无网格法介绍

无网格法是在建立问题域的系统代数方程时，不需要利用预定义的 无网格法是在建立问题域的系统代数方程时， 网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、 网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、更自由的网格进行域 离散的方法。（刘桂荣，2009） 离散的方法。（刘桂荣，2009） 。（刘桂荣
无网格法概述
无网格法求解过程 FEM对比 对比） （与FEM对比）
导出无网格法公式
基于弱强式的无网格法
• MFree弱-强式法 弱 强式法 强式法(NWS)的核心思想是针对某一问题同时采用强式和 的核心思想是针对某一问题同时采用强式和 局部弱式建立起离散系统方程式，即对不同组别的节点根据其不同 局部弱式建立起离散系统方程式， 条件分别形成不同类型的方程，其中局部弱式被用于位于或接近导 条件分别形成不同类型的方程， 数边界条件的所有节点，强式被用于除此之外的其他节点。 数边界条件的所有节点，强式被用于除此之外的其他节点。 • 代表方法：MWS 代表方法： • MWS特点。MWS法使用最少数量的背景网格用于积分，对各类力学 特点。 法使用最少数量的背景网格用于积分， 特点 法使用最少数量的背景网格用于积分 问题均可得到稳定而精确的解，是目前近乎理想的无网格法。 问题均可得到稳定而精确的解，是目前近乎理想的无网格法。
构造无网格形函数
PIM形函数性质
• 一致性 如果单项式的完备阶数是p，则该形函数具有 C p 一致性 如果单项式的完备阶数是 ， • 再生性 PIM基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。 基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。 基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数 • 线形独立性 PIM基函数在支持域上是线性独立的 基函数在支持域上是线性独立的 • δ 函数性
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构造无网格形函数 导出无网格法公式 无网格法研究主要进展
构造无网格形函数
无网格插值技术分类 分类 无网格近似技术 再生核粒子法（RKPM） 再生核粒子法（ ） 移动最小二乘（ 级数表达式 移动最小二乘（MLS） ） 点插值法（ 点插值法（PIM,RPIM） ） 单位分解法（ ） 单位分解法（PU） 广义有限差分法（ 差分表达式 广义有限差分法（GFDM） ） 光滑粒子动力学法（ 积分表达式 光滑粒子动力学法（SPH） ）
构造无网格形函数
移动最小二乘(MLS)形函数 移动最小二乘(MLS)形函数 (MLS) 同样，在计算点 处 同样，在计算点x处u(x)可近似表示为 可近似表示为
在移动最小二乘近似（MLS） 系数a(x)的选取使近 在移动最小二乘近似（MLS）中，系数a(x)的选取使近 在计算点x的邻域内待求函数 的邻域内待求函数u(x)在某种最 似函数 u h ( x ) 在计算点 的邻域内待求函数 在某种最 小二乘意义下的最佳近似。 小二乘意义下的最佳近似。近似函数在节点 x i 处的误差 加权平方和为
取最小值， 即可得最小二乘形函数。 令J取最小值，解得待定系数 取最小值 解得待定系数a(x),即可得最小二乘形函数。 即可得最小二乘形函数
构造无网格形函数
MLS形函数性质 形函数性质
• 一致性 如果单项式的完备阶数是p， 如果单项式的完备阶数是 ，则该形函数具有 C p 一致性 • 再生性 PIM基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数 基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数 • 单位分解性
构造无网格形函数
多项式基点插值法(PIM)形函数 形函数 多项式基点插值法 使用多项式作为插值函数是应用最早的差值方法之一。 使用多项式作为插值函数是应用最早的差值方法之一。 设定义在问题域中的一连续函数u(x)可由一组场节点表 设定义在问题域中的一连续函数 可由一组场节点表 在计算点x处 可近似表示为： 示，在计算点 处u(x)可近似表示为： 可近似表示为
无网格法分类
根据函数近似方法分类
•基于移动最小二乘近似的无网格法 基于移动最小二乘近似的无网格法 扩散单元法（ ），无单元 扩散单元法（DEM），无单元 ），无单元Galerkin法（EFG） ，无网格局部 法 ） Petrov-Galerkin法（MLPG） 法 ） •基于积分形式近似无网格法 基于积分形式近似无网格法 光滑粒子流体动力学法（ ），再生核粒子法 光滑粒子流体动力学法（SPH），再生核粒子法（RKPM） ），再生核粒子法（ ） •基于点插值无网格法 基于点插值无网格法 多项式基点插值法（ 径向基点插值法（ 多项式基点插值法（PIM）,径向基点插值法（RPIM） ） 径向基点插值法 ） •基于其他近似方法的无网格法 基于其他近似方法的无网格法 基于自然邻节点插值的自然单元法（ ），hp云法 基于自然邻节点插值的自然单元法（NEM）， 云法，单位分解 ）， 云法， 法（PU） ）
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Байду номын сангаас
构造无网格形函数 导出无网格法公式 无网格法研究主要进展
无网格法研究主要进展
• Lucy（1977） 提出光滑粒子法（Smooth Particle Hydrodynamics method, Lucy（1977） 提出光滑粒子法（ SPH） 即SPH） • Lancaster（1979，1981）较为系统地研究了移动最小二乘法 Lancaster（1979，1981） • Belytschko（ 1994 ）提出无单元Galerkin方法（Element-Free Galerkin Belytschko（ 提出无单元Galerkin方法（ElementGalerkin方法 method， method，即EFG ） • Liu（1995）等人提出了重构核粒子法（Reproducing Kernel Particle Liu（1995）等人提出了重构核粒子法（ Method， Method，即RKPM) • Oden（1995）提出了Hp-clouds方法 Oden（1995）提出了Hp-clouds方法 Hp • Onate（1996）提出了有限点法（Finite Point Method,即FPM ） Onate（1996）提出了有限点法（ Method,即 • Golberg和Chen（1994，1996）研究了径向基函数法（radial basis Golberg和Chen（1994，1996）研究了径向基函数法（ function， RBF） function，即RBF） • Atluri（2000）提出了Meshless Local Petrov-Galerkin Method（即MLPG） Atluri（2000）提出了Meshless PetrovMethod（ MLPG）
FEM和MFree法流程图
无网格法概述
形成逼近函数 光滑粒子法 移动最小二乘法 单位分解法 重构核粒子法 径向基函数法
与基于网格的方法不同 与基于网格的方法相同
形成求解方程 加权残数法 变分原理 边界积分方程
+
无网格法概述
为何采用无网格法？ 为何采用无网格法？ • • • • 形成FEM网格时的计算成本高 网格时的计算成本高 形成 应力精度低 自适应分析困难 对某些问题分析的局限性 大变形问题（如冲压变形） 大变形问题（如冲压变形） 裂纹扩展问题 流固耦合问题 爆炸问题
构造无网格形函数
• 单位分解性 • 紧支性 PIM形函数是紧支域中的节点构造的，紧支域外的任意点 形函数是紧支域中的节点构造的， 形函数是紧支域中的节点构造的 处的函数值被认为是0 处的函数值被认为是 • 相容性 在应用PIM形函数时，如使用局部支持域，则全局域上的 形函数时， 在应用 形函数时 如使用局部支持域， 相容性将不能保证，即将节点进出或移动支持域时， 相容性将不能保证，即将节点进出或移动支持域时，其场 函数的近似式是不连续变化的
无网格法(MFree) 简介
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无网格法概述
无网格法定义
The meshfree method is used to establish a system of algebraic equations for the whole problem domain without the use of a predefined mesh, or uses easily generable meshes in a much more flexible or ‘‘freer’’ manner.(G R Liu,2009)
• δ 函数性 MLS形函数不具备 δ 函数性，本质边界条件不易施加 形函数不具备 函数性，
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基于全局弱式的无网格法
• MFree全局弱式法中，控制偏微分方程连同其边界条件通过各种技术 全局弱式法中， 全局弱式法中 转化为一组积分方程， 转化为一组积分方程，再利用建立在问题域上的全局背景网格进行 数值积分操作而将其弱式转化为一组代数系统方程。 数值积分操作而将其弱式转化为一组代数系统方程。 • 代表方法：无单元 代表方法：无单元Galerkin法(EFG)，无网格径向基点插值法 法 ， (MRPIM) • EFG特点。优点：具有很好的精度和收敛性，对点的分布不敏感； 特点。 特点 优点：具有很好的精度和收敛性，对点的分布不敏感； 缺点：需要背景网格，应用本质边界条件困难，计算效率低。 缺点：需要背景网格，应用本质边界条件困难，计算效率低。 • MRPIM特点。优点：本质边界条件容易施加，插值稳定；缺点：径 特点。 特点 优点：本质边界条件容易施加，插值稳定；缺点： 向基参数不好确定，计算效率较低， 向基参数不好确定，计算效率较低，形状函数难于满足全域的相容 性条件。 性条件。
无网格方法模拟裂纹扩展
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无网格法分类
根据公式导出方法分类
• 基于弱式无网格法 扩散单元法（ ），无单元 ），再生核粒子法 扩散单元法（DEM），无单元 ），无单元Galerkin法（EFG），再生核粒子法 法 ）， 无网格局部Petrov-Galerkin法(MLPG)，局部径向基点插值 （RKPM）,无网格局部 ） 无网格局部 法 ， 法（LRPIM）,h-p云法 ） 云法 • 基于配点技术（强式）无网格法 基于配点技术（强式） 广义有限差分法（ 配点法， 广义有限差分法（GFDM）,MFree配点法，有限点法（FPM） ） 配点法 有限点法（ ） • 基于弱式和配点技术相结合无网格法 MFree弱-强式法（MWS）,光滑粒子流体动力学法（SPH） 强式法（ 光滑粒子流体动力学法（ 弱 强式法 ） 光滑粒子流体动力学法 ）
导出无网格法公式
基于局部弱式的无网格法
• MFree局部弱式法核心是对控制方程在每一个局部子域采用局部加权 局部弱式法核心是对控制方程在每一个局部子域采用局部加权 残值法， 残值法，使一个需要在全域求解的问题简化为在各个子域上对局部 伽辽金方程的求解问题,从而避免了全域的数值积分 伽辽金方程的求解问题 从而避免了全域的数值积分 • 代表方法：无网格局部伽辽金法 代表方法：无网格局部伽辽金法(MLPG)，局部点插值法 ，局部点插值法(LPIM) • MLPG特点。优点：避免全局数值积分，减小了对背景积分网格依赖； 特点。 特点 优点：避免全局数值积分，减小了对背景积分网格依赖； 缺点： 刚度阵”带状但不对称，增加了计算难度， 缺点： “刚度阵”带状但不对称，增加了计算难度，尽管在大部分 的边界积分可通过选用适当的权函数消除掉 ，但在问题域的边界上 或附近,边界积分是不可避免的 使其难以应用于复杂边界。 边界积分是不可避免的， 或附近 边界积分是不可避免的，使其难以应用于复杂边界。 • LPIM特点。优点：更易满足本质边界条件且有较好 的精度和收敛性； 特点。 的精度和收敛性； 特点 优点： 不需满足全域相容性，更有应用前景；缺点： 不需满足全域相容性，更有应用前景；缺点：插值力矩阵容易发生 奇异，需要特殊处理。 奇异，需要特殊处理。
无网格法分类
根据域表示法分类
•域型无网格法 域型无网格法 扩散单元法（ ），无单元 扩散单元法（DEM），无单元 ），无单元Galerkin法（EFG）无网格局部 法 ） Petrov-Galerkin法（MLPG），自然单元法（NEM），再生核粒子 ），自然单元法 ），再生核粒子 法 ），自然单元法（ ）， ），径向基点插值法 法（RKPM），径向基点插值法（RPIM） ），径向基点插值法（ ） •边界型无网格法 边界型无网格法 边界节点法（ 局部边界积分方程法（ ），边界点插 边界节点法（BNM）,局部边界积分方程法（LBIE），边界点插 ） 局部边界积分方程法 ）， 值法（ 杂交边界点插值法（ 值法（BPIM）,杂交边界点插值法（HBPIM） ） 杂交边界点插值法 ）