新编基础物理学课后答案

习题一

1-1.质点运动学方程为：cos()sin(),r a t i a t j btk ωω=++����其中a，b，ω均为正常数，求

质点速度和加速度与时间的关系式。

分析：由速度、加速度的定义，将运动方程()r t �

对时间t 求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。

解：/sin()cos()==−++�����

v dr dt a t i a t j bk

ωωωω2

/cos()sin()a dv dt a t i t j ωωω⎡⎤==−+⎣⎦

����1-2.一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2/d d v v K t −=，式中K 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为0Kx v v e −=。其中0v 是发动机关闭时的速度。分析：要求()v v x =可通过积分变量替换dx

dv

v dt dv a ==，积分即可求得。证：

2d d d d d d d d v x v

v t x x v t v K −==⋅=d Kdx v =−v

∫∫−=x x K 0

d d 10v v v v ,Kx −=0

ln v v

0Kx

v v e −=1-3．一质点在xOy 平面内运动，运动函数为22,48x t y t ==−。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。

分析：将运动方程x 和y 的两个分量式消去参数t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的

运动学方程)(t r �

表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得()v t �和()a t �，把时间代入可得

某时刻质点的位置、速度、加速度。

解：（1）由2,x t =得：,2

x t =代入248

y t =−可得：28y x =−，即轨道曲线。

画图略

（2）质点的位置可表示为：2

2(48)r ti t j

=+−�

�

�

由/v dr dt =��则速度：28v i tj

=+���

由/a dv dt =��则加速度：8a j

=��

则：当t=1s 时，有24,28,8r i j v i j a j

=−=+=������

��当t=2s 时，有48,216,8r i j v i j a j

=+=+=���

�����1-4．一质点的运动学方程为22(1)x t y t ==−，，x 和y 均以m 为单位，t 以s 为单位。（1）求质点的轨迹方程；（2）在2t s =时质点的速度和加速度。

分析同1-3.

解：（1）由题意可知：x≥0，y≥0，由2x t =，，可得t =

,代入2

(1)y t =−

1=−，即轨迹方程

（2）质点的运动方程可表示为：22

(1)r t i t j

=+−���

则：/22(1)v dr dt ti t j

==+−����

/22a dv dt i j

==+����

因此,当2t s =时，有242(/),22(/)

v i j m s a i j m s =+=+������

1-5．一质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为2

012

s v t bt =−，其中v 0，b 都是常量。

（1）求t 时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b；（3）到加速度大小等于b 时质点沿圆周运行的圈数。

分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程()t s s =，求导可求出质点的运动速率dt

ds v =

，因而，dt

dv a =τ，2n v a ρ=，00n a a a n ττ=+���，2

2n a a a +=τ，当b a =时，可求出t，代

入运动学方程()t s s =，可求得b a =时质点运动的路程，R

s

π2即为质点运动的圈数。解：（1）速率：0ds

v v bt dt ==−，且dv b dt

=−加速度：2200000

()v bt dv v a n b n dt R

τρ−=+=−+�����

则大小：a =

=……………………①方向：()bR bt v 2

0tan −−

=θ（2）当a=b 时，由①可得：0

v

t b

=（3）当a=b 时，0v t b =，代入201,2s v t bt =−可得：2

02v s b

=

则运行的圈数2

24==

v s N R bR

ππ1-9．汽车在半径为400m 的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为-110m s ⋅，切向加速度的大小为-20.2m s ⋅。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。

分析：由某一位置的ρ、v 求出法向加速度n a ，再根据已知切向加速度τa 求出a 的大小和方向。

解：法向加速度的大小22

2100.25(/),400

===n v a m s ρ方向指向圆心

总加速度的大小

20.32(/)

=a m s 如图1-9，tan 0.8,3840',

n

a

a ταα===°则总加速度与速度夹角9012840'

θα=°+=°1-10.质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为0v ，与水平方向成α角．求质点到

达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径