高斯(Gauss)求积公式

数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
= 0 + ∫ ρ( x)r( x)dx = ∑Ak f ( xk )
b a k=1 n
即对 f的多项式求积公式都 为任意一个次数 的多项式求积公式 精确成立。 精确成立 证毕
数值分析
数值分析
一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法
考虑更一般形式的数值积分问题
I( f ) = ∫ ρ( x) f ( x)dx ≈ ∑Ak f ( xk )
b a k=0
n
n
定义：若求积公式 定义：
∫
b
a
ρ( x) f ( x)dx ≈ ∑Ak f ( xk ) 对一切
k=0
不高于m次的多项式 不高于 次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对 都等号成立， =0;而对 次的多项式 都等号成立 =0; 于某个m+1次多项式等号不成立， 于某个 +1次多项式等号不成立，则称此求积公式的 +1次多项式等号不成立 代数精度为m. 代数精度为 .
( x 0 ( x ), 0 ( x )) α1 = = ( 0 ( x ), 0 ( x ))
∫ ∫
1
1 1
(1 + x 2 ) xdx
=0
数值分析
数值分析
以 2 ( x )的 零 点 x 0 =
1
2
5 5 次代数精度， 两点高斯公式 n = 1, 应有 3次代数精度，求积公式 形如
, x1 =
∫
ρ ( x ) f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( xk ), Ak = ∫a a
b k =0
n
b
x xi dx ρ ( x )∏ i = 0 xk xi
n i ≠k
是Guass型求积公式。 型求积公式。
证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 证明：只要证明求积公式的代数精确度为 求积公式的代数精确度为 即 任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。 的多项式求积公式都精确成立。 任意一个次数 的多项式求积公式都精确成立 为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有 的多项式， 设 f(x)为任意一个次数 为任意一个次数 的多项式 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) ， 这里， 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是 是 次正交多项式， 均是 次数≤n的多项式 的多项式。 次数 的多项式。
数值分析
数值分析
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式 选择系数与节点，使求积公式（ ） 例：选择系数与节点，使求积公式（1）
∫
1
1
f ( x)dx ≈ c1 f ( x1 ) + c2 f ( x2 )
(1)
成为Gauss公式。 公式。 成为 公式 由定义，若求积公式具有3次代数精度， 解：n=1, 由定义，若求积公式具有 次代数精度，则 其是Gauss公式。 公式。 其是 公式 为此， 代入公式， 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式， 其成为等式，得 c1 = c2 = 1, 求解得： 求解得： c1 + c2=2 3 3 x1 = , x2 = c1 x1+ c2 x2=0 3 3 所求Gauss公式为： 公式为： 所求 公式为 c1 x12+ c2 x22 =2/3 1 3 3 c1 x13+ c2 x23 =0 ∫1 f ( x)dx ≈ f ( 3 ) + f ( 3 ) 数值分析
Guass点xk, Guass系数 k都有表可以查询 点 系数A 系数 都有表可以查询.
1
f ( x)dx ≈ ∑ A f ( xk ) k
k =0
n
数值分析
数值分析
数值分析
数值分析
∫
n = 0,
n =1
1
1
f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
k=0
n
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 2 f (0)
数值分析
高斯(Gauss) (Gauss)求积公式 第四节 高斯(Gauss)求积公式
求积公式， 前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式， 个节点的 求积公式 其特征是节点是等距的。 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造，复化求积公式易于形成。 构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 是偶数时 代数精度为n+1， n是奇数时， 是偶数时， 是奇数时， 的精度。 n是偶数时，代数精度为 ， 是奇数时 代数精度为n 。 代数精度为 我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 设想：能不能在区间[a,b]上适当选择 确度不低于 。设想：能不能在区间 上适当选择 n+1个节点 x 0x1,x2,……,xn ,使插值求积公式的代数精 使插值求积公式的代数精 个节点 使插值求积公式 度高于n？ 度高于 ？ 答案是肯定的，适当选择节点， 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。 最高达到 ，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。
数值分析
数值分析
利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤： 利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤： 的基本步骤
1. 以n + 1次正交多项式的零点 x 0 , x1 , x n作为积分点 (高斯点）， 高斯点）， 2 .用高斯点 x 0 , x 1 , x n 对 f ( x )作 Lagrange 插值多项式
n
因此， 因此，求积系数为
b a
Ai = ∫ ρ ( x )li ( x )dx
(i = 0,1,n)
数值分析
数值分析
1 解 ： 首 先 在 [ 1，] 上 构 造 带 权 ρ x） 1 + x 2的 正 交 多 项 式 （ =
例 对于积分 ∫ （1 + x 2）f ( x )dx , 试构造两点高斯求积公式.
1
1
0 ( x ), 1 ( x ), 2 ( x ). 0( x) = 1 1 ( x ) = ( x α 1 ) 0 ( x ) = x
(1 + x 2 ) dx 1 2 2 同理求出 2(x) = x 5 2 2 , x1 = 2 ( x )的 零 点 为 x 0 = 5 5
2
作为高斯点。
∫
1
(1 + x 2 ) f ( x )dx ≈ A0 f ( x 0 ) + A1 f ( x1 )
依次代入上式两端， 其成为等式。 将 f ( x ) = 1, x依次代入上式两端，令 其成为等式。
∫
1
1 1
( 1 + x 2 ) dx = A 0 + A1
2
2 ∫ 1 (1 + x ) xdx = A 0 ( 4 5 ) + A1 ( 联立解出 A 0 = A 1 = 3 得到两点高斯求积公式 为
左 = ∫ ρ( x)g( x)dx > 0 ，
a
b
右 = ∑ A g( xk ) = 0 k
k =0
n
故等式不成立,求积公式 左≠右,故等式不成立 求积公式的代数精度最高为 故等式不成立 求积公式的 2n+1次。 次 证毕. 证毕
数值分析
数值分析
定义: 定义 使求积公式
∫
ρ( x) f ( x)dx ≈ ∑Ak f ( xk ) a
数值分析
数值分析
定理1：设节点 定理 ：设节点x0, x1…,xn∈[a,b]，则求积公式 ，
∫
ρ( x) f ( x)dx ≈ ∑Ak f ( xk ) a
b k=0
n
的代数精度最高为2n+1次。 代数精度最高为 次 证明：取特殊情形 ρ ( x ) = 1, 代入公式， 分别取 f(x)=1, x，x2，...xr 代入公式，并让其成为 等式， 等式，得： A0 + A1 + …… + An =∫a 1dx.= b-a b x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a xdx.= （b2-a 2)/2 ...... x0 rA0 + x1 rA1+ …… +xn rAn =∫a xr dxr =(br+1-a r+1) (r+1)
∫
a
i
j
3）对任意一个次数≤n-1的多项式 ）对任意一个次数 的多项式P(x)，有 的多项式 ，
∫
ρ( x)P( x)P ( x)dx = 0, n ≥ 1 n a
b
4）Pn(x)在(a,b)内有 个互异零点。 ） 内有n个互异零点 在 内有 个互异零点。
数值分析
数值分析
定理2 定理 设x0,x1, …,xn 是n+1次正交多项式 n+1(x)的n+1 次正交多项式P 的 个零点,则插值型求积公式 个零点 则插值型求积公式
f ( x) ≈
∑ l ( x) f ( x )
i=0 i i
b n i =0
n
代入积分式
∫
b
a
ρ ( x ) f ( x )dx ≈ ∫a ρ ( x )( ∑ l i ( x ) f ( x i ))dx
b ρ ( x )l ( x )dx f ( x ) = ∑∫ i i a i =0
b k=0
n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为 的求积公式称为Guass求积公式。 求积公式。 达到最高代数精度 的求积公式称为 求积公式 Guass求积公式的节点 k称为 求积公式的节点x 系数A 求积公式的节点 称为Guass点,系数 k称为 点 系数 Guass系数 系数. 系数 因为Guass求积公式也是插值型求积公式 故有 求积公式也是插值型求积公式,故有 因为 求积公式也是插值型求积公式 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 结论 个节点的插值型求积公式的代数精度 个节点的插值型 满足： 满足： n ≤ d ≤ 2n+1。 。
数值分析
b
b
数值分析
个待定系数(变元 上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数 变元 要想如 个 等式， 个待定系数 变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是 下面证明代数精度只能是 下面证明代数精度只能是2n+1. 事实上,取 2n+2次多项式 次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x事实上 取 次多项式 xn)2 代入求积公式 这里 x0, x1…,xn是节点，有 代入求积公式,这里 是节点，
1 2
2 ) 5
4 2 2 ∫1 (1 + x ) f ( x )dx ≈ 3 f ( 5 ) + f ( 5 ) 数值分析
数值分析
常用的高斯求积公式 1.Gauss - Legendre 求积公式
∫
1
(1) 其中高斯点为 高斯点为Legendre多项式的零点 其中高斯点为 多项式的零点
∫
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)Pn+1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx a
数值分析
b
b
b
数值分析
由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低 个节点的插值型求积公式的代数精确度不低 由于 于n，故有 ，
∫
∫
b
ρ( x)r( x)dx = ∑ Ak r( xk ) =∑ Ak f ( xk ) (4) a