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后,能将它们按从小到大顺序排列,则232431091;2;3;............9.a a a a a a a ==+=+=+ 所以10123.....945a =++++=12.设整数a 使得关于x 的一元二次方程255261430x ax a -+-=的两个根都是整数,则a 的值是 .解:答案:18. 由题意,得222255202860(552)156()a a a k k N ∆=-+=-+=∈即22(552)156[(552)][(552)]782262ka k a k a --=⇒+-⨯--=⨯=⨯因为[(552)][(552)]ka k a +---和具有相同的奇偶性且[(552)][(552)]2k a k a k +---=≥+0故(552)=78(552)=26(552)=2(552)=6(552)=2(552)=6(552)=78(552)=26k a k a k a k a k a k a k a k a +-+-+-+-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--------⎩⎩⎩⎩或或或 解得,只有=40=18k a ,符合题意。

2008年全国初中数学联赛获奖名单

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2008年全国初中数学联赛获奖名单一等奖(60名)姓名学校姓名学校郭吕成上饶县第二中学万文奇景德镇市第二中学方亦豪景德镇市第二中学刘明宇景德镇市第二中学沈琛魁景德镇市第二中学肖一君乐平市第五中学晏诚敏江西省上高中学柳珺景德镇市一中分校喻军新余市第四中学梁毓娇江西省高安中学孙涵宇江西省高安中学王嘉琛景德镇市一中分校刘志凯吉安市朝宗实验学校王瑞琛乐平市第五中学杨煜景德镇市第二中学程禹婺源县婺源中学钟晓旭景德镇市一中分校成亚能景德镇市一中分校周宏宇南昌市第十中学罗翌新景德镇市一中分校陈白杨赣县第二中学周罗伟南昌市第十中学戴耀文景德镇市第二中学郑双越上饶县第二中学池龙景德镇市第二中学宋姗姗江西省高安中学范嘉俊景德镇市第二中学李强江西省临川第二中学周陶杰江西省临川第二中学莫少波江西省临川第二中学王博海江西省临川第二中学朱文瑜江西省高安中学谌偲翔江西省高安中学金怡泽南昌市第十中学童聿强景德镇市第二中学赵建梁婺源县婺源中学胡健宏景德镇市一中分校杨锴必景德镇市一中分校万翔鹏景德镇市一中分校谢翀江西省高安中学段训岚景德镇市第二中学龚时伟九江市同文中学陈章麒南昌市第十中学彭章景德镇市一中分校曾俊景德镇市第二中学郑荣上饶县第二中学袁鑫鹏景德镇市一中分校郭碧川吉水县第三中学陈雨贵溪市第二中学邬涛赣州市第三中学徐宏江西省临川第二中学吴艺翀鹰潭市中山学校吴志佳景德镇市第二中学汪佳璇婺源县婺源中学单铮景德镇市一中分校罗步景玉山文苑学校符豪江西省高安中学张志洋崇仁县第二中学刘宏成萍乡市第四中学刘凌焜吉安市第二中学二等奖(123名)姓名学校姓名学校陈佳民江西省临川第二中学王俊杰景德镇市第二中学刘鹏吉安市第八中学张翔江西省高安中学郭泽卿吉安市朝宗实验学校钟文南昌市第十中学郑程婺源县婺源中学陈星蓉石城县第二中学江雅雯景德镇市一中分校邓祖琪江西省高安中学盛博文南昌市第十中学王敬敬江西省临川第二中学郭儒乐上饶县第二中学孙津江西省高安中学曹煜永丰县恩江中学吴一鸣玉山文苑学校何致劼景德镇市一中分校张婧江西省高安中学项韬九江市同文中学冯丹颖江西省临川第二中学罗鸣樟树第三中学郑榕江西省高安中学方梦娟广丰县永丰中学江杰章上饶市第四中学李克诚江西省上高中学邹大卫景德镇市一中分校余毓敏江西省高安中学熊博奉新县第二中学金恺景德镇市一中分校万俊景德镇市第二中学程杰乐平市第五中学黄雯上饶县第六中学舒冠鑫进贤县第一中学吴雅琦江西省高安中学姚越上饶市第二中学马誉鑫南昌第二十七中学刘闽金溪县第一中学李高峰萍乡市第六中学李家恺婺源县婺源中学余阳九江市外国语学校汪建平万年县华茂学校李康荃乐平市第五中学黄诚景德镇市第二中学王博景德镇市第二中学赵杰江西省上高中学龚达巍新余市第四中学晏鹏江西省高安中学危宜萍江西省临川第二中学陶雨挺南昌铁路一中曾文华江西省临川第二中学赵继鸿乐平市第五中学鲁培江西省高安中学马晨景德镇市一中分校廖舒维南昌市第十中学曹绍平余干蓝天实验学校程振宇乐平市第五中学吴禹锟江西省高安中学刘文康景德镇市一中分校徐泽东乡县第二中学杨风波上饶县第二中学朱国栋南昌大学附属中学刘雨薇吉安市第二中学孙望舒南昌市第十中学潘俊九江市外国语学校李佳月景德镇市一中分校叶瑾瑜吉安市第二中学黄星晨贵溪市第二中学熊国帧南昌市第十中学江魏玮九江市外国语学校洪军景德镇市第二中学陈贤哲景德镇市第二中学徐承炜金溪县第一中学陈宇晖乐平市第五中学李经纬江西省宜春市第三中学易文翰九江市同文中学徐诗纯上饶县第六中学赖昕吉安市第八中学徐诗琦金溪县第一中学周佺吉水县第三中学吴丽丽江西省临川第二中学唐小龙余干蓝天实验学校欧阳力亚南昌市第十中学彭瑞光江西省高安中学蒋慧景德镇市第二中学龚辉新余市第一中学董杰江西省临川第二中学郑之成九江市外国语学校何叶冰新余市第四中学方政高安中学陈道勇上饶县第二中学王路通临川区第四中学石培涛乐平市第五中学郭朝望泰和县第三中学冷挺江西省上高中学郭磊信丰县黄泥中学吴闻九江市同文中学周浩雅上饶市第二中学刘子海吉安市朝宗实验学校胡翔上饶县第二中学杨坚江西师大附中张子巍贵溪市第二中学符绍舜上饶县第二中学江旭江西省高安中学郑浩上饶县第二中学曾芷雯南昌市第十中学徐春鹏鹰潭市第二中学尹君珺万安县第二中学彭星南昌县塔城中学钟晨嘉新余市第四中学张琼晶江西省宜春市第三中学徐辉乐平市第五中学胥啸南昌市第十中学齐玢婺源县婺源中学王恩靖乐平市第五中学梁竟宇景德镇市一中分校余一鹏婺源县婺源中学郑钊景德镇市第二中学吴雪萍大余县池江中学王赵博景德镇市一中分校余璐景德镇市一中分校刘齐瑞金市第二中学徐国秋广丰县永丰中学赖俊豪石城县第二中学三等奖(244名)姓名学校姓名学校王斌兴国县潋江中学杨文武弋阳县方志敏中学游世勋景德镇市第二中学李伟清宜黄县第二中学夏铭宇南丰县第二中学汪佩祺上高中学赵令华上饶县第二中学金克恒九江市外国语学校帅威九江市同文中学孙霄霓贵溪市第二中学高远南昌市广南学校付晨阳樟树第三中学罗贤亮景德镇市第二中学施雨婷南昌外国语学校黄帅景德镇市第二中学饶俊杰景德镇市第二中学陈赛昕萍乡市第四中学杨立浩兴国县潋江中学罗淞晖景德镇市第二中学梁梦吟江西省高安中学黄升上高中学李经纬萍乡市第四中学邹瞭望九江市外国语学校付彬彬南丰县第二中学倪伟焱九江市晨光中学章冬波进贤县第二中学章和夫九江市晨光中学郭泽宣九江市晨光中学蓝迪南昌市第十中学朱兴隆丰城市第一中学曾毓薇泰和县第四中学邓莹琪南昌第二十七中学刘振传永丰县恩江中学周韦博南昌市第十中学郑诗雨上饶市第二中学李颖鹏弋阳县方志敏中学罗泽坤景德镇市第二中学江文斌景德镇市第二中学项翔坚万年县第二中学郑丽霞上饶县第二中学冯冬发都昌县钱氏宗亲学校陈文万年县华兴学校黄良超贵溪市第二中学程昕瑞景德镇市第二中学梁婷东乡县第二中学叶宇哲萍乡市第四中学罗志宝新干县神政桥中学李晨辉南昌市湾里二中李琳遂川县泉江中学胡嘉文南昌大学附属中学段良平宁冈县龙江中学袁世政南昌市第一中学廖俊祺赣州市第七中学张汶喆吉安市第二中学冯瑜南昌市第一中学刘立伟南昌外国语学校邹循成石城县第二中学罗时江南昌市新城学校欧阳梓标婺源县婺源中学龚斌鄱阳县第二中学毛逢博玉山冰溪中学俞大刚婺源县婺源中学萧翔宇赣县第二中学温润石城县第二中学刘琼九江市实验中学官嘉男贵溪市第二中学李勤金溪县第一中学谢辉乐安县第一中学王司玺景德镇市第二中学周啟中瑞金市第二中学沈越吉安市第二中学万明杰南昌市第十中学周灿炜贵溪市第二中学张湲旭赣县第二中学郑济林九江市同文中学陈震涛永修县第三中学魏俊丰城市第一中学宋雪九江市同文中学俞骥昊南昌市第十中学易美琪永新县禾川中学王远飞南康市第六中学陈则贫景德镇市第二中学卢瑶江西省高安中学肖骏信丰县第二中学廖鹏崇仁县第一中学邱建维上饶市第二中学段灵修德安县共青中学晏文勇上高中学万伟进贤县第二中学陈向江西省上高中学雷斯嘉江西省高安中学陈宾九江市同文中学熊奇吉安市第五中学余月朦吉安市第二中学刘园林吉水县乌江中学吴璐芸南昌县莲塘第五中学刘欣安福县严田中学王艺超南昌市育新学校吴东昊江西师大附中丁磊丰城市第一中学张雄健南昌市第一中学周予杨南昌外国语学校王静新余市第十中学王嘉希南昌市第十中学章齐上饶市第二中学郑杨光龑乐平市第二中学刘衍民赣县第二中学杨果上犹中学蔡单景德镇市一中分校朱学林瑞金市第二中学王波文于都县第三中学蔡俊于都县第三中学刘万鹏南昌市第十中学温昱钦上犹中学吴际通贵溪市第二中学李言顺新余市第四中学段鹏湖口县凰村中学范智超景德镇市第二中学李祖泉广昌县第一中学陈阳萍乡市第四中学梅蒙九江市晨光中学王壮壮九江市外国语学校胡娅璇南昌市第十中学李睿智丰城市剑光中学易越江西省宜春中学廖望江西省宜春市第三中学文瑶万安县第二中学喻阳南昌市第十中学卢维国赣州厚德中学李帆江西师大附中黄长发高安市八景镇初级中学杨航萍乡市第二中学胡秉诚南昌市育新学校王志鵾安义县第二中学傅翀吉安市第五中学陈翌琪樟树第三中学廖松吉水县第三中学黄思成南昌市第十中学刘轶新余市第三中学熊志龙南昌市江安学校宋林泉赣县江口中学郭书旸于都县第三中学陈亮余干县第二中学查灶坤婺源思口中学江山都昌县东湖中学曾令健上犹县第二中学涂醒洲进贤县第一中学卢宇晨江西省上高中学刘智博吉水县第三中学黎云樟树第三中学陈嘉玉江西师大附中柯童南昌市育新学校徐权上饶市第二中学张健龙信丰县第四中学温开宝寻乌县博豪中学程雪妮鄱阳芝阳学校陈霖于都县第三中学陈隽景德镇市第二中学汪泽宇乐平市第五中学肖斌萍乡市第四中学朱正根萍乡市湘东云程实验学校甘灏霖萍乡市第四中学洪家铭东乡县第二中学赵雨豪萍乡市第六中学桓旭奉新县第二中学晏凌宇江西省上高中学何海明进贤县云桥中学沈雅婷九江市同文中学简嘉樟树第三中学刘辉南昌县莲塘第五中学刘挺樟树第三中学颜琛安福县城关中学张成樟树第二中学刘仁伟南昌市第二十三中学彭国琦宜春市第四中学周凯鹏吉水县第三中学陈睆清南昌市第三中学陈伟吉安市第八中学林庆国兴国县潋江中学唐树祝安远县第三中学华倩赣县江口中学朱劲涛瑞金市第三中学袁宏煜乐平市第五中学汪泽文景德镇市第二中学颜锴萍乡市莲花县城厢中学刘馨德赣县第二中学游宇翔上高中学易雪萍乡市上栗县上栗镇二中陈仔荣高安市灰埠镇初级中学徐丹九江市同文中学鄢盛尧丰城市第一中学吴海林遂川县瑶厦中学周祎晗南昌第二十八中学杨成龙南昌外国语学校董欣茹弋阳县方志敏中学方雅文南昌市第十中学高康奇鄱阳芝阳学校袁志强南康市第五中学刘衍林瑞金英才学校杨晨浩玉山冰溪中学施逸文九江市金安中学李舒玲婺源县婺源中学余涛进贤县第二中学金鑫德安县聂桥中学钟志宏江西省宜春中学徐翰超九江市第六中学李谷瑞金市第二中学吴伟林会昌实验学校郭飞飞信丰大阿中学易梦媛新余市第四中学陈浩华萍乡市第六中学程梓瑶武宁县第二中学刘叶永修县马口中学赖志坚万载县三兴初中宋成奉新县第二中学王仲钦江西省上高中学彭豪泰和县第四中学徐宗奕南昌市洪都中学陈中演樟树第三中学宋志军吉安市朝宗实验学校周煜吉水县第三中学周凌昊南昌市第三中学陈天书新余市第四中学赖清华龙南县第二中学何航广丰立达学校周雁南上犹中学胡锦江西省铜鼓第二中学王嘉程上饶县第六中学彭成吉安市朝宗实验学校王莹九江市同文中学张凌飞万安县第二中学陈吉雨南昌市育新学校梁宇修水县一中刘东园于都县第二中学郑静芳婺源江湾中学王钰芒上饶市第二中学赵洋南康市第三中学肖亮南昌县蒋巷中学吕云鹏大余新城中学胡玮伊南昌市外国语学校向万晓修水县一中叶琦玉山一中文苑学校宁可九江市晨光中学李瑾涵萍乡市第四中学。

两道2008年浙江省数学竞赛试题的探究

两道2008年浙江省数学竞赛试题的探究

围绕证 明 目标将该式化成前 /项和 的形式 , t 有
无 功 而 返 ;要 么 直 接 运 用 C uh 不 等 式 得 到 acy

(+) +)”化证 击妾( S≥, 为明 +≥÷≥ S .4转 m 1
事实上 , 用 C uh 等式 完全 可 以, 是要 掌握运 运 acy不 但
Y ∈R) 点 对应 的复数为 = cs 3 i i0 , 5 o0+ s 0( ∈R) 根 据 n .
题就可迎刃而解了. 命题者提供 的解法有 2种 : 一是利 用坐 标运算 直接将“ 等腰 ” 直角 ” 2个 条件转化 为方程式 , 与“ 这
再通过联立 方程消元、 化简得到点 P的轨 迹方程 ; 二是借 助
圆的参 数方程 中参 数 0 表示 出点 P与点 所 对应 的参数 , 再通过 代入法求得点 P的轨 迹方程. 应该说 这 2种 方法 都 不错 , 但作为参加竞赛 的学生 , 了复数的有关 知识与方法 有
很多 教 师都 觉 得近 几 年有 些 数学 竞赛 试题 有点 “ 变
昧” , 了 难题 、 偏题太 多 , 有时一道试题 全省居然 没有一位学
生能得分 , 有些 本来 对数学充 满兴趣 与热情 的学生 接触 这 些试题后 , 只能 “ 望题 兴 叹 ” 从 此对 数学 “ , 敬而 远 之” 因 .
排列 ) 求 P点的轨迹方程. , (0 8年浙江省数学竞赛试题 ) 20
分析
本题第 ( ) 1 小题纯粹是送分 题 , 了解椭 圆几何性
质的同学都能很快地得到答案 a=5 b ; ( ) , =3 第 2 小题从 运 动的角度构造 了一个等腰直角 △ P, 从该 三角形中可知 P
化 了. 笔者认为 , 作为竞赛选手应该 好好补 习一下该部 分 内 容, 它将使你 如虎 添翼. 例 2 设 非负 等差 数列 { 的公差 d , S a} #O 记 为数列

2008年全国中学生数学能力竞赛决赛试题初三年级组

2008年全国中学生数学能力竞赛决赛试题初三年级组

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《数学周报》杯2008年全国初中数学竞赛试题及详解

《数学周报》杯2008年全国初中数学竞赛试题及详解

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x ,y 满足;32424=-x x ,y 4+y 2=3,则44x +y 4的值为( ). (A)7 (B)2131+ (C) 2137+ (D)5 2.把一枚六个面编号分别为王,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m ,n ,则二次函数y=x 2+mx+n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( ).(A)5/12 (B)4/94 (c)17/36 (D)1/23.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可确定的不同直线最少有( ).(A)6条 (B) 8条 (C)10条 (D)12条4.已知AB 是半径为1的圆0的一条弦,且AB=a<1.以AB 为一边在圆O 内作正△ABC 。

点D 为圆O 上不同于点A 的一点,且DB=AB=a ,DC 的延长线交圆0于点E ,则AE 的长为( ). (A)a 25 (B)1 (C)23 (D)a 5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ).(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种二、填空题(共5小厦,每小题6分,满分30分)6.对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为:u*v=uv+v .若关于x 的方程x* (a*x)=-41有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 .7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是分钟.8.如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点, AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为.9.△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心,作DE∥BC,分别与AB,A C相交于点D,E,则DE的长为10.关于x,y的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解为.三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)11.在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3(1) 用b表示k;(2) 求△OAB面积的最小值.12.是否存在质数p.q,使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=O有有理数根?13,是否存在一个兰边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一内角2倍的△AB C 证明你的绪论,14.从1,2,…,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n的最小值.中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x y ,满足 42424233y y x x -=+=,,则444y x+的值为( ).(A )7 (B )12(C ) 72+ (D )5 【答】(A ) 解:因为20x >,2y ≥0,由已知条件得212184x +==, 21122y --+==, 所以 444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7. 2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m ,n ,则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( ).(A )512 (B )49 (C )1736 (D )12【答】(C )解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数. 由题意知∆=24m n ->0,即2m >4n .通过枚举知,满足条件的m n ,有17对. 故1736P =.3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( ).(第3题)(A )6条 (B ) 8条 (C )10条 (D )12条【答】(B )解:如图,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E ,F 中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线.所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.4.已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且1AB a =<.以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D 为圆O 上不同于点A 的一点,且DB AB a ==,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( ).(A(B )1 (C(D )a 【答】(B )解:如图,连接OE ,OA ,OB . 设D α∠=,则120ECA EAC α∠=︒-=∠.又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒- 120α=︒-,所以ACE △≌ABO △,于是1AE OA ==.5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连(第4题)续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ).(A )2种 (B )3种 (C )4种 (D )5种【答】(D )解:设12345a a a a a ,,,,是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.首先,对于1234a a a a ,,,,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.又如果i a (1≤i ≤3)是偶数,1i a +是奇数,则2i a +是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.所以12345a a a a a ,,,,只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件: 2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3;4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1.二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为:u v uv v *=+.若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 .【答】0a >,或1a <-.解:由1()4x a x **=-,得 21(1)(1)04a x a x ++++=, 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩,,解得,0a >,或1a <-. 7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.【答】4.解:设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米.每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则s y x =-66. ①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则s y x =+33. ②由①,②可得 x s 4=,所以 4=xs . 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.8.如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为 .【答】9.解:如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB .又//MF AD ,所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠,所以 12FN MN AB ==. 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9.9.△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,则DE 的长为 . 【答】163. 解:如图,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r ,BC 边上的高为a h ,则11()22a ABC ah S abc r ==++△, 所以 a r a h a b c=++.因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,因此a a h r DE h BC-=, 所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++, 故 879168793DE ⨯+==++(). 10.关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 .【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x ,y 都是偶数.设2,2x a y b ==,则22104()a b a b +=-,同上可知,a ,b 都是偶数.设2,2a c b d ==,则2252()c d c d +=-,所以,c ,d 都是偶数.设2,2c s d t ==,则2226()s t s t +=-,于是 22(13)(13)s t -++=2213⨯,其中s ,t 都是偶数.所以 222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<. 所以13s -可能为1,3,5,7,9,进而2(13)t +为337,329,313,289,257,故只能是2(13)t +=289,从而13s -=7.于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,;,因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)11.在直角坐标系xOy 中,一次函数b kx y +=0k ≠()的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++.(1) 用b 表示k ;(2) 求△OAB 面积的最小值.解:(1)令0=x ,得0y b b =>,;令0=y ,得00b x k k=-><,. 所以A ,B 两点的坐标分别为0)(0)bA B b k-(,,,,于是,△OAB 的面积为 )(21kb b S -⋅=. 由题意,有3)(21++-=-⋅b kb k b b , 解得 )3(222+-=b b b k ,2b >. ……………… 5分(2)由(1)知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-≥1027+, 当且仅当1022b b -=-时,有S =102+=b ,1-=k 时,不等式中的等号成立.所以,△OAB 面积的最小值为1027+. ……………… 15分12.是否存在质数p ,q ,使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根?解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令2224q p n ∆=-=,其中n 是一个非负整数.则2()()4q n q n p -+=.……………… 5分由于1≤q n -≤q +n ,且q n -与q n +同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形:222q n q n p -=⎧⎨+=⎩,,24q n q n p -=⎧⎨+=⎩,, 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩,, 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩,, 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩, 消去n ,解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+, , , , . ……………… 10分对于第1,3种情形,2p =,从而q =5;对于第2,5种情形,2p =,从而q =4(不合题意,舍去);对于第4种情形,q 是合数(不合题意,舍去).又当2p =,q =5时,方程为22520x x -+=,它的根为12122x x ==,,它们都是有理数.综上所述,存在满足题设的质数. ……………… 15分13.如图,△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===,,,a b c ,,都是整数,且a b ,的最大公约数为2.点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心,且90GIC ∠=︒.求△ABC 的周长.解:如图,延长GI ,与边BC CA ,分别交于点P Q ,.设重心G 在边BC CA ,上的投影分别为E F ,,△ABC 的内切圆的半径为r ,BC CA ,边上的高的长分别为a b h h ,,易知CP=CQ ,由 PQC GPC GQC S S S =+△△△,可得 ()123a b r GE GF h h =+=+, 即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△, 从而可得 6ab a b c a b ++=+. ……………… 10分因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合,所以,△ABC 不是正三角形,且b a ≠,否则,2a b ==,可得2c =,矛盾.不妨假设a b >,由于()2a b =,,设()1111221a ab b a b ===,,,,于是有1111126a b ab a b a b =++为整数,所以有11()12a b +,即()24a b +. 于是只有1410a b ==,时,可得11c =,满足条件.因此有35a b c ++=.所以,△ABC 的周长为35.……………… 15分(第13题答案)14.从1,2,…,9中任取n 个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n 的最小值.解:当n =4时,数1,3,5,8中没有若干个数的和能被10整除.……………… 5分当n =5时,设125a a a ,,,是1,2,…,9中的5个不同的数.若其中任意若干个数,它们的和都不能被10整除,则125a a a ,,,中不可能同时出现1和9;2和8;3和7;4和6.于是125a a a ,,,中必定有一个数是5.若125a a a ,,,中含1,则不含9.于是不含4(4+1+5=10),故含6;于是不含3(3+6+1=10),故含7;于是不含2(2+1+7=10),故含8.但是5+7+8=20是10的倍数,矛盾.若125a a a ,,,中含9,则不含1.于是不含6(6+9+5=20),故含4;于是不含7(7+4+9=20),故含3;于是不含8(8+9+3=10),故含2.但是5+3+2=10是10的倍数,矛盾.综上所述,n 的最小值为5.……………… 15分。

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛
秀洲区评奖结果公告
2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛于2008年4月6日举行,我区有部分学生参加本次竞赛,经成绩评定,确定秀洲区团体优胜3名(按各校参赛学生最高前五名总分评定),个人一等奖23名,二等奖49名,三等奖89名,现将结果公布如下:团体第一名:秀洲现代实验学校
团体第二名:油车港镇中学
团体第三名:王江泾镇中学
个人一等奖(23名)
个人二等奖(49名)
个人三等奖(89名)
下列同学在初赛中取得优异成绩,经嘉兴市教育研究院、嘉兴市数学会复评,将于4月23日参加2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛。

复赛时间:2008年4月27日下午1:00——3:00
复赛地点:嘉兴市实验初级中学(嘉兴市洪波路洪声路4号)
考点联系人:孙松林(副校长,83911308)
请有关学校做好参赛组织工作(特别要注意安全!)
秀洲区教文体局教研室
2007年4月14日。

全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案2008

全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案2008

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分)(1)已知实数x y ,满足 42424233y y x x -=+=,,则444y x+的值为( A ). (A )7 (B )113+(C )713+ (D )5 解:因为20x >,2y ≥0,由已知条件得212444311384x ++⨯⨯+==, 2114311322y -++⨯-+==, 所以444y x +=22233y x ++-2226y x=-+=7. (2)把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为n m ,,则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( C ).(A )512 (B )49 (C )1736(D )12 解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数.由题意知∆=24m n ->0,即2m >4n .通过枚举知,满足条件的m n ,有17对. 故1736P =. (3)有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( B ).(A )6条 (B ) 8条 (C )10条 (D )12条解:如图,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E ,F 中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线.所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.(4)已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且1AB a =<.以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D为圆O 上不同于点A 的一点,且DB AB a ==,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( B ).(A )52a (B )1 (C 3(D )a 解:如图,连接OE ,OA ,OB . 设D α∠=,则120ECA EAC α∠=︒-=∠. 又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-, 所以ACE △≌ABO △,于是1AE OA ==. (5)将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( D ).(A )2种 (B )3种 (C )4种 (D )5种解:设12345a a a a a ,,,,是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.首先,对于1234a a a a ,,,,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.又如果i a (1≤i ≤3)是偶数,1i a +是奇数,则2i a +是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.所以12345a a a a a ,,,,只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件:2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3;4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1.二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)(6)对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为:u v uv v *=+.若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 .【答】0a >,或1a <-.解:由1()4x a x **=-,得21(1)(1)04a x a x ++++=, 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩,,解得,0a >,或1a <-.(7)小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.【答】4.解:设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米.每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则s y x =-66. ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则s y x =+33. ② 由①,②可得 x s 4=,所以 4=xs . 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.(8)如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为 .【答】9.解:如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB .又//MF AD ,所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠,所以 12FN MN AB ==. 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9. (9)△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,则DE 的长为 . 【答】163.解:如图,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r ,BC 边上的高为a h , 则11()22a ABC ah S abc r ==++△, 所以a r a h abc =++. 因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,因此 a a h r DE h BC-=, 所以(1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c +=++, 故879168793DE ⨯+==++(). (10)关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 .【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x ,y 都是偶数.设2,2x a y b ==,则22104()a b a b +=-,同上可知,b a ,都是偶数.设2,2a c b d ==,则2252()c d c d +=-,所以,c ,d 都是偶数.设2,2c s d t ==,则2226()s t s t +=-,于是22(13)(13)s t -++=2213⨯,其中s ,t 都是偶数. 所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<. 所以13s -可能为1,3,5,7,9,进而2(13)t +为337,329,313,289,257,故只能是2(13)t +=289,从而13s -=7.有62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,;,故 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)(11)在直角坐标系xOy 中,一次函数b kx y +=0k ≠()的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++.(Ⅰ)用b 表示k ;(Ⅱ)求△OAB 面积的最小值.解:(Ⅰ)令0=x ,得0y b b =>,;令0=y ,得00b x k k=-><,. 所以A ,B 两点的坐标分别为0)(0)bA B b k-(,,,,于是,△OAB 的面积为)(21kb b S -⋅=. 由题意,有 3)(21++-=-⋅b k b k b b , 解得 )3(222+-=b b b k ,2b >. …………………… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-1027+,当且仅当1022b b -=-时, 有S =, 即当102+=b ,1-=k 时,不等式中的等号成立.所以,△OAB 面积的最小值1027+. ……………… 15分(12)已知一次函数12y x =,二次函数221y x =+. 是否存在二次函数23y ax bx c =++,其图象经过点(-5,2),且对于任意实数x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值1y ,2y ,3y ,都有1y ≤3y ≤2y 成立?若存在,求出函数3y 的解析式;若不存在,请说明理由.解:存在满足条件的二次函数.因为 2122(1)y y x x -=-+221x x =-+-2(1)x =--≤0,所以,当自变量x 取任意实数时,1y ≤2y 均成立.由已知,二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(-5,2),得2552a b c -+=. ①当1x =时,有122y y ==,3y a b c =++.由于对于自变量x 取任意实数时,1y ≤3y ≤2y 均成立,所以有2 ≤a b c ++≤2,故2a b c ++=. ②由①,②,得 4b a =,25c a =-,所以234(25)y ax ax a =++-.……… 5分当1y ≤3y 时,有 2x ≤24(25)ax ax a ++-,即 2(42)(25)ax a x a +-+-≥0,所以二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零, 故20(42)4(25)0a a a a >⎧⎨---≤⎩,. 即20(31)0,a a >⎧⎨-≤⎩,所以13a =.……………… 10分 当3y ≤2y 时, 有 24(25)ax ax a ++-≤21x +, 即2(1)4(51)a x ax a --+-≥0,所以二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ,函数值大于或等于零, 故210(4)4(1)(51)0a a a a ->⎧⎨----≤⎩,. 即21(31)0,a a <⎧⎨-≤⎩,所以 13a =. 综上,13a =,443b a ==, 1253c a =-=. 所以,存在二次函数23141333y x x =++,在实数范围内,对于x 的同一个值,都有1y ≤3y ≤2y 成立. ……………… 15分(13)是否存在质数p ,q ,使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根?解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令2224q p n ∆=-=,其中n 是一个非负整数.则2()()4q n q n p -+=. ……………… 5分 由于1≤q n -≤q +n ,且q n -与q n +同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形: 222q n q n p -=⎧⎨+=⎩,, 24q n q n p -=⎧⎨+=⎩,, 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩,, 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩,, 24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩, 消去n , 解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+, , , , . ……………… 10分对于第1,3种情形,2p =,从而q =5;对于第2,5种情形,2p =,从而q =4(不合题意,舍去);对于第4种情形,q 是合数(不合题意,舍去).又当2p =,q =5时,方程为22520x x -+=,它的根为12122x x ==,,它们都是有理数.综上所述,存在满足题设的质数. ……………… 15分(14)如图,△ABC 的三边长BC a CA b AB c ===,,,a b c ,,都是整数,且a b , 的最大公约数为2.点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心,且90GIC ∠=︒.求△ABC 的周长.解:如图,延长GI ,与边BC CA ,分别交于P Q ,.设重心G 在边BC CA ,上的投影分别为E F ,,△ABC 的内切圆的半径为r ,BC CA ,边上的高的长分别为a b h h ,,易知CP =CQ ,由PQC GPC GQC S S S =+△△△, 可得()123a b r GE GF h h =+=+, 即 222123ABC ABC ABC S S S a b c a b⎛⎫⨯=⨯+ ⎪++⎝⎭△△△, 从而可得 6ab a b c a b++=+. ……………… 10分因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合,所以,△ABC 不是正三角形,且b a ≠,否则,2a b ==,可得2c =,矛盾. 不妨假设a b >,由于()2a b =,,设()1111221a a b b a b ===,,,, 于是,有1111126a b ab a b a b =++为整数, 所以有11()12a b +,即()24a b +.于是只有1410a b ==,时,可得11c =,满足条件.因此有35a b c ++=.所以,△ABC 的周长为35. ……………… 15分试题使用说明各位使用者:本试题均是经过精心收集整理,目标是为广大中小学教师或家长在教学或孩子教育上提供方便!附:如何养成良好的数学学习习惯“习惯是所有伟人的奴仆,也是所有失败者的帮凶.伟人之所以伟大,得益于习惯的鼎力相助,失败者之所以失败,习惯的罪责同样不可推卸.”由此可知,良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝.良好的数学学习习惯有哪些呢?初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯.一、课堂学习的习惯课堂学习是学习活动的主要阵地.课堂学习习惯主要表现为:会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作.1.会笔记上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写,而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理.做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼.要经常翻阅笔记,加强理解,巩固记忆.另外,做笔记还能使你的注意力集中,学习效率更高.2.会比较在学习基础知识(如概念、定义、法则、定理等)时,要运用对比、类比、举反例等思维方式,理解它们的内涵和外延,将类似的、易混淆的基础知识加以区分.如找出“同类项”和“同类二次根式”,“正比例函数”和“一次函数”,“轴对称图形”和“中心对称图形”,“平方根”和“立方根”,“半径”和“直径”,等概念的异同点,达到合理运用的目的.3.会质疑“学者要会疑”,要善于发现和寻找自己的思维误区,向老师或同学提问.积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径,同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑,锻炼自己的批判性思维.学习中哪怕有一点点的问题,也要大胆提问,不能留下知识上的“死角”,否则问题就会积少成多,为后续学习设置障碍.4.会分析一是要认真审题:先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题,把一些已知条件填在图形上,并将一些关键词做好标记,达到显露已知条件,同时又挖掘隐含条件的目的.如做几何体时,将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记,避免忘记.再如做应用题时,象“不超过”“不足”等字眼,就暗示着存在不等量关系.只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题;二是要认真思索:依据题目中题设和结论,寻找它们的内在联系,由题设探求结论,即“由因求果”,或从结论入手,根据问题的条件找到解决问题的方法,即“由果索因”,或将两种方法结合起来,需找解题方法.要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等,拓展思路,训练自己的求异思维.5.会合作英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果,我给你一个苹果,我们每人只有一个苹果;你给我一个思想,我给你一个思想,我们每人就有两个思想了”,这足以说明合作、交流的学习方式的重要性.我们主要的学习方式是自主学习,在独立思考的基础上,要适时地和同桌交流意见.在小组学习期间,要积极发表自己的观点和见解,倾听他人的发言,并作出合理的评判,以锻炼自己的表达能力和鉴别能力.二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分,它包括:复习、作业等.1.复习及时复习当天学过的数学知识,弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容.首先凭大脑的追忆,想不起来再阅读课本及笔记.在最短的时间内进行复习,对知识的理解和运用的效果才能最好,相隔时间长了去复习,其效果不明显,“学而时习之”就是这个道理.同时,要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习,使复习层层递进、环环紧扣,这样才能在正确理解知识的基础上,熟练地运用知识.2.作业会学习的同学都是当天作业当天完成,先复习,后做作业.一定要独立完成,决不能依赖别人.书写一定要整洁,逻辑一定要条理.对作业要自我检查,及时改正存在的错误,三、测试、检查的习惯1.认真总结测试、检查前,可以借助于笔记,把某一阶段的知识加以系统化、深化,弥补知识的缺陷,进一步掌握所学知识.2.认真反思测试、检查后,通过回顾反思,查清知识缺陷和薄弱环节,寻找失误的原因,改进学习方法,明确努力方向,使以后的测试、检查取得成功.良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素,但必须持之以恒.。

2008年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛试题

2008年全国初中数学竞赛浙江赛区复赛试题
间是 (
A.75 S .

D.2
12 04
12 04
12 04

B.6S C.5S D. 4S
2 如 图1 所示 ,将 一张 边长 分别 为ab (> )的矩 形 纸片 , ab A D 叠 , 点C BC 折 使 与点A重 合 , 折痕E 长 为 ( 则 肭
行也不相交 ( 其中1 7 , 是正整数) 那么 , . 当黑 、 自两个 甲壳
虫 各爬 行完第20 8 棱分 别停 止 在所 到 的正方体 顶 点 o 条 处 时 , 们之 间的距离是 ( 它 )
1 如下 流 程是 一个 数 的转 换 器 ,每次 输 入3 Q 个不 为零 的
效 , 转 换 器 转 换 后 输 出 3 动 皴 , , 吏 : 输 入 的 经 个 规律 Ⅱ 当
A. 5 4 个 B 4 个 .0 C 3 个 .9
D. 1 3 个
二 、 空题 ( 小题6 , 6 ) 填 每 分 共3分
7 .在平 行 四边 形A曰 D的边A C 曰和AD上分 别 取点E和 点F ,
C 曰 Biblioteka AF  ̄AE I A曰, =I A . = D,连结E 胶 对角 线Ac 于点 G, 则 3 4







3 6
9 3 2 4 8 7

5 6 2










1. 0 1 1张卡 片上 分别 写 有O l这 l个数 ,先 将它 们从 左 到  ̄9 O J
右 排成 一排 , 采 用 交换 相邻 两 张 卡片 位置 的方法 对 再

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题

2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题

(第2题)2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题(考试时间:120分钟)答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分.以下每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分)1. 已知011≠+=+--y x y x ,则xy 的值为( )(A) 1- (B) 0(C) 1(D) 22. 如图,直线l 1与直线l 2相交,∠α=60°,点P 在∠α内(不在l 1,l 2上).小明用下面的方法作P 的对称点:先以l 1为对称轴作点P 关于l 1的对称点P 1,再以l 2为对称轴作P 1关于l 2的对称点P 2,然后再以l 1为对称轴作P 2关于l 1的对称点P 3,以l 2为对称轴作P 3关于l 2的对称点P 4,……,如此继续,得到一系列点P 1,P 2,P 3,…,P n .若P n 与P 重合,则n 的最小值是( ) (A) 5(B) 6(C) 7(D) 83.甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛,如果任意安排四位同学的跑步顺序,那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是( ) (A)41 (B)61 (C)81 (D)1214. 如图,两个反比例函数xk y 1=和xk y 2=(其中1k >2k >0)在第一象限内的图象依次是C 1和C 2,设点P 在C 1上,PC ⊥x 轴于点C ,交C 2于点A ,PD ⊥y 轴于点D ,交C 2于点B ,则四 边形PAOB 的面积为( )(A) 21k k + (B) 21k k - (C) 21k k ⋅(D)21k k(第4题)5. 在平面直角坐标系中,如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点,将二次函数42762-+-=x xy 的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色,则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是( ) (A) 5(B) 6(C) 7(D) 86. 小明把棱长为4的正方体分割成了29个棱长为整数的小正方体,则其中棱长为1的小正方体有( ) (A) 22个 (B) 23个 (C) 24个 (D) 25个 7. 如图,⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切于点D ,与直角边AC 相交于点E ,且DE ∥BC .已知AE =22,AC =23,BC =6,则⊙O 的半径是( ) (A) 3(B) 4(C) 34(D) 328. 7条长度均为整数厘米的线段:a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<a 6<a 7,且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形.若a 1=1厘米,a 7=21厘米,则a 6=( )(A) 18厘米 (B) 13厘米 (C) 8厘米 (D) 5厘米二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分) 9. 若干名同学制作迎奥运卡通图片,他们制作的卡通图片张数的条形统计图如图所示,设他们制作的卡通图片张数的平均数为a ,中位数为b ,众数为c ,则 a ,b ,c 的大小关系为 . 10. △ABC 中,∠A 和∠B 均为锐角,AC =6,BC =33,且33sin =A ,则B cos 的值为 .11. 如图,四边形ABCD 中,∠A =∠BCD =90°,BC =CD ,E 是AD 延长线上一点,若DE =AB =3cm ,CE =24cm ,则AD 的长是 cm .12. 已知△ABC 为钝角三角形,其最大边AC 上有一点P (点P 与点A ,C 不重合),过点P 作直线l ,使直线l 截△ABC 所得的三角形与原三角形相似,这样的直线l 可作的条数是 .13.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.A DBCE(第11题)4图片张数(第9题)B(第7题)14. 如图,矩形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,点P 在矩形ABCD 内.若AB =4cm ,BC =6cm ,AE =CG =3cm ,BF =DH =4cm ,四边形AEPH 的面积为5cm 2,则四边形PFCG 的面积为 cm 2.三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分) 15.(本题满分12分)小王、小李两同学玩“石头、剪刀、布”的划拳游戏.游戏规则为:胜一次得3分,平一次得1分,负一次得0分,一共进行7次游戏,游戏结束时,得分高者为胜.(1) 若游戏结束后,小王得分为10分,则小王7次游戏比赛的结果是几胜几平几负? (2) 若小王前3次游戏比赛的结果是一胜一平一负,则他在后面4次比赛中,要取得怎样的比赛结果,才能保证胜小李?F CD G(第14题)16.(本题满分12分)在直角坐标系xOy 中,一次函数2++=b kx y 0k ≠()的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于3++OB OA .(1) 用b 表示k ;(2) 求△OAB 面积的最小值.17.(本题满分12分)如图,AB ,AC ,AD 是圆中的三条弦,点E 在AD 上,且AB =AC =AE .请你说明以下各式成立的理由: (1) ∠CAD =2∠DBE ; (2) DC BD AB AD ⋅=-22.ABDE C(第17题)18.(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上,OA =10厘米,OC =6厘米,现有两动点P ,Q 分别从O ,A 同时出发,点P 在线段OA 上沿OA 方向作匀速运动,点Q 在线段AB 上沿AB 方向作匀速运动,已知点P 的运动速度为1厘米/秒. (1) 设点Q 的运动速度为21厘米/秒,运动时间为t 秒,① 当△CPQ 的面积最小时,求点Q 的坐标; ② 当△COP 和△PAQ 相似时,求点Q 的坐标. (2) 设点Q 的运动速度为a 厘米/秒,问是否存在a的值,使得 △OCP 与△P AQ 和△CBQ 这两个三角形都相似?若存在,请求出a 的值,并写出此时点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.。

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王佳俊(绍兴市元培中学)
娄浙栋(绍兴市长城中学)
孟方杰(绍兴市昌安实验学校)
戴熠星(绍兴一中初中部)
章炎(绍兴市马山镇中)
俞东良(绍兴市长城中学)
蔡伟良(绍兴市锡麟中学)
王嘉丽(绍兴县华舍实验学校)
金忠良(绍兴县杨汛桥镇中)
严雪刚(绍兴市锡麟中学)
金伟锋(绍兴市树人中学)
初三组(31名)
沈超(绍兴文理学院附中)
何展羽(绍兴市建功中学)
徐建峰(绍兴市袍江中学)
蒋卓征(绍兴一中初中部)
马致远(绍兴市树人中学)
金标(绍兴市文澜中学)
何忆琳(绍兴一中初中部)
金倩倩(绍兴市树人中学)
陈天宇(绍兴市元培中学)
宋佳菲(绍兴市长城中学)
徐阆平(诸暨市天马学校)
蒋泽泽(诸暨市天马学校)
杨许莹(诸暨市天马学校)
闾程豪(嵊州中学)
戴恒帆(上虞市华维学校)
李斌彬(上虞市实验中学)
胡剑青(越城区皋埠镇中)
王琼琼(新昌县城关中学)
郑润坤(嵊州市城关中学)
过思甸(嵊州中学)
吕不己(新昌县城关中学)
顾尤佳(越城区皋埠镇中)
何琪琪(绍兴市长城中学)
张卡(绍兴市建功中学)
吴林丹(绍兴文理学院附中)
俞安怡(绍兴文理学院附中)
鲁逸沁(绍兴市建功中学)
张琳琪(绍兴一中初中部)
吴嘉辉(绍兴一中初中部)
孙靓(绍兴市建功中学)
宋嘉颖(绍兴市昌安实验学校)
吴能静(绍兴市元培中学)
蒋安杰(绍兴市文澜中学)
韩玲莺(绍兴市灵芝中学)
吴彬(绍兴市袍江中学)
杨基甸(绍兴市长城中学)
杨旻昊(绍兴市建功中学)
王琦(绍兴市建功中学)
凤于飞(绍兴一中初中部)
陈楠磊(绍兴市马山镇中)
娄贝智(绍兴市建功中学)
王培栋(绍兴市建功中学)
杨晰宇(绍兴市建功中学)
裘捷中(绍兴市建功中学)
王芳(绍兴市建功中学)
马旖格(绍兴市建功中学)
李嘉禾(绍兴市建功中学)
陈初阳(绍兴市马山镇中)
张铭玮(绍兴一中初中部)
绍兴县实验中学教育集团
上虞市春晖外国语学校
新昌县实验中学
绍兴市属级一等奖(44名)
初二组(25名)
强佳松(绍兴市建功中学)
汤栋坚(绍兴一中初中部)
任国军(绍兴市建功中学)(绍兴一中初中部)
邱晟(绍兴市建功中学)
夏泽青(绍兴市建功中学)
王东炜(绍兴市建功中学)
附件:
2008年全国初中数学竞赛(浙江赛区)
获奖名单(绍兴市部分)
浙江赛区一等奖(11名)
孔嘉(诸暨市天马学校)
宋恒帆(上虞市春晖外国语学校)
王忆萍(诸暨市天马学校)
傅振滔(诸暨市荣怀学校)
王磊(绍兴一中初中部)
顾杭松(诸暨市天马学校)
俞晓(嵊州市城关中学)
傅一鸣(绍兴县齐贤镇中)
凌周俊(诸暨市海亮学校)
赵凌云(绍兴县孙端中学)
徐栋(绍兴县兰亭中学)
朱权喜(绍兴县兰亭中学)
沈雪青(绍兴县齐贤镇中)
潭程凯(绍兴县华舍实验学校)
丁松鹤(绍兴县湖塘中学)
孙彬佳(绍兴县王坛中学)
于天棋(绍兴县钱清镇中)
陈吉园(绍兴县平水镇中)
张煜明(上虞市春晖外国语学校)
倪诗韵(上虞市实验中学)
陶宇帆(上虞市实验中学)
郑华(上虞市外国语学校)
潘敏刚(绍兴县安昌中学)
高圻烽(绍兴县湖塘中学)
金嫣红(绍兴县湖塘中学)
陈伟栋(上虞市实验中学)
高佳逸(上虞市实验中学)
马倩霞(上虞市春晖外国语学校)
陈孙杰(上虞市百官中学)
俞智琳(嵊州中学)
舒荧(嵊州市城关中学)
魏怡娴(嵊州中学)
方淳(诸暨市天马学校)
浙江赛区团体奖(1名)
诸暨市天马学校
绍兴市级一等奖(52名)
杨成(诸暨市海亮学校)
褚丁楠(诸暨市荣怀学校)
浙江赛区二等奖(27名)
肖琦琦(诸暨市天马学校)
黄宾虹(诸暨市海亮学校)
王丹东(嵊州市城关中学)
梁佳文(绍兴一中初中部)
施林锋(绍兴县钱清镇中)
王灵杰(嵊州市城关中学)
钱明(诸暨市天马学校)
谢宁宁(绍兴一中初中部)
朱挺(诸暨市荣怀学校)
汪健斐(上虞市华维外国语学校)
陈楷(绍兴市元培中学)
姚颖(绍兴市长城中学)
徐森强(绍兴市灵芝中学)
王斌(绍兴市建功中学)
单才华(绍兴市建功中学)
金佳琦(绍兴市灵芝中学)
傅煌强(绍兴市长城中学)
占梦婷(绍兴一中初中部)
钟煜(绍兴县钱清镇中)
顾宗浩(上虞市实验中学)
魏科(绍兴县湖塘中学)
孔伟楠(诸暨市海亮学校)
何诚(绍兴县秋瑾中学)
陶学成(上虞市实验中学)
陈文杰(诸暨市荣怀学校)
裘陆森(诸暨市荣怀学校)
王晓倩(绍兴文理学院附中)
张昆鹏(越城区东湖镇中)
陈立(越城区皋埠镇中)
钱金涛(诸暨市天马学校)
金柯(诸暨市海亮学校)
盛达(绍兴市建功中学)
封江涛(绍兴市马山镇中)
张晨霞(绍兴市元培中学)
任文倩(绍兴市建功中学)
蔡诗瑶(绍兴一中初中部)
宋颖泽(绍兴一中初中部)
骆灵嫒(绍兴市建功中学)
王冬妮(绍兴一中初中部)
杜娜(绍兴一中初中部)
张楠(绍兴市建功中学)
叶其琛(绍兴市建功中学)
周煜杰(绍兴一中初中部)
骆怡(绍兴市建功中学)
宋卓尔(嵊州市城关中学)
王樱蓓(诸暨市天马学校)
吕周瑜(诸暨市荣怀学校)
朱嘉伟(诸暨市荣怀学校)
金晶(诸暨市海亮学校)
汪晓舰(诸暨市海亮学校)
吴忆林(绍兴市建功中学)
张冬华(绍兴市袍江中学)
宋耀东(绍兴市建功中学)
孙帅帅(绍兴市灵芝中学)
陆择野(绍兴市元培中学)
林志成(绍兴一中初中部)
许佳琦(绍兴县齐贤镇中)
潘骅杰(嵊州市城关中学)
屠航(诸暨市荣怀学校)
徐文杰(上虞市百官中学)
徐鹏飞(越城区鉴湖镇中)
汪帅男(嵊州市城关中学)
吴炎炳(新昌县实验中学)
谢枕辉(上虞市实验中学)
袁茜煜(嵊州中学)
何宏炜(绍兴县秋瑾中学)
孙宏杰(诸暨市荣怀学校)
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