离散系统1
自动控制原理离散系统知识点总结
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。
在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。
本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。
一、离散系统的概念与特点离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。
与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。
2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。
二、离散信号与离散系统的数学表示离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。
离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。
常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。
1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。
差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。
离散时间传递函数可以通过Z变换得到。
三、离散系统的稳定性分析与设计离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。
离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原理中的重要内容。
1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来进行分析。
若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。
2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设计控制器来实现稳定性。
常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。
四、离散系统的性能指标与优化离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略，使离散系统的性能得到优化。
第1章时域离散信号和离散系统
1 x 10
-5
0 n
5
x(n)
x(t)
0 n
5
1.1 时域离散信号（2）
(5)几种常用的离散时间信号(6+1个) 冲击序列（单位抽样序列）： 抽样性质： x(n) (n k ) x(k )
( n)
1, n 0 0, n 0
m
任意序列：可用冲击序列的移位加权和表示： x(n) x(m) (n m) 阶跃序列： 矩形序列：
z-1
1.3 线性非时变系统（LTI）（1）
(1)系统的线性(Linearity)：满足叠加原理(superposition）的系统。 数学表示：
设y1 (n) T [ x1 (k )], y 2 (n) T [ x2 (k )] 若y(n) T [ax1 (n) bx2 (n)] ay1 (n) by2 (n) 则系统称为线性系统。
n
| h( n) |
例如不稳定系统： h(n) sin n
h( n) u ( n )
1.4 线性差分方程描述的LTI系统（1）
(1)N阶线性差分方程
ak y(n k ) bk x(n k ) , ak 1，ak、bk为常数
k 0 k 0
N
第一章 时域离散信号和离散系统
1.1 时域离散信号 1.2 时域离散系统 1.3 线性非时变系统（LTI）
1.4 离散系统的输入输出描ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法－线性常系数差分方程
1.5 结束语
1.1 时域离散信号（1）
(a)正 弦 信 号
(1)时间信号 信号：传递信息的函数。自变量有多种形式。一维和多维。 时间信号：自变量为时间的信号。声压p(t)。一维信号。
第四章 离散事件系统仿真方法1
第4章离散事件系统仿真方法4.1离散事件系统仿真一般概念4.1.1 一般概念离散事件系统：系统中的状态只在离散时间点上发生变化，而且这些离散时间点一般是不确定的。
系统状态是离散变化的，而引发状态变化的事件是随机发生的，因此这类系统的模型很难用数学方程来描述。
随着系统科学和管理科学的不断发展及其在军事、航空航天、CIMS和国民经济各领域中应用的不断深入，逐步形成一些与连续系统不同的建模方法：流程图和网络图。
离散事件系统建模与仿真的基本概念：⑴实体：是描述系统的三（四）要素之一，是系统中可单独辨识和刻画的构成要素。
如：工厂中的机器，商店中的服务员，生产线上的工件，道路上的车辆等。
从仿真角度看，实际系统就是由相互间存在一定关系的实体集合组成的，实体间的相互联系和作用产生系统特定的行为。
实体可分为两大类：临时实体和永久实体临时实体——在系统中只存在一段时间的实体。
一般是按一定规律有系统外部到达系统，在系统中接受永久实体的作用，按照一定的流程通过系统，最后离开系统。
临时实体存在一段后即自行消失，消失有时是指实体从屋里意义上退出了系统的边界或自身不存在了；有时仅是逻辑意义上的取消，意味着不必再予以考虑。
如：进入商店的顾客、路口的车辆、生产线上的工件、进入防空火力网的飞机、停车场的汽车等。
永久实体——永久驻留在系统中的实体。
是系统产生功能的必要条件。
系统要对临时实体产生作用，就必须有永久实体的活动，也就必须有永久实体。
可以说临时实体与永久实体共同完成了某项活动，永久实体作为活动的资源而被占用，如：理发店中的理发员、生产线上的加工装配机械、路口的信号灯等。
属性和行为相同或相近的实体可以用类来描述，这样可以简化系统的组成和关系。
如：理发店服务系统可以看成是由“服务员”和“顾客”两类实体组成的，两类实体之间存在服务与被服务的关系。
⑵属性是实体特征的描述，一般是系统所拥有的全部特征的一个子集，用特征参数或变量表示。
选用那些参数作为实体的属性与建模目的有关，一般按以下原则：便于实体分类：如按理发店顾客的性别；便于实体行为的描述：如飞机的速度便于排队规则的确定：如生产线上待处理工件的优先级水平。
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
离散时间系统及卷积
表示为： y(n) x(n)h(n)
下面的问题是：园周卷积与正常离散卷积相同吗？？
回答，如不做特殊处理，园卷积与正常 卷积不同，在做特殊处理之后，可以相 同。
问题：一个K点的h(n)和一个L点的x(n)正 常卷积可以得到一个多少点的y(n)？？
回答：K+L-1点。
第十章 离散时间系统及卷积
10.1 离散时间系统
1、离散系统的概念
离散时间系统是指输入及输出信号均是 离散信号的系统。
输入si(n)
系统
输出so(n)
2、离散系统的互联
系统1
输入
输出 输入
输出
系统1
系统2
系统2
a.系统的级联
b.系统的并联
系统1 系统2
输入
系统3
c.系统的混联
输出
系统4
3、离散时间系统的模型
基于这些联系，我们可以分析和解决很 多问题
1）级联系统
输入
系统1 h1(n)
输出
系统2
h2(n) 系统h(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)=h1(n)h2(n)H()=H1()·H2()
2）并联系统
系统1
输入
h1(n)
输出
系统2 h2(n)
系统h(n)
此种情况下，系统的冲激响应函数： h(n)=h1(n)+h2(n) H()=H1()+H2()
1
N 1
N 1
j 2mk j 2nk
x(m) H (k)e N e N
N k0 m0
N m0
k 0
由 y(n)
N 1
x(m)
1
1.2.离散LSI系统
数字信号处理dsp结论lsi系统的零状态响应为激励与单位抽样响应的卷积和即lsi离散系统的性质交换律结合律分配律子系统级联lsi离散系统的性质交换律结合律分配律子系统并联lsi系统因果和稳定的充要条件系统因果的充要条件
数字信号处理（DSP）
▲
■
三、几种常用序列
3
x(n)
1. 单位抽样序列 1, n 0 ( n) 0, n 0
数字信号处理（DSP）
▲
■
[例] 设某LSI离散系统的单位抽样响应为
h(n) = a n u(n)
试讨论该系统的因果性和稳定性。
[解] 当 n<0 时，有 h(n) = 0，故该系统是因果系统
1 n 1 - a , h(n) a n - n 0 不存在,
▲
■
正弦序列的周期性
x(n) A sin(n0 )
x(n N ) A sin[(n N )0 ] A sin[n0 N 0 ] 2 n N0 2 n N 0 正弦序列的周期性与0 的取值密切相关
2
为整数，周期为 2 / 0
x(n) 离散时间系统 T[ · ] y(n)
y(n) = T[ x(n) ]
描述离散系统的数学模型通常是差分方程。
数字信号处理（DSP）
▲
■
2. 系统的响应 [例] 已知如图所示的RC一阶动态电路，图中电容 C具有初始电压U0，开关K在 t =0时刻闭合，且有 Us>U0，求uC(t) duC (t ) R RC uC (t ) U s t 0 dt
则系统为移不变系统。
yzs(n)
x(n) x(n-2) 1 1
0 1 2 3 4 5 6 n
离散控制的基本概念和原理
离散控制的基本概念和原理离散控制是自动控制中常见的一种控制方式，它利用了离散信号来实现对系统的控制和调节。
在离散控制中，信号和变量的取值是有限离散的，而不是连续变化的。
本文将介绍离散控制的基本概念和原理。
一、离散控制的基本概念离散系统：离散控制的对象一般为离散系统。
离散系统是对离散信号进行处理的系统，它的输入、输出和状态变量的取值都是离散的。
采样：采样是将连续信号在时间上进行离散化的过程，通过周期性地在一定的时间间隔内对信号进行采样，得到离散信号。
量化：量化是将连续信号在幅度上进行离散化的过程，将连续信号的幅度划分为有限个离散值，得到离散信号。
离散化：离散化是将连续系统在时间和幅度两个维度上进行离散化的过程，通过采样和量化，将连续系统转化为离散系统。
二、离散控制的原理1. 采样控制原理离散控制系统的基本思想是通过采样信号来获得系统当前的状态，然后根据采样信号计算出控制量，并输出到执行机构，对系统进行调节。
在采样控制中，有两个重要的参数：采样周期和采样速率。
采样周期：采样周期是每次对连续信号进行采样的时间间隔，它决定了系统对变化的灵敏性。
较小的采样周期可以提高系统的响应速度，但也会增加计算量和噪声干扰。
采样速率：采样速率是指每秒钟采样信号的次数，它决定了采样系统对信号变化的能力。
较高的采样速率可以更准确地还原连续信号，但也会增加系统的复杂度和成本。
2. 量化控制原理离散信号的幅度是通过量化来表示的，量化控制原理就是通过将连续信号的幅度划分为有限个离散值，将控制量转化为离散信号。
量化精度：量化精度是指离散信号幅值划分的细度，也称为量化位数。
量化精度越高，离散信号越接近连续信号。
但高精度的量化也会增加计算和存储的复杂度。
量化误差：量化过程中会引入量化误差，即实际值与量化值之间的差距。
量化误差会对系统的控制精度产生影响，因此需要根据控制要求选择适当的量化精度。
三、离散控制的应用离散控制广泛应用于工业自动化、机器人控制、生物医学工程等领域。
自动控制系统—— 第7章-1 离散系统的基本概念
第7章 线性离散系统的 分析与校正
7.1离散系统的基本概念
1
7.1离散系统的基本概念 7.1.1 信号分类 7.1.2 采样控制系统 7.1.3 离散控制系统的特点 7.1.4 信号采样与保持
2
7.1离散系统的基本概念
7.1.1 信号分类 1）连续时间，连续幅度信号（CT signal），又称 为模拟信号（Analog Signal）
D/ A
对象
f (t)
反馈装置
2）A/D转换器：将连续信号转换为离散信号
采样间隔： T
采样频率：Leabharlann fs1 TT 2
fs 2
是采样角频率
8
r(t) e(t)
e(kT) 数字 u(kT)
u1(t) 被控 c(t)
A/ D
计算机
D/ A
对象
f (t)
反馈装置
3）D/A转换器：将离散信号转换为连续信号
采样脉冲序列
采样的离散信号
1.5 e*(t) e(t)T (t)
13
采样信号为
e*(t) e(t)T (t) e(t) (t nT ) n0
e(t) 只在 t nT时取值，所以
e*(t) e(nT ) (t nT ) n0
采样定理： 若采样器的采样频率ωs大于或等于其输入
连续信号f(t)的频谱中最高频率ωmax的两倍,即 ωs≥ωmax，则能够从采样信号 f(t)中完全复现
离散信号中存在高频信号，一般在D/A转换 后需要加滤波器虑除高频噪声
4）计算机实现数字控制器
9
数字控制系统的典型结构
r (t )
e(t )
e* (t)
u (t )
离散控制系统的特点及其优势
离散控制系统的特点及其优势离散控制系统是一种基于数字信号进行操作和控制的系统，与连续控制系统相对。
它的出现可以追溯到计算机的发展和数字技术的应用。
离散控制系统具有一些独特的特点和优势，本文将就其特点和优势进行深入探讨。
一、离散控制系统的特点离散控制系统与连续控制系统在信号和操作方式上存在明显差异。
离散控制系统的特点主要体现在以下几个方面：1. 信号离散化：离散控制系统采用离散的信号进行数据传输和控制操作，相邻时间间隔内的信号值是离散的，呈现“脉冲”状。
2. 状态离散化：离散控制系统的状态描述和切换是基于离散的状态变量进行的。
系统的输入和输出以及内部状态都是离散的，通过离散的切换过程来实现控制。
3. 实时性要求高：离散控制系统通常需要对系统的状态和输入进行高速采样和处理，以满足实时控制的需求。
系统及时响应外部变化并进行相应的控制操作。
4. 程序化控制：离散控制系统通常采用程序化控制方式，通过预先编写好的程序来实现控制逻辑，将控制过程进行离散化的运算和判断。
二、离散控制系统的优势离散控制系统相较于连续控制系统具有一些优势，使得其在许多领域得到广泛应用。
1. 精度高：离散控制系统在信号与状态离散化的过程中，能够较为准确地测量和处理系统的输入和输出。
通过高速采样和精确的信号处理，能够实现精确的控制。
2. 稳定性强：离散控制系统能够通过离散的状态切换和控制操作，对系统的输出进行精确的调节和控制。
由于离散控制系统的控制逻辑更为清晰可见，从而可以更好地保持系统的稳定运行。
3. 扩展性好：离散控制系统可以通过编写不同的程序来应对不同的控制需求。
其灵活性和可扩展性使得它可以适应不同规模和复杂度的控制任务。
4. 可靠性较高：离散控制系统的数字化和计算化特点使得其能够对信号进行有效的检测和处理，从而提高了系统的可靠性和稳定性。
同时，离散控制系统的模块化设计也使得故障排查和修复更加容易。
5. 抗干扰性强：离散控制系统对于外界干扰信号的抗干扰能力较强。
第4章：线性离散系统的数学描述1
这是一个二阶离散系统，该系统稳定的充要条
件为：
∴使系统稳定的k值范围为 0<k<2.39
思考题：
1、自己随便定一个一阶微分方程，用前向 差分将其转变成差分方程。 2、描述Z变换中的实数位移定理和复数位 移定理。 3、会用Z变换解差分方程。 4、会写闭环系统Z传递函数。 5、线性离散系统稳定性分析。
du(t ) 将 用后向差分 dt
代替得：
u(k ) u(k 1) T
整理后得：
2.用差分方程描述离散系统
（1）系统本身是离散过程
（2）系统本身是连续的采样控制系统： 利用定义推导3. 差 Nhomakorabea方程的解法
（递推法）
……
3. 差分方程的解法
（2）经典分析法：全解=通解+特解。麻 烦。 （3）Z变换法
离散系统的闭环脉冲传递函数为
z
K (0.368z 0.264) z 2 (0.368K 1.368) z (0.264K 0.368)
G0 ( z ) 1 G0 ( z )
于是，离散系统的闭环特征方程为
2.离散系统的稳定性判定
D(z)=z2(0.368K－1.368)z+(0.264K+0.368)=0
第4章：线性离散系统的数学描述 与分析
一、离散系统的差分方程描述 二、线性离散系统的z传递函数描述 三、线性离散系统的稳定性分析
一、离散系统的差分方程描述
1. 差分方程的定义 2. 用差分方程描述离散系统 3. 差分方程的解法
1. 差分方程的定义
描述方程
分析工具
拉普拉斯变换
Z变换
典型的离散信号—均是单边信号
定义：零初始条件下，线性定常离散控制系统的输出序 列的z变换和输入序列的z变换之比。
实验二 离散控制系统的性能分析1
实验二离散控制系统的性能分析（时域/频域）一、实验目的1．掌握离散闭环系统的动态性能时域参数的分析与计算方法；2．掌握离散系统稳定性的频域典型参数分析与计算方法。
二、实验工具1．MATLAB 软件（6.5 以上版本）；2．每人计算机一台。
三、实验内容1．在 Matlab 语言平台上，通过给定的闭环离散系统，深刻理解时域参数的物理意义与计算方法，内容包括如下：●阻尼比参数分析：Z 平面与 S 平面的极点相互转换编程实现；分析 S/Z 两个平面域特殊特性（水平线、垂直线、斜线、圆周等）的极点轨迹相互映射方法；系统阶跃响应参数：上升时间和超调量等。
2．采用频域分析方法，通过编程计算，进一步理解离散系统的稳定性参数，包括如下：●通过幅频图，进行增益裕度分析；●通过相频图，进行相位裕度分析。
四、实验步骤1.阻尼比计算注释：Example 1 Damping ratio computationts=0.1;gp=tf(1,[1 1 0])gz=c2d(gp,ts,'zoh')kz=tf(5*[1,-0.9],[1 -0.7],ts);sys_ta=feedback(gz*kz,1,-1)p=pole(sys_ta)- 2 -radii=abs(p);angl=angle(p)damp(sys_ta)real_s=log(radii)/tsimg_s=angl/tszeta=cos(atan(-img_s./real_s))wn=sqrt(real_s.^2+img_s.^2)运行结果：2.水平 S 平面线到 z 平面的映射注释：Example 2 Mapping of horizontal s-plane line to z-planexx=[0:0.05:1]'N=length(xx)s0=-xx*35;s=s0*[1 1 1 1 1]+j*ones(N,1)*[0,0.25,0.5,0.75,1]*pi/tsplot(real(s(:,1)),imag(s(:,1)),'-o',real(s(:,2)),imag(s(:,2)),'-s',... real(s(:,3)),imag(s(:,3)),'-^',real(s(:,4)),imag(s(:,4)),'-*',...real(s(:,5)),imag(s(:,5)),'-v'),sgridz=exp(s*ts)plot(real(z(:,1)),imag(z(:,1)),'-o',real(z(:,2)),imag(z(:,2)),'-s',... real(z(:,3)),imag(z(:,3)),'-^',real(z(:,4)),imag(z(:,4)),'-*',...real(z(:,5)),imag(z(:,5)),'-v'),zgrid3.垂直 S 平面线到 z 平面的映射注释：Example 3 Mapping of vertical s-plane line to z-planes0=j*xx*pi/ts;s=ones(N,1)*[0,-5,-10,-20,-30]+s0*[1 1 1 1 1]plot(real(s(:,1)),imag(s(:,1)),'-o',real(s(:,2)),imag(s(:,2)),'-s',...real(s(:,3)),imag(s(:,3)),'-^',real(s(:,4)),imag(s(:,4)),'-*',...real(s(:,5)),imag(s(:,5)),'-v'),sgridz=exp(s*ts)plot(real(z(:,1)),imag(z(:,1)),'-o',real(z(:,2)),imag(z(:,2)),'-s',...real(z(:,3)),imag(z(:,3)),'-^',real(z(:,4)),imag(z(:,4)),'-*',...real(z(:,5)),imag(z(:,5)),'-v'),zgrid4.恒定阻尼比 S 平面线映射到 z 平面注释：Example 4 Mapping of constant damping ratio s-plane lines into z-plane s=s0*[1 1 1 1]-imag(s0)*[0,1/tan(67.5*pi/180),...1/tan(45*pi/180),1/tan(22.5*pi/180)]s=[s,real(s(:,4))];plot(real(s(:,1)),imag(s(:,1)),'-o',real(s(:,2)),imag(s(:,2)),'-s',...real(s(:,3)),imag(s(:,3)),'-^',real(s(:,4)),imag(s(:,4)),'-*',...real(s(:,5)),imag(s(:,5)),'-v'),sgridz=exp(s*ts)plot(real(z(:,1)),imag(z(:,1)),'-o',real(z(:,2)),imag(z(:,2)),'-s',...real(z(:,3)),imag(z(:,3)),'-^',real(z(:,4)),imag(z(:,4)),'-*',...real(z(:,5)),imag(z(:,5)),'-v'),zgrid5.将圆 s 平面线映射到 z 平面注释：Example 5 Mapping of circle s-plane line to z-planephi=xx*pi/2s0=(pi/ts)*(-cos(phi)+j*sin(phi))s=s0*[1,0.75,0.5,0.25,0]plot(real(s(:,1)),imag(s(:,1)),'-o',real(s(:,2)),imag(s(:,2)),'-s',... real(s(:,3)),imag(s(:,3)),'-^',real(s(:,4)),imag(s(:,4)),'-*',...real(s(:,5)),imag(s(:,5)),'-v'),sgridz=exp(s*ts)plot(real(z(:,1)),imag(z(:,1)),'-o',real(z(:,2)),imag(z(:,2)),'-s',... real(z(:,3)),imag(z(:,3)),'-^',real(z(:,4)),imag(z(:,4)),'-*',...real(z(:,5)),imag(z(:,5)),'-v'),zgrid6.阶跃响应注释：Example 6 Step response measurek=[0:1:60];step(sys_ta,k*ts);7.根轨迹注释：Example 7 Root-locus analysisrlocus(gz*kz)Amplitude；注释：Example 8 Root-locus analysis in page 56 numg=[1 0.5];deng=conv([1 -0.5 0],[1 -1 0.5]);sys_z=tf(numg,deng,-1)rlocus(sys_z)注释：Example 9 Root-locus analysis in page 57numg=[1];deng=[1 4 0];ts=0.25sys_s2=tf(numg,deng)sys_z2=c2d(sys_s2,ts,'imp')rlocus(sys_z2)8.频率响应注释：Example 10 Analysis of frequency response and roots locus in page 59 a=1.583e-7;k=[1e7,6.32e6,1.65e6];w1=-1;w2=1;ts=0.1;v=logspace(w1,w2,100);deng=[1.638 1 0];numg1=k(1,1)*a*[-1 1]numg2=k(1,2)*a*[-1 1]numg3=k(1,3)*a*[-1 1]sys_s1=tf(numg1,deng)sys_s2=tf(numg2,deng)sys_s3=tf(numg3,deng)bode(sys_s1,sys_s2,sys_s3,v),grid onnumg=1.2e-7*[1 1]deng=conv([1 -1],[1 -0.242]);sys_z2=tf(numg,deng,ts)rlocus(sys_z2),grid on五、实验思考1. S 平面与 Z 平面不同位置的映射关系分析s平面虚轴的映射s平面整个虚轴映射为z平面单位圆，左半平面任一点映射在z平面单位圆内，右半平面任一点映射在单位圆外。
离散数学 代数系统(1)
例10.1.7 设R为实数集， 为集合R上的二元运算，对任意
的a，b∈R，a b=a+2b，问这个运算满足交换律、结合律 吗？
解 因为2 3=2+2×3=8，而3 2=3+2×2=7，23≠3 2，故
该运算不满足交换律。
又=2因+2为×（（23 +32）× 44）=（=223+，2×（32） 3+）2 ×44≠=216 （，3而 42） （，3 故4）该运
运算在A上满足结合律。
例10.1.6 设A为非空集合， 为集合A上的二元运算，对任意 的a，b∈A，ab=a，证明 是可结合的。
证明 因为对于任意的a，b，c∈A，
（a b） c=a c=a，而a （b c）= a b=a， 所以有（a b）c= a （b c），因此运算是可结合的。
10.1 二元运算及其性质
b∈Z，a b =2a+b，问运算是否可交换？
解：因为
a b=2a+b=2 b +a=b a，
所以是可交换的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定 都有义（10x.1 .4y）设 z=为x集 （合y Az）上，的则二称元该运二算元，运若算对是任可意结x，合y的，，z∈也A称，
有零元；对于乘法运算来说，1是单位元，0是零元。
例 设有一个由有限个字母组成的集合X，叫字母表，在X 上构造任意长的字母串，叫做X上的句子或字，串中字母 的个数叫做这个串的长度，且当一个串的长度n=0时用符 号∧表示，称作空串。这样构造出了一个在X上的所有串 的集合X*。
10.1 二元运算及其性质
10.2 代数系统
例 设代数系统（A，*），其中A={x，y，z}，*是A上的 一个二元运算。对于表10.2-1中所确定的几个运算，试分 别讨论它们的交换性、等幂性，并且讨论在A中关于*是 否有零元及单位元，如果有单位元，那么A中的元素是否 有逆元。
离散系统的系统函数
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ， 激励
已知离散系统的差分方程为：
Y z 1 z 1 z z 1 z H z 1 2 X z 1 3 z 2 z z 1z 2 z 2 求系统的零状态响应 2 z z z Y z H z X z z 2 z 2 z 2
列差分方程
wk 1
x( k ) 0.3w( k 1) w( k ) w( k ) 4w( k 1) y( k )
分别取z变换 X ( z ) 0.3 z 1W ( z ) W ( z ) 1 W ( z ) 4 z W (z) Y (z)
i
h(i ) z
i
y (k ) z k H ( z )
f (t ) e
0
y (t ) H ( s0 )e
0
系统响应是一个是常数（可能是复数）乘以输入，则： k 系统的特征函数 f ( k ) z0
H ( z0 )
系统的特征值
X
例题7
f (k ) z
k 0
y (k ) H ( z 0 ) z
z域复变量域s域复变量关系： z e sT z re j s j re j ＝e ( j )T eT e jT r eT T
第
11 页
X
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系 s平面 极点位置
虚轴上 原点s=0 左半平面
收敛域含虚轴
12 页
z平面 极点位置
第6章 离散系统
采样周期T 对采样信号 的影响：
0
t (a)
0 T1
t
f(t)
T
f * (t )
0
t (b)
0 T2
t
采样定理也称shannon(香农)定理,叙述如下：
若对于一个具有有限频谱( w wmax)的连续信 号f(t)进行采样，当采样角频率满足 ws 2wmax
时，则采样函数f*(t)能无失真地恢复原来的连 续信号f(t)。wmax为信号有效频谱的最高角频 率， ws 为采样角频率。 当采样角频率 ws 2wmax 时，从采样信号中不 能完全的恢复出原连续信号。
* n 0
2. 采样定理
从理论上讲，离散系统的采样周期T越小， 离散系统越接近连续系统。因为采样周期T太 长，采样点很少时，在两个采样点之间可能丢 失信号中的重要信息。因此，采样周期T不能 太大。只有当把采样周期T缩短以后，得到的 采样值才保留了原信号的主要特征。
f(t)
T
f * (t )
F ( z) e
n 0
anT
z
n
1 e
aT
z e
1
2 aT
z
2
aT 1 e z 1 时，上式的无穷级数也是收敛 当 的。于是求得e-at的Z变换为：
Z [e ] F ( z )
at
1 1 e
aT
z
1
z aT z e
D/A转换器：把离散的数字信号转换成连续的 模拟信号。
f (t )
f (t)
解码
f h(t)
信号复现
0111 1000 0010 0100 1001 0011 0 T 2T 3T 4T 5T (a) t 0 T 2T 3T 4T 5T (b) t 0 T 2T 3T 4T 5T (c) t
离散系统_1(z变换) 自动控制原理 浙江大学考研资料
*
求e*(t) *(t)的拉氏变换 t 0 ，求
E ( s ) e nT e 2 nT e nTs
n 0
1
T ( s 1)
1 e 1 e T ( s 2) (e T e 2T )eTs Ts T Ts 2T (e e )(e e )
8
离散系统基本概念——计算机控制
9
离散系统基本概念——计算机控制
连续时间控制系统——系统中所有环节的信号均为时间的连续函数，简称连续系统。 系统中所有环节的信号均为时间的连续函数 简称连续系统 线性离散时间控制系统——当系统中含有采样开关或数字处理环节时，系统中便有离 散的数字序列信号存在 简称离散系统 散的数字序列信号存在，简称离散系统
13
离散系统基本概念——简介
分析采样系统的时域响应特性和稳定性的方法可以分为两类：
(1) 直接法 (DIR) (----在 z 平面) (2) 数字化 (DIG， digitalization) 或 离散 数字控制分析方法. 对 数字控制系统的分析与设计可以采用Matlab等分析工具来进行.
比较繁琐 eTs是s的超越函 数
1
26
采样与采样过程——3. 理想采样
• 问题：(1) 在理论上，采样后的信号 f*(t)能否保证恢复原连续信号 f(t) (即 f*(t)是否包含了f(t) 的主要特征? ）(2) 在实际应用中，如何实 现控制系统前向通道传递函数的低通特性（即过滤采样后f f*( (t)中的高 频信号，仅保留主频信号——其仅在幅值上与原信号相差1/T倍）？ • 采样定理：为了能不失真地从离散信号中恢复原有的连续信号，
e(t )
离散系统的基本概念
离散系统的基本概念(2)
Z变换：是拉氏变换的一种变形，有采样函数的拉氏变换演变 而来。引入了复变量z=exp（Ts）。
脉冲传递函数：在零初始条件下，系统输出的Z变换与输入的Z 变换之比。
差分方程： 1、差分方程的定义：连续函数e（t）采样后为e（nT）， n阶后向差分c(n)+a1c(n-1)+a2c(n-2)+…
X ( z ) 1 z 1 z 2 z n
利用幂级数求和公式得
z X (z) z 1
(n 0,1,2, )
连续信号e(t)=Ae-t,采样周期为T,采样信号Z变换的求和式.
e (nT ) Ae
nT
X ( z ) A(1 e T z 1 e 2T z 2 e nT z 传递函数
GB (z )
C (s ) R(s )
E ( s)
*
闭环系统的难点在于两方 面：
C * ( s)
G1 ( s)
1、系统的结构多样；2、 采样开关位置和数目不一。 因此与连续系统相比，不 可能有一种统一的固定算 法。
B (s )
H (s )
如上图中反馈回路有无采样开关，采样开关在何处对脉冲传递函 数的影响都很大。处理的要点是，应在不改变系统现状的条件下， 先将系统内的连续信号离散化。再作Z变换。 在结构较为复杂或关系不是十分清楚的情况下，可列出中间方程 帮助理顺关系。
X * (t ) 1 3.5 (t T ) 4.75 (t 2T ) 6.375 (t 3T )
离散系统的基本计算-------Z反变换的部分分式法
z (1 e aT ) 求Z变换 X ( z ) 的反变换 ( z 1)( z e aT )
7-1 离散系统的基本概念
e*(t) A(t) τ
e*(t)
理想化后： τ→0
t T t
T
矩形面积：s=A(t)×τ
τ ：脉冲宽度 A(t)：幅度
由定义： B(t ) (t )dt A(t )
0－
0＋
由脉冲函数定义，在0－～0+脉冲强 0 度B(t)可视为不变数。而 0 (t )dt 1
所以：B(t)= A(t)×τ
a.开环采样系统：采样器位于系统闭合回路之外， 或系统本身不存在闭合回路。 b.闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内。 而在实践中用得最多的是：误差采样控制的闭环系统。 误差采样：采样开关设在误差比较点之后。 s:采样开关，τ→0
r(t) e(t) S e*(t) eh(t) c(t)
Gh(s)
e*(t)
e*(t) 信号复现滤波器
(保持器）
eh(t)
e*(t)(t) eh
保持器输入信号
t
保持器输出信号
t
图7-3 保持器的输入与输出信号
保持器可把脉冲信号e*(t)复现为阶梯信号eh(t)； 当采样频率足够高时，eh(t)接近于连续信号。
(2) 采样系统的典型结构图
根据采样器在系统中所处的位置不同，可以构成各种采 样系统。
第七章 线性离散系统的分析与校正
7-1 离散系统的基本概念 7-2 信号的采样与保持 7-3 z变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差 7－6 离散系统的动态性能分析 7－7 离散系统的数字校正
学习目的
由于数字技术的迅速发展，特别是计算机技术的 发展，数字控制在许多场合取代了模拟控制器，作为 分析与设计数字控制系统的理论基础，离散系统控制 理论发展也非常迅速。 离散控制系统与连续控制系统既有本质上的不同， 又有分析研究方面的相似性，利用z变换法研究离散 系统，可以把连续系统中的许多概念和方法推广到线 性离散系统。 通过本章学习，建立有关离散控制系统的概念， 掌握数字控制中采样和保持这二个信号变换过程及数 学描述，了解z变换理论，建立离散系统的数学模型， 掌握离散系统的分析和校正方法。
离散数学代数系统1
格与布尔代数
• • • • • • • 格的定义 格的性质 格的等价定义 子格与格的同态 特殊的格 布尔代数的性质 布尔代数的同态与同构
12
格的定义
定义14.29 设<S,≼>是偏序集，如果∀x, y∈S，{x,y}都有 是偏序集， 定义 ≼ 是偏序集 如果∀ ∈ ， 都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序 作成一个格 关于偏序≼ 最小上界和最大下界，则称 关于偏序≼作成一个格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求 的最 小上界和最大下界看成 x与y 的二元运算∨和∧，即 与 的二元运算∨ x∨y 和 x∧y 分别表示 与y的最小上界和最大下界 的最小上界和最大下界. ∨ ∧ 分别表示x与 的最小上界和最大下界 注意：这里出现的∨ 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不 符号只代表格中的运算， 再有其他的含义. 再有其他的含义
9
域
定义14.28 定义 是整环， 中至少含有两个元素. 设R是整环，且R中至少含有两个元素 若∀a∈R* , 其中 是整环 中至少含有两个元素 ∈ R*=R−{0}，都有 −1∈R，则称 是域. − ，都有a ，则称R是 例如有理数集Q、实数集 、复数集C关于普通的加法和 例如有理数集 、实数集R、复数集 关于普通的加法和 乘法都构成域，分别称为有理数域 实数域和复数域. 有理数域、 乘法都构成域，分别称为有理数域、实数域和复数域 整数环Z是整环，而不是域 整数环 是整环，而不是域. 是整环 对于模n的整数环 是素数， 对于模 的整数环Zn，若n是素数，那么 n是域 的整数环 是素数 那么Z 是域.
3
环的性质
定理14.11 设<R,+,·>是环，则 是环， 定理 是环 (1) ∀a∈R，a0 = 0a = 0 ∈ ， (2) ∀a, b∈R，(−a)b = a(−b) = −ab ∈ ，− − (3) ∀a, b, c∈R，a(b−c) = ab−ac， (b−c)a = ba−ca ∈ ， − − ， − − (4) ∀a1, a2, ... , an, b1, b2, ... , bm∈R（n, m≥2） （ ）
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四、混杂系统稳定性研究概况
公共Lyapunov函数法 公共Lyapunov函数法是传统的Lyapunov函数法在混杂 系统中的推广和应用。公共Lyapunov函数法，其出发点就 是如果混杂系统的所有子系统存在一个相同的Lyapunov函 数，在整个状态空间中沿着特定的切换序列或者任意切换 都能递减，则整个系统稳定。 但公共Lyapunov函数法在应用中存在着很大的缺陷， 这种方法要求对混杂系统的所有子系统都能找到同一个 Lyapunov函数在整个状态空间上递减，这大大增加了 Lyapunov函数选取的难度。
混杂petri网模型 Petri网是一种研究DEDS的重要工具，尤其适合对 异步并发系统的建模与分析。它将图形和数学分析相结合， 兼具图形方法的直观性和逻辑方法的概括性。混杂Petri 网(HPN,Hybrid Petri Net)是在传统的离散型Petri网基础 上发展形成的，它的特点是，将位置和变迁区分为连续和 离散两种类型，以表征连续变量过程和离散事件过程。 HPN可分为具有连续位置的混杂Petri网和具有连续变量 形式的混杂Petri网这两大类。具有连续位置的HPN模型 包含离散和连续两类位置，分别对应离散和连续状态。
二、混杂系统的定义、特点和分类
定义：混杂系统(Hybrid System，HS)是包含连续变量子系统和离散 事件子系统的一类动态系统，这类系统同时按照连续时间动力学和离 散事件动力学规律演化并相互作用，又称混杂动态系统(HDS) 特点： （1）复杂性：结构复杂、动态行为复杂、控制策略复杂和控制算法复 杂； （2）混杂性：结构混杂、动态行为混杂、信息处理混杂。 （3）交互性：混杂系统的各个模块子系统相互之间存在复杂的交互性； （4）实时性：混杂系统的时间是可度量的连续时间，但系统行为不仅 与事件的顺序结构有关，而且与事件间的事件结构有关； （5）模块性：由于混杂系统的混杂性，使得必然具有多模块子系统集 成的特点。
到了90年代，混杂系统逐渐成为自动控制与计算机理论两大领域的 研究热点。 从1998年以来，每年都会举办一次关于混杂系统的国际学术研讨会 “Hybrid system: Computation and Control (HSCC)” 著名的IEEE Control System Society (CSS) 成立了混杂系统的学术 机构IEEE Technical Committee on Hybrid Systems (HYSCOM)
CVDS与DEDS的比较
DEDS的状态只能在离散时间点上发生跃变，在 DEDS中，状态演变是由事件驱动的，即仅仅在 事件发生的瞬时，状态才能发生跃变，其它时刻 保持不变。这是一种固有的不连续属性，与 CVDS中时间离散化有着本质的区别。 DEDS的状态变化是异步的和并发的。即状态变 化在时间轴上是异步排列的。此外，多个事件同 时发生，这个就是并发性。 DEDS存在不确定性。 DEDS通常不能由传统的微分方程或差分方程来 描述，而需要一些特定的建模和分析工具。
离散事件系统 与混杂系统介绍
1、离散事件动态系统
连续变量动态系统
在传统的系统与控制领域中，主要研究对象是 一类本质上属于物理世界范畴的连续变量动态系 统，简称CVDS。其动态过程服从于物理学定理， 如电学、力学、热学等，或者服从广义物理学定 理，如经济学、生态学、社会学等。其数学模型 可以表示为传统意义下的微分方程或差分方程。 对于这类系统的建模、分析、控制和优化的 研究，已经相对成熟。
通常，FMS的组成可 用下图示例：
缓存1 加工中心1 ... 缓存n 加工中心n
自动物料传送系统
自动仓库
一个FMS由4个基本组成部分： 1由不同类型机床组成的加工中心； 2物料自动传送系统； 3计算机控制单元； 4分布于各个加工中心前的缓冲区。
FMS是个典型的DEDS系统，在FMS中，各个加工中心对 各类工件的加工活动成为系统的状态，由工件和加工中心 组成系统的资源，资源的投入或者释放组成系统的离散事 件。表征系统加工活动的状态的跃变，由待加工工件的到 达和机床的完成加工等事件所驱动。显然，状态演化过程 中，状态跃变时刻将呈现出异步性，而系统演化则由离散 事件的相互作用所决定。 基于FMS的DEDS模型，可用来确定对待加工工件的排序， 分析加工过程的加工节奏，避免出现FMS的阻塞现象， 优化配置各个缓冲区的容量，以及优化系统的生产率等。 对于FMS的详细建模，不同的建模方法得到不同的表述 形式，在今后的课程中，将给出petri nets和自动机模型 下的建模。
分类：
（1）根据建模时对离散事件特性和连续动态特性侧重的不同，可分 为“延拓(Aggregation)”模型和“聚合(Continuation)”模型； （2）从系统的结构出发强调控制结构的混合，可以分为混杂控制系 统(HCS)和混杂状态系统(HSS)； （3）按照离散事件和连续变量在系统中的功能的不同，可把系统分 成组合型和交互型HS； （4）从工程实际中混杂系统问题的各自特点出发，针对所研究的对 象和问题，可将混杂系统分成为一些特殊的子类：切换型、水箱 型、集中控制型、旅行商型、递阶型、仿真语言型、混杂自动型、 混杂petri网型等； （5）根据HS有无外部输入把系资统分为自治和非自治混杂系统。 资质和非资质
特点
严格的说，目前对于DEDS还没有统一的 定义。 一般来说，DEDS是由离散事件驱动，并 由离散事件按照一定运行规则相互作用， 来导致状态演化的一类动态系统。 1离散事件驱动 2基于一定的运行规则（通常是人为规则） 3事件导致系统状态变化
离散事件 discrete event
混杂系统概述
一、混杂系统研究的发展和现状 二、混杂系统的定义、特点和分类 三、混杂系统的建模 四、混杂系统稳定性研究概况 五、混杂系统综合研究概况
一、混杂系统研究的发展和现状
发展历史： 混杂系统理论的最早文献可以追溯到Witsenhausen于1966年IEEE Transactions on Automatic Control上发表的一篇关于混杂系统状态连 续时间动态的论文，开创了混杂系统理论研究的先河。 混杂系统概念的正式提出，来源于1986年9月在美国Santa Clara大 学召开的高级控制会议。
一个DEDS例子
柔性制造系统，FMS是最典型的DEDS的应用例 子 柔性制造系统是综合计算机数控技术、机器人技 术和计算机硬软件技术的一类先进加工系统。 FMS能够按照所要求的工件品种混合比来同时加 工多种不同工件，能适应小批量多品种加工任务， 对加工过程中的频繁切换具有高度灵活性。在被 称谓21世纪自动化工厂模式的计算机集成制造系 统CIMS中，FMS是不可缺少的单元。
研究现状：
如何建立合理的系统模型，分析混杂系统中离散事件和 连续变量的内在规律性，充分利用混杂系统模型并提供适当 的控制手段，构成了混杂系统研究的主要内容。 目前，国际控制界对混杂系统的研究内容主要包括以下几 个方面：混杂系统的模型描述；混杂系统的性能分析；混杂 系统的控制与优化问题；混杂系统的仿真平台开发；混杂系 统的验证理论技术；混杂系统的分解/合成理论以及技术； 混杂系统的应用研究等。
离散事件动态系统
与CVDS有着重要区别的是，离散事件系统 （Discrete Event Dynamical Systems, DEDE， 有时也简称离散事件系统，DES）其本质上是一 类人造系统。 对DEDS的研究起始于1980年前后，在那个时期， 随着信息处理技术、计算机技术和机器人技术等 的完善和广泛应用，其典型例子如柔性生产线或 装配线、大规模计算机和通信网络、空中或机场 交通管理系统、军事指挥C3I系统等。
2、混杂系统
混杂系统，或混合动态系统，hybrid dynamic system, HDS, 是在离散事件系统DEDS研究领域中出现的正在形 成和发展的一个新增长点。HDS的提出，具有很强的工 程背景，本质上是现代计算机等数字技术渗透到连续制造 和连续处理系统的产物。对于HDS，至今的定义仍不完 善，直观的说，HDS可理解为同时包含有相互作用的离 散事件过程和连续变量过程的一类动态系统，离散事件过 程需要采用逻辑类型的模型来建模并服从于离散事件系统 的演化机制，连续变量过程需要采用微分或差分方程形式 的模型来建模并服从于连续变量系统的运动规律，而两者 的交互作用按照具体问题有着多种的类型和复杂的机理。 以下，先简要介绍混杂系统的一般性概念，在今后的课程 中，将具体介绍HDS的一些具体建模手段和分析控制方 法。
DEDS模型与运筹学、系统与控制理论、人工 智能的关系
人工智能和 自然语言基础
DEDS模型
运筹学
系统与控制理论
建模和分析方法
排队论和网络方法 摄动分析方法
有限自动机和形式语言方法 Petri net方法
极大极小代数方法 有限递归过程方法 仿真方法等 其中，有限自动机模型和petri net模型将在以后 的课程中介绍。
三、混杂系统的建模
层次结构模型 是由Antsaklis P.J.、Stiver J.A和 Lemmon M.等人提出用来分析混杂系统的 一种方法。模型由三部分构成：对象(Plant)、 接口(Interface)和控制器(Controller)。如图 所示，对象是一个连续动态系统，受监控器 的控制，它的连续演化行为一般具有间歇性， 通常用微分或差分方程来描述。接口由一个 事件生成器和一个执行器构成的，完成离散 变量与连续变量间的相互转化。控制器被看 作是一个由自动机描述的离散事件动态系统， 它作为监控器通过接口来接受事件，监督对 象的行为；同时又执行调度、优化等操作， 并且发出命令事件，通过接口控制底层对象 的行为。