开环系统频率特性的绘制
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使用MATLAB工具绘制。
Thursday, August 08, 2019
3
[例5-1]设开环系统的频率特性为：G( j)
k
(1 jT1)(1 jT2)
试列出实频和虚频特性的表达式。当k 1,T1 1,T2 5 绘制奈氏
图。
解：G(
j )
k(1 jT1 )(1 jT2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
i 1 n
(1 i s)
(1 Tj s)
j 1
m
其相角为： () tg 1i
i 1
2
n j 1
tg 1Tj
当
0 时，(0)
,G(0)
2
1
( j)
| 0
当 时，() m (n ) (n m) ,
6
2 )(1
25
2)
找出几个特殊点（比如 0, ，与实、虚轴的交点等）， 可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。
Thursday, August 08, 2019
4
0 P() 1 Q() 0
0.2
1 0.8
5
3.85 0 -0.79 0
-5.77
5 6
-1.72
17
Im
0
0
n=3
n=2
-1 1
Re
n=0 0
0
n=1
n=4
0
0 Im
n=2
0 n=3
Re
n=0 0
n=1
0
n=4 0
K 的极坐标图 sn (s 1)
K 的极坐标图 sn (s 1)2
KT1
Re
( ) 90 tg1T1
P(
)
1
KT1
T12
2
Q(
)
(1
K
T12
2
)
0
当 0时，A() ，() 90，P() KT1，Q()
当 时，A() 0，() ，P() 0，Q() 0
P( )
jQ( )
( )
2
tg 1T1
tg 1T2
[分析]1、当
0
时，P(0)
k (T1
T2 ),Q(0)
, (0)
2
显然，当 0 时，G( j)的渐进线是一条通过实轴 k(T1 T2) 点，
且平行于虚轴的直线。
2、与实轴的交点。令：Q()
结论：假如G(s)乘上因子1/sn，则G(j)的极坐标图顺时针转过
n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在=0的幅
值为无穷大。
Thursday, August 08, 2019
18
⒊ 增加有限零点
设
G5 ( s)
s(T1s
K 1)(T2s
1)
A()
K
1 T12 2 1 T22 2
K Re 0
Q( )
K(T1 T2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
当 0时，A() K，() 0，P() K，Q() 0
当 时，A() 0，() ，P() 0，Q() 0
令P() 0，解得 1 ，此时Q() K T1T2
G(s)
1
(1 s)(1 5s)
6
[例5-2]设开环系统的频率特性为：G( j)
j (1
k
jT1 )(1
jT2 )
试绘制极坐标特性曲线。
[解]：G(
j )
k(T1 T2 )
(1 T12 2 )(1 T22 2 )
j
k(1T1T2 2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
Q(
)
KT1 1 T12 2
1 T
0
当 0时，A() K，() 0，P() K，Q() 0
当 时，A() 0，() ，P() 0，Q() 0
2
Thursday, August 08, 2019
11
⒈ 增加有限极点
在取有限值时与坐标轴无交点。
Thursday, August 08, 2019
16
设
G5 ( s )
K s2 (T1s
1)
Im
A()
K
2 1 T12 2
0
( ) 180 tg1T1
P( )
K
2 (1 T12
2
)
Re 0
( ) 90 tg1T1 tg1T2
Im
Re
P(
)
(1
K (T1 T2 )
T12 2 )(1 T22
2
)
Q(
)
K(1
(1 T12 2
T1T2 2 ) )(1 T22
2
)
0
当 0时，A() ，() 90，P() K(T1 T2)，Q()
k(1 T1T2 2 ) (1 T12 2 )(1 T22
2)
j
k(T1 T2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
P()
jQ( )
当k
1,T1
1,T2
5时，P( )
1 5 (1 2 )(1
2
25
2)
, Q( )
(1
当 时，A() 0，() 270，P() 0，Q() 0
令Q( ) 0，解得与实轴交点 1 ，交点P( ) KT1T2
Thursday, August 08, 2019
T1T2
T1 T2 19
设
G5 ( s)
K (Td s 1) s(T1s 1)(T2s 1)
0
（Ⅰ型）
低频段频率特性
0型：(0) 0,| G(0) | 1
1型：(0) ,| G(0) |
2
2型：(0) ,| G(0) |
高频段频率特性 n m 1时， ()
2
n m 2时， ()
n m 3时， () 3
P( )
K[1 （ 2 T1T2 T1T3 T2T3）] (1 T12 2 )(1 T22 2 )(1 T32 2 )
Q( )
K( 2T1T2T3 T1 T2 T3) (1 T12 2 )(1 T22 2 )(1 T32 2 )
Thursday, August 08, 2019
T1T2
T1 T2
12
设
G3 ( s )
(T1s
K 1)(T2s 1)(T3s
1)
A( )
K
1 T12 2 1 T22 2 1 T32 2
( ) tg 1T1 tg 1T2 tg 1T3
22
2
2
G( j ) | 0, (若n m)
显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特 性与n-m有关。
Thursday, August 08, 2019
9
下图为0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统在低频和高频段频率特性示意图：
0
（Ⅱ型）
0
（0型）
n-m=3
n-m=2
n-m=1
Thursday, August 08, 2019
A( )
K 1 Td2 2
1 T12 2 1 T22 2
( ) tg1Td 90 tg1T1 tg1T2
P( )
K(T1 T2 Td 2T1T2Td (1 T12 2 )(1 T22 2 )
)
Q( )
开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成， 或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。
[绘制方法]： 将开环系统的频率特性写成P() jQ() 或 A( )e j() 的形 式，根据不同的算出 P(),Q()或 A(),()可在复平面上得到不 同的点并连之为曲线。（手工画法）。
2
至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。
Thursday, August 08, 2019
10
二、增加零极点对极坐标图形状的影响
设
G1(s)
K T1s
1
Im
A() K 1 T12 2
( ) tg1T1
0
K Re
P(
)
1
K
T12
2
0
G(s)
1
s(1 s)(1 5s)
k 10,T1 1,T2 5
0
G(s)
10
s(1 s)(1 5s)
Thursday, August 08, 2019
8
[具有积分环节的系统的频率特性的特点]：
m
频率特性可表示为：G(
j )
(
1
j )
Im T1 T2 T3
T1T2T3
0
K Re 0
1
T1T2 T1T3 T2T3
当 0时，A() K， () 0，P() K，Q() 0
当 时，A() 0， () 3 ，P() 0，Q() 0
K[1 2(T1T2 T1Td T2Td (1 T12 2 )(1 T22 2 )
)]
当 0时，A() ， () 90，P() K(T1 T2 Td )，Q()
当 时，A() 0，() 180，P() 0，Q() 0
P(1 )
kT1T2 T1 T2
3、当 时，P() 0,Q()
0 ，解得：1
0,() 3
1 ，这时：
T1T2
，渐进线方向向下。
2
Thursday, August 08, 2019
7
k 1,T1 1,T2 5 k 1,T1 1,T2 5
第四节 开环系统频率特性的绘制
Thursday, August 08, 2019
1
本节主要内容
开环系统极坐标频率特性的绘制（奈氏图） 开环系统对数坐标频率特性的绘制（波德图） 非最小相位系统的频率特性
Thursday, August 08, 2019
2
一、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图）
0
相角： () tg 1 tg 15
0 () 0
0.2
1 5
0.8
-56.31 -90 -114.62 -180
用上述信息可以大致ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ勒出奈氏图。
Thursday, August 08, 2019
5
下图是用 Matlab工具绘制的奈氏图。
Thursday, August 08, 2019
Q(
)
(1
KT1
T12
2
)
当 0时，A() ，() 180 ，P() ，Q()
当 时，A() 0，() 3 ，P() 0，Q() 0
2 在取有限值时与坐标轴无交点。
Thursday, August 08, 2019
0
K Re 0
结论：假如G(s)增加n个有限负极点(时间常数形式)，则G(j)
的极坐标图在=0时幅值不变；在→∞时顺时针转过n/2(弧
度)。Thursday, August 08,
2019
15
⒉ 增加在原点处的极点
Im
设
G4 (s)
K s(T1s 1)
A()
K
1 T12 2
2
令P( ) 0，解得
1
，此时与虚轴相交；
T1T2 T1T3 T2T3
令Q() 0，解得 0和
Thursday, August 08, 2019
T1 T2 T3，此时与实轴相交； T1T2T3
13
Thursday, August 08, 2019
14
Im
Im
设
G2 (s)
(T1s
K 1)(T2s
1)
A()
K
1 T12 2 1 T22 2
( ) tg1T1 tg1T2
P( )
K(1 T1T22 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
1 T1T2
0
K T1T2 T1 T2
Thursday, August 08, 2019
3
[例5-1]设开环系统的频率特性为：G( j)
k
(1 jT1)(1 jT2)
试列出实频和虚频特性的表达式。当k 1,T1 1,T2 5 绘制奈氏
图。
解：G(
j )
k(1 jT1 )(1 jT2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
i 1 n
(1 i s)
(1 Tj s)
j 1
m
其相角为： () tg 1i
i 1
2
n j 1
tg 1Tj
当
0 时，(0)
,G(0)
2
1
( j)
| 0
当 时，() m (n ) (n m) ,
6
2 )(1
25
2)
找出几个特殊点（比如 0, ，与实、虚轴的交点等）， 可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。
Thursday, August 08, 2019
4
0 P() 1 Q() 0
0.2
1 0.8
5
3.85 0 -0.79 0
-5.77
5 6
-1.72
17
Im
0
0
n=3
n=2
-1 1
Re
n=0 0
0
n=1
n=4
0
0 Im
n=2
0 n=3
Re
n=0 0
n=1
0
n=4 0
K 的极坐标图 sn (s 1)
K 的极坐标图 sn (s 1)2
KT1
Re
( ) 90 tg1T1
P(
)
1
KT1
T12
2
Q(
)
(1
K
T12
2
)
0
当 0时，A() ，() 90，P() KT1，Q()
当 时，A() 0，() ，P() 0，Q() 0
P( )
jQ( )
( )
2
tg 1T1
tg 1T2
[分析]1、当
0
时，P(0)
k (T1
T2 ),Q(0)
, (0)
2
显然，当 0 时，G( j)的渐进线是一条通过实轴 k(T1 T2) 点，
且平行于虚轴的直线。
2、与实轴的交点。令：Q()
结论：假如G(s)乘上因子1/sn，则G(j)的极坐标图顺时针转过
n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在=0的幅
值为无穷大。
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18
⒊ 增加有限零点
设
G5 ( s)
s(T1s
K 1)(T2s
1)
A()
K
1 T12 2 1 T22 2
K Re 0
Q( )
K(T1 T2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
当 0时，A() K，() 0，P() K，Q() 0
当 时，A() 0，() ，P() 0，Q() 0
令P() 0，解得 1 ，此时Q() K T1T2
G(s)
1
(1 s)(1 5s)
6
[例5-2]设开环系统的频率特性为：G( j)
j (1
k
jT1 )(1
jT2 )
试绘制极坐标特性曲线。
[解]：G(
j )
k(T1 T2 )
(1 T12 2 )(1 T22 2 )
j
k(1T1T2 2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
Q(
)
KT1 1 T12 2
1 T
0
当 0时，A() K，() 0，P() K，Q() 0
当 时，A() 0，() ，P() 0，Q() 0
2
Thursday, August 08, 2019
11
⒈ 增加有限极点
在取有限值时与坐标轴无交点。
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16
设
G5 ( s )
K s2 (T1s
1)
Im
A()
K
2 1 T12 2
0
( ) 180 tg1T1
P( )
K
2 (1 T12
2
)
Re 0
( ) 90 tg1T1 tg1T2
Im
Re
P(
)
(1
K (T1 T2 )
T12 2 )(1 T22
2
)
Q(
)
K(1
(1 T12 2
T1T2 2 ) )(1 T22
2
)
0
当 0时，A() ，() 90，P() K(T1 T2)，Q()
k(1 T1T2 2 ) (1 T12 2 )(1 T22
2)
j
k(T1 T2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
P()
jQ( )
当k
1,T1
1,T2
5时，P( )
1 5 (1 2 )(1
2
25
2)
, Q( )
(1
当 时，A() 0，() 270，P() 0，Q() 0
令Q( ) 0，解得与实轴交点 1 ，交点P( ) KT1T2
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T1T2
T1 T2 19
设
G5 ( s)
K (Td s 1) s(T1s 1)(T2s 1)
0
（Ⅰ型）
低频段频率特性
0型：(0) 0,| G(0) | 1
1型：(0) ,| G(0) |
2
2型：(0) ,| G(0) |
高频段频率特性 n m 1时， ()
2
n m 2时， ()
n m 3时， () 3
P( )
K[1 （ 2 T1T2 T1T3 T2T3）] (1 T12 2 )(1 T22 2 )(1 T32 2 )
Q( )
K( 2T1T2T3 T1 T2 T3) (1 T12 2 )(1 T22 2 )(1 T32 2 )
Thursday, August 08, 2019
T1T2
T1 T2
12
设
G3 ( s )
(T1s
K 1)(T2s 1)(T3s
1)
A( )
K
1 T12 2 1 T22 2 1 T32 2
( ) tg 1T1 tg 1T2 tg 1T3
22
2
2
G( j ) | 0, (若n m)
显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特 性与n-m有关。
Thursday, August 08, 2019
9
下图为0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统在低频和高频段频率特性示意图：
0
（Ⅱ型）
0
（0型）
n-m=3
n-m=2
n-m=1
Thursday, August 08, 2019
A( )
K 1 Td2 2
1 T12 2 1 T22 2
( ) tg1Td 90 tg1T1 tg1T2
P( )
K(T1 T2 Td 2T1T2Td (1 T12 2 )(1 T22 2 )
)
Q( )
开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成， 或是一个有理分式，不论那种形式，都可由下面的方法绘制。
[绘制方法]： 将开环系统的频率特性写成P() jQ() 或 A( )e j() 的形 式，根据不同的算出 P(),Q()或 A(),()可在复平面上得到不 同的点并连之为曲线。（手工画法）。
2
至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。
Thursday, August 08, 2019
10
二、增加零极点对极坐标图形状的影响
设
G1(s)
K T1s
1
Im
A() K 1 T12 2
( ) tg1T1
0
K Re
P(
)
1
K
T12
2
0
G(s)
1
s(1 s)(1 5s)
k 10,T1 1,T2 5
0
G(s)
10
s(1 s)(1 5s)
Thursday, August 08, 2019
8
[具有积分环节的系统的频率特性的特点]：
m
频率特性可表示为：G(
j )
(
1
j )
Im T1 T2 T3
T1T2T3
0
K Re 0
1
T1T2 T1T3 T2T3
当 0时，A() K， () 0，P() K，Q() 0
当 时，A() 0， () 3 ，P() 0，Q() 0
K[1 2(T1T2 T1Td T2Td (1 T12 2 )(1 T22 2 )
)]
当 0时，A() ， () 90，P() K(T1 T2 Td )，Q()
当 时，A() 0，() 180，P() 0，Q() 0
P(1 )
kT1T2 T1 T2
3、当 时，P() 0,Q()
0 ，解得：1
0,() 3
1 ，这时：
T1T2
，渐进线方向向下。
2
Thursday, August 08, 2019
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k 1,T1 1,T2 5 k 1,T1 1,T2 5
第四节 开环系统频率特性的绘制
Thursday, August 08, 2019
1
本节主要内容
开环系统极坐标频率特性的绘制（奈氏图） 开环系统对数坐标频率特性的绘制（波德图） 非最小相位系统的频率特性
Thursday, August 08, 2019
2
一、开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图）
0
相角： () tg 1 tg 15
0 () 0
0.2
1 5
0.8
-56.31 -90 -114.62 -180
用上述信息可以大致ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ勒出奈氏图。
Thursday, August 08, 2019
5
下图是用 Matlab工具绘制的奈氏图。
Thursday, August 08, 2019
Q(
)
(1
KT1
T12
2
)
当 0时，A() ，() 180 ，P() ，Q()
当 时，A() 0，() 3 ，P() 0，Q() 0
2 在取有限值时与坐标轴无交点。
Thursday, August 08, 2019
0
K Re 0
结论：假如G(s)增加n个有限负极点(时间常数形式)，则G(j)
的极坐标图在=0时幅值不变；在→∞时顺时针转过n/2(弧
度)。Thursday, August 08,
2019
15
⒉ 增加在原点处的极点
Im
设
G4 (s)
K s(T1s 1)
A()
K
1 T12 2
2
令P( ) 0，解得
1
，此时与虚轴相交；
T1T2 T1T3 T2T3
令Q() 0，解得 0和
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T1 T2 T3，此时与实轴相交； T1T2T3
13
Thursday, August 08, 2019
14
Im
Im
设
G2 (s)
(T1s
K 1)(T2s
1)
A()
K
1 T12 2 1 T22 2
( ) tg1T1 tg1T2
P( )
K(1 T1T22 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
1 T1T2
0
K T1T2 T1 T2