2015年辽宁省普通高中学生学业水平考试数学真题

2015年辽宁省普通高中学生学业水平考试·真题

数 学

(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟)

一、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{1,3}M =，{3,5}N =，则M N =U （ ）

A ．{1,3} B.{3,5} C.{1,5} D.{1,3,5}

2、已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α= （ ） A.45 B.35- C.43- D. 3

4-

3、函数2()2f x x x =-的零点的个数为 （ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

4、如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O.若AB AD +u u u r u u u r AO λ=u u u r

,则λ= （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5、执行如图的程序框图,如果输入m 的值为2,则输出的

S 值为 （ ）

A ．0

B ．3

C ．4

D ．6

6、函数lg(1)y x =-的定义域为 （ ）

A ．R

B ．(0,)+∞

C ．(,1)-∞

D ．(1,)+∞

7、在[0,1]内任意取出一个实数a ,则事件“210a -<”

发生的概率为（ ）

A.1

6 B.1

3 C.1

2 D. 2

3

8、如图，网格纸小正方形的边长是1，在其上用粗实线画

出的是某空间几何体的三视图（其中主视图与左视图都

是半圆，俯视图是圆），则该空间几何体的体积为（）

A.23π

B. 43π

C.2π

D. 4π

9、已知()f x 是区间(,)-∞+∞上的奇函数，(1)2f =-，(3)1f =，则 （ ）

A.(3)(1)f f >-

B. (3)(1)f f <-

C. (3)(1)f f =-

D. (3)f 与(1)f -无法比较

10、已知,x y 满足约束条件10901x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩

，则53z x y =+的最大值为 （ ）

A ．43

B ．35

C ．29

D ．11

11、为了得到函数cos(3)4y x π=-的图象，只需把函数cos3y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4

π个单C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位 12、若0a b >>，则下列不等式成立的是 ( )。

A ．1

122a b < B ．22log log a b < C ．1

1()()22

a b < D ．22log a b < 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分

13.已知平面向量(-1,t)a =，(1,1)b =。若⊥a b ，则实数t 的值为 。

14.从1,2,3,4中任意取出两个不同的数，其和等于5的概率为 。

15.函数12sin cos y x x =+的最小正周期为____ ____．

16.现有40米长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙（设长度够用）作为

一边，围成一块面积为S 平方米的矩形菜地，则S 的最大值为 。

三、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤。

17. （本小题满分10分）已知ABC ∆的三个角,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，其中

o o 30,105A C ∠=∠=，2a =，求b 。

18. （本小题满分10分）从某高校随机抽取1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14]。

（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在(8,10]范围内的学生人数；

（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率。

19. （本小题满分10分）如图（1），在ABC ∆中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线。将ABD ∆沿AD 折起得到，得到如图（2）所示的三棱锥A B DC '-。试判断AD 与B C '是否垂直。若垂直，请写出证明过程；若不垂直，请说明理由。

20. （本小题满分10分）已知等比数列{}n a 满足141,27a a ==。数列{}n b 满足143,35b a ==，且 {}n n b a -为等差数列。

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和。

21. （本小题满分12分）已知点(3,2),(3,0)A B -，且AB 为圆C 的直径。

（1）求圆C 的方程；

（2）设点P 为圆C 上的任意一点，过点P 作倾斜角为o 120的直线l ，且l 与直线

3x =相交于点M ．求||PM 的最大值及此时直线l 的方程。