达朗伯原理和动静法
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达朗贝尔原理动静法课件
静力学分析
动力学分析
振动分析
通过动静法的应用，可以将动力学问题转化为静态问题，例如求物体的加速度、速度等。
动静法也可以用于研究物体的振动问题，例如求物体的固有频率、振型等。
03
02
01
03
达朗贝尔原理在动静法中的应用
总结词：达朗贝尔原理在动力学中用于描述物体运动规律，特别是对于复杂系统或非线性系统的运动分析。
达朗贝尔原理动静法课件
目录
contents
达朗贝尔原理概述动静法的基本概念达朗贝尔原理在动静法中的应用动静法的实际应用案例动静法的优缺点及未来发展
01
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理是经典力学中的一个基本原理，它指出一个完整的保守系统在平衡点附近的小振动可以用线性弹簧模型来描述。
达朗贝尔原理具有普适性，适用于各种保守系统，如单摆、弹簧振荡器等。它提供了一种将复杂的非线性振动问题简化为线性问题的有效方法。
详细描述
建筑结构的动静法分析包括对建筑物在地震、风载、雪载等动态载荷和静载荷作用下的响应进行分析。通过模拟和分析建筑物的动力和静力行为，可以评估建筑物的安全性和稳定性，并预测其在各种载荷下的性能。这对于建筑物的设计和维护具有重要的意义。
VS
机械设备的动静法分析利用达朗贝尔原理对机械设备进行动力学和静力学的分析，以确保机械设备的正常运行和安全性。
结合虚拟现实技术
利用人工智能技术，为学生提供个性化的学习指点和反馈。
智能化辅助教学
将动静法应用于其他学科，如化学、生物等，促进跨学科的学习和整合。
跨学科整合
随着教育理念和技术的不断更新，动静法也需要不断改进和完善，以适应时代发展的需求。
持续改进教学方法
THANKS
动力学分析
振动分析
通过动静法的应用，可以将动力学问题转化为静态问题，例如求物体的加速度、速度等。
动静法也可以用于研究物体的振动问题，例如求物体的固有频率、振型等。
03
02
01
03
达朗贝尔原理在动静法中的应用
总结词：达朗贝尔原理在动力学中用于描述物体运动规律，特别是对于复杂系统或非线性系统的运动分析。
达朗贝尔原理动静法课件
目录
contents
达朗贝尔原理概述动静法的基本概念达朗贝尔原理在动静法中的应用动静法的实际应用案例动静法的优缺点及未来发展
01
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理是经典力学中的一个基本原理，它指出一个完整的保守系统在平衡点附近的小振动可以用线性弹簧模型来描述。
达朗贝尔原理具有普适性，适用于各种保守系统，如单摆、弹簧振荡器等。它提供了一种将复杂的非线性振动问题简化为线性问题的有效方法。
详细描述
建筑结构的动静法分析包括对建筑物在地震、风载、雪载等动态载荷和静载荷作用下的响应进行分析。通过模拟和分析建筑物的动力和静力行为，可以评估建筑物的安全性和稳定性，并预测其在各种载荷下的性能。这对于建筑物的设计和维护具有重要的意义。
VS
机械设备的动静法分析利用达朗贝尔原理对机械设备进行动力学和静力学的分析，以确保机械设备的正常运行和安全性。
结合虚拟现实技术
利用人工智能技术，为学生提供个性化的学习指点和反馈。
智能化辅助教学
将动静法应用于其他学科，如化学、生物等，促进跨学科的学习和整合。
跨学科整合
随着教育理念和技术的不断更新，动静法也需要不断改进和完善，以适应时代发展的需求。
持续改进教学方法
THANKS
理论力学 第10章 达朗贝尔原理(动静法)
RAn mgsin0
,
RA
mg 4
c
os0
22
[例2] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道
滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S 、T 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回
转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑
动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。
27
[例1] 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分 别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于 转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的 角加速度。
解： 方法1 用达朗贝尔原理求解 取系统为研究对象
28
虚加惯性力和惯性力偶：
RQ1 m1a1 , RQ2 m2a2 , MQO JO J
[例1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
解： 选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
RQ
ml
2
RQn
man
0
,
M QA
J A
ml 2
3
根据动静法，有
20
F 0 , RA mgcos0 RQ 0 (1)
Fi Ni Qi 0 mO (Fi )mO (Ni )mO (Qi )0
注意到 Fi(i) 0 , mO (Fi(i) )0 , 将质点系受力按内力、外力
划分, 则
Fi(e) Qi 0 mO (Fi(e) )mO (Qi )0
8
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理与动静法 教学PPT
Fi Ni Qi 0
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
工程实例
爆破时烟囱怎样倒塌
达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
达朗贝尔原理
aA l1
O
1
2
A C B
aA
由加速度基点法有
A
aCA 2
B C
aC aA aCA
aA
aA aC
1 aC l1 l 2 2
(2) 取AB 杆为研究对象
FgR2
Mg2
2
B
A
9g 1 , 7l
FgR 2
3g 2 7l
FAx
l 1 m(l1 2 ) M g 2 ml 2 2 2 12
研究整体
F
解得
x
0
F Fs m1 m2 a 0
3 F m1 m2 3 g 2 3 Fs m1 g F 2
M IA
A
FN
Fs f s FN f s m1 m2 g
解得
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D m2 g
mr 2 mgr (3 4 ) 3
n gR 2
2
FgR 2mr , F 2mr , M gO
7 2 mr 3
（2）将惯性力系向质心C简化，其 主矢主矩分别为： F ma 2mr
gR C
MA
FAy
MgC
F ma 2mr
n gR n C
2
mg
例题
已知：两均质且长度为l直杆 自水平位置无初速地释放。 求： 两杆的角加速度和 O、A处的约束反力。 解: (1) 取系统为研究对象
FOx
O
A
B
FgR1
FgR2
Mg1
1
Mg2
2
B
A O
mg
13第十三章-达朗贝尔原理(动静法)解析
常见的刚体运动有平动、定轴转动和平面运动。
13
一、刚体作平动
刚体内各点的加速度都与质心C的加速度 aC相等，任一
质点的惯性力 FIi mi aC ，组成一同向的平行力系。
这个惯性力系简化为通过质心C的合力：
FIR FIi miaC ( mi )aC FIR mac
FI1 aC
FI2
附加动约束力）； 2 推出消除附加动约束力的条件。
定轴转动刚体，角速度 ，角加速度 。
坐标系oxyz如图示，o点为转轴上的一点。
取简化中心：转轴上一点O。
z
所有主动力向O点简化的结果： 主矢：FR 主矩：M O
A FAx
惯性力系向O点简化的结果：
主矢：FIR
主矩：M IO
MO O
惯性力没有Z方向的分量（Z方向无加
第九章 质点动力学的基本方程 第十章 动量定理 第十一章 动量矩定理 第十二章 动能定理 ★ 第十三章 达朗贝尔原理 第十四章 虚位移原理
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原 理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化 为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。 这种用静力学解答动力学问题的方法，也称为动静 法。
FOx
(m1 m2 )g (m1 m2 )a
FIB
B
a 在本题中不计滑轮的质量，如果要
考虑滑轮的质量，则如何计算？
A
a
m2g
m1g
加上滑轮的惯性力和重力。
FIA
§13-3 刚体惯性力系的简化
应用达朗贝尔原理求解质点系动力学问题必须给各质点虚 加上它的惯性力。对于运动的刚体每个质点加上它的惯性力， 这些惯性力组成一惯性力系。因为刚体有无限个质点，在每个 质点上加惯性力是不可能的，为了应用方便，按照静力学中力 系的简化方法将刚体的惯性力系加以简化，这样在解题时就可 以直接施加其简化结果，使动静法切实可行。
13
一、刚体作平动
刚体内各点的加速度都与质心C的加速度 aC相等，任一
质点的惯性力 FIi mi aC ，组成一同向的平行力系。
这个惯性力系简化为通过质心C的合力：
FIR FIi miaC ( mi )aC FIR mac
FI1 aC
FI2
附加动约束力）； 2 推出消除附加动约束力的条件。
定轴转动刚体，角速度 ，角加速度 。
坐标系oxyz如图示，o点为转轴上的一点。
取简化中心：转轴上一点O。
z
所有主动力向O点简化的结果： 主矢：FR 主矩：M O
A FAx
惯性力系向O点简化的结果：
主矢：FIR
主矩：M IO
MO O
惯性力没有Z方向的分量（Z方向无加
第九章 质点动力学的基本方程 第十章 动量定理 第十一章 动量矩定理 第十二章 动能定理 ★ 第十三章 达朗贝尔原理 第十四章 虚位移原理
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原 理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化 为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。 这种用静力学解答动力学问题的方法，也称为动静 法。
FOx
(m1 m2 )g (m1 m2 )a
FIB
B
a 在本题中不计滑轮的质量，如果要
考虑滑轮的质量，则如何计算？
A
a
m2g
m1g
加上滑轮的惯性力和重力。
FIA
§13-3 刚体惯性力系的简化
应用达朗贝尔原理求解质点系动力学问题必须给各质点虚 加上它的惯性力。对于运动的刚体每个质点加上它的惯性力， 这些惯性力组成一惯性力系。因为刚体有无限个质点，在每个 质点上加惯性力是不可能的，为了应用方便，按照静力学中力 系的简化方法将刚体的惯性力系加以简化，这样在解题时就可 以直接施加其简化结果，使动静法切实可行。
理论力学第十四章达朗贝尔原理(动静法)课件
动静法的物理意义
物理背景
实际应用
达朗贝尔原理反映了牛顿第二定律在 静力学中的应用，通过引入惯性力， 将动力学因素考虑到平衡问题中。
在工程实际中，达朗贝尔原理广泛应 用于分析高速旋转的机械、振动系统 以及瞬态动力学问题。
意义阐述
通过动静法，我们可以分析在某一瞬 时，运动系统由于惯性作用而产生的 力，从而更准确地描述系统的平衡条 件。
03
在应用动静法时，要确 保惯性力与主动力相平 衡，避免出现误差。
04
在求解方程时，要注意 解的物理意义和实际情 况是否相符。
04
CATALOGUE
达朗贝尔原理的应用实例
简单实例解析
总结词
通过一个简单的实例，介绍达朗 贝尔原理的基本应用。
详细描述
以一个单摆为例，运用达朗贝尔 原理分析其运动状态，通过对比 理论计算和实验结果，验证达朗 贝尔原理的正确性。
具体推导过程
在受力分析的基础上，列出系统的平 衡方程。
解出未知数，得到系统的运动状态。
将动静法应用于平衡方程，将惯性力 与主动力相平衡。具体来说，就是在 平衡方程中加入惯性力项，使得该力 与主动力相平衡。
推导过程中的注意事项
01
确定研究对象和系统时 要明确，避免出现混淆 。
02
在建立平衡方程时，要 确保所有力的方向和大 小都正确。
理论力学第十四章 达朗贝尔原理(动静 法)课件
contents
目录
• 达朗贝尔原理概述 • 达朗贝尔原理的基本概念 • 达朗贝尔原理的推导过程 • 达朗贝尔原理的应用实例 • 达朗贝尔原理的扩展与深化
01
CATALOGUE
达朗贝尔原理概述
达朗贝尔原理的定义
知识资料理论力学(十四)(新版)(1)
五、达朗伯原理达朗伯原理是一种解决非自由质点系动力知识题的普遍主意。
这种主意将质点系的惯性力虚加在质点系上，使动力知识题可以应用静力学写平衡方程的主意来求解，故称为动静法，动静法在工程技术中得到广泛的应用。
（一）惯性力当质点受到其他物体的作用而改变其本来运动状态时，因为质点的惯性产生对施力物体的反作使劲，称为质点的惯性力。
惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，并作用在施力物体上。
惯性力的表达式为（二）达朗伯原理在非自由质点M运动中的每一瞬时，作用于质点的主动力F、约束反力N和该质点的惯性力FI构成一假想的平衡力系。
这就是质点达朗伯原理，其表达式为在非自由质点系运动中的每一瞬时，作用于质点系内每一质点的主动力Fi、约束反力N，和该质点的惯性力FiI构成一假想的平衡力系。
这就是质点系达朗伯原理。
即（三）刚体运动时惯性力系的简化对刚体动力知识题，可以将刚体上每个质点惯性力组成惯性力系，使劲系简化的主意，得出简化结果。
这些简化结果与刚体的运动形式有关。
详细结果见表4-3-9。
（四）动静法按照达朗伯原理，在质点或质点系所受的主动力、约束反力以外，假想地加上惯性力或惯第1 页/共7 页性力系的简化结果，则可用静力学建立平衡方程的主意求解动力知识题，这种求解动力知识题的主意称为动静法。
必须指出，动静法只是解决动力知识题的一种主意，它并不改变动力知识题的性质，因为惯性力并不作用在质点或质点系上，质点或质点系也不处于平衡状态。
动静法中“平衡”只是形式上的平衡，并没有实际意义。
应用动静法列出的平衡方程，实质上就是运动微分方程。
（五）例题[例4—3—13] 长方形匀质薄板重W，以两根等长的软绳支持如图4—3—37所示。
设薄板在图示位无初速地开始运动，图中α=30°。
求此时绳子中的拉力。
[解](1)对象以平板的为研究对象。
(2)受力分析运动开始时板受重力w、软绳约束反力T1、T2。
第十四章 达朗贝尔原理(动静法)
第一节 质点的达朗贝尔原理
设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主动力为F, 约束 反力为FN 。由牛顿第二定律，有
ma F FN
将上式改写成
FI m F a
F FN ma 0
令
FI ma
FN
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点的惯性力。它 的大小等于质点的质量与加速度的乘积, 方向与质点加速度的方向 相反。
w
A
an (x sin q )w 2
微元段的质量dm＝Pdζ/gl。在该微元 段虚加惯性力dFI, 它的大小为
q
an B FAy FAx A
dFI
Pw 2 dFI d m an sin q x d x gl
于是整个杆的惯性力的合力的大小为
x
q
P
Pw 2 P 2 FI sin q x d x lw sin q 0 gl 2g
(i 1, 2, , n)
即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在 形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
第二节 质点系的达朗贝尔原理
把作用在第i个质点上的所有力分为外力的合力为Fi , 内力的
(e)
合力为Fi ，则有
(i)
(e) (i) F i F i FI i 0
第二节
质点系的达朗贝尔原理
例4 重P长l的等截面均质细杆AB, 其A端铰接于铅直轴AC上, 并以
匀角速度w 绕该轴转动, 如图。求角速度w 与角q 的关系。
y C
w
A
q
an B
dFI
x
第二节
质点系的达朗贝尔原理
达朗贝尔原理(动静法)课件
惯性力问题
在研究具有加速度的物体时，可以利用达朗贝尔原理引入惯性力的概念，从而将 动力学问题转化为静力学问题，简化求解过程。
复杂系统的应用
多体系统动力学
在多体系统动力学中，达朗贝尔原理可以用于分析多个相互 作用的物体组成的复杂系统的运动规律。通过引入虚拟力， 可以将多体系统动力学问题转化为多个单体动力学问题的组 合。
案例二：机械设备的动静法优化
总结词
机械设备性能的优化是提高生产效率和降低能耗的关键，动静法能够分析机械设备的动态性能，提出 优化方案。
详细描述
在机械设备的运行过程中，动态性能对其稳定性和效率具有重要影响。达朗贝尔原理的动静法能够对 机械设备的动态性能进行深入分析，发现潜伏的问题并提出优化方案，从而提高设备的运行效率和稳 定性。
控制系统
在控制系统中，达朗贝尔原理可以用于分析系统的稳定性。 通过引入虚拟控制力，可以判断系统在受到干扰时是否能够 保持稳定。
04
达朗贝尔原理的案例分 析
案例一：桥梁结构的动静法分析
总结词
桥梁结构的稳定性与安全性是关键，动静法能够全面评估桥梁在不同载荷下的性能。
详细描述
桥梁作为交通要道，需要承受各种载荷，如车辆、风、地震等。达朗贝尔原理能够通过动静法分析桥梁在不同载 荷下的响应，从而评估其稳定性与安全性，为桥梁设计提供根据。
在振动分析中，动静法可用于 研究系统的自由振动和受迫振 动，分析系统的固有频率和振
型。
在稳定性分析中，动静法可用 于研究系统的稳定性和失稳条 件，预测系统的动态行为。
在控制系统分析中，动静法可 用于研究系统的动态响应和调
节性能，优化控制策略。
动静法的优缺点
动静法的优点在于其简单易行，能够 方便地引入虚拟惯性力，从而简化动 力学问题的分析过程。同时，动静法 能够直接得出系统的动力学方程，方 便进行数值计算和仿真分析。
在研究具有加速度的物体时，可以利用达朗贝尔原理引入惯性力的概念，从而将 动力学问题转化为静力学问题，简化求解过程。
复杂系统的应用
多体系统动力学
在多体系统动力学中，达朗贝尔原理可以用于分析多个相互 作用的物体组成的复杂系统的运动规律。通过引入虚拟力， 可以将多体系统动力学问题转化为多个单体动力学问题的组 合。
案例二：机械设备的动静法优化
总结词
机械设备性能的优化是提高生产效率和降低能耗的关键，动静法能够分析机械设备的动态性能，提出 优化方案。
详细描述
在机械设备的运行过程中，动态性能对其稳定性和效率具有重要影响。达朗贝尔原理的动静法能够对 机械设备的动态性能进行深入分析，发现潜伏的问题并提出优化方案，从而提高设备的运行效率和稳 定性。
控制系统
在控制系统中，达朗贝尔原理可以用于分析系统的稳定性。 通过引入虚拟控制力，可以判断系统在受到干扰时是否能够 保持稳定。
04
达朗贝尔原理的案例分 析
案例一：桥梁结构的动静法分析
总结词
桥梁结构的稳定性与安全性是关键，动静法能够全面评估桥梁在不同载荷下的性能。
详细描述
桥梁作为交通要道，需要承受各种载荷，如车辆、风、地震等。达朗贝尔原理能够通过动静法分析桥梁在不同载 荷下的响应，从而评估其稳定性与安全性，为桥梁设计提供根据。
在振动分析中，动静法可用于 研究系统的自由振动和受迫振 动，分析系统的固有频率和振
型。
在稳定性分析中，动静法可用 于研究系统的稳定性和失稳条 件，预测系统的动态行为。
在控制系统分析中，动静法可 用于研究系统的动态响应和调
节性能，优化控制策略。
动静法的优缺点
动静法的优点在于其简单易行，能够 方便地引入虚拟惯性力，从而简化动 力学问题的分析过程。同时，动静法 能够直接得出系统的动力学方程，方 便进行数值计算和仿真分析。
5达朗伯原理
关于惯性力，学术界还存在着争议：
一种观点,惯性力是真实的力。
比如，人拉小车加速前进，因为小车 有加速度，惯性力存在，并且我们的手可 以感受到这个力。
Q=maC C
a F F' F
另一种观点认为, 惯性力不是真实的力。 真实的力有三要素: 大小、方向、作用点, 还有施力者以及 作用在施力者上的反作用力。
LQ M C (Qi ) ri Qi ri (mi aC )
m2 Q1 m1
a1 aC
LQ mi ri a C MrC aC
rC为质心C对简化中心的矢径，且
Q2
RQ
Qn
a2
C mn
an
rC
mr
M
因为简化中心与质心C重合, 故
rC 0
LQ 0
惯性力:北半球向东发射远程炮弹偏右现象
（中程导弹射程：1000Km～4000Km；远程导弹：>4000Km；洲际导弹：8000～16000Km）
在“一战”期间 (1918), 德军用射程 113Km的巨形大炮轰击巴黎 , 炮长 34m, 外径1m, 炮重750T, 炮弹重120Kg, 3分30秒飞完115Km射程, 最大高度 40Km,发现炮弹总是向右偏离目标, 就是因为没有考虑到地球的自转偏向力。
a
n i
Qi
Qi Qi Qin , Qi mi ri , Qin mi ri 2
ω
ε
当惯性力系向转轴 O简化时， 只有各个质点的切向惯性 力才产生附加力偶，附加力偶矩的大小为Qiτ×ri = miri2ε, 其转 向与角加速度方向相反 , 因此，刚体惯性力系主矩LQ为： LQ M O (Q i ) (mi ri 2 ) ( mi ri 2 ) I z 结论：定轴转动刚体对转轴Z的惯性力主矩等于刚体对该 轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度方向相反。
达朗贝尔原理和动静法
FR+FI=0 即
F+FN+FI=0
目录
达朗贝尔原理\达朗贝尔原理和动静法 上式表明，如果在运动的质点上加上惯性力，则作用于质点上
的主动力、约束力与质点的惯性力组成一平衡力系。这就是质点的 达朗贝尔原理。
应该指出，由于惯性力实际上不是作用于运动的质点上，质点 实际上也并不平衡，所以达朗贝尔原理中的“平衡”并无实际的物 理意义。不过，根据达朗贝尔原理，就可将动力学问题从形式上转 化为静力学平衡问题，使我们能够用静力学的方法来研究动力学问 题。因此，这种方法称为动静法。动静法简化了对动力学问题的分 析处理，在工程中有着广泛的应用。
与质点的情况不同，作用于质点系的主动力、约束力与虚加的 惯性力通常组成一个平面一般力系或空间力系，这时应分清力系的 类型，列出相应的平衡方程求解。
由于质点系的内力总是成对出现的，所以在作用于质点系的主 动力和约束力中可以不考虑内力。
目录
理论力学
片看作是质量集中在质心(重心)C的质点，
它绕叶轮轴O作匀速圆周运动，其法向加
速度为an=R2，故惯性力FI的大小为
FI
mR 2
mR
nπ 2
30
41393N
41.4kN
惯性力的方向与法向加速度的方向相反，
即离心惯性力。
将惯性力FI加在叶片上，根据达朗贝 尔原理，它与叶片所受的拉力F组成一平
衡力系(叶片的重力远小于其惯性力，可
略去不计)，故有 F－FI=0
因此
F=FI=41.4kN
由本例可以看出，对于高速旋转的机械，由于惯性力与角速度
平方成正比，故其数值是相当大的，在设计时应给予充分重视。
目录
达朗贝尔原理\达朗贝尔原理和动静法 【例9.2】 为了测定作水平直线运动的车辆的加速度，采用摆
F+FN+FI=0
目录
达朗贝尔原理\达朗贝尔原理和动静法 上式表明，如果在运动的质点上加上惯性力，则作用于质点上
的主动力、约束力与质点的惯性力组成一平衡力系。这就是质点的 达朗贝尔原理。
应该指出，由于惯性力实际上不是作用于运动的质点上，质点 实际上也并不平衡，所以达朗贝尔原理中的“平衡”并无实际的物 理意义。不过，根据达朗贝尔原理，就可将动力学问题从形式上转 化为静力学平衡问题，使我们能够用静力学的方法来研究动力学问 题。因此，这种方法称为动静法。动静法简化了对动力学问题的分 析处理，在工程中有着广泛的应用。
与质点的情况不同，作用于质点系的主动力、约束力与虚加的 惯性力通常组成一个平面一般力系或空间力系，这时应分清力系的 类型，列出相应的平衡方程求解。
由于质点系的内力总是成对出现的，所以在作用于质点系的主 动力和约束力中可以不考虑内力。
目录
理论力学
片看作是质量集中在质心(重心)C的质点，
它绕叶轮轴O作匀速圆周运动，其法向加
速度为an=R2，故惯性力FI的大小为
FI
mR 2
mR
nπ 2
30
41393N
41.4kN
惯性力的方向与法向加速度的方向相反，
即离心惯性力。
将惯性力FI加在叶片上，根据达朗贝 尔原理，它与叶片所受的拉力F组成一平
衡力系(叶片的重力远小于其惯性力，可
略去不计)，故有 F－FI=0
因此
F=FI=41.4kN
由本例可以看出，对于高速旋转的机械，由于惯性力与角速度
平方成正比，故其数值是相当大的，在设计时应给予充分重视。
目录
达朗贝尔原理\达朗贝尔原理和动静法 【例9.2】 为了测定作水平直线运动的车辆的加速度，采用摆
第19讲 达朗贝尔原理及动静法
x2
FτI = mABaCτ x
FnI = mABaCnx
M
I x
=
J CAxBθ&&
由动静法，作用在AB段上主动力、惯性力及下半
段对上半段的约束力对B点的矩平衡： M I − M (x) + mAB (x/2)sinθ + FτI (x/2) = 0
M ( x) = mgl sinθ / 4( x / l )2 (1− x / l )
∫ T
=
1 2
π ρ Ar2ω2 sinθ dθ
0
截面上的应力：单位面积上的力
=
−
1 2
ρ
Av2
cosθ
|π0
=
ρ
Av2
σ = T / A = ρv2
讨论
σ = T / A = ρv2
设材料的容许应力为 ，则设计飞轮转速时， 必须遵守 v < vk = [σ ] / ρ , vk 为极限速度。
材料
铸铁 钢
=
−JCε
JC = mr 2 / 2
(3) 建立惯性力系、外力系和内力系的 平衡方程
∑MA =0:
M
I C
+
RIr
−
mgr sinα
=
0
&x& = 2g sinα / 3, ε = 2g sinα /(3r)
∑ X = 0 : mg sinα − F − RI = 0
∑Y = 0 : − mg cosα + N = 0
F2(I )
ε
F1(I ) ε
定轴转动刚体的轴承动反力情况
２．偏心情形
RI = −maC ≠ 0
理论力学 第11章 达朗伯原理(动静法)
解： (1)绳FI 被剪断后，板在其自身平面内作
D
E
曲线平动，各点的速度、加速度均相同。 板受力如图。
∵剪断绳FI 瞬时，vA= 0，
FA
60° y FB
60°
A
aA
B
∴ aA = aA = aC 对板虚加惯性力， FI = maC
……①
FICຫໍສະໝຸດ bFG MIaC x
则根据达朗伯原理，有
∑FX = 0，
(2)当AD、BE铅直时,板受力如图。
设板质心的加速度如图。 虚加板的惯性力系，且
D
E
60°
FA l
FB
FIn=maCn ， FI =maC
……①
A
B
则根据达朗伯原理，有
aCn FFII C
∑ FX = 0， －FI = 0
……②
FG
aC MI
∑ FY = 0， FA+ FB －MI－FIn = 0 ……③
• 达朗伯原理将非自由质点系的动力学方程用静力学平衡方程的形式表述。 或者说，将事实上的动力学问题转化为形式上的静力学平衡问题，既所 谓“动静法”。
12.1 惯性力与达朗伯原理
图示圆锥摆摆长为l，摆锤M 的质量m，在水平面内 作匀速圆周运动，速度为v，锥摆的顶角为2φ。 摆锤 M 受力如图，其加速度为
i 1
i 1
② 在解决质点系动力学的两类基本问题上，达朗伯原理均适用。 但若已知质点系的运动，需要求解该系统的约束反力或外力时， 应用达朗伯原理尤其方便。
③ 应用达朗伯原理的关键是解决质点系的惯性力系的简化问题。
12.2 惯性力系的简化—— 一、刚体作平动
在同一瞬时，平动刚体内各点的加速度相等，
第12章 达朗伯原理
x a 其中 C
mg
aD
l l y , a C tan 30 o 2
9
H
例7（亦为典型题目，用到许多运动学知识） 均质杆AB，质量m，长l。在图示位置释放。 求此时杆的角加速度。
N
T
刚体平 面运动 微分方 程
质心运动定理
maCx F , maCy F
( e) x ( e) y
——惯性力偶
4
M gO Qn
惯性力系：
Q
方法1：向轴O点简化 主矢： n 即 Q MaC Qn MaC
主矩：
Qi
Qin
——惯性力 注意：作用于轴O ——惯性力偶
M gO I O
方法2：向质心C简化 主矢——惯性力：完全同上。（为什么？） 主矩： 注意：作用于质心C
第十二章 达朗贝尔原理（动静法）
三大定理可解决所有动力学问题，但有些问题的求解并不方便， 如多刚体动力学（如机器人——自由度较多），而用分析力学 的方法则较方便。分析力学的基础则是：
达朗贝尔原理——用静力学方法解决动力学问题 虚位移原理——用动力学方法解决静力学问题
动静法特点：简单、新颖、实用，只用一个概念（惯性力）、 一个理论（达朗贝尔原理），而不用前面三大定理中诸多概 念（动能、动量、动量矩、功、冲量等）。
Qi
Qin
方法1：向轴O点简化 n n 主矢： Q Qi (mi ai mi ai ) MaC MaC Q Qn
a r ( r )
m a m ( r ) ( m r ) Mr Ma m a m ( r ) ( m r ) Mr
mg
aD
l l y , a C tan 30 o 2
9
H
例7（亦为典型题目，用到许多运动学知识） 均质杆AB，质量m，长l。在图示位置释放。 求此时杆的角加速度。
N
T
刚体平 面运动 微分方 程
质心运动定理
maCx F , maCy F
( e) x ( e) y
——惯性力偶
4
M gO Qn
惯性力系：
Q
方法1：向轴O点简化 主矢： n 即 Q MaC Qn MaC
主矩：
Qi
Qin
——惯性力 注意：作用于轴O ——惯性力偶
M gO I O
方法2：向质心C简化 主矢——惯性力：完全同上。（为什么？） 主矩： 注意：作用于质心C
第十二章 达朗贝尔原理（动静法）
三大定理可解决所有动力学问题，但有些问题的求解并不方便， 如多刚体动力学（如机器人——自由度较多），而用分析力学 的方法则较方便。分析力学的基础则是：
达朗贝尔原理——用静力学方法解决动力学问题 虚位移原理——用动力学方法解决静力学问题
动静法特点：简单、新颖、实用，只用一个概念（惯性力）、 一个理论（达朗贝尔原理），而不用前面三大定理中诸多概 念（动能、动量、动量矩、功、冲量等）。
Qi
Qin
方法1：向轴O点简化 n n 主矢： Q Qi (mi ai mi ai ) MaC MaC Q Qn
a r ( r )
m a m ( r ) ( m r ) Mr Ma m a m ( r ) ( m r ) Mr
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● 主矩 M *＝0
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 惯性力系的简化
刚体做定轴转动
2. 刚体做定轴转动
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬 时的角速度为ω，角加速度为α。
● 主矢 F *＝ (－miai ) ＝－maC
第五章 达朗贝尔原理
第五章 达朗贝尔原理
工程实际问题
第五章 达朗贝尔原理
第五章 达朗贝尔原理
车底盘距路面的高度为什么不同？
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-1 达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 达朗贝尔原理
一、质点达朗伯原理
设质量为m的非自由质点M，在主
的达朗伯原理。
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理
F FN F* 0
质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx Fx* 0 Fy FNy Fy* 0 Fz FNz Fz* 0
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 达朗贝尔原理
二、质点系达朗贝尔原理 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将
不限于对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，
而是共有3n个独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所
有内力都将自动消去。
达朗伯原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动 力学方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态 平衡方程。
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 惯性力系的简化
惯性力系的简化 刚体常见运动情况下
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Fi FNi Fi* 0 MO (Fi ) MO (FNi ) MO (Fi* ) 0
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
Fi FNi Fi* 0
MO (Fi ) MO (FNi ) MO (Fi* ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束
力和该点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一 点O的主矩也等于零。
考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而
达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
Fi FNi Fi* 0
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
Fi FNi Fi* 0
惯性力的主矢和主矩
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 惯性力系的简化
一、 惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性 力各自向任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作F，MO
和F* ，M*O ，于是，由力系平衡条件，可得
F F* 0
1.惯性力系的主矢
MO
M
* O
0
由质心运动定理有 F = maC ,得 F* maC
惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 惯性力系的简化
二、刚体常见运动情况下惯性力的主矢和主矩 1. 刚体作平动 刚体平移时，惯性力系向质心简化
● 主矢
F*2
m2 F*1
m1 a2
a1
F *＝ (－miai )
F* M aC F*n mn an
＝ (－miaC )＝－maC
M
* C
dLC dt
以及它在通过质心C的某一平动轴 Cz上的投影表达式
M
* z
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴） 的主矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数， 并冠以负号。
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 惯性力系的简化 惯性力系的主矩
注意
惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。
动力学
达朗贝尔原理
西北工业大学 支希哲 朱西平 侯美丽
第五章 达朗贝尔原理
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一 个新的普遍方法，即用静力学中研究平衡问 题的方法来研究动力学问题，因此又称为动 静法。
第五章 达朗贝尔原理
动力学
第
五
章
§5– 1 达朗贝尔原理
达
§5–2 惯性力系的简化
朗
贝
* z
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）
的主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导 数，并冠以负号。
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 惯性力系的简化 惯性力系的主矩
● 对质心点
利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力
对质心C的主矩表达式
● 对质心轴
FN
动力F和约束力FN作用下沿曲线运动，
B
该质点的动力学基本方程为
F* M
ma a
ma F FN
或
AF
F FN (ma) 0
引入质点的惯性力F* =－ma 这一概念，于是上式可改写成
F FN F* 0
上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、
约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点
aC aCt aCn
设质心C的转动半径为rC，则 Ft*
和 Fn* 的大小可分别表示为
x
F * Ft* Fn*
Ft* maCt ; Fn* maCn ;
z
Fn*
即,质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度 的乘积，而取相反方向。
第五章 达朗贝尔原理
§ 5-2 惯性力系的简化
2.惯性力系的主矩
● 对任意固定点
由对任意固定点O的动量矩定理有
MO
d LO dt
，
代入
MO
M
* O
0
得
M
* O
d LO dt
● 对固定轴
现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，
M
尔
§5–3 动静法应用举例
原
理
第五章 达朗贝尔原理Fra bibliotek目录第五章 达朗贝尔原理
引言
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了 有别于动力学普遍定理的另外一类方法。
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯 性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束 力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。