相似三角形的性质提高题及答案
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点评 ：本题考查了相似三角形中对应角平分线的相似比问题。 【举一反三】 1、如图，∠ BAE=90°， AB=AC=CD=DE是,F BC的中点，联结 BE,BD,DF. （ 1）找出图中的相似三角形并说明理由； （ 2）求 DF:DB的值。
点评：第（ 2）小题也可以将 DF 看作是△ CFD∽△ CDB的对应边之比。 DB
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11、如图，将△ ABC绕点 A 旋转后得△ AB'C' ，当 AB'⊥BC时 AC'//BC, 且点 C恰 好在 B'C' 上。求△ ABB'与△ ACC'的面积之比。
12、如图，△ ABC中，∠ C=2∠ B， D 在 BC上， AC2=BC·DC,且∠ BAD=90°，点 E 是 BD的中点。试判断△ AEC的形状并说明理由。
（）
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2、已知一个三角形的三边之比为 3:4:5 ，与此三角形相似的另一个三角形最短
边的边长为 6cm，则另一个三角形的周长为（
）
（ A） 12cm; (B)24cm; (C)36cm; (D)48cm
3、若一个三角形的一条边长为 6cm，平行于这条边的直线将该三角形分成面积
相等的两部分，则该直线被这个三角形两边所截得的线段长为（
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1、如图，△ ABC中， CD是角平分线， E 在 AC上， CD2=CB· CE. （ 1）求证：△ ADE∽△ ACD； （ 2）如果 AD=6，AE=4，DE=5，求 BC的长。
点评 ：先根据判定定理 2 得到△ BCD∽△ DCE，再根据判定定理 1 得到△ ADE∽△ ACD，这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。 2、如图，△ABC中,DE//BE, 分别交 AB于 D，交 AC于 E。已知 AB=7，BC=8，AC=5， 且△ ADE与四边形 BCED的周长相等，求 DE的长。
2、如图， Rt△ ABC中， CD是斜边 AB上的高， DE⊥AC,DF⊥ BC，垂足分别为 E,F。
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求证： DE2:DF2=AD:DB.
点评：解题思路从相似三角形的面积比入手。 一方面， 相似三角形的面积比等于 相似比的平方； 另一方面， 登高的三角形面积之比等于相应的边长之比， 从而建 立起与线段平方比有关的比例式。 3、一块直角三角形木板的两条直角边 AB长为 1.5 米， BC长为 2 米，工人师傅 要把它加工成一个面积最大的的正方形桌面，请甲乙两位同学进行设计加工方 案，甲设计方案如图 1-4-9 ，乙设计方案如图 1-4-10. 你认为哪位同学设计的方 案中正方形面积较大？试说明理由。 （加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分 数）
）
（ A） 3cm; (B) 2 3 cm; (C) 3 2 cm; (D) 6 2 cm
4、若两个相似三角形面积之比为 3:4 ，则它们的周长之比为
5、如果两个相似三角形对应中线之比为 2:3 ，其中较大的一个三角形的面积是
36cm2, 那么另一个三角形的面积是
cm
2.
6、如图， AB//DC,AC交 BD于 O，过 O作直线分别交 AB,DC于 M,N。若 2OM=3ON,
A' H 'M A'M ' A' E'
;..
..
广义地说， 所谓 “对应线段”应当包括两个相似三角形对应位置上的所有对应线段，如 上图 2 中 BE 和 B'E'， ME 和 M'E' 等；而相似三角形对对应位置上的所有三角形也都是相似
三角形，如图 2 中的 △ABE∽△ A'B'E', △AME∽△ A'M'E' 等。 例 2 如图，△ABC中，D 在 BC上，∠ DAC=∠ B, 角平分线 CE交 AD于 F. 已知 BD=1， DC=3.求 CF:EF 的值。
巩固提高 （必做题，要求步骤完整，逻辑清晰）
1、如图， DF//EG//BC,AD:DE:EB=1:2:3 ，如果 S1 为△ ADF面积， S2 为梯形 DEGF
面积， S3 为梯形 EBCG面积，那么 S1： S2： S3 为 （ A） 1:4:9; (B)1:9:36; (C)1:8:27; (D)1:7:19
..
相似三角形的性质 知识精要
相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母 k 表示。 如△ ABC∽△ A'B'C' ，则 AB BC CA k , 注意：相似比具有方向性，若写
A' B' B'C' C' A' 作△ A'B'C' ∽△ ABC，则相似比为 1 。
k 根据合比容易得到 “相似三角形的周长比等于相似比” ，记△ ABC和△ A'B'C' 的周长分别为 C ABC 和 C A'B 'C' ，则 C ABC : C A'B'C ' k .
AC 2 BC 2
AD . 这种证明方法称为“面积法” DB
例 3 如图，△ ABC中，过重心 G作 DE//BC 分别交 AB,AC于点 D,E, 作 DF//AC 交
BC于点 F. 求证： S ADE 。 S四边形 DECF
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点评 ：这个结果说明，三角形 ADE与四边形 DECF面积相等，这种等积变换很难 通过画平行线的方法验证，只有利用相似三角形的性质通过计算来验证。 【举一反三】 1、如图，△ ABC中，点 D在 BC上，∠ DAC=∠B. 求证： AB2:AD2=BC:DC.
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点评：无论是以相似比 k 作为未知量，还是以 DE=x作为未知量，目的都是为了 把其他的量用 k 或 x 来表示，根据题设的等量关系列方程。 这一解题思路可称为 “方程思想”，这是用代数方法解决几何问题的基本思想。 3、如图，正三角形 ABC的边长为 1，点 E,F 分别在边 AB,AC上，沿 EF 将△ AEF 翻折，使点 A 恰好落在 BC上的点 D.已知 AE:AF=5:4，求 BD的长。
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Baidu Nhomakorabea
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点评 ：利用“相似三角形的对应高之比等于相似比” ，是解三角形的内接矩形问 题的常用方法。
类型三 相似比与面积比
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。例如，如图 1-4-12 ，△ ABC中， D,E 和 F,G 分别是 AB和 AC的三等分点，则△ ADF,△ AEG△, ABC的周长比是 1:2:3 ， 面积比是 1:4:9 ，而 DF,EG将△ ABC分成的三部分面积之比 1:3:5.
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内容提炼
1、相似三角形的性质包括三个方面： （ 1）由定义确定的性质 ---- 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边 的比值称为相似比，用 k 表示；注意相似比的“方向性” ，必须是排在前面的三 角形边长除以排在后面的三角形边长。若△ ABC∽△ DEF,则当 k>1 时，说明由△ ABC到△ DEF是缩小的；当 k<1 时，说明由△ ABC到△ DEF是放大的；当 k=1 时， △ ABC≌△ DEF,因此，全等是相似的特殊情况。 （ 2）性质 1：相似三角形对应线段的比等于相似比， “对应线段”包括对应角的 角平分线，对应边上的中线和对应边上的高。实际上“对应线段”还可以推广到 两个相似三角形的对应位置上的任何一种对应线段， 例如：两个相似三角形外接 圆半径的比、内切圆半径的比都等于相似比。 （ 3）性质 2：相似三角形面积的比等于相似比的平方，实际上还可以推广到两 个相似三角形对应位置上的任何图形的面积比都等于相似比的平方， 例如：两个 相似三角形外接圆面积的比、内切圆面积的比都等于相似比的平方。 2、学习本节内容时要克服一些常见的错误。例如： （ 1）在利用相似三角形的性质时，在书写过程中忘记交代“相似”这一条件， 或是没有注意对应关系。 （ 2）误认为通过“两个三角形的周长比等于某一对应边的比”或“两个三角形 的面积的比等于对应边的平方比”就可以判断这两个三角形相似。 （ 3）在运用性质 2 时忘记加平方，认为面积比等于相似比。
则△ AOB与△ COD的周长之比为
7、如图， AB//DC,AC交 BD于 O，过 O作直线分别交 AB=3，AC=2，若将△ ABC绕
点 A 旋转到△ AB'C' ，则△ ABB'与△ ACC'的面积之比为
8、梯形 ABCD中， AD//BC, 且 AD:BC=3:4，BA与 CD的延长线相交于点 P，若梯形
探究题 （ 1）如图①，四边形 ABCD中，对角线 AC,BD相交于 E，若 AE·EC=BE·ED,四边 形 ABCD被 AC,BD分成的 4 个小三角形之间有没有相似关系？请说明理由。 （ 2）在第（ 1）小题中，若延长对边 DA,CD交于点 F，则图②中还有没有其他的 三角形相似关系？说明理由？ （ 3）如果第（ 1）小题的条件“ AE·EC=BE· ED”改为 AE·BE=DE·CE，那么四 边形 ABCD被 AC,BD分成的 4 个小三角形之间有什么关系？请说明理由。
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2、如图，梯形 ABCD中， AD//BC,AC交 BD于 O. （ 1）若 S AOD 8， S BOC 18 , 求 S AOB ;
（ 2）若 S AOD S.
m2， S BOC
n 2 （m,n 为正数），试用 m,n 表示梯形 ABCD的面积
点评 ：在梯形中， 两条对角线将梯形分为 4 个小三角形， 其中分别以两底为边的 两个小三角形是相似关系， 它们不可能全等 （因为两底是对应边， 不可能相等）； 另两个以腰为边的小三角形是等积关系（面积相等） ，它们可能全等（当等腰梯 形时），但不可能是非全等的相似关系。 3、如图，平行四边形 ABCD中， AE⊥BC于 E,AF⊥ CD于 F，联结 EF,AC. （ 1）求证：△ ABC∽△ EAF. （ 2）若 AB=3BE,AD=，9 平行四边形 ABCD的面积为 36 2 ，求 EF 的长。
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点评 ：本题的难点是将比值 AE 5 转化为△ BED和△ CDF的相似比和周长比。 AF 4
类型二 相似比与对应线段之比
如图△ ABC∽△ A'B'C' ，相似比为 k，若 AH,AM,AE和 A'H',A'M',A'E' 分别是
△ ABC和△ A'B'C' 的高、中线和角平分线，则 AH
AM AE k 。
ABCD的高是 3cm，则点 P 到 BC的距离为
cm.
9、如图，△ ABC中， D 在 AC上，若 AD=2DC,A2B=AC·AD，则 BD:BC的值等于
10、如图，△ ABC中， AB=6，AC=9，DE//BC 分别交 AB,AC于 D,E，且 DE=8，四边 形 DBCE的周长是 25，求 BC的长。
类型一 相似比与周长比
在有关相似三角形的计算问题中， 通过对应边的比例式建立方程式常用的方 法。
例题精解
例 1 如图，已知等边三角形 ABC的边长为 6，过重心 G作 DE//BC, 分别交 AB,AC 于点 D,E. 点 P在 BC上，若△ BDP与△ CEP相似，求 BP的长。
点评 ：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。 图中只能确定一组相 等的角（∠ B=∠ C）为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排 列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。 【举一反三】
另外，两个有公共高的三角形的面积之比等于对应的底边之比。 例如， 如图
1-4-13 ，△ABC中，∠ C=90°，CD是高，则△ ADC∽CDB,S ADC S CDB
AC 2 BC 2
, 另外， CD
是 它 们 的 公 共 高 ， 故 S ADC S CDB
AD , 这 样 我 们 就 很 容 易 得 到 一 个 比 例 式 ： DB
点评：第（ 2）小题也可以将 DF 看作是△ CFD∽△ CDB的对应边之比。 DB
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11、如图，将△ ABC绕点 A 旋转后得△ AB'C' ，当 AB'⊥BC时 AC'//BC, 且点 C恰 好在 B'C' 上。求△ ABB'与△ ACC'的面积之比。
12、如图，△ ABC中，∠ C=2∠ B， D 在 BC上， AC2=BC·DC,且∠ BAD=90°，点 E 是 BD的中点。试判断△ AEC的形状并说明理由。
（）
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2、已知一个三角形的三边之比为 3:4:5 ，与此三角形相似的另一个三角形最短
边的边长为 6cm，则另一个三角形的周长为（
）
（ A） 12cm; (B)24cm; (C)36cm; (D)48cm
3、若一个三角形的一条边长为 6cm，平行于这条边的直线将该三角形分成面积
相等的两部分，则该直线被这个三角形两边所截得的线段长为（
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1、如图，△ ABC中， CD是角平分线， E 在 AC上， CD2=CB· CE. （ 1）求证：△ ADE∽△ ACD； （ 2）如果 AD=6，AE=4，DE=5，求 BC的长。
点评 ：先根据判定定理 2 得到△ BCD∽△ DCE，再根据判定定理 1 得到△ ADE∽△ ACD，这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。 2、如图，△ABC中,DE//BE, 分别交 AB于 D，交 AC于 E。已知 AB=7，BC=8，AC=5， 且△ ADE与四边形 BCED的周长相等，求 DE的长。
2、如图， Rt△ ABC中， CD是斜边 AB上的高， DE⊥AC,DF⊥ BC，垂足分别为 E,F。
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求证： DE2:DF2=AD:DB.
点评：解题思路从相似三角形的面积比入手。 一方面， 相似三角形的面积比等于 相似比的平方； 另一方面， 登高的三角形面积之比等于相应的边长之比， 从而建 立起与线段平方比有关的比例式。 3、一块直角三角形木板的两条直角边 AB长为 1.5 米， BC长为 2 米，工人师傅 要把它加工成一个面积最大的的正方形桌面，请甲乙两位同学进行设计加工方 案，甲设计方案如图 1-4-9 ，乙设计方案如图 1-4-10. 你认为哪位同学设计的方 案中正方形面积较大？试说明理由。 （加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分 数）
）
（ A） 3cm; (B) 2 3 cm; (C) 3 2 cm; (D) 6 2 cm
4、若两个相似三角形面积之比为 3:4 ，则它们的周长之比为
5、如果两个相似三角形对应中线之比为 2:3 ，其中较大的一个三角形的面积是
36cm2, 那么另一个三角形的面积是
cm
2.
6、如图， AB//DC,AC交 BD于 O，过 O作直线分别交 AB,DC于 M,N。若 2OM=3ON,
A' H 'M A'M ' A' E'
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广义地说， 所谓 “对应线段”应当包括两个相似三角形对应位置上的所有对应线段，如 上图 2 中 BE 和 B'E'， ME 和 M'E' 等；而相似三角形对对应位置上的所有三角形也都是相似
三角形，如图 2 中的 △ABE∽△ A'B'E', △AME∽△ A'M'E' 等。 例 2 如图，△ABC中，D 在 BC上，∠ DAC=∠ B, 角平分线 CE交 AD于 F. 已知 BD=1， DC=3.求 CF:EF 的值。
巩固提高 （必做题，要求步骤完整，逻辑清晰）
1、如图， DF//EG//BC,AD:DE:EB=1:2:3 ，如果 S1 为△ ADF面积， S2 为梯形 DEGF
面积， S3 为梯形 EBCG面积，那么 S1： S2： S3 为 （ A） 1:4:9; (B)1:9:36; (C)1:8:27; (D)1:7:19
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相似三角形的性质 知识精要
相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母 k 表示。 如△ ABC∽△ A'B'C' ，则 AB BC CA k , 注意：相似比具有方向性，若写
A' B' B'C' C' A' 作△ A'B'C' ∽△ ABC，则相似比为 1 。
k 根据合比容易得到 “相似三角形的周长比等于相似比” ，记△ ABC和△ A'B'C' 的周长分别为 C ABC 和 C A'B 'C' ，则 C ABC : C A'B'C ' k .
AC 2 BC 2
AD . 这种证明方法称为“面积法” DB
例 3 如图，△ ABC中，过重心 G作 DE//BC 分别交 AB,AC于点 D,E, 作 DF//AC 交
BC于点 F. 求证： S ADE 。 S四边形 DECF
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点评 ：这个结果说明，三角形 ADE与四边形 DECF面积相等，这种等积变换很难 通过画平行线的方法验证，只有利用相似三角形的性质通过计算来验证。 【举一反三】 1、如图，△ ABC中，点 D在 BC上，∠ DAC=∠B. 求证： AB2:AD2=BC:DC.
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点评：无论是以相似比 k 作为未知量，还是以 DE=x作为未知量，目的都是为了 把其他的量用 k 或 x 来表示，根据题设的等量关系列方程。 这一解题思路可称为 “方程思想”，这是用代数方法解决几何问题的基本思想。 3、如图，正三角形 ABC的边长为 1，点 E,F 分别在边 AB,AC上，沿 EF 将△ AEF 翻折，使点 A 恰好落在 BC上的点 D.已知 AE:AF=5:4，求 BD的长。
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Baidu Nhomakorabea
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点评 ：利用“相似三角形的对应高之比等于相似比” ，是解三角形的内接矩形问 题的常用方法。
类型三 相似比与面积比
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。例如，如图 1-4-12 ，△ ABC中， D,E 和 F,G 分别是 AB和 AC的三等分点，则△ ADF,△ AEG△, ABC的周长比是 1:2:3 ， 面积比是 1:4:9 ，而 DF,EG将△ ABC分成的三部分面积之比 1:3:5.
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内容提炼
1、相似三角形的性质包括三个方面： （ 1）由定义确定的性质 ---- 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边 的比值称为相似比，用 k 表示；注意相似比的“方向性” ，必须是排在前面的三 角形边长除以排在后面的三角形边长。若△ ABC∽△ DEF,则当 k>1 时，说明由△ ABC到△ DEF是缩小的；当 k<1 时，说明由△ ABC到△ DEF是放大的；当 k=1 时， △ ABC≌△ DEF,因此，全等是相似的特殊情况。 （ 2）性质 1：相似三角形对应线段的比等于相似比， “对应线段”包括对应角的 角平分线，对应边上的中线和对应边上的高。实际上“对应线段”还可以推广到 两个相似三角形的对应位置上的任何一种对应线段， 例如：两个相似三角形外接 圆半径的比、内切圆半径的比都等于相似比。 （ 3）性质 2：相似三角形面积的比等于相似比的平方，实际上还可以推广到两 个相似三角形对应位置上的任何图形的面积比都等于相似比的平方， 例如：两个 相似三角形外接圆面积的比、内切圆面积的比都等于相似比的平方。 2、学习本节内容时要克服一些常见的错误。例如： （ 1）在利用相似三角形的性质时，在书写过程中忘记交代“相似”这一条件， 或是没有注意对应关系。 （ 2）误认为通过“两个三角形的周长比等于某一对应边的比”或“两个三角形 的面积的比等于对应边的平方比”就可以判断这两个三角形相似。 （ 3）在运用性质 2 时忘记加平方，认为面积比等于相似比。
则△ AOB与△ COD的周长之比为
7、如图， AB//DC,AC交 BD于 O，过 O作直线分别交 AB=3，AC=2，若将△ ABC绕
点 A 旋转到△ AB'C' ，则△ ABB'与△ ACC'的面积之比为
8、梯形 ABCD中， AD//BC, 且 AD:BC=3:4，BA与 CD的延长线相交于点 P，若梯形
探究题 （ 1）如图①，四边形 ABCD中，对角线 AC,BD相交于 E，若 AE·EC=BE·ED,四边 形 ABCD被 AC,BD分成的 4 个小三角形之间有没有相似关系？请说明理由。 （ 2）在第（ 1）小题中，若延长对边 DA,CD交于点 F，则图②中还有没有其他的 三角形相似关系？说明理由？ （ 3）如果第（ 1）小题的条件“ AE·EC=BE· ED”改为 AE·BE=DE·CE，那么四 边形 ABCD被 AC,BD分成的 4 个小三角形之间有什么关系？请说明理由。
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2、如图，梯形 ABCD中， AD//BC,AC交 BD于 O. （ 1）若 S AOD 8， S BOC 18 , 求 S AOB ;
（ 2）若 S AOD S.
m2， S BOC
n 2 （m,n 为正数），试用 m,n 表示梯形 ABCD的面积
点评 ：在梯形中， 两条对角线将梯形分为 4 个小三角形， 其中分别以两底为边的 两个小三角形是相似关系， 它们不可能全等 （因为两底是对应边， 不可能相等）； 另两个以腰为边的小三角形是等积关系（面积相等） ，它们可能全等（当等腰梯 形时），但不可能是非全等的相似关系。 3、如图，平行四边形 ABCD中， AE⊥BC于 E,AF⊥ CD于 F，联结 EF,AC. （ 1）求证：△ ABC∽△ EAF. （ 2）若 AB=3BE,AD=，9 平行四边形 ABCD的面积为 36 2 ，求 EF 的长。
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点评 ：本题的难点是将比值 AE 5 转化为△ BED和△ CDF的相似比和周长比。 AF 4
类型二 相似比与对应线段之比
如图△ ABC∽△ A'B'C' ，相似比为 k，若 AH,AM,AE和 A'H',A'M',A'E' 分别是
△ ABC和△ A'B'C' 的高、中线和角平分线，则 AH
AM AE k 。
ABCD的高是 3cm，则点 P 到 BC的距离为
cm.
9、如图，△ ABC中， D 在 AC上，若 AD=2DC,A2B=AC·AD，则 BD:BC的值等于
10、如图，△ ABC中， AB=6，AC=9，DE//BC 分别交 AB,AC于 D,E，且 DE=8，四边 形 DBCE的周长是 25，求 BC的长。
类型一 相似比与周长比
在有关相似三角形的计算问题中， 通过对应边的比例式建立方程式常用的方 法。
例题精解
例 1 如图，已知等边三角形 ABC的边长为 6，过重心 G作 DE//BC, 分别交 AB,AC 于点 D,E. 点 P在 BC上，若△ BDP与△ CEP相似，求 BP的长。
点评 ：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。 图中只能确定一组相 等的角（∠ B=∠ C）为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排 列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。 【举一反三】
另外，两个有公共高的三角形的面积之比等于对应的底边之比。 例如， 如图
1-4-13 ，△ABC中，∠ C=90°，CD是高，则△ ADC∽CDB,S ADC S CDB
AC 2 BC 2
, 另外， CD
是 它 们 的 公 共 高 ， 故 S ADC S CDB
AD , 这 样 我 们 就 很 容 易 得 到 一 个 比 例 式 ： DB