期权定价的数值方法1
期权定价数值方法
期权定价数值方法期权定价是金融学和衍生品定价的重要研究领域之一。
相对于传统的基于解析公式的定价方法，数值方法在期权定价中发挥了重要作用。
本文将介绍几种常用的期权定价数值方法。
第一种方法是蒙特卡洛模拟法。
这种方法通过生成大量的随机路径，从而模拟出期权的未来价格演化情况。
蒙特卡洛模拟法能够处理各种复杂的衍生品，尤其适用于路径依赖型期权的定价。
其基本思想是通过随机游走模拟资产价格的变化，并在到期日计算期权的收益。
蒙特卡洛方法的优点在于简单易懂，适用于任意的收益结构和模型。
缺点是计算复杂度高，需要大量的模拟路径，同时计算结果存在一定的误差。
第二种方法是二叉树模型。
二叉树模型将时间离散化，并用二叉树结构模拟资产价格的变化。
每一步的价格变动通过建立期权价格的递归关系进行计算。
二叉树模型适用于欧式期权的定价，特别是在波动率较低或资产价格较高时效果更好。
二叉树模型的优点在于计算速度快，容易理解，可以灵活应用于各种不同类型的期权。
缺点是对期权到期日的分割存在一定的限制，复杂的期权结构可能需要更多的分割节点。
第三种方法是有限差分法。
有限差分法将连续时间和连续空间离散化，通过有限差分近似式来计算期权价格。
其基本思想是将空间上的导数转化为有限差分的形式，然后通过迭代的方法求解有限差分方程。
有限差分法适用于各种不同类型的期权定价，特别是美式期权。
它是一种通用的数值方法，可以处理多种金融模型。
缺点是计算复杂度高，特别是对于复杂的期权结构和高维度的模型，需要更多的计算资源。
综上所述，期权定价的数值方法包括蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法。
不同的方法适用于不同类型的期权和市场情况。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的数值方法进行期权定价。
期权定价是金融学中一个重要的研究领域，它的核心是确定期权合理的市场价值。
与传统的基于解析公式的定价方法相比，数值方法在期权定价中有着重要的应用。
本文将进一步介绍蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法，并探讨它们的优缺点及适用范围。
期权定价数值方法
期权是一种合约，赋予其持有人在一定时期内以指定价格买卖标的资产的权 利。
期权类型
按行权时间可分为欧式期权和美式期权，按交易场所可分为场内期权和场外 期权。
期权定价模型
Black-Scholes模型
基于无套利原则，通过随机过程和偏微分方程等方法，推导出标的资产价格和波 动率的关系。
二叉树模型
将连续的时间和空间离散化为有限个元素，通过建立线性方程组来求解期权价格。优点是 适用于处理不规则区域和复杂边界条件，精度较高。缺点是对于某些复杂期权或边界条件 ，需要使用高阶元素，计算量较大。
蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Si…
通过随机抽样来模拟期权价格的波动过程，并利用此模拟结果来估算期权价格。优点是适 用于各种类型的期权和边界条件，计算速度快。缺点是对于某些特殊期权或边界条件，需 要设计特定的抽样方法，精度相对较低。
风险中性概率
在蒙特卡洛模拟中，使用风险中性概率来计算标的资产价格在未 来的可能性，该概率将风险中性概率和实际概率联系起来。
估计期权收益
通过模拟标的资产价格路径，可以估计期权的收益，从而得到期 权的预期价格。
蒙特卡洛模拟法的实现步骤
定义参数
确定影响期权价格 的因素，如标的资 产价格、行权价、 剩余期限、波动率 和无风险利率等。
05
偏微分方程法在期权定价 中的应用
偏微分方程的推导
基于无套利原则
通过无套利原则，推导出偏微分方程，该方程描述了资产价格变 化的随机过程，以及投资者对风险和收益的权衡。
风险中性概率
在风险中性概率下，衍生品的价格可以表示为标的资产价格和相 应期限的贴现值之积。
标的资产价格动态
标的资产价格的变化受到多种因素的影响，如市场利率、波动率 、股息等。
第12章 期权定价的数值方法
S it S it De
r it
其中， D 表示红利。
26
因此，我们需要先构造不含红利的价格树图，之 后再加上未来红利的现值。在 it 时刻： ◦ 当 it 时，这个树上每个节点对应的证券价 格为： * j i j
S0 u d j 0,1......i
t pd 12 2 t pu 12 2
2 pm 3
32
基本原理：期权 A 和期权 B 的性质相似，我们 可以得到期权 B 的解析定价公式，而只能得到 期权 A 的数值方法解，这时就可以利用期权 B 解析法与数值法定价的误差来纠正期权 A 的数 值法的定价误差。 用 f B 代表期权 B 的真实价值（解析解），f A ˆ 和 ˆ 表 表示关于期权 A 的较优估计值， f fB A 示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同 样的有限差分过程得到的估计值。
e
r q t
pu 1 p d
e
r q t
相应有
p
d ud
式（ 12.5 ）和（ 12.6 ）仍然成立：
u e d e
t t
21
可通过调整在各个节点上的证券价格，算出期权 价格； 如果时刻 i∆t 在除权日之前，则节点处证券价 格仍为：
为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的时 间段，则上式的近似方程为：
S t t S t (r q )S t t S t t (12.9)
(12.10)
或
或
2 ln S t t ln S t r q t t 2
期权定价的数值方法
随机抽样值
0.52 1.44 －0.86 1.46 －0.69 －0.74
该时间步长中的 股票价值变化 0.236
0.611 －0.329
0.628 －0.262 －0.280
19
（二）、单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟
▪ 蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S所遵循 的路径还是仅仅取决于S的最终价值，都可以使用这一方法。同时， 这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况。
期权定价的数值方法
1
二、基本二叉树方法的扩展
▪ 支付连续红利率资产的期权定价 ▪ 支付已知红利率资产的期权定价 ▪ 已知红利额 ▪ 利率是时间依赖的情形
2
连续红利率资产的期权定价
▪ 当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风 险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q， 因此：
e (rq)t pu (1 p)d
其中
p e(rq)t d ud
u, d表达式仍然适用
3
支付已知红利率资产的期权定价
▪ 若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率（红 利与资产价格之比），只要调整在各个结点上的证券价 格，就可算出期权价格。调整方法如下：
▪ 如果it 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i
S t t S t r qS t t S t t
或
ln
ห้องสมุดไป่ตู้
S
t
t
ln
S
t
r
q
2
2
t
t
S
t
t
S
t exp
r
q
2
2
金融工程学期权定价的数值方法课件
ud
PPT学习交流12来自同样，在风险中性世界中，股票期权未来 价格的期望值按无风险利率贴现的现值必须等 于该期权当前的价格，即
fe rf(T t) p fu (1 p )fd
其中
erf (T t) d p
ud
PPT学习交流
13
例：
假设一种不支付红利股票目前的市价为10 元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11 元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于 10%，则一份3个月期以该股票为标的资产，且 执行价格为10.5元的欧式看涨期权的价值是多少？
ud
fd
E S T p S u 1 p S d S 0 e r fT t
f0p fu 1 pfde r fT t
PPT学习交流
11
风险中性定价原理 假定股票的上升概率为p。在风险中性世界 中，股票未来价格的期望值按无风险利率贴现 的现值必须等于该股票目前的价格，因此有
S e r f( T t)u S p d S ( 1 p )
构造无风险组合：
S0 : c :1
因为无风险，则有
u S T c u d S T c d
2 2 1 1 8 0 0.25
S0
c0
uST cu
1rf Tt
c0 0.631068
S 0 c 0 d S T c de rfT t
c0 0.632995
PPT学习交流
2
例：S020;Xc 21;u110%;
7
⒋ 美式期权的两步二叉树定价法
定价的过程从二叉树的末端开始倒推到起 始点，在每个节点上必须检验期权是否会被提 前执行，如果会被提前执行，则以行权收益为 该节点的期权价格，否则按照标准公式计算期 权价格，末端节点的价格均按照欧式期权计算。
期权定价的数值方法
期权定价的数值方法小结1.当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。
2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。
从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。
3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。
4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和Crank-Nicolson方法等。
5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。
其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。
6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。
二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。
模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。
蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。
蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。
蒙特卡洛模拟的缺点：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行期权的的定价情形；为了达到一定的精准度，需要大量的模拟运算。
《金融衍生品》课件_第11章_期权定价数值方法
美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权
的价值。
20
美式看跌期权的二叉树定价 (cont.)
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为
五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可
u e t 1.1224
以算出
d e
t
0.8909
4、资产价格随机路径模拟（风险中
性概率测度）
（1）常数波动率模型的离散化和模拟
• 在风险中性世界中，为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
（11.4）
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的
时间段，则上式的离散的近似方程为：
（11.5）
6
（２）GARCH模型模拟
模型的离散化形式：
2、欧式期权蒙特卡罗模拟定价
假设标的资长价格服从波动率为常数的几
何布朗运动。对于欧式期权，只需要模拟出
标的资产到期的分布。如欧式看涨期权，第i
条路径下的支付：
()
为标准正态分布的一个随机抽样,
（11.3）=.源自3、蒙特卡罗模拟方法的适用性
• （1）普通的蒙特卡罗模拟方法不适用于美式
（10.23）
（10.24）
其中,
定义为：
（10.25）
３、Heston模型的离散化和模拟
模型的离散化和模拟
5、GARCH模型下的蒙特卡洛模拟定价
二、二叉树模型
1、二叉树模型原理
假设股票当前价格是S，下一期价格有两种可能 (= u)
和 =(Sd)，风险中性下上升概率是p，下跌概率是1-p。
e r q t d
p
ud
期权定价模型和数值方法
期权及其有关概念
3． 期权旳内在价值 买入期权在执行日旳价值CT为 CT=max(ST －E,0)
式中:E表达行权价；ST表达标旳资产旳市场价。 卖出期权在执行日旳价值PT为 PT=max(E－ ST,0) 根据期权旳行权价与标旳资产市场价之间旳关系，期权可分为价内期权（in the
money）(S > E)、平价期权（at the money）(S = E)和价外期权（out of the money）(S < E)。
4. 珞（Rho）ρ ρ为期权旳价值随利率波动旳敏感度，利率增长，使期权价值变大。
5. 伽玛（Gamma）Γ Γ 表达δ与标旳资产价格变动旳关系。
10.3 B－S公式隐含波动率计算
隐含波动率概念
BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格旳体现式：
式中：
隐含波动率是将市场上旳期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反 推出来旳波动率数值。因为期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间旳 定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权旳实际市场价格作为已知量代入定价 公式，就能够从中解出惟一旳未知量，其大小就是隐含波动率。
10.3. 3 隐含波动率计算程序
环节3： 函数求解。 M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：
%TestImpliedVolatility %市场价格 Price=100; %执行价格 Strike=95; %无风险利率 Rate=0.10; %时间（年） Time=0.25; CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格 PutPrice=7.0; %看跌期权交易价格 %调用ImpliedVolatility函数 [Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)
12.期权定价的数值方法
证券价格的树型结构
Su4 Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3 Sd4 S S Sd Sd2 Su Su2
Copyright© Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉 树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末 端T时刻开始往回倒推，为期权定价 值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型 结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行 期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行 期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值 。
Copyright© Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
隐含树图
通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相 一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资 产价格未来概率分布的看法。其具体方法是在 二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价 格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结 点的资产价格和相应概率
支付连续红利率资产的期权定价
当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在 风险中性条件下，证券价格的增长率应该为rq，因此：
e ( r q ) t pu (1 p)d
其中
p
e
( r q ) t
d ud
Copyright© Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
P=0.5的二叉树图
ue
d e
r q
2
2
t 2 t
第6讲-期权定价1
期权定价——罗伯特《衍生工具》
– 解析法（公式法）
• 标准化期权的解析法定价 • 非标准化期权的解析法定价
– 数值法
• 二项式法 • 三项式法 • 蒙特卡洛模拟 • 四项式法
B-S期权定价模型(以下简称B-S模 型)及其假设条件
– B-S模型有5个重要的假设
– 1、金融资产收益率服从对数正态分布；
期权定价
– 期权价值的影响因素
• 涉及期权合同本身的因素
– 执行价格 – 截止期 – 无风险利率
• 涉及交易对象的因素
– 标的物价格 – 波动率
– 与标的资产相关：当前价值、方差、红利 – 与期权合约相关：执行价格、到期期限 – 与金融市场相关：无风险利率、提前执行因
素 – 表：114
决定期权价值的因素
利率20％，1年后股票价格要么110，要么130 –只知道可能价值，不知道其概率 –由 于 执 行 价 值 是 1 0 5 ， 则 期 权 价 值 ： –要 么 是 1 1 0 － 1 0 5 ＝ 5 ， 要 么 是 1 3 0 － 1 0 5 ＝ 2 5 –不知道是那一个，但看涨期权肯定实现实值
–基本方法 –运用期权和无风险资产的组合来复制股票的回报 –作 法 ： –买 1 支 看 涨 期 权 ， 并 投 资 8 7 . 5 美 元 在 无 风 险 资 产 上 –1 年 后 ， 无 风 险 资 产 将 赚 取 2 0 ％ 报 酬 ， 其 价 值 ： –8 7 . 5 × （ 1 ＋ 2 0 ％ ） ＝ 1 0 5 –期 权 价 值 ： 要 么 是 5 或 2 5 ， 则 总 价 值 或 者 是 1 1 0 ， 或
因期权价值是20，因此需要期权数＝25/20=1.25股 – 35＝1.25*C+25/(1+0.1)
第4章--期权定价的数值方法课件
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
22
（五）、二叉树方法的一般定价过程
§ 以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期
划分成N个长度为 t 的小区间，令 fij(0iN ,0ji)
表示在时间 it 时第j个结点处的美式看跌期权的价值，
同时用
Suj表di示j 结点
处(i, 的j) 证券价格，可得：
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
27
§ 把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，其价值用
表示S *，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值，
假设在期权有效期内只有一次红利。
S*(it)S(it)
it
(8.9)
S * (i t) S (i t) D e r( i t) it
§ 为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简 单和直观的方法
§ 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式 期权和奇异期权）定价模型的基本手段
§ 对于所有不能给出解析式的期权，都可以 通过二叉树模型给出。
2021/1/24
第4章--期权定价的数值方法
3
一、二叉树模型的基本方法
首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔△t，，并假 设在每一个时间间隔内证券价格只有两种运动的可能：
14
§ 第二期本来有四种状态，但若规定u=1/d，则第 二、三两种状态为同一结果，可以将其合并，由 期权的定义式
cuu max(0,SuuX)max(0,u2S0X) cud cdumax(0,SudX)max(0,udS0X) cdd max(0,SddX)max(0,d2S0X)
2021/1/24
fer t pfu1pfd
期权定价的数值策略
期权定价的数值策略期权定价是金融衍生品定价中的一项重要内容，通过对期权理论和数学模型的研究分析，可以为投资者提供参考价值。
以下是一种基于数值策略的期权定价方法。
期权定价的数值策略主要是基于蒙特卡洛模拟和二叉树模型。
蒙特卡洛模拟是一种随机模拟方法，通过随机生成期望收益率和价格路径，来估计期权合约的价值。
而二叉树模型则是建立一个二叉树结构，通过向上和向下的浮动来模拟价格变动，计算期权的价值。
在这种数值策略中，首先需要确定期权的标的资产（如股票、商品等）价格的变动方程。
对于股票期权，可以使用几何布朗运动来模拟价格变化。
其次，需要选取一个合适的时间步长以及模拟的次数，以确保结果的准确性。
在蒙特卡洛模拟中，可以随机生成多个标的资产价格（在一定的概率分布下）并进行模拟，然后计算每次模拟的期权收益。
通过多次模拟可以得出期权的期望收益，进而计算出期权的价值。
这种方法特别适用于欧式期权的定价。
在二叉树模型中，可以构建一个二叉树结构，其中每个节点表示特定时间的标的资产价格。
通过向上和向下浮动（通常是根据波动率）计算每个节点的资产价格。
然后，从期权到期日开始，逐步反向计算期权的价值，直到回到起始节点，得出期权的价值。
这种方法特别适用于美式期权的定价。
除了以上两种主要的数值策略，还有其他一些方法如有限差分法和扩散方程法也可以用于期权定价。
不同的方法适用于不同的情况，基于数值策略的期权定价需要根据具体的情况选择合适的方法。
需要注意的是，数值策略虽然可以提供一种近似值来估计期权的价格，但由于涉及到一定的随机性，结果可能会存在一定的误差。
因此，在使用数值策略进行期权定价时，需要结合其他定价方法和市场情况进行综合分析。
期权定价的数值策略是金融衍生产品定价中一种重要的方法。
通过利用蒙特卡洛模拟和二叉树模型，可以对期权的价值进行估计，帮助投资者做出更为准确的决策。
以下将进一步讨论和说明这些数值策略以及其在期权定价中的应用。
在蒙特卡洛模拟中，我们首先需要建立一个合适的期望收益率和价格路径模型。
期权定价的数值方法
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
直接调用 c=latticeeucall(52,50,0.1,6/12,0.2,500)得到：c= 5.5644 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,100)得到：p=1.1308； 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,200)得到：p=1.1240； 直接调用 p=latticeeuput(52,50,0.1,6/12,0.2,500)得到：p=1.1259 由以上计算可以看出：随着二叉树阶段数的增加，即时间间隔 ∆t 的减少，二叉树模型 的计算结果与期权价格的解析解也逐步接近。
T T T − r∆t
u = eσ
, d = e −σ
∆t
p=
e r∆t − d = 0.5076 u−d
∆t
股票价格的运动如图所示，期权的二叉树图如图所示。
u = eσ
= 1.1224, d = e −σ
∆t
= 0.8909
2
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
股票价格的运动
股票价格的运动
金融计算与编程
上海财经大学金融学院 曹志广
lattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)); end end price=lattice(1,1);
function [price,lattice]=latticeamcall(S0,K,r,T,sigma,N) deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT)); d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d); lattice=zeros(N+1,N+1); for j=0:N lattice(N+1,j+1)=max(0,(S0*(u^j)*(d^(N-j))-K)); end for i=N-1:-1:0 for j=0:i lattice(i+1,j+1)=max(exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)),-K+S0*u^j*d^ (i-j)); end end price=lattice(1,1); function [price,lattice]=latticeamput(S0,K,r,T,sigma,N) deltaT=T/N;u=exp(sigma*sqrt(deltaT)); d=1/u;p=(exp(r*deltaT)-d)/(u-d); lattice=zeros(N+1,N+1); for j=0:N lattice(N+1,j+1)=max(0,-(S0*(u^j)*(d^(N-j))-K)); end for i=N-1:-1:0 for j=0:i lattice(i+1,j+1)=max(exp(-r*deltaT)*(p*lattice(i+2,j+2)+(1-p)*lattice(i+2,j+1)),K-S0*u^j*d^( i-j)); end end price=lattice(1,1);
期权定价数值方法
03
数值方法概述
离散化方法
向前离散化
将时间区间[0, T]分成n个小区间 ，以时间段[t_{i-1}, t_i]代替(0 <= i <= n)，并在此小区间上应 用Black-Scholes方程的解。
向后离散化
与向前离散化相反，将时间段 [t_{i-1}, t_i]代替(0 <= i <= n)， 并在此小区间上应用BlackScholes方程的解。
改进方向探讨
采用更高效的算法
结合机器学习技术
研究和发展更高效的数值方法，以减少计 算时间和资源消耗。
利用机器学习算法来优化和改进数值方法 ，提高其效率和准确性。
精细化建模
跨学科融合
在期权定价模型中引入更多的市场因素和 风险因素，以更准确地反映实际情况。
借鉴其他学科（如物理学、化学等）的数 值方法，将其应用于期权定价领域，以寻 求新的突破。
期权定价数值方法
汇报人： 日期:
目录
• 引言 • 常见的期权类型和定价模型 • 数值方法概述 • 数值方法在期权定价中的应用 • 期权定价的数值方法优缺点及
改进方向
目录
• 期权定价数值方法在金融风险 管理中的应用
• 研究展望与未来发展趋势
01
引言
背景介绍
期权定价模型的发展 历程
当前期权定价模型研 究的现状和挑战
随机抽样
从已知概率分布中随机抽取样本点， 通过这些样本点计算期权价格的期望 值。
方差减少技术
通过一些技巧来减少模拟误差，例如 Bootstrap方法。
有限元素法
将标的资产价格变化的空 间离散化，划分为有限个 元素；
解有限元素法的线性方程 组，得到每个时刻的标的 资产价格；
第08章 期权定价的数值方法
第八章 期权定价的数值方法在前面几章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并且解出了一些精确的期权解析定价公式。
但是在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（Numerical Procedures ）为期权定价，其中包括二叉树方法（Binomial Trees ）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation ）和有限差分方法（Finite Difference Methods ）。
当期权收益依赖于标的变量所遵循的历史路径时（如我们将在第九章看到的路径依赖期权），或是期权价值取决于多个标的变量的时候，可以用蒙特卡罗模拟为期权定价。
而二叉树图和有限差分方法则比较适用于有提前执行可能性的期权。
在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。
为了便于表达，本章中统一假设当前时刻为零时刻，表示为0。
第一节 二叉树期权定价模型二叉树期权定价模型是由J. C. Cox 、S. A. Ross 和M. Rubinstein 于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。
二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。
一、二叉树模型的基本方法我们从简单的无收益资产期权的定价开始讲解二叉树模型，之后再逐步加以扩展。
二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t ∆，并假设在每一个时间间隔t ∆内证券价格只有两种运动的可能：从开始的S 上升到原先的u 倍，即到达Su ；下降到原先的d 倍，即Sd 。
其中，1u >，1d <，如图8.1所示。
价格上升的概率假设为p ，下降的概率假设为1p -。
S图8.1 t ∆时间内资产价格的变动相应地，期权价值也会有所不同，分别为u f 和d f 。
注意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。
郑振龙《金融工程》第2版课后习题(期权定价的数值方法)【圣才出品】
郑振龙《金融工程》第2版课后习题第十二章期权定价的数值方法1．二叉树数定价方法的基本原理是什么？答：二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机漫步模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。
同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率p 是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。
实际上，当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克一舒尔斯偏微分方程。
2．一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10%，波动率为每年30%。
请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型，为期权定价。
并应用控制方差技术对这一估计进行修正。
答：（1）由题意，二叉树模型各参数可计算为表12-1。
表12-1二叉树模型参数计算表121=∆t 0833.03.0ee u t==σ0833.03.0--==eeu tσ9170.00905.19170.00833.0*1.0--=--=∆e d u d e p t r 1-p 0.08331.09050.91700.52660.4734根据以上参数画出时间间隔为一个月的二叉树图（如图12-5）。
图12-5无红利股票期权二叉树其中股票在第j 个节点（j=0,1,2,3……）的价格等于Su j d i-j 。
期权价值采取倒推法，在最后一列的节点处，期权价值等于MAX（X-S T ,0）,在假定期权未提前执行的基础上，从最后一列节点处的期权价值可倒推出倒数第二列节点的期权价值。
由于该期权是美式期权，要检查提前执行期权是否较有利。
（2）①在D、E 节点，提前执行的期权价值均为0，显然，不可提前执行。
②在F 节点，如果提前执行，期权价值=50.00-42.0483=7.9517>7.53681美元，因此，F 节点的期权价值应为7.9517美元。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
S 2
2. BS定价公式可用于欧式期权、美式看涨期权定价。对美式 看跌期权定价只能用二叉树、蒙特卡罗模拟等求出。
3. 二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续 运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间 隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉 树图的末端开始倒推计算出期权价格。
期权定价
作业1
16
1. 列出影响期权价格的6个因素。
期权定价
作业2
17
1. 设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、X3的欧式看涨期 权的价格，其中X3>X2>X1且X3-X2=X2-X1，所有期权的到 期日相同，请证明：
c2 ≤0.5(c1 + c3)
2. 某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为 2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月 后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率 均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧 式看跌期权价格等于多少？
若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用两状 态的二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程
数学意义：用无穷期的二叉树模型来逼近一个标的资产价格连续 变化的期权定价模型
2. 思路：推导出n期的二叉树模型，然后令n趋于无穷
Su4 Su3Su2 SuSu2 SuS
S
S
Sd
Sd
Sd2 Sd2
可能值，直到当前时刻 4. 对美式期权，需在每个结点处进行比较
该结点提前执行时期权的回报 VS 不提前执行时后一结点 期权价值到该点的贴现值
取较大者作为该结点的期权价值
期权定价
8
1. 假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动 率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个 月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值
Sd3
Sd4
期权定价
多期模型期权的定价思路：倒推定价法 7
1. 从当前时刻，由S0，u，d向前推算，得到标的股票在第 1,2,…,n各期的取值。这样建立标的股票的状态数，它反 映了股价的变化路径
2. 根据第n期的股价（估计值）求出期权相应的价值 3. 从第n期起，循着状态树逆向递推，分别计算前期的期权
e (rq)t pu (1 p)d
p e(rq)t d ud
、d表达式仍然适用
期权定价
本章小结
13
1. 期权价值等于内在价值与时间价值之和。内在价值等于零 和期权立即执行时所具有的价值这两者之中的较大值。期 权时间价值在内在价值为零时最大，并随标的资产市价与 协议价格之间差额的绝对值变大而递减。随着时间的延长， 期权时间价值是递增的，但增幅是递减的。
fN，j max(X Su jd N j , 0) 1.t 后 ，假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下：
fij ert[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ]
2. 如果考虑提前执行的可能性：
fij max{X Su jdi j , ert[ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ]}
p e rt d ud
d e t
u e t
2 t pu 2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2
期权定价
u 1 d
f ert pfu 1 p fd
二、多步二叉树模型 资产价格的树型结构
6
1. n期：若将定价日到到期日的时间进一步细分为n个阶段，则标的资产 在到期日的状态可能取值为n＋1个
62.99 0.64
50.00 3.77
39.69 10.36
70.70 0.00
56.12 1.30
44.55 6.38
35.36 14.64
79.35 0.00
62.99 0.00
50.00 2.66
39.69 10.31
31.50 18.50
(0.5076 5.45 0.4924 14.64)e0.10.0833 9.90
计算过程：
为构造二叉树，把期权有效期分为五段，每段一个月（等于 0.0833年）。可算出：
u e t 1.1224， d e t 0.8909
ert d
p
0.5076, 1 p 0.4924
ud
期权定价
美式看跌期权二叉树
50.00 4.49
X＝50
56.12 2.16
44.55 6.96
3. 对于所有不能给出解析式的期权，都可以通过二叉树模型 给出
期权定价
内容
3
1. 二叉树期权定价模型
2. 蒙特卡罗模拟
3. 有限差分方法
期权定价
一、单步二叉树模型
4
期权有效期分为很多很小时间间隔△t，并假设在每个间隔内 证券价格只有两种运动的可能：
Su p
S 1-p Sd
实质：用大量离散的小幅度二值运动模拟资产价格的连续运动
3. 预习BS期权定价模型
期权定价
作业3
18
1. 假设某种不支付红利股票的市价为50元，风险利率为10%， 该股票的年波动率为30%，求该股票协议价格为50元、期 限3个月的欧式看跌期权价格。
要求：1）笔算；2）软件实现。
2. 预习二叉树定价模型。
期权定价
作业4
19
1. 一个无红利股票的美式看跌期权，有效期为3个月，目前 股票价格和执行价格均为50美元，无风险利率为每年10％， 波动率为每年30％，请按时间间隔为一个月来构造二叉树 模型，为期权定价。
3. 有收益资产欧式期权平价关系为：
c D Xe r(T t) p S
4. 美式看涨期权与看跌期权之间不存在平价关系。
期权定价
15
1. 为了给期权定价，我们假设期权标的资产遵循几何布朗运
动，据此可以推导出著名的布莱克——舒尔斯微分方程：
f rS f 1 2 S 2 2 f rf
t S 2
期权定价
三、基本二叉树方法的扩展
11
1. 支付连续红利率资产的期权定价
2. 支付已知红利率资产的期权定价
3. 已知红利额
4. 利率是时间依赖的情形
期权定价
（一）、连续红利率资产期权的二叉树定价模型 12
标的 资产 支付 连续 收益 率为 q的 红利
风险 中性 条件 下， 资产 价格 增长 率= r-q
7 期权定价的数值方法
1 二叉树期权定价模型
2
1. 二叉树期权定价（Binomial option Pricing Model）由 Cox,Ross,Rubinstein等人提出，为期权定价模型为B-S模型 提供一种比较简单和直观的方法
2. 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式期权和奇异期权） 定价模型的基本手段
期权定价
9
89.07 0.00
70.70 0.00
56.12 0.00
44.55 5.45
35.36 14.64
28.07 21.93
二叉树方法的一般定价过程
10
1. 以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划
分成N个长度为t的小区间，令 fij (0 i N,0 j i) 表示在时间it 时第j个结点处的美式看跌期权的价值，同 时用 Su j d i j 表示结点 (i, j) 处的证券价格，可得：
期权定价
基于单步二叉树模型的期权定价 风险中性法
5
风险中性世界里，参数值满足 Sert pSu (1 p)Sd ert pu (1 p)d
假设资产价格～几何布朗运动在△t内资产价
格变化方差=S22△t 。结合方差定义EQ2-[EQ]2
S 2 2t pS 2u2 (1 p)S 2d 2 S 2[ pu (1 p)d ]2
2. 期权价格的影响因素有：标的资产的市价、期权的协议价 格、期权的有效期、标的资产价格的波动率、无风险利率、 标的资产的收益。
期权定价
14
1. 提前执行无收益资产看涨期权是不合理的，而提前执行看 跌期权和有收益资产看涨期权，则有可能是合理的。
2. 无收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系为： c Xe r(T t) p S
要求：1）笔算；2）软件实现。
2. 上网分组查找我国当前权证市场上的主要认股权证产品及 其特性（至少四个）
期权定价