高等数学下复旦大学出版习题

习题十一

1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0L

P x y x =⎰其中P (x ,y )在L 上连续．

证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，

则 L ：12x a

b t b y t =⎧≤≤⎨=⎩

，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰

2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d b

L

a

P x y x P x,x =⎰⎰，

其中P (x ,y )在L 上连续．

证：L ：0x x

a x

b y =⎧≤≤⎨=⎩

，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ． 故()(),d ,0d b

L

a

P x y x P x x =⎰⎰

3．计算下列对坐标的曲线积分：

(1)()22d -⎰L

x y x ，其中L 是抛物线y =x 2

上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；

(2)d L

xy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2

(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界

(按逆时针方向绕行)；

(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π

2

的一段弧；

(4)()()22

d d L

x y x x y y x y +--+⎰

，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；

(5)2d d d x x z y y z Γ

+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的

一段弧；

(6)()322d 3d ++-⎰x x zy x y z Γ

，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；

(7)d d d L

x y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，

(0,0,1)；

(8)()()222d 2d L

x xy x y xy y -+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2

上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．

解：(1)L ：y =x 2

，x 从0变到2，

()()2

2

2

2

2

4

3500

11

56d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤

-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为

图11-1

cos 0πsin x a a t

t y a t =+⎧≤≤⎨

=⎩

L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )

故 ()()()()()

1

2

π20

π

320

π

π

3

220

3

d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2

L

L L a

xy x xy x xy x

a a t a a t t x a t t t

a t t t t

a =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

(3)()π

20

π2

20

π2

20

d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220

L

y x x y R t R t R tR t t R

t t

R t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥

⎣⎦=⎰⎰⎰

(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故 ()()()()()()22

2π

202π

220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2π

L

x y x x y y

x y a t a t a t a t a t a t t a a t a +--+=

+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰

(5)

()()()2π

22

0π3220

π

3320332d d d sin sin cos cos d d 131

ππ3

x x

z y y z

k k a a a a k a k a k a Γ

θ

θθθθθ

θθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰

(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

x t y t z t t 从1→0．

故

()()3

2

2

3

2

2

10

3

1

4

1d 3d d 27334292d 87d 1

874874

x x zy y x y z t t t t t t

t t

t Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰

(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)

图11-2

1:0y x AB z =-⎧⎨=⎩

，x 从0→1

()0

1d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡

⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩

，z 从0→1