高一数学必修一：集合与函数知识点总结

必修一 集合与函数知识点
第二章函数
1. 函数三要素：（1）解析式 （2）定义域 （3）值域
2. 函数定义域的求法：
（1）分式的分母不得为零; (2) 偶次方根的被开方数不大于零;
（3）对数函数的真数必须大于零; (4) 指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
（5）0)()]([0≠=x f x f y ，要求； （6）抽象函数求定义域：
①f[g(x)]的定义域为[a,b]，指的是x 的取值范围为[a,b]，而不是g(x)的范围为[a,b]，
如f(3x-1)的定义域为[1,2]，指的是f(3x-1)中的范围是21≤≤
x .
②f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同。

（7）对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

3. 函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型
),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的
形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用
y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常
用来解，型如：
),(,n m x d
cx b
ax y ∈++=
；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：
)0(>+
=k x
k
x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

3、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 ⑴单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）
增
函
数
：
)
()(],,[,x 212121x f x f x x b a x <⇒<∈对任意的 减函数：
)()(],,[,x 212121x f x f x x b a x >⇒<∈对任意的
注：① 函数上的区间I 且x 1，x 2∈I.若2
121)()(x x x f x f --＞0（x 1≠x 2），则函数f(x)在区间I 上是增函数；
若2
121)()(x x x f x f --＜0（x 1≠x 2），则函数f(x)是在区间I 上是减函数。

② 用定义证明单调性的步骤:<1>设x 1，x 2∈M ，且21x x <；则 <2> )()(21x f x f -作差整理；
<3>判断差的符号； <4>下结论； ③ 增+增=增 减+减=减
④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减
20022<<>+-=x u x x u 则，由（设)
⑵奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)
f(x) －f(-x)=0⇔ f(x) =f(-x) ⇔f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0⇔ f(x) =－f(-x) ⇔f(x)为奇函数。

注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(｜x ｜);②若f(x)⑶周期性: ①若f(x+T)=f(x)且T ≠0的常数,则T 是函数f(x)的周期;
②若f(x+a)=f(x+b) ，a 、b 为常数且a ≠b,则b- a 是函数f(x)的周期。

⑷对称性:①若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=2
b a +对称;( 即:‘一均二等’的原则)
②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=2
a b -对称. ③你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即y 轴),直线y=0(即x 轴),原点。

⑸函数图象的变换
平移变换：
b
x f y a x f y x f y a x f y b
x f y -=↓-=→=←
+=↑
+=)()
()()()(对称变换：(1)y=f(-x) 与y=f(x)关于y 轴对称. (2)y=-f(x) 与y=f(x)关于x 轴对称.
(3)y=-f(-x) 与y=f(x)关于原点对称. (4))(1x f y -=与y=f(x)关于直线y=x 对称. (5)y=|f(x)| 的图象可将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部
分不变.（下翻上）
(6)y=f(|x|) 的图象：可将y=f(x)，x 0≥的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，
作出x<0的图象。

（右翻左）
伸缩变换：
（1）y=Af(x)(A>0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到. （2）y=f(ax)（a>0）的图象，可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的a
1倍，纵坐标不变而得到
4. 求反函数的步骤：
(1) 反解x ； （2）对调x,y; （3）写反函数的定义域（即原函数的值域）. 注：函数与反函数之间:f -1
(a)=b ⇔f(b)=a
5. 常用的初等函数：一次函数,二次函数,反比例函数, 指数函数,对数函数,)0(>+=k x
k x y 的图象和性
质(重点掌握!!) （1）一次函数：)0(≠+=k b kx y ，
当0>k
时，是增函数；当0<k 时，是减函数；
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ②求闭区间［m ，n ］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是 ；与x 轴的交点为 ；
顶点式：
h k x a y +-=2)(；对称轴方程是 ；顶点为 ；
（3）反比例函数：
)0(≠=
x x a y ⇒b x c a y -+
=(遇y=a
nx b
mx ++的函数一般用反比例函数来解决) （4）指数函数：)1,0(≠>=a a a y x
指数运算法则n
m
b a = ；m
n
b
a = ；n a
b )(= ；0
a = 。

（5）对数函数：
)1,0(log ≠>=a a x y a 对数运算法则：log a MN= ；log a
N
M
= ；
log a M n = ；log a n
M
= ；log m a M n = ； log a
a =1； log a 1=0; log a b=
（换底公式）；
N
a
a
log
=N （对数恒等式）注意：（1）
x a y =与x y a log =的图象关系
是 ；
由图象记性质！ （注意底数的限定！） 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ 由)0(>+=k x k x y 的图象：定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减
函数。

（7）幂函数α
x y =（会做α=1，2，3，
2
1，-1的图象）
注：①图象都过（1，1）点。

②在第四象限无幂函数图象。

③α>0时，幂函数在第一象限是增函数。

④α<0时，幂函数在第一象限是减函数。

6. 函数与方程：
（1）函数)(x f y =的零点⇔方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点。

（2）一般地，如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0那么，函数
)(x f y =在 (a,b)内有零点，即),(b a c ∈，使得,0)(=c f 这个c 也就是方程0)(=x f 的根。

注：①解决了存在性问题（有且至少有1个）。

②在(a,b)内只有1个零点，说明函数是单调的。

8. 解应用问题的一般步骤：
7.二分法步骤： （1）审题；（2）建模；
（1）确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； （3）解模；（4）作答
（2）求区间(a,b)中点c ；
（3）计算 )(c f ①,0)(=c f c 是函数零点。

②f(a)f(c)<0, ),(0c a x ∈.③f(c)f(b)<0, (4) ε<-b a 否则重复2~4.。