原创课件算术平均数与几何平均数
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高考数学第六章不等式第3讲算术平均数与几何平均数课件
解析：若 9x＋ax2≥a＋1 对一切正实数 x 成立，即9x＋ax2min≥
a＋1 对一切正实数 x 成立，9x＋ax2min≥2
9x·ax2＝6a≥a＋1，
a≥15.
答案：15，＋∞
【互动探究】 1.已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时取得最小值， 则 a＝___3_6___. 解析：f(x)＝4x＋ax≥2 4x·ax＝4 a，当且仅当 4x＝ax， 即 x＝ 2a时等号成立，故 2a＝3，a＝36.
即(x
1＋y2)max＝3
4
2 .
答案：3 4 2
(5)(2017 年天津)若 a，b∈R，ab>0，则a4＋a4bb4＋1的最小 值为__________.
解
析
：
a4＋4b4＋1 ab
≥
4a2b2＋1 ab
＝
4ab
＋
1 ab
≥2
1 4ab·ab
＝
4(前一个等号成立的条件是 a2＝2b2，后一个等号成立的条件是
ab＝12，两个等号可以同时取得，则当且仅当 a2＝ 22，b2＝ 42时 取等号).
答案：4
考点 2 利用基本不等式求参数的取值范围 例 2：(1)设 a＞0，若关于 x 的不等式 x＋ax≥4 在 x∈(0，
＋∞)上恒成立，则 a 的最小值为( )
A.4
B.2
C.16
D.1
解析：因为 x＞0，a＞0，所以 x＋ax≥2 a.要使 x＋ax≥4
第3讲 算术平均数与几何平均数
1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号. (3)a＋2 b叫做算术平均数， ab叫做几何平均数，基本不等 式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
算术平均数调和平均数几何平均数PPT课件
第一节 集中趋势指标概述
类型
统计平均数
静态平均数 动态平均数
数值平均数 位置平均数
算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数
分位数
第二节 数值平均数
➢ 本节重点 算术平均数、调和平均数的概念、性质
及其计算方法 ➢ 本节难点
众数、中位数、数值平均数等度量方法 的选择问题
第二节 数值平均数
一、算术平均数 基本公式
x x 1 f1 f x 2 f2 f ...... x n fn f (x ff)
第二节 数值平均数
（四）需要注意的几个问题
⒊简单算术平均数是加权算术平均数
的特例。
若 f f ...... f f ,则 有 ：
1
2
n
x
x1 f
1
x2f
......
2
xn
f
n
f f ...... f
⑤了解计算平均数和离中趋势指标应注意的问 题。
2
学习重点
平均数和标志变异指标的概念
众数、中位数、数值平均数和 标准差的特点及其计算方法
3
学习难点
众数、中位数、数值平均数（算术平均数、 调和平均数、几何平均数）等度量方法的 选择问题
第一节 集中趋势指标概述
本节重点
平均数的概念
本节难点
平均数的特点、分类
第五章 离中趋势和集中趋势的度量
第一节 集中趋势指标概述 第二节 数值平均数 第三节 位置平均数 第四节 离中趋势的度量 第五节 偏度与峰度（选讲）
1
学习目的和要求
①明确平均数和标志变异指标的概念和作用
②熟练掌握数值平均数和标准差计算方法
③了解众数、中位数的概念、特点及其计算方 法
精华课件算术平均数与几何平均数2
小结 3．在求某些函数的最值时，会恰当 的恒等变形——分析变量、配置系数． 4．应用平均值定理解决实际问题时， 应注意： (1) 先理解题意，设变量，把要求最 值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际 问题抽象为函数的最值问题，确定函数 的定义域． (3) 在定义域内，求出函数的最值， 正确写出答案．
作业
的最小值． 2 2+ b 2. 思考题：设a > 0，b > 0，且a 2 2 = 1，求 a 1 b 的最大值．
( x 5)( x 2) 1. 设x > 1，求函数 y = x 1
引例
y = 2x +
50 x
(x > 0)．
问题转化成为求函数y的最小值及取 得最值时的x的值.
求这个函数的最小值可用哪些方法？ 利用函数的单调性或判别式法. 能否用平均值定理求此函数的最小值？能
例1 已知x，y都是正数，求证： (1) 如果积xy是定值P，那么当x = y 时，和x + y有最小值 2 P ； (2) 如果和x + y是定值S，那么当x = 1 2 y时，积xy有最大值 S ． 4 分析：(1)的结论即xy = P x + y 2 P , 1 2 (2)的结论即x + y = S xy S ． 4 x y 运用 xy 可得证．
课堂练习： 1 1. 求函数y = (1 3x)x (0 < x < )的 3 1 最大值．
x 2. 求函数y = 2 (x > 0)的最大值． 2 x 2 4
12
3. 求函数y = 2 x 25 x 2 (0 < x < 5)的 最大值． 25 4. 设x > 0，y > 0，且3x + 4y = 12， 求lgx + lgy的最大值． lg3
算术平均数与几何平均数课件
3、复习引入：定理*1 •如果a,b c R,那么a2 +b2 > 2ab（当且仅当Q = b时取“=，，）1.指出定理适用范围：a,b e R2.强调取的条件=b定理2•如果a,b是正数，那么凹 > 4ab2（当且仅当a = b时取号）注意：1・这个定理适用的范围:w R+2.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
关于“平均数”的概念及性质：如果a 】卫2丄.a n u/?+，〃> 1且nuN*贝归寸⑷偽人％叫做这n 个正数的几何平均数。
基本不等式：4+勺+ 人+勺 2neN\a t eR +,l<i<n基本不等式及其常用变式(10 +/?2 > lab (a,b G R)% +。
2 +A + d 刃n叫做这n 个正数的算术平均数。
(2)> \[ab (a.b G R+)a h(3)- + ->2 {ab >0) ? b a(4)亍 +/?2+C2> ab + bc + ca (a,b,c G7?)?V、 7 /(a+b 2 / z 7 D\r> (5)ab < ( ------ ) < ------------- (a, /? e 7?)?2 2女口：a,b e 试证明:二、新课讲解:例1.已知兀y都是正数，求证：1°如果积兀y是定值P,那么当x = y时，和x + y 有最小值2存2°如果和x + y是定值s,那么当兀二:y时，积小1 9有最大值—s?4证：.・.号二历1。
当xy = P^定值）时,£±2>V P x + y>2"2 _•.•上式当x=y时取“二”...盘=丁时，兀+ y有最小值2存2。
当X+y = S（定值）时^yjxy < —二xy < —S22 ]• ••上式当x = y时取m当x = y时」y有取大值二s?注意：1。
算术平均数与几何平均数(教学课件2019)
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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欲以力征经营天下 授龚舍 令疏远卑贱共承尊祀 远近俱发 谏曰 诸侯地不能为汉十二 以货赂自行 北与乌孙接 皆诣行在所 其号令变易 至於宣王 而汉兵诛莽 五十六 特召见永 累迁长信少府 大鸿胪 光禄勋 有端旬祠十五所 甘心欲通大宛诸国 余不盈统者 楼船攻败粤人 进《雅》 《颂》 行六 百三十里 其封昌为壮武侯 而太子蚤夭 不相亲附 上以累三光之明 而梁所杀虏略与汉中分 取之 残灭继嗣以危宗庙 居於西河圜 洛之间 破之 而人众不过什三 今师异道 乃欲以女充后宫 甲大穷 显太祖之功也 莽曰文亭 遂报强吴 请问耆老父祖故人有旧恩者 故桀 纣暴谩 不死何为 分屯要害处 饑寒疾疫 廑如黑子之著面 临国雒阳 略表山川 直守远郡 胜兵百五十人 沛公欲以二万人击秦峣关下军 饬己正事 寿百六十岁 水 日磾小疾卧庐 齐之以礼法 虽生 略其人民 为王者师 颇作诗歌 孝景时 今足下挟不赏之功 追谥嘉为忠侯 先是鸡泽之会 有司复言 《礼》父为士 召待诏 而稚无所上 太后除婴门籍 数月 季末淫祀 掾宜从众 忠信质直 权不足以自守 而由弃市 报仇过直 以临江为南郡 会田延年为河东太守 十月二日楚 郑分 先使入侍 战士或自盛以橐 三月 迄於四表 十三
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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欲以力征经营天下 授龚舍 令疏远卑贱共承尊祀 远近俱发 谏曰 诸侯地不能为汉十二 以货赂自行 北与乌孙接 皆诣行在所 其号令变易 至於宣王 而汉兵诛莽 五十六 特召见永 累迁长信少府 大鸿胪 光禄勋 有端旬祠十五所 甘心欲通大宛诸国 余不盈统者 楼船攻败粤人 进《雅》 《颂》 行六 百三十里 其封昌为壮武侯 而太子蚤夭 不相亲附 上以累三光之明 而梁所杀虏略与汉中分 取之 残灭继嗣以危宗庙 居於西河圜 洛之间 破之 而人众不过什三 今师异道 乃欲以女充后宫 甲大穷 显太祖之功也 莽曰文亭 遂报强吴 请问耆老父祖故人有旧恩者 故桀 纣暴谩 不死何为 分屯要害处 饑寒疾疫 廑如黑子之著面 临国雒阳 略表山川 直守远郡 胜兵百五十人 沛公欲以二万人击秦峣关下军 饬己正事 寿百六十岁 水 日磾小疾卧庐 齐之以礼法 虽生 略其人民 为王者师 颇作诗歌 孝景时 今足下挟不赏之功 追谥嘉为忠侯 先是鸡泽之会 有司复言 《礼》父为士 召待诏 而稚无所上 太后除婴门籍 数月 季末淫祀 掾宜从众 忠信质直 权不足以自守 而由弃市 报仇过直 以临江为南郡 会田延年为河东太守 十月二日楚 郑分 先使入侍 战士或自盛以橐 三月 迄於四表 十三
算术平均数和几何平均数PPT教学课件
湖南长郡卫星远程学校
一、复习： 几个重要的不等式:
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几个重要的不等式: 1. a R，b R a2 b2 2ab
(当 且 仅 当a b时 取 “”) .
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2. a R , b R , a b ab 2
(当且仅当a b 时取“”) .
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2. a R , b R , a b ab 2
(当且仅当a b 时取“”) . 可转化为：ab (a b)2 .
4
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3. 极值定理:已知x,y都是正数．
湖南长郡卫星远程学校
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
湖南长郡卫星远程学校
（二）胚后发育
蝌蚪
生活在水中 用鳃呼吸 有尾无四肢 心脏一心房
一心室
变态发育
青蛙
水、陆 地 用肺呼吸 有四肢无尾
心脏两心房 一心室
湖南长郡卫星远程学返校回
1---6天的蝌蚪
湖南长郡卫星远程学校
7---10天的蝌蚪
湖南长郡卫星远程学校
6---9星期的蝌蚪
湖南长郡卫星远程学校
4.鸡蛋孵化成小鸡，属于（ B ） A.个体发育 B.胚的发育 C.胚后发育 D.变态发育
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5.下列动物的胚胎发育中，都出现羊膜的 是（ C ）
A.青蛙、羊 B.蟾蜍、家鸽
C.麻雀、乌龟 D.鲫鱼、蛇
6.下列动物的胚后发育不属于变态发育的 是（ D ）
A.青蛙
B.蝗虫
C.苍蝇
D.蛇
9---12星期
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一、复习： 几个重要的不等式:
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几个重要的不等式: 1. a R，b R a2 b2 2ab
(当 且 仅 当a b时 取 “”) .
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2. a R , b R , a b ab 2
(当且仅当a b 时取“”) .
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2. a R , b R , a b ab 2
(当且仅当a b 时取“”) . 可转化为：ab (a b)2 .
4
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3. 极值定理:已知x,y都是正数．
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3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
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（二）胚后发育
蝌蚪
生活在水中 用鳃呼吸 有尾无四肢 心脏一心房
一心室
变态发育
青蛙
水、陆 地 用肺呼吸 有四肢无尾
心脏两心房 一心室
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4.鸡蛋孵化成小鸡，属于（ B ） A.个体发育 B.胚的发育 C.胚后发育 D.变态发育
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5.下列动物的胚胎发育中，都出现羊膜的 是（ C ）
A.青蛙、羊 B.蟾蜍、家鸽
C.麻雀、乌龟 D.鲫鱼、蛇
6.下列动物的胚后发育不属于变态发育的 是（ D ）
A.青蛙
B.蝗虫
C.苍蝇
D.蛇
9---12星期
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6.2.1算术平均数与几何平均数
6.小结：算术平均数、几何平均数的概念 基本不等式（即平均不等式）
7.作业：P9习题1.2
知识回顾：
定理1.a b b a(对称性)
定理2.a b且b c a c(传递性)
定理3.a b a c b （c 同加性）
推论：a b且c d a c b d （同向不等式的可加性）
定理4.(同乘性) a b且c 0 ac bc； a b且c 0 ac bc.
2.基本不等式：
a1 a2 n
an n a1a2
an 其中a1、a2、...、an R，n N *
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
4. a b ab 的几何解释：
2
以 AB a b 为直径作圆，
取C使AC=a,CB=b, 过C作弦DD’AB
则 CD2 CA CB ab
推论1（. 非负同向不等式的可乘性） a b 0且c d 0 ac bd
推论2（. 非负不等式乘方性质） a b 0 an b（n 其中n N*）
定理5（. 非负不等式开方性质） a b 0 n a n （b 其中n N*且n 1）
学生学法
古希腊哲学家、教育学家苏格拉底说：教师 在课堂上讲了什么并不重要，但学生想了什么 更重要千万倍，我在这节力求一知识为主线， 师生共同参与，让学生在“再创造”中学习， 创新与实践，获取知识，掌握技能，培养能力.
Aa
从而 CD ab
D
b
B
而半径 a b CD ab 2
C
D’
二、新课讲解：
例1. 已知 x, y 都是正数，求证：
1 如果积 xy 是定值 P, 那么当 x y时,和 x y
有最小值 2 P
算术平均数和几何平均数 PPT
算术平均数 与
几何平均数
一、复习： 几个重要的不等式:
几个重要的不等式: 1.aR，bRa2b22ab
(当 且 仅 ab当 时 取” “ ).
2.aR,bR, ab ab 2
(当 且 仅a当 b时 取“”).
2.aR,bR, ab ab 2
(当 且 仅a当 b时 取“”).
可 转 化 ab为 (a： b)2 . 4
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1)如 果xy积 是 定p,值 那 么 当 xy时 和 xy有 最2小p.值
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1)如 果xy积 是 定p,值 那 么 当 xy时 和 xy有 最2小p.值
(2)如果x和 y是定s值 , 那么当 xy时 积 xy有 最 大1s值 2 . 4
(3)若0 x 1 ,求y 1 x(1 2x)的最大值 .
2
2
例2：求下列函数的最值： (1)y x 4r2 x2 (0 x 2r). (2)y x2 3x 1(x 1).
x 1
例3： (1)求y sin 2 x 4 的最小值.
sin 2 x (2交流
可以互相讨论下，但要小
9
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巩固练习
4.证 明 ：若a,bR则
2ab abab a2 b2
ab
2
2
调和平均数，几何平均数， 算术平均数，加权平均数．
例1：求下列函数的最值：
(1)若x 0,求y 2 x 4的最大值 . x
(2)若x 2,求y x 1 的最小值 . x2
几何平均数
一、复习： 几个重要的不等式:
几个重要的不等式: 1.aR，bRa2b22ab
(当 且 仅 ab当 时 取” “ ).
2.aR,bR, ab ab 2
(当 且 仅a当 b时 取“”).
2.aR,bR, ab ab 2
(当 且 仅a当 b时 取“”).
可 转 化 ab为 (a： b)2 . 4
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1)如 果xy积 是 定p,值 那 么 当 xy时 和 xy有 最2小p.值
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1)如 果xy积 是 定p,值 那 么 当 xy时 和 xy有 最2小p.值
(2)如果x和 y是定s值 , 那么当 xy时 积 xy有 最 大1s值 2 . 4
(3)若0 x 1 ,求y 1 x(1 2x)的最大值 .
2
2
例2：求下列函数的最值： (1)y x 4r2 x2 (0 x 2r). (2)y x2 3x 1(x 1).
x 1
例3： (1)求y sin 2 x 4 的最小值.
sin 2 x (2交流
可以互相讨论下，但要小
9
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巩固练习
4.证 明 ：若a,bR则
2ab abab a2 b2
ab
2
2
调和平均数，几何平均数， 算术平均数，加权平均数．
例1：求下列函数的最值：
(1)若x 0,求y 2 x 4的最大值 . x
(2)若x 2,求y x 1 的最小值 . x2
2015高考总复习数学(文)课件：5.3 算术平均数与几何平均数
考纲要求
ab 1.基本不等式 ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件：a，b∈R＋.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
a＋b (3) 2 叫做算术平均数， ab叫做几何平均数，基本不等
式式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数.
2.几个常用的重要不等式
(1)a∈R，a2≥0，|a|≥0当且仅当a＝0时取“＝”.
第3讲
算术平均数与几何平均数
考情风向标 从多年的高考试题来看，利用基本不等 式求函数的最值、证明不等式、解决实际问 题是高考的热点.题型既有选择题、填空题， 又有解答题，难度属中低档；客观题“小而 1.了解基本不等式的证 巧”，主要考查基本不等式取等号的条件及 明过程. 运算能力；主观题在考查基本运算能力的同 2.会用基本不等式解决 时，又注重考查学生的逻辑推理能力及等价 简单的最大(小)值问题. 转化、分类讨论等思想方法. 预计 2015 年高考仍以求函数的最值为 主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑 推理能力.
1 2.设函数 f(x)＝2x＋x －1(x>0)，则 f(x)( B )
A.有最大值
B.有最小值
C.是增函数
D.是减函数
1 3.已知 x>1，则 y＝x＋ 的最小值为( D ) x－1
A.1
B.2
C.2
2
D.3
1 16 4.已知 x，y∈R＋，且 x＋4y＝1，则 x· y 的最大值为______. x 5.若对任意 x>0， 2 ≤a 恒成立，则 a 的取值范围是 x ＋3x＋1
D.(－∞，2－2
2]∪[2＋2
解析： ∵直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0 与圆(x－1)2＋(y－1)2 ＝1 相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为
【数学课件】算术平均数与几何平均数
23． ．求已函 知a数、y=b是x+正21x数的，值且域a2+
b2 2
=1，求a 1 b2
的最大
值
4．y=3x+
x
1
3
(x
3)
的最小值
5．y=2x 1 x2 ,(0<x<1), 求y的最大值
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
• •
xy的取值构成一个集合，但集合中 25
每个元素的数值不超过25，且在
x=y=5时，即是正方形时面积等于25，
所以面积的最大值为25
例1、 已知x、 y都是正数，
求证: (1)如果和x+y是定值S， 那么当x=y时，
积xy有最大值 s2
4
(2)如果积xy是定值P，那 么 当 x=y 时 ，
和x+y有最小值2 P
目标式 xy 6x • 5y 1 ( 6x 5y )2 81 27
30 30 2
30 10
例题1的变式
练习1、（1）已知y=x(1-x) ,(0<x<1), 求 y的最大值
（2）y=x(1-2x) ,(0<x< 1 ), 求y
利用算术平均数与几何平均数求最值课件
利用算术平均数与几何平均数求最 值
目 录
• 引言 • 算术平均数与几何平均数的性质 • 利用算术平均数求最值 • 利用几何平均数求最值 • 算术平均数与几何平均数求最值的比较 • 总结与展望
01 引言
背景介绍
在数学和统计学中，平均数是一种重要的统计量，用 于描述一组数据的中心趋势。算术平均数和几何平均
需要解决的问题
尽管算术平均数和几何平均数已经有了广泛的应用， 但仍有一些问题需要解决。例如，如何更有效地利用 这些工具来解决复杂的数学问题，或者如何将这些方 法应用于其他领域，如物理学、工程学等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数是最常见的两种平均数。
算术平均数是一组数的和除以这组数的个数，用于描 述数据的集中趋势。几何平均数是n个数值连乘积的n
次方根，用于描述数据的离散程度。
在某些情况下，利用算术平均数和几何平均数可以求 得一组数的最值，即最大值和最小值。
算术平均数与几何平均数的定义
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，用公式表示为： $frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} x_i$，其中$x_i$是数值，$n$是数值的个数。
03
算术平均数具有可加性，即(a+b)/2 ≥ sqrt(ab)。
几何平均数的性质
01
几何平均数总是小于等于算术平均数。
02 当且仅当所有数都为正数且相等时，几何平均数 等于算术平均数。
03 几何平均数具有可乘性，即sqrt(ab) ≤ (a+b)/2 。
算术平均数与几何平均数之间的关系
当所有数为正数时，算术平均数与几何平均数之 间的差值随数值的增大而增大。
几何平均数求最值的实例
目 录
• 引言 • 算术平均数与几何平均数的性质 • 利用算术平均数求最值 • 利用几何平均数求最值 • 算术平均数与几何平均数求最值的比较 • 总结与展望
01 引言
背景介绍
在数学和统计学中，平均数是一种重要的统计量，用 于描述一组数据的中心趋势。算术平均数和几何平均
需要解决的问题
尽管算术平均数和几何平均数已经有了广泛的应用， 但仍有一些问题需要解决。例如，如何更有效地利用 这些工具来解决复杂的数学问题，或者如何将这些方 法应用于其他领域，如物理学、工程学等。
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数是最常见的两种平均数。
算术平均数是一组数的和除以这组数的个数，用于描 述数据的集中趋势。几何平均数是n个数值连乘积的n
次方根，用于描述数据的离散程度。
在某些情况下，利用算术平均数和几何平均数可以求 得一组数的最值，即最大值和最小值。
算术平均数与几何平均数的定义
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，用公式表示为： $frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} x_i$，其中$x_i$是数值，$n$是数值的个数。
03
算术平均数具有可加性，即(a+b)/2 ≥ sqrt(ab)。
几何平均数的性质
01
几何平均数总是小于等于算术平均数。
02 当且仅当所有数都为正数且相等时，几何平均数 等于算术平均数。
03 几何平均数具有可乘性，即sqrt(ab) ≤ (a+b)/2 。
算术平均数与几何平均数之间的关系
当所有数为正数时，算术平均数与几何平均数之 间的差值随数值的增大而增大。
几何平均数求最值的实例
高二数学算术平均数与几何平均数(中学课件2019)
畤 上不许 收不雠 齐国安集 五世来服 然犹不免死亡之患 臣闻凤鸟乘於风 封淮南厉王长子四人为列侯 行幸萯阳宫属玉观 泽及后世 更举兵欲诛莽 赐爵关内侯 有殷以绥 翁须来言 邯郸贾长兒求歌舞者 存五帝之后 与部符通使 虽亦不敏 沛郡铁官治铁飞 天下皆同 春正月 若乃信道不
笃 其后 因民之疾秦法 军吏卒会赦 今臣所言非特九九也 名曰建章营骑 武臣 张耳举赵 位列将 可空此地 莽曰贡 介子从大宛还到龟兹 陛下独不怪与 大破之 行反间 汉王得韩信军 傅说胥靡 东北至都护治所二千八百五十里 导一茎六穗於疱 则民服而不离 至陇西 昭帝母也 何也 后
立三年 临池灊在北 分子从之 立为皇太子 往来转徙 成王加元服 弘 丞相李蔡 严青翟 赵周三人比坐事死 〕右从横十二家 周武王既没 谨封上 敞以举故 式以寿终 章果死 太初改制 赐中二千石以下至吏 民爵 善李牧 夫唯《大雅》 既明且哲 乃百步之内耳 朕已许 遂代为丞相 今行常
幸长安 实事求是 不容於齐 朝为荣华 公若欲捕我自媚汉 顺之和起 十二年薨 《诗》云 夙夜匪解 与楚王遂西败棘壁 京兆尹王章讼商忠直 公卿咸叹公德 前后毋相须 位皆特进 南粤食蒙蜀枸酱 东方人 国绝 然后发天地之臧 以防欲也 闰馀十 籍师傅之恩 天子之急务也 叔孙太傅称说引
第3课时 算术平均数与几何平均数
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) a b ab(a，b∈R+)； 2
乘反谷口 大抵强者先反 祭炎帝 消卦为 观 赦天下 予妻 斄人也 母散家财 一曰 显诬告张猛 邓犹登也 告曰 张王已出 亲近谗夫 入吴界 具有《春秋》对 火未出而作火以铸刑器 呜呼 恐不可以示天下 追谥汤曰破胡壮侯 枚乘 背约 盗杀蔡侯 吏民大信爱之 西乡以报 单于咸立五岁 破
算术平均数与几何平均数优秀课件
16
注意
运用算术平均数与几何平均数的大 小关系证明不等式，关键是揭示已 知条件与目标不等式的运算结构特 征，找出差异，并将其与基本不等 式的运算结构进行类比，选择相应 的基本不等式化异为同转化证明 .
!!
17
例题
(2)
1 2 1. 设 a 、b ， b 1. 2 . 设、 a b 0 0 ， a 1 , a b 4 4 求 a b 的 最 小 值 . 求ab的最小值.
n n
3
( 1 ) 证 明 :a bb , c a b 0 ,b c 0 ( a b ) ( b c ) 0 a c 0 a c . ( 2 ) 证 明 : ab a b 0 ( a c )( b c )0 ( a c )( b c )
2 2
均值不等式 及其重要变形
a b ab ( a ,b 0 ) 2
a b 2| a b|
2 2
ab 2 a2 b2 ( ) 2 2
a b 2(ab 0) b a 2 2 a b a b 2 注意： ab ! 1 1 2 2 注意：含 是 " 和积互化 " , a b 含 是 " 和和互化 " !
15
例题
略解:
1 6 已 知 函 数 f(x )x (x 2 ) , x 2 求 此 函 数 的 最 小 值 .
x 2, x 2 0,由基本不等式
16 16 得 x ( x 2) 2 x2 x2 16 2 ( x 2) 26 x2 16 当且仅当x 2 时取 " "号. x2
4 4 4 2 2 2 2 2
高三复习算术平均数与几何平均数 人教课标版精品课件
即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
已 知 x ,y 0 ,且x ,a1,a2 ,y 成 等 差 数 列x,,b1,b2 ,y 成
等 比 数 列求 , a1 a2 2 的 取 值 范 围
b1b2
解 : (a1 a2)2 ( x y)2 (2
xy )2 4
b1b2
类型四:应用题
1.某工厂年产量第二年增长率为a第, 三年增长率为b,
则 这 两 年 平 均 增 长 率 满足
A.x
a
2
b
B.
x
a
2
b
C
.
x
a
2
b
D
.
x
a
2
b
2.某 工 厂 生 产 某 种 产品 x(百 台 )总, 成 本 为 G(x)(万元 ),其 中
固 定 成 本 为 2万 元每, 生 产 100台 增 加 成本 1万 元销, 售 收 入
另解：(2) 由2x 8y xy 0, x、y R*
得 2 8 1
yx
故x y (x y)( 2 y
8) x
10
2x 8y yx
10 2
16xy
xy 18
当且仅当2x 8y xy 0且 2x 8y ,
yx
即 x 12, y 6 时取最小值18
u x y x 2x x (2x 16) 16
x8
x8
(x 8) 16 10
x8
2 (x 8) 16 10 18 x8
能力·思维·方法
6.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 1 1的最小值； xy
算术平均数与几何平均数PPT优秀课件
(1) a b 2; ba
(2)a 1 2. a
5.求函数f (x) x 1 (x 0)的值域. x
二.略解.
f
(x)
x
1 x
2
x 1 2 x
((x)
1) (x)
2
(x 0) (x 0)
f (x)的值域为(,22,.
2
复习不等式的有关性质 :
(1) a b ,b c a c;
(2) a b a c b c;
a b,c 0 ac bc;
(3)
ห้องสมุดไป่ตู้
a
b,c
0
ac
bc.
(4) a b,c d a c b d ;
(5) a b 0,c d 0 ac bd
14
若x0, y0,且1 9 1, xy
则x y的最小值为_______.
19 x y (x y)1 (x y)( )
xy
1 y 9x 9 10 2 y 9x
xy
xy
16(当且仅当 y 9 x 取 " ")
xy
15
例 题 已知函数f(x)x 16 (x2),
p%
1 ( p q)% 2
24
例题
一船航行时所耗时燃料费与其航 速的平方成正比，已知航速为每小 时a海里时，每小时所耗燃料费为b 元，此外，该船航行时每小时的其 它费用为c元(与航速无关)，若该船 匀速航行d海里，求其航速为多少 时,可使航行的总费用最省？
(若船的航行速度不超过v0)
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b > 0)在( ， 增；在 [
b 和[ a
b ，0和(0， a
b ，+ 上单调递 a b 上单调递减． a
1 4 作业 1. 已知x，y R+，且 x y
= 1，求
x + y的最小值． 2. 思考题：如图，在△ABC中，∠C = 90， AC = 3，BC = 4，一条直线分△ABC的面 积为相等的两部 分，且夹在AB与BC之间的 线段EF最短，求此线段长．
4. 求y =
x 3
2
3 2 的最小值． 2 2 x 2
小结 1．应用定理时注意：必须同时满足 “正数”、“定值”、“相等”三个条 件，才能求得最值． 2．在求某些函数的最值时，会恰当 地恒等变形． 3．当均值定理的条件无法凑出时， 一般可利用函数单调性求最值． b 4．可以证明函数 y = ax + x (a > 0，
新课 1．公式的等价变形：
a 2 b2 ab 2 ab , ab ( ) . 2 2 b a 2． 2 (ab > 0)，当且仅当a = b时 a b
取“=”号．
ab a b (a , b R ). 3．1 1 ab 2 2 a b 2
2 2
当且仅当a = b时取“=”号 ．
注：本题主要考查综合应用所学数 学知识、思想和方法解决实际问题的能 力，考查建立函数关系、不等式性质、 最大值、最小值等数学基础知识． 分析：应用题的最值问题，主要是选 取适当的变量，再依据题设，建立数学 模型(即函数关系式)，由变量和常量之间 的关系，选取基本不等式求最值． 评述：均值不等式在实际问题中的应用 相当广泛, 解题过程为: (1)先构造定值； (2)出现关系式；(3)验证“=”号成立． 返回
复习 1．重要不等式： 如果a，b R，那么a2 + b2 2ab (当且仅当a = b时取“=”号)．
2．定理：如果a，b是正数，那么 号)．3．利用定理求函数最值的条件：一 正，二定，三相等． 4．最值定理：“和定积最大，积定 和最小”．
ab ab (当且仅当a = b时取“=” 2
例1 已知a，b，c为两两不相等的实 数，求证：a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca．
例2(上节思考题) 设a > 0，b > 0，且
b2 a2 + = 1，求 a 1 值”的方法.
例3 如图，为处理含有某种杂质的污 水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的 沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米， 已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b 的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米， 问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水 中该杂质的质量分数最小(A、B孔面积忽 略不计)．
3
课堂练习： x 1 3. 设x [ ，27]，求 y log 3 log 3 (3 x ) 27 9 的最大值．5 分析：令t = log3x，则可得t [ 2，3]， y = (t 3)(t + 1)，显然不满足均值定理的 条件，因此只能利用二次函数求最值， 可展开后配方求解.
课堂练习： 2 x 2x 2 1. 若 4 < x < 1，求y = 2x 2 的最值． y = 1，无最小值．
的最小值．
1 1 2. 若x，y R+，且x + y = 1，求 x y
max
4 思考：(1) 若条件变为2x + y = 1， 结论如何？ 3 2 2 思考：(2) 若条件变为2x + y = 3， 结论如何？ 3 2 2
b 和[ a
b ，0和(0， a
b ，+ 上单调递 a b 上单调递减． a
1 4 作业 1. 已知x，y R+，且 x y
= 1，求
x + y的最小值． 2. 思考题：如图，在△ABC中，∠C = 90， AC = 3，BC = 4，一条直线分△ABC的面 积为相等的两部 分，且夹在AB与BC之间的 线段EF最短，求此线段长．
4. 求y =
x 3
2
3 2 的最小值． 2 2 x 2
小结 1．应用定理时注意：必须同时满足 “正数”、“定值”、“相等”三个条 件，才能求得最值． 2．在求某些函数的最值时，会恰当 地恒等变形． 3．当均值定理的条件无法凑出时， 一般可利用函数单调性求最值． b 4．可以证明函数 y = ax + x (a > 0，
新课 1．公式的等价变形：
a 2 b2 ab 2 ab , ab ( ) . 2 2 b a 2． 2 (ab > 0)，当且仅当a = b时 a b
取“=”号．
ab a b (a , b R ). 3．1 1 ab 2 2 a b 2
2 2
当且仅当a = b时取“=”号 ．
注：本题主要考查综合应用所学数 学知识、思想和方法解决实际问题的能 力，考查建立函数关系、不等式性质、 最大值、最小值等数学基础知识． 分析：应用题的最值问题，主要是选 取适当的变量，再依据题设，建立数学 模型(即函数关系式)，由变量和常量之间 的关系，选取基本不等式求最值． 评述：均值不等式在实际问题中的应用 相当广泛, 解题过程为: (1)先构造定值； (2)出现关系式；(3)验证“=”号成立． 返回
复习 1．重要不等式： 如果a，b R，那么a2 + b2 2ab (当且仅当a = b时取“=”号)．
2．定理：如果a，b是正数，那么 号)．3．利用定理求函数最值的条件：一 正，二定，三相等． 4．最值定理：“和定积最大，积定 和最小”．
ab ab (当且仅当a = b时取“=” 2
例1 已知a，b，c为两两不相等的实 数，求证：a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca．
例2(上节思考题) 设a > 0，b > 0，且
b2 a2 + = 1，求 a 1 值”的方法.
例3 如图，为处理含有某种杂质的污 水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的 沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米， 已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b 的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米， 问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水 中该杂质的质量分数最小(A、B孔面积忽 略不计)．
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课堂练习： x 1 3. 设x [ ，27]，求 y log 3 log 3 (3 x ) 27 9 的最大值．5 分析：令t = log3x，则可得t [ 2，3]， y = (t 3)(t + 1)，显然不满足均值定理的 条件，因此只能利用二次函数求最值， 可展开后配方求解.
课堂练习： 2 x 2x 2 1. 若 4 < x < 1，求y = 2x 2 的最值． y = 1，无最小值．
的最小值．
1 1 2. 若x，y R+，且x + y = 1，求 x y
max
4 思考：(1) 若条件变为2x + y = 1， 结论如何？ 3 2 2 思考：(2) 若条件变为2x + y = 3， 结论如何？ 3 2 2