原创课件算术平均数与几何平均数
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课堂练习： x 1 3. 设x [ ，27]，求 y log 3 log 3 (3 x ) 27 9 的最大值．5 分析：令t = log3x，则可得t [ 2，3]， y = (t 3)(t + 1)，显然不满足均值定理的 条件，因此只能利用二次函数求最值， 可展开后配方求解.
注：本题主要考查综合应用所学数 学知识、思想和方法解决实际问题的能 力，考查建立函数关系、不等式性质、 最大值、最小值等数学基础知识． 分析：应用题的最值问题，主要是选 取适当的变量，再依据题设，建立数学 模型(即函数关系式)，由变量和常量之间 的关系，选取基本不等式求最值． 评述：均值不等式在实际问题中的应用 相当广泛, 解题过程为: (1)先构造定值； (2)出现关系式；(3)验证“=”号成立． 返回
例1 已知a，b，c为两两不相等的实 数，求证：a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca．
例2(上节思考题) 设a > 0，b > 0，且
b2 a2 + = 1，求 a 1 b2 的最大值． 2
说明：注意上述解法中“凑定值”的方法.
例3 如图，为处理含有某种杂质的污 水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的 沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米， 已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b 的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米， 问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水 中该杂质的质量分数最小(A、B孔面积忽 略不计)．
b > 0)在( ， 增；在 [
b 和[ a
b ，0和(0， a
b ，+ 上单调递 a b 上单调递减． a
1 4 作业 1. 已知x，y R+，且 x y
= 1，求
x + y的最小值． 2. 思考题：如图，在△ABC中，∠C = 90， AC = 3，BC = 4，一条直线分△ABC的面 积为相等的两部 分，且夹在AB与BC之间的 线段EF最短，求此线段长．
4. 求y =
x 3
2
3 2 的最小值． 2 2 x 2
小结 1．应用定理时注意：必须同时满足 “正数”、“定值”、“相等”三个条 件，才能求得最值． 2．在求某些函数的最值时，会恰当 地恒等变形． 3．当均值定理的条件无法凑出时， 一般可利用函数单调性求最值． b 4．可以证明函数 y = ax + x (a > 0，
复习 1．重要不等式： 如果a，b R，那么a2 + b2 2ab (当且仅当a = b时取“=”号)．
2．定理：如果a，b是正数，那么 号)．3．利用定理求函数最值的条件：一 正，二定，三相等． 4．最值定理：“和定积最大，积定 和最小”．
ab ab (当且仅当a = b时取“=”Βιβλιοθήκη Baidu2
课堂练习： 2 x 2x 2 1. 若 4 < x < 1，求y = 2x 2 的最值． y = 1，无最小值．
的最小值．
1 1 2. 若x，y R+，且x + y = 1，求 x y
max
4 思考：(1) 若条件变为2x + y = 1， 结论如何？ 3 2 2 思考：(2) 若条件变为2x + y = 3， 结论如何？ 3 2 2
新课 1．公式的等价变形：
a 2 b2 ab 2 ab , ab ( ) . 2 2 b a 2． 2 (ab > 0)，当且仅当a = b时 a b
取“=”号．
ab a b (a , b R ). 3．1 1 ab 2 2 a b 2
2 2
当且仅当a = b时取“=”号 ．
课堂练习： x 1 3. 设x [ ，27]，求 y log 3 log 3 (3 x ) 27 9 的最大值．5 分析：令t = log3x，则可得t [ 2，3]， y = (t 3)(t + 1)，显然不满足均值定理的 条件，因此只能利用二次函数求最值， 可展开后配方求解.
注：本题主要考查综合应用所学数 学知识、思想和方法解决实际问题的能 力，考查建立函数关系、不等式性质、 最大值、最小值等数学基础知识． 分析：应用题的最值问题，主要是选 取适当的变量，再依据题设，建立数学 模型(即函数关系式)，由变量和常量之间 的关系，选取基本不等式求最值． 评述：均值不等式在实际问题中的应用 相当广泛, 解题过程为: (1)先构造定值； (2)出现关系式；(3)验证“=”号成立． 返回
例1 已知a，b，c为两两不相等的实 数，求证：a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca．
例2(上节思考题) 设a > 0，b > 0，且
b2 a2 + = 1，求 a 1 b2 的最大值． 2
说明：注意上述解法中“凑定值”的方法.
例3 如图，为处理含有某种杂质的污 水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的 沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米， 已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b 的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米， 问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水 中该杂质的质量分数最小(A、B孔面积忽 略不计)．
b > 0)在( ， 增；在 [
b 和[ a
b ，0和(0， a
b ，+ 上单调递 a b 上单调递减． a
1 4 作业 1. 已知x，y R+，且 x y
= 1，求
x + y的最小值． 2. 思考题：如图，在△ABC中，∠C = 90， AC = 3，BC = 4，一条直线分△ABC的面 积为相等的两部 分，且夹在AB与BC之间的 线段EF最短，求此线段长．
4. 求y =
x 3
2
3 2 的最小值． 2 2 x 2
小结 1．应用定理时注意：必须同时满足 “正数”、“定值”、“相等”三个条 件，才能求得最值． 2．在求某些函数的最值时，会恰当 地恒等变形． 3．当均值定理的条件无法凑出时， 一般可利用函数单调性求最值． b 4．可以证明函数 y = ax + x (a > 0，
复习 1．重要不等式： 如果a，b R，那么a2 + b2 2ab (当且仅当a = b时取“=”号)．
2．定理：如果a，b是正数，那么 号)．3．利用定理求函数最值的条件：一 正，二定，三相等． 4．最值定理：“和定积最大，积定 和最小”．
ab ab (当且仅当a = b时取“=”Βιβλιοθήκη Baidu2
课堂练习： 2 x 2x 2 1. 若 4 < x < 1，求y = 2x 2 的最值． y = 1，无最小值．
的最小值．
1 1 2. 若x，y R+，且x + y = 1，求 x y
max
4 思考：(1) 若条件变为2x + y = 1， 结论如何？ 3 2 2 思考：(2) 若条件变为2x + y = 3， 结论如何？ 3 2 2
新课 1．公式的等价变形：
a 2 b2 ab 2 ab , ab ( ) . 2 2 b a 2． 2 (ab > 0)，当且仅当a = b时 a b
取“=”号．
ab a b (a , b R ). 3．1 1 ab 2 2 a b 2
2 2
当且仅当a = b时取“=”号 ．