第4章状态反馈

4 4
–3 · x3
x3
r
– – –
u
+
. x2 .

. x2 x1

x1
10
Y
例：给定系统如图。试设计该系统的状态反馈阵K，使闭 环系统满足下列动态指标： （1）输出超调量 5%； （2）峰值时间t0.5S。
r + u – – –
1 S+6 K3
K2 K1
x3
1 x2 S+2
1 x1 S
证明：必要性 假定被控系统是不完全能控的，按能控性分解可知一定 存在一个非奇异变换阵使 ~ ~ A ~ A11 12 ~ –1 B1 ~ –1 A=T AT = B=T B= ~ 0 A22 0 ~ ~ 等价变换的反馈增益矩阵为 K=KT=[k1 ~ 2] k ~ ~~ 加状态反馈后 det[SI–(A–BK)] ~ ~ ~ ~ ~ ~ SI–(A11–B1K1) –(A12–B1K2) =det ~ 0 SI–A22 ~ ~ ~ ~ =det[ SI–(A11–B1K1)] · SI–A22] det[
闭环系统特征多项式为：fk(S)=S3+(3+k3)S2+(2+k2)S+k1
(4)上述两个特征多项式中对应的系数相等
3+k3＝4 解得 k1=4
2+k2=6 k2=4
4=k1
k3=1 x1 u=r–KX=r–[k1k2k3] x2 = r–4x1–4x2–x3 x3
–2
状态反馈系统的结构图为
+ + 1
含状态观测器的系统
0
B U + · X +
X
Y
C ¯ Y
+ –
A
· G + ^ X + + A ^ X
B
C
^ Y
^ X
e
G： n × m阶状态观测器反馈增益矩阵
2、状态观测器的存在性 定理：对线性定常系统0=(A，B，C)，状态观测器存在 充要条件是0必须是状态完全能观测或不能观测子系统 为渐近稳定。 3、全维状态观测器的设计 ^ ^ 原系统的输出为Y=CX，状态观测器的输出为Y=CX ^ ^ ^ ¯ 输出误差矢量为 Y=Y–Y=CX–CX=C(X–X） ¯ 将Y反馈至观测器的输入端，通过设计矩阵G使状态矢量 ^ 的估计值X向状态矢量的真实值X逐步逼近。 · ^ ^ ¯ 状态观测器的状态方程为 X=AX+BU+GY ^ ¯ 将 Y =C(X–X）代入上式
~ ~ ~ ~ =det[ SI–(A11–B1K1)] · SI–A22] det[ ~ 上式表明状态反馈只能改变被控对象的能控部分A11的 ~ 极点，不能改变不能控部分A22的极点，因此整个系统 完全能控是任意配置极点的必要条件。
充分性 若被控系统状态完全能控，那么闭环系统极点必能任意 配置。设状态完全能控系统具有能控标准形
· ^ ^ =(A–GC)X+BU+GCX ^ ^ ¯ X=AX+BU+GC (X–X）
状态观测器的系数矩阵
^ ¯ 令状态误差矢量为 X=X–X . . . ^ ^ ¯ 则 X=X–X =AX+BU–(A–GC)X – BU – GCX ^ ^ = (A–GC)X–(A–GC)X =(A–GC)(X–X) . ¯ ¯ ¯ ¯ X=(A–GC)X 此方程的解：X=e(A–GC)tX(0) 可以看出，只要选择观测器的系数矩阵(A–GC)的特征值 都具有负实部，则状态误差矢量X就可逐渐衰减到零， 观测器便是稳定的。只有在状态观测器的极点可以任意配 置情况下才能做到。极点可以任意配置，即要求状态能观 测。 当原系统=(A，B，C)为状态不完全能观测时，将系统 按能观测性进行分解， · ~ ~ ~ ~ X1 A11 0 X1 ~ B1 –1ATX+ T–1BU · =~ ~ ~ + ~ U=T ~ X2 A21 A22 X2 B2
rank [B (A–BK )B (A–BK )2B … (A–BK )n–1B] =rank[B AB A2B…An–1B] 即状态反馈不改变原系统的能控性，却不一定保持原系统 的能观测性。 2、状态能观测性 输出反馈不改变原系统的能控性和能观测性，即 rank
C C C (A–BHC) =rank CA … … C (A–BHC) n–1 CAn–1
A=
0 0
…
1 0 …
0 … 1 … …
0 0
…
0 0 b= … 0 1
C=[bn bn–1… b1]
–an –an–1 –an–2 … –a1
且
G(S) =
b1Sn–1+ b2Sn–2+ …+ bn–1 S+bn Sn + a1Sn–1+…+ an–1 S+an
若K=[k1 k2…kn]， 则(A–bK)为
8+k3=114.2
所以k1=10000， k2=1508， k3=106.2
4.4 状态观测器 不能直接测量的状态变量给状态反馈的实现带来了困难， 为此提出重构状态，即状态观测器。 状态观测器：构造一个系统，它以原系统的输入和输出 作为它的输入量，重新构造全部状态变量。 例 1 · 0 1 X= X+ 0 u Y=[0 1]X –1 0 rank C = rank 0 1 =2 CA –1 0 但由输出不能直接观测到x1
故|3 |=10 |1 |，3= – 100
期望特征多项式： f *(S) =(S+100)(S2+14.2S+100) =S3+114.2 S2+1520S+10000 给定系统的传递函数： 1 1 = 3 (S+6)(S+2)(S) S +8S2+12S
给定系统的能控标准形状态空间表达式：
·
Y(t)
r(t) + –
U(t) B
+
· X +
A
X
C
Y(t)
K X=AX+BU 其中U=r–KX Y=CX U—r维控制矢量 r—r维输入矢量 K—r×n阶反馈增益矩阵 X=AX+B( r–KX)=(A–BK)X+Br Y=CX 系统简记为 K=[(A–BK ) ，B，C]
· ·
2、输出反馈 将被控系统采用输出矢量的线性反馈而构成的闭环控制 系统。 · r(t) + U(t) Y(t) + X X B C – + A H
· x1 · x2 = · x3
0 1 0 0 0 1 0 –12 –8
x1 0 x2 + 0 u y= 1 0 0 x3 1
x1 x2 x3
设：K=[k1 k2 k3] 带反馈K的闭环系统特征多项式 fk(S)= |SI–(A–bK)|
S –1 0 = 0 = S3+(8+k3)S2+(12+k2) S+k1 S –1 +k1 12+k2 S+8+k3 比较fk(S)与f *(S)得 k1=10000 12+k2=1520
A–bK=
0 0
…
1 0
…
0 … 1 …
…
0 0
…
–an–k1 –an–1–k2 …
… –a1–kn
闭环传函： GK(S)=C[SI–(A–bK)]–1b Gk(S) = Sn + (a1+ kn) Sn–1+…+ (an–1+ k2) S+an+k1 闭环系统极点特征多项式： fk(S)=|SI–(A–bK)|= Sn +(a1+ kn)Sn–1+…+(an–1+ k2) S+an+k1 b1Sn–1+ b2Sn–2+ …+ bn–1 S+bn
例：已知三阶系统 G(S)＝
10 S(S＋1)(S＋2) 如将闭环极点配置在S1＝–2 S2＝–1＋j S3＝–1–j 期望位置上，试确定状态反馈阵K。 解：给定系统无零，极点相消现象，故给定系统为状态 能控 10 G(S)＝ S3＋3S2＋2S＋0 (1) 能控状态方程为
· x1 0 1 0 · x2 ＝ 0 0 1 · x3 0 –2 –3
能观
4.4 . 1 状态观测器及其设计方法 1、状态观测器的定义 对受控系统0=(A，B，C)用其u和输出y作为输入量重新 ^ 构造动态系统e，使e的状态X与原系统状态X间满足 ^ Lim[X(t)–X(t)]=0 t ^ ^ 则称X是状态X的渐进估计（即X趋近于 X），又称重构 状态，且称e是受控系统0的状态观测器。
改善动态性能，不能提高刀架的刚度
状态空间法 引入速度和位置两个状态分量 提高刚度，改善动态性能
4.1 状Hale Waihona Puke Baidu反馈和输出反馈 1、状态反馈 被控系统=(A，B，C)采用状态反馈而构成的闭环系统，
称为状态反馈系统。 X=AX+BU Y=CX r(t) + – U(t) B + · X + A K 状态反馈不改变系统的维数，改变闭环系统的特征值 X C
·
X= AX+BU=AX+B( r–HY)=AX + B (r–HCX) = (A –BHC )X + Br Y=CX 系统简记为 H=[(A–BHC ) ，B，C]
HC相当于K，是部分状态反馈，HC=K是全反馈
4.2 闭环系统的状态能控性和能观测性 1、状态能控性 采用状态反馈后的系统K=[(A–BK ) ，B，C] 其能控性矩 阵为[B (A–BK )B (A–BK )2B … (A–BK )n–1B]，且
y
解：这是3阶系统 希望极点：一对主导极点和一个较远的极点。
主导极点：1、2= – n 1– 2n2
=exp（– /1–2） 5% t = 0. 5 2 n 1– 解出： 0. 707， n 9，取= 0. 707， n =10 主导极点：1、2= – 7.07j 7.07 3和原点距离大于主导极点和原点的距离10倍 |1 |= 7.072+ 7.072 10
~ ~ X1 =CTX ~ X2 ~ ~ ~ 其中子系统1=(A11，B1，C1)是状态能观测的。 对于状态不完全能观测的线性定常系统，能够构造出状态 观测器的充要条件是它的不能观测部分是渐进稳定的。 设计方法与状态反馈相同 状态观测器设计步骤： (1)根据给出的状态方程判断其能观测性； (2)确定带反馈增益矩阵G的状态观测器的特征多项式； fG(S)= |SI–(A–GC)| (3)求出状态观测器期望特征多项式（ f *(S) ）； ~ Y=[C1 0] (4)比较两个特征多项式中对应的系数，从而求出G；
闭环系统期望极点特征多项式
且 fk(S)= f *(S) 3、极点配置步骤 (1)根据给出的状态方程判断其能控性； (2)若系统能控按步骤(3) 、 (4) 、 (5) ； (3)根据闭环系统极点的期望值，求出闭环系统的期望
特征多项式（ f *(S) ）； (4)确定带反馈K的闭环系统特征多项式； fk(S)= |SI–(A–bK)| (5)比较两个特征多项式中对应的系数，从而求出K； (6)若状态方程为能控标准形可按定理直接求K； 4、几点说明 (1)状态反馈不能保持原系统的能观测性； (2)状态反馈只能改变极点的位置，不改变系统零点； (3)极点配置定理也适应于多输入多输出系统。
第4章 状态反馈和状态观测器
4.1 状态反馈和输出反馈
4.2 闭环系统的状态能控性和能观测性
4.3 闭环系统的极点配置 4.4 状态观测器 4.5 解耦问题
概
述
状态反馈是将状态变量作为反馈信号
如高频响应伺服刀架系统用于加工活塞环等非圆截面的 车削加工。有两个指标影响到工件的加工精度。
（1）刀架的刚度 （2）刀架的动态性能 位移大刚度小 动态性能不好古典法引进速度负反馈
fk(S)=|SI–(A–bK)|=Sn +(a1+ kn)Sn–1+…+ (an–1+ k2) S+an+k1 an+k1= an* 取 an–1+ k2= an–1* … a1+kn= a1* 即K= [k1 k2…kn]=[(an*–an)…. (a1*–a1)] 使 f *(S)=Sn + a1* Sn–1+…+ an–1* S+an*
4.3 闭环系统的极点配置 极点配置：利用状态反馈阵的选择，使闭环系统的极点 恰好处于期望的一组极点位置上。 1、选择期望极点应注意的问题 (1)对于n阶系统，必须给定n个期望极点； (2) 期望极点可以是实数或共轭复数对； (3) 期望极点位置的选取必须从它对系统性能的影响和 附近零点分布情况统一考虑； (4) 对期望极点位置的选取还应考虑系统对抗干扰能力和 对灵敏度的要求。 2、极点配置定理 被控系统利用线性状态反馈阵K，使闭环系统 K=[(A–BK ) ，B，C] 任意配置极点的充要条件是被 控系统状态完全能控。
x1 0 x2 ＋ 0 u x3 1
Y= 1 0 0 0 X
(2) 期望闭环极点的特征多项式 f *(S)=(S＋2)(S＋1–j)(S＋1＋j)＝S3＋4S2＋6S＋4 (3) 设状态反馈阵K为 K＝[k1 k2 k3] 0 1 A–bk= 0 0 –k1 –2–k2 |SI–(A–bk)|= S 0 k1 –1 S 2+k2 0 1 –3–k3 0 –1 S+3+k3