线性代数考研习题二维随机变量(精选)

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考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷7(题后含答案及解析)

考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，则E(XY2)=___________，E[(X+Y)2]=____________正确答案：μσ2+μ3，2σ2+4μ2解析：考查二维正态分布的性质和数学期望的性质．由于(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，所以X服从N(μ，σ2)，Y也服从N(μ，σ2)，而ρ=0，所以X与Y是相互独立的．因此知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．2．求V的概率密度fV(v)；正确答案：由于X和Y相互独立，都服从参数为1的指数分布，所以E(X)=E(Y)=1，且X的分布函数为设V的分布函数为Fmin(v)，则Fmin(v)=1-[1-F(v)]2=1-e-2v，v＞0．故解析：本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布．先写出V的分布函数，再求导得到其概率密度．注意到U+V=X+Y，UV=XY，利用性质和指数分布期望的结果得到E(U+V)，E(UV)．知识模块：随机变量的数字特征3．E(U+V)，E(UV)．正确答案：E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2．E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1．涉及知识点：随机变量的数字特征设(X，Y)在区域D={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，事件A={x ≤a}，B={Y＞a}．4．若P(A∪B)=3/4，求a；正确答案：由已知条件可知，X和Y的联合概率密度为关于X和Y的边缘概率密度为由于对任意的x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)，所以X和Y相互独立．显然P(B)=P{Y＞a}=1-P{X≤a}=1-P(A)，于是有3/4=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+1-P(A)+P(A)(1-P(A))，解得P(A)=1/2．即解析：本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力．首先利用加法公式求出常数a，而D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，因此该试验是4次伯努利试验，由于Z为落入D0内的次数，因此意识到Z服从B(4，P(A∪B))，进而可利用方差的计算公式求出E(Z2)．知识模块：随机变量的数字特征5．设D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，Z为落入D0内的次数，求E(Z2)．正确答案：由题意Z服从B(4，P(A∪B))，即Z服从B(4，3/4)，所以涉及知识点：随机变量的数字特征6．随机变量X的概率密度为对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求E(Y2)．正确答案：于是E(Y2)=D(Y)+(EY)2=5．解析：本题仍然是考查常用分布之二项分布的数字特征．对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，则Y服从B(4，P{X＞π/3})．知识模块：随机变量的数字特征7．设X服从N(1，4)，Y服从N(2，9)，且X与Y相互独立，如果服从N(0，1)，求常数a，b．正确答案：由已知，E(X)=1，D(X)=4，E(Y)=2，D(Y)=9．由于X与Y相互独立，所以解得a=-2，b=±5．解析：考查正态分布的数字特征．根据期望和方差的运算性质或独立条件下正态分布的性质求出a，b．知识模块：随机变量的数字特征8．设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从N(0，4)，X3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求D(Y)．正确答案：由已知条件，又X1，X2，X3相互独立，从而D(Y)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46．涉及知识点：随机变量的数字特征设Ф(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=aФ(x)+bФ(x-1)，求9．a、b应满足的关系式；正确答案：F(+∞)=1，有a+b=1．解析：考查分布函数的性质和计算数学期望的方法．由于X的分布已知，可以利用公式结合分布的性质求出E(X)．知识模块：随机变量的数字特征10．E(X)．正确答案：以φ(x)表示标准正态分布的概率密度，则涉及知识点：随机变量的数字特征11．设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度．正确答案：由于所以解析：本题考查二维正态分布的参数含义和概率密度的形式，将参数代入到概率密度表达式可得到概率密度的具体形式．知识模块：随机变量的数字特征已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1，32)和N(0，42)，且X与Y 的相关系数ρXY=-1/2，设12．求E(Z)和D(Z)；正确答案：解析：综合考查正态分布，二维正态分布的关系和数字特征．利用数字特征的性质直接求出E(Z)，D(Z)和ρXZ．判断X与Z是否相互独立则需要利用正态分布的性质．知识模块：随机变量的数字特征13．求X与Z的相关系数ρXZ；正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征14．问X与Z是否相互独立，为什么?正确答案：X与Z不一定相互独立．因为Z未必服从正态分布，(X，Z)也未必服从二维正态分布，X与Z不相关，但X与Z不一定是独立的．涉及知识点：随机变量的数字特征15．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)相互独立同分布，且期望均为μ，方差均为σ2(σ2＞0)，令，求的相关系数ρ．正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，且均服从N(0，1)，记求16．D(Yi)；正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征17．cov(Y1，Yn)．正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征18．设随机变量X1，X2，…，X2n(n＞2)的期望都为0，方差都为1，且任意两个的相关系数都为ρ，设U=X1+X2+…+Xn，V=Xn+1+Vn+2+…+X2n，求U 和V的相关系数ρUV正确答案：由于E(Xi)=0，D(Xi)=1，且ρXiXj=ρ，i≠j 涉及知识点：随机变量的数字特征已知X与Y服从相同的分布，且P{｜X｜=｜Y｜}=0，X的概率分布为19．求X与Y的联合概率分布；正确答案：根据已知条件，知(X，Y)的概率分布为涉及知识点：随机变量的数字特征20．问X与Y是否不相关?正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征对于任意二事件A，B，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，定义A与B的相关系数为21．证明事件A，B相互独立的充分必要条件是其相关系数为零；正确答案：由ρAB的定义，可见解析：本题考查建立事件与随机变量联系的能力，题中给出事件相关系数的定义式，要求利用随机变量相关系数的性质证｜ρAB｜≤1，因此引入(0-1)分布，将事件A，B与随机变量建立起关系式．知识模块：随机变量的数字特征22．利用随机变量相关系数的基本性质，证明｜ρAB｜≤1．正确答案：引入随机变量则有E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，而｜ρXY｜≤1，从而｜ρAB｜≤1 涉及知识点：随机变量的数字特征设X的概率密度为，23．求E(x)和D(x)；正确答案：从而D(X)=E(X2)-(EX)2=2．解析：本题考查二个随机变量的协方差及相关性的概念，相关性与独立性的关系．由于分布已知，可以利用公式计算数字特征．知识模块：随机变量的数字特征24．求X与｜X｜的协方差，判断X与｜X｜是否不相关；正确答案：从而X与｜X｜不相关．涉及知识点：随机变量的数字特征25．判断X与｜X｜是否相互独立．正确答案：对于给定的实数a＞0，显然事件，于是P{X≤a，｜X｜≤a}=P{｜X｜≤a}＞P{X≤a}P{｜X｜≤a}，因此X与｜X｜不相互独立．涉及知识点：随机变量的数字特征26．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少?正确答案：设X表示一周5天内机器发生故障的天数，Y表示利润，则由已知X服从B(5，0．2)．涉及知识点：随机变量的数字特征。

线性代数与概率统计试卷与答案

一、单选( 每题参考分值2.5分)1、设随机变量的分布函数为，则（）A.B.C.D.正确答案:【B】2、设总体为参数的动态分布，今测得的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数的矩估计值为（）A.0.2B.0.25C.1D.4正确答案:【B】3、A.B.C.D.正确答案:【B】4、设均为阶方阵，，且恒成立，当（）时，A.秩秩B.C.D.且正确答案:【D】5、设是方程组的基础解系，则下列向量组中也可作为的基础解系的是（）A.B.C.D.正确答案:【D】6、盒中放有红、白两种球各若干个，从中任取3个，设事件，，则事件（）A.B.C.D.正确答案:【A】7、已知方阵相似于对角阵，则常数（）A.B.C.D.正确答案:【A】8、掷一枚骰子，设，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.正确答案:【B】9、设为二维连续随机变量，则和不相关的充分必要条件是（）A.和相互独立B.C.D.正确答案:【C】10、袋中有5个球（3新2旧），每次取1个，无放回的抽取2次，则第2次取到新球的概率为（）A.B.C.D.正确答案:【A】11、A.B.C.D.正确答案:【D】12、设和是阶矩阵，则下列命题成立的是（）A.和等价则和相似B.和相似则和等价C.和等价则和合同D.和相似则和合同正确答案:【B】13、二次型是（）A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的正确答案:【A】14、矩阵与的关系是（）A.合同但不相似B.合同且相似C.相似但不合同D.不合同也不相似正确答案:【B】15、随机变量X在下面区间上取值，使函数成为它的概率密度的是（）A.B.C.D.正确答案:【A】16、A.全不非负B.不全为零C.全不为零D.全大于零正确答案:【C】17、随机变量的概率密度则常数（）A.1B.2C.D.正确答案:【B】18、设二维随机变量的概率密度函数为，则（）A.B.C.D.正确答案:【B】19、设随机变量的方差，利用切比雪夫不等式估计的值为（）A.B.C.D.正确答案:【B】20、A.每一向量不B.每一向量C.存在一个向量D.仅有一个向量正确答案:【C】21、A.B.C.D.正确答案:【C】22、设，则（）A.B.C.D.正确答案:【B】23、设随机变量的数学期望，方差，则由切比雪夫不等式有（）A.B.C.D.正确答案:【B】24、以下结论中不正确的是（）A.若存在可逆矩阵，使，则是正定矩阵B.二次型是正定二次型C.元实二次型正定的充分必要条件是的正惯性指数为D.阶实对称矩阵正定的充分必要条件是的特征值全为正数正确答案:【B】25、设总体服从两点分布：为其样本，则样本均值的期望（）A.B.C.D.正确答案:【A】26、设是二阶矩阵的两个特征，那么它的特征方程是（）A.B.C.D.正确答案:【D】27、已知，则（）A.必有一特征值B.必有一特征值C.必有一特征值D.必有一特征值正确答案:【D】28、设是来自总体的样本，其中已知，但未知，则下面的随机变量中，不是统计量的是（）A.B.C.D.正确答案:【D】29、矩阵的秩为，则（）A.的任意一个阶子式都不等于零B.的任意一个阶子式都不等于零C.的任意个列向量必线性无关对于任一维列向量，矩阵的秩都为正确答案:【D】30、设向量组；向量组，则（）A.相关相关B.无关无关C.无关无关D.无关相关正确答案:【B】31、A.交换2、3两行的变换B.交换1、2两行的变换C.交换2、3两列的变换D.交换1、2两列的变换正确答案:【A】32、设是矩阵，则下列（）正确A.若，则中5阶子式均为0B.若中5阶子式均为0，则C.若，则中4阶子式均非0D.若中有非零的4阶子式，则正确答案:【A】33、分别是二维随机变量的分布函数和边缘分布函数，分别是的联合密度和边缘密度，则（）A.B.C.和独立时，D.正确答案:【C】34、A.B.C.D.正确答案:【D】35、设随机变量的概率密度为，则（）A.B.C.D.正确答案:【B】36、设是阶正定矩阵，则是（）A.实对称矩阵B.正定矩阵C.可逆矩阵D.正交矩阵正确答案:【C】37、某学习小组有10名同学，其中7名男生，3名女生，从中任选3人参加社会活动，则3人全为男生的概率为（）A.B.C.D.正确答案:【A】38、从0、1、2、…、9十个数字中随机地有放回的接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为（）A.0.1B.0.3439C.0.4D.0.6561正确答案:【B】39、A.B.C.正确答案:【D】40、设矩阵其中均为4维列向量，且已知行列式，则行列式（）A.25B.40C.41D.50正确答案:【B】41、若都存在，则下面命题中正确答案的是（）A.B.C.D.正确答案:【D】42、与矩阵相似的矩阵是（）A.B.C.D.正确答案:【B】43、A.B.C.D.正确答案:【B】44、某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该动物已经活了20年，它能活到25年的概率是（）A.0.48B.0.6C.0.8D.0.75正确答案:【D】45、设4维向量组中的线性相关，则（）A.可由线性表出B.是的线性组合C.线性相关D.线性无关正确答案:【C】46、设为阶方阵，且（为正数），则（）A.B.的特征值全部为零C.的特征值全部为零D.存在个线性无关的特征向量正确答案:【C】47、若连续型随机变量的分布函数，则常数的取值为（）A.B.C.D.正确答案:【B】48、A.B.C.D.正确答案:【C】49、设，则~（）A.B.C.D.正确答案:【B】50、设是未知参数的一个估计量，若，则是的（）A.极大似然估计B.矩估计C.有效估计D.有偏估计正确答案:【D】一、单选(共计100分,每题2.5分)1、A.B.C.D.正确答案:【D】2、已知线性无关则（）A.必线性无关B.若为奇数，则必有线性无关C.若为偶数，则线性无关D.以上都不对正确答案:【C】3、A.B.C.D.正确答案:【D】4、A.B.C.D.正确答案:【D】5、矩阵（）是二次型的矩阵A.B.C.D.正确答案:【C】6、设为二维连续随机变量，则和不相关的充分必要条件是（）A.和相互独立B.C.D.正确答案:【C】7、设是参数的两个相互独立的无偏估计量，且若也是的无偏估计量，则下面四个估计量中方差最小的是（）A.B.C.D.正确答案:【A】8、设二维随机变量，则（）A.B.3C.18D.36正确答案:【B】9、已知是非齐次方程组的两个不同解，是的基础解系，为任意常数，则的通解为（）A.B.C.D.正确答案:【B】10、下列矩阵中，不是二次型矩阵的是（）A.B.C.D.正确答案:【D】11、若总体为正态分布，方差未知，检验，对抽取样本,则拒绝域仅与（）有关A.样本值，显著水平B.样本值，显著水平，样本容量C.样本值，样本容量D.显著水平，样本容量正确答案:【D】12、在假设检验中，设服从正态分布，未知，假设检验问题为，则在显著水平下，的拒绝域为（）A.B.C.D.正确答案:【B】13、A.B.C.D.正确答案:【C】14、已知4阶行列式中第1行元依次是-4,0,1,3, 第3行元的余子式依次为-2,5,1,x ,则X=A.0B.3C. -3D.2正确答案:【B】15、设是阶正定矩阵，则是（）A.实对称矩阵B.正定矩阵C.可逆矩阵D.正交矩阵正确答案:【C】16、设总体服从泊松分布：，其中为未知参数，为样本，记，则下面几种说法正确答案的是（）A.是的无偏估计B.是的矩估计C.是的矩估计D.是的矩估计正确答案:【D】17、下列函数中可以作为某个二维随机变量的分布函数的是（）A.B.C.D.正确答案:【D】18、A.B.C.D.正确答案:【A】19、若都存在，则下面命题正确答案的是（）与独立时，B.与独立时，C.与独立时，D.正确答案:【C】20、设是从正态总体中抽取的一个样本，记则服从（）分布A.B.C.D.正确答案:【C】21、设随机变量，则（）A.B.C.D.正确答案:【A】22、已知向量，若可由线性表出那么（）A.，B.，C.，D.，正确答案:【A】23、设，则（）A.A和B不相容B.A和B相互独立C.或D.正确答案:【A】24、设总体，为样本均值，为样本方差，样本容量为，则以下各式服从标准正态分布的是（）A.B.C.D.正确答案:【A】25、为三阶矩阵，为其特征值，当（）时，A.B.C.D.正确答案:【C】26、某种商品进行有奖销售，每购买一件有的中奖概率。

线性代数考研习题二维随机变量

f X (x) fY ( y )
(C) f X ( x ) f Y ( y ) .
(D)
.
（200713）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
2 x y , f ( x , y ) 0, 0 x 1 ,0 y 1
其他
.
（I）求 P X 2 Y ； (II) 求 Z X Y 的概率密度.
（200713）设随机变量 X , Y 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，
f X ( x ), f Y ( y ) 分别表示 X , Y 的概率密度，则在 Y y 的条件下，
X 的条件概率密度 f X |Y ( x | y ) 为
(A) f X ( x ) .
(B) f Y ( y ) .
令 Y X , F x , y 为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数.
2
(Ⅰ) 求 Y 的概率密度 f Y y ；(Ⅱ) C o v ( X , Y ) ；(Ⅲ)
1 F ,4 . 2
（200513）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 { X 0} 与 { X Y 1} 相互独立，则 a= , b=
F ( x, y) x y
.
2. 随机变量的独立性和相关性
X 和 Y 相互独立 F (x, y)= FX (x) F Y (y); pi j = pi p j (离散型)
f (x, y)= f X (x) f Y (y) (连续型)
1 X 与 Y 独立, f(x), g(x) 为连续函数 f (X)与 g(Y)也独立. 2 若 X1, , Xm, Y1, , Yn 相互独立, f , g 分别为 m 元与 n 元连续函数 f (X1, , Xm)与 g (Y1, , Yn)也独立. 3 常数与任何随机变量独立.

[研究生入学考试]二维随机变量及其分布_OK

注：在F(x,y)偏导存在的点处有： p( x, y) 2 F ( x, y)
xy
非负性： p( x, y) 0;
2、基本性质
正则性：
p( x, y)dxdy 1.
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3、概率计算：
设( X ,Y )的密度函数为p( x, y), A ( X ,Y ) ( X ,Y ) G，则 P( A) P(( X ,Y ) G) p( x, y)dxdy
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常用二维分布：
1、二维均匀分布：设G是平面区域,S(G)为其面积，
如果( X ,Y )的联合密度函数为：
f
(
x,
y)
S
1
G
,
若( x, y) G
0 , 若( x, y) G
则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布.
特别地，若 G {(x, y):a x b,c y d}，则
P( X 2,Y 2) 1 . 3
Y X
1
2
101 3
21 1 33
(2) P( X Y )
P( X 1,Y 1) P( X 2,Y 1) P( X 2,Y 2)
0 1 1 2. 33 3
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例1* 一口袋装有3个球,分别标有数字1,2,2。
1, 0 x 1, y x
f
( x,
y)
0,
其他
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第四节边缘分布
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一、边缘分布函数
对于二维随机变量( X ,Y ),随机事件X x即是指 X x,Y , 因此由( X ,Y )的联合分布可以确定

考研数学一(填空题)模拟试卷119(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷119(题后含答案及解析)题型有：1.1．函数展开成的(x一1)的幂级数为________．正确答案：解析：知识模块：无穷级数2．=___________。

正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续3．设(X，Y)的分布函数为F(x，y)=则P{X＞1，Y＞1}=__________。

正确答案：解析：利用联合分布函数来表示区域上的概率，并结合分布函数的定义可得P{X＞1，Y＞1}=F(+∞，+∞)一F(+∞，1)一F(1，+∞)+F(1，1)=1一注：arctan(+∞)=，arctan(1)= 知识模块：多维随机变量及其分布4．设y=y(x)是由方程确定的隐函数，则y’’=_________。

正确答案：解析：在方程两边对x求导得知识模块：高等数学5．设y=f(x)满足△y=△x+o(△x)，且f(0)=0，则∫01f(x)dx=_______．正确答案：π／4解析：由题设可知dy／dx=，从而由f(0)=0可得C=0．于是f(x)=由定积分几何意义得∫01f(x)dx=∫01dx=π／4 知识模块：高等数学6．若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为________。

正确答案：2．解析：由于αTβ=2，故β≠0，且有(βαT)β=β(αTβ)=2β，于是由特征值与特征向量的定义，知2为方阵βαT的一个特征值且β为对应的一个特征向量．下面还可证明方阵βαT只有一个非零特征值．首先可证方阵βαT 的秩为1；由βαT≠O知r(βαT)≥1，又由r(βαT)≤r(β)=1，知r(βαT)=1，故0为βαT的特征值．其次可证0为βαT的2重特征值：由于齐次线性方程组(0一βαT)x=0的基础解系所含向量的个数——即方阵βαT的属于特征值0的线性无关特征向量的个数=3一r(βαT)=3—1=2，所以0至少是βαT的2重特征值，但不会是3重特征值(否则βαT=0)．既然3阶方阵βαT有2重特征值0，因此其非零特征值就只能有一个．知识模块：线性代数7．设,n≥2为正整数，则An－2An-1=_________．正确答案：O解析：知识模块：线性代数8．设点M1(1，－1，－2)，M2(1，0，3)，M3(2，1，2)，则点M3到向量的距离为_______．正确答案：解析：={－6，5，－1}，由点M1，M2，M3构成的三角形的面积为设所求距离为d，又知识模块：高等数学9．设二维随机变量(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=________．正确答案：μ3+μσ2解析：由于ρ=0，根据二维正态分布的性质可知随机变量X，Y独立，因此E(XY2)=E(X)．E(Y2)．已知(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(X)=μ，E(Y2)=D(Y)+E2(Y)=μ2+σ2，故E(XY2)=μ(μ2+σ2)=μ3+μσ2．知识模块：概率与数理统计10．设f(x)定义在(0，+∞)上，f(ex)=1+x，f[φ(x)]=1+x+lnx，则φ(x)_____．正确答案：xex解析：这是一个函数记号灵活表示的问题．令ex=t，则x=lnt，由f(ex)=1+x，得f(t)=1+lnt．从而f[φ(x)]=1+lnφ(x)=1+x+lnx，所以lnφ(x)=x+lnx，φ(x)=xex．知识模块：高等数学11．设函数F(x，y)==___________。

第二章二维随机变量及其分布

xi | Y y j )
,
在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
f (x | y)
f ( x, y) fY ( y)
；
在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为
一般型离散型连续型二维正态分布随机变量的函数
X , Y 独立 F ( x , y ) F X ( x ) F Y ( y )
t 1 ( n ) t ( n )
X / n1 Y / n2
2 2 设 X ~ ( n 1 ), Y ~ ( n 2 ) ，且 X 与 Y 独立，可以证明 F
的概率密度函数为
F 分布
n1 n 2 2 f ( y) n n 1 2 2 2
X 的边缘分布为 Pi Y 的边缘分布为 P j
P( X xi )

j
p ij ( i , j 1, 2 , ) ；
P (Y y j )

i
p ij ( i , j 1, 2 , )
。
X 的边缘分布密度为 Y 的边缘分布密度为
f X (x) fY ( y)
2 2

f ( z y , y ) dy

f ( x , z x ) dx
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
C
i
i
i ，
n

2

C
i
2 i

2 i
设 n 个随机变量 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且服从标准正态分布， W （10）函数分布的分布密度为

考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷84(题后含答案及解析)

考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷84(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设a＞0，且则a=____________，b=_____________．正确答案：由得b=1，则故a=4．涉及知识点：函数、极限、连续2．设三阶矩阵A，B满足关系A一1BA一6A+BA，且A=，则B=________．正确答案：解析：由A一1BA=6A+BA，得A一1B=6E+B，于是(A一1一E)B=6E，B=6(A一1一E)一1= 知识模块：线性代数3．设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)＝_______．正确答案：σ4 涉及知识点：概率论与数理统计4．求极限＝_______．正确答案：涉及知识点：微积分5．设y=arctanx．则y(4)(0)=___________．正确答案：0解析：因y=arctanx是奇函数，且y具有任何阶连续导数，从而y’，y”‘是偶函数，y”，y(4)是奇函数，故y(4)(0)=0．知识模块：微积分6．f(x)=的极大值点是x=___________，极小值点是x=___________．正确答案：x=0，x=解析：由f(x)的定义可知，当x≠0时f’(x)=2xln｜x｜+x2．=x(2ln｜x｜+1)，又f’-(0)=xlnx｜x｜=0，即f’(0)=0．从而这表明f(x)有三个驻点x1=一．列表讨论f(x)的单调性如下：即x=0是f(x)的极大值点，z=±是f(x)的极小值点．知识模块：微积分7．设z＝z(x，y)由z＋ez＝xy2确定，则dz＝______．正确答案：解析：z＋ez＝xy2两边求微分得d(z＋ez)＝d(xy2)，即dz＋ezdz＝y2dx＋2xydy，解得dz＝．知识模块：微积分8．设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的概率密度fY(Y)=________。

正确答案：解析：首先求出在(0，4)上Y的分布函数FY(y)。

《二维随机变量》习题

二维随机变量一、判断题1.设),(Y X 是二维随机变量，事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件。

（）2.⎩⎨⎧≤+>+=00,0,1),(y x y x y x F ，是某个二维随机变量),(Y X 的分布函数。

（）二、填空题1.若二维随机变量),(Y X 的概率分布律为则常数a = 。

2.若二维随机变量),(Y X 恒取一定值（a,b ），则其分布函数为。

3.若随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=，其它，0,20,10,31),(2y x xy kx y x f 则______,}1{_______,}1,1{______,=≥+=<<=Y X P Y X P k_______}0{=<X P 。

三、将三个球随机放入三个盒子中，用X 和Y 分别表示放入第一个和第二个盒子中的球的个数，求),(Y X 的联合分布律。

四、设二维连续型随机变量),(Y X 的分布函数为,,),3arctan )(2arctan (),(+∞<<-∞++=y x y c x b a Y X F 1. 求常数c b a ,,的值；2. 求),(Y X 的概率密度函数),(y x f 。

五、设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧>>=+-，其它。

）（0,0,0,),(43y x ke y x f y x 1. 求常数k 的值；2．求),(Y X 的联合分布函数),(y x F ；3．求}21,10{},1,1{<<≤<<<Y X P Y X P 和}41,31{><Y X P 。

二维随机变量练习题

二维随机变量练习题一、填空题（每题5分共25分）1．抛币试验时，如果记“正面朝上”为1，“反面朝上”为0。

现随机抛硬币两次，记第一次抛币的结果为随机变量ξ，第二次抛币的结果为随机变量η，则),(ηξ的取值有______________________。

2．若某二维随机变量),(Y X 的分布率为则a ，b 满足__________。

3．若二维随机变量),(ηξ的分布函数为),(y x F ，则=+∞→+∞→),(lim y x F y x _________。

4．若二维连续型随机变量),(Y X 的密度函数为),(y x ϕ，则⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x ),(ϕ_________。

5．若二维连续型随机变量),(ηξ的边缘密度函数分别为)(x ξϕ，)(y ηϕ，联合密度函数为),(y x ϕ，则ξ，η相互独立的充分必要条件为__________。

二、选择题（每题5分共25分）6．关于二维随机变量的分布函数),(y x F ，下面正确的是_______A. 0),(lim =-∞→-∞→y x F y x ；B. 1),(lim =-∞→-∞→y x F y x ；C. 0),(lim =+∞→-∞→y x F y x ；D. 1),(lim =-∞→+∞→y x F y x7．下面说法正确的是_______A. 二维随机变量的分布函数其定义域为平面域的一部分；B. 二维离散型随机变量的取值是有限个数对；C. 二维连续型随机变量是指两个随机变量的取值是连续变化的；D. 二维连续型随机变量在某个点的取值概率为零。

8．若二维连续型随机变量),(ηξ的联合密度函数和边缘密度分别为),(y x ϕ，)(x ξϕ，)(y ηϕ，则下面关系式正确的是________A.⎰+∞∞-=dx y x x ),()(ϕϕξ； B. ⎰+∞∞-=dx y x y ),()(ϕϕη；C. )()(),(y x y x ηξϕϕϕ=；D. )()(),(y x y x ηξϕϕϕ+= 9．设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布，323110PX ，323110P Y ，则下列各式成立的是_______A.Y X =；B.95}{==Y X P ；C.1}{==Y X P ；D.0}{==Y X P 。

考研数学一(二维随机变量及其分布)历年真题试卷汇编2(题后含答

考研数学一（二维随机变量及其分布）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2009年] 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布P(Y=0)=P(Y=1)=1／2．记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：FZ(z)=P(Z≤z)=P(XY≤z)=P(XY≤z｜Y=0)P(Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)P(Y=1)=[P(XY≤z｜Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)]／5．又X，Y相互独立，故FZ(z)=[P(X·0≤z)+P(X≤z)]／2．当z＜0时，FZ(z)=[+ф(z)]／2=ф(z)／2．当z≥0时，FZ(z)=[P(Ω)+P(X≤z)]／2=[1+ф(z)]／2．综上所述，得到因所以FZ(z)只有一个间断点z=0．仅B入选．知识模块：二维随机变量及其分布2．[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则P(X＜Y)=( )．A．1／5B．1／3C．2／5D．4／5正确答案：A解析：由题设有而X与Y相互独立，故f(x，y)=fX(x)fY(y)=则P(X＜Y)= f(x，y)dxdy=∫0+∞∫x+∞4e-(x+4y)dxdy=一∫0+∞e-xdx∫x+∞e-4yd(一4y)=∫0+∞e-x·e-4xdx=∫0+∞e-5xdx=仅A入选．知识模块：二维随机变量及其分布3．[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则( )．A．a=0．2，b=0．3B．a=0．4，b=0．1C．a=0．3，b=0．2D．a=0．1，b=0．4正确答案：B解析：由=(a+0．4)+(b+0．1)=a+b+0．5=1(归一性)知，a+b=0．5．又由事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，有P(X=0，X+Y=1)=P(X=0)P(X+Y=1)，而P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=a，P(X=0)=a+0．4，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b，故a=(a+0．4)(a+b)=(a+0．4)×0．5．①所以a=0．4．从而b=0．5一a=0．1．知识模块：二维随机变量及其分布填空题4．[2003年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P(X+Y≤1)=______．正确答案：解析：首先求出积分区域D ∩G．D ∩G实质上是G={(x，y)｜0≤x≤y ≤1}与D={(x，y)｜x+y≤1}交集．可知，0≤x≤y≤1是在y=x上方的区域，而x+y≤1是直线x+y=1下方的区域．两者之交即为D ∩G(见图)，故知识模块：二维随机变量及其分布5．[2015年] 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY—Y＜0}=_______．正确答案：解析：因(X，Y)～N(1，1；0，1；0)，ρ=0，故X，Y相互独立，则P{XY —y＜0}=P{(X一1)Y＜0}=P{X一1＜0，Y＞0}+P{X一1＞0，Y＜0}=P{X＜1}P{Y ＞0}+P{X＞1}P{Y＜0}．因X～N(1，1)，故P{X＜1}=P{X＞1}=．因Y～N(0，1)，故P{Y＞0}=P{Y＜0}=．所以知识模块：二维随机变量及其分布6．[2006年] 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P(max{X，Y}≤1)=______．正确答案：1/9解析：P(max(X，Y)≤1)=P({X≤1}{Y≤1})=P(X≤1，Y≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=[(1一0)／(3—0)][(1一0)／(3一0)]=(1／3)×(1／3)=1／9．知识模块：二维随机变量及其分布解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

概率论与数理统计第3章：二维随机变量及其分布总复习题

第3章总复习题()()1.15 选择题：小题，每小题4分，共20分.下列每小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的.()()()()(){}()1,,1,1.X Y X Y F x y F x F y P X Y >>=设随机变量的联合分布函数为,其边缘分布函数为和,其概率()()11,1.A F -()()()111.X YB F F --()()()()1,1111.X Y C F F F --+()()()()1,111 1.X Y D F F F ++-()1.C 答案为()(){}()222011.X Y P X Y +≤=设随机变量和相互独立，且都服从区间，上的均匀分布，则()1.4A ()12B ().8C π().4D π()2.D 答案为()()(){}()31,1min ,2.X Y E P X Y <<设相互独立的两个随机变量与均服从指数分布则的值为()12.A e e ---()11.B e --()21.C e --()24.D e e ---()3.D 答案为()()()()40111.X Y X N Y N 设随机变量与相互独立，且，，，，则(){}10.2A P X Y +≤=(){}11.2B P X Y +≤=(){}102C P X Y -≤=(){}11.2D P X Y -≤=()4.B 答案为(){}()151.2X Y B P X Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭设随机变量和相互独立，它们的概率分布均为，，则()0.A ()1.4B ()1.4C ()1.D ()5.C 答案为()()2.610.填空题小题，每题4分，共20分()6.X Y Z X Y λ=+已知随机变量和相互独立，且均服从参数为的泊松分布，则服从的分布为()()62.Z P λ 答案:()()(){}7,0,1,0,2,.X Y X U Y U P X Y <=已知随机变量和相互独立则(){}()37,.4x yP XY f x y dxdy <<==⎰⎰答案：()()()()()21,20418,01,20,,1,4.x X f x x F x y X X F ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩-，设随机变量的概率密度为，记为二维随机变其它。

概率论-2-5二维随机变量

➢ 表示方法
➢ 公式法 P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
➢ 列表法(二维表格)
➢ 概率计算：求和
二维连续型随机变量的联合概率密度(非负性，归一性) ➢概率计算：求积分
本节练习
习题二：13,14,15
A. 4行2列 B. 2行4列 C. 3行3列 D. 4行4列
答案：C
XY
1
0
1
2
3
4
(4)计算每一个(X,Y)点对的取值概率，即联合分布律表格中每一格中的值
PX 2,Y 1和PX 3,Y 1
的值分别为多少？
0 1/4 0
A. 1/3, 1/3 B. 0,1/3 C. 0,1/4 D. 1/4,0
1
3
解
PX
1,Y
3
1
dx
3
f x, ydy
1 8
1
dx
0
36 x y dy 1
2
8
1 0
7 2
x
dx
3 8
一种常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y) G
0, 其它
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
三、二维随机变量的分布函数
定义1 设 X ,Y 是二维
随机变量, 如果对于任意实数
x, y, 二元函数
一维随机变量 X的分布函数

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题

1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。

2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。

3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。

4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。

5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。

6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。

以Y表示中途下车的人数。

（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。

7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。

（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。

为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。

12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。

13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。

概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。

15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。

为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。

考研线性代数习题及答案(二)

习题二（A ）1．设矩阵232121a b a c A b c a b c +--⎡⎤=⎢⎥+--+-⎣⎦，且A O =，求a ，b ，c 的值.解: A =0时2302102100a b a c b c a b c +=⎧⎪--=⎪⎨+-=⎪⎪-++=⎩,则3,2,5a b c ==-=2．设201312A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112215B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求（1）2A B +，（2）3A B -.解: 20111231022312215431A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 201112537333122159217A B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．如果矩阵X 满足2X A B X -=-,其中2112A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0220B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦求X .解：2X A B X -=- 22X A B =+ 12X A B =+ 21022211220222---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭4．某石油公司所属的三个炼油厂A 1，A 2，A 3在2003年和2004年所生产的四种油品B 1，B 2，B 3，B 4的数量如下表（单位：104t ）：（1）作矩阵34A ⨯和34B ⨯分别表示2003年、2004年工厂A i 产油品B j 的数量；（2）计算A B +和B A -，分别说明其经济意义；（3）计算1()2A B +，并说明其经济意义.解: 1) 582715472201856525143A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 632513590302078028185B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2) 1215228916260381214553328A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭上式表明:123,,A A A 三个在2003年,2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的总产量.52211802215342B A --⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭上式表明：123,,A A A 三厂在2004年生产的1234,,,B B B B 四种与2003年相比的增加量.3) 12192614221()813019621455316422A B ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上式表明123,,A A A 三厂在2003年、2004年生产1234,,,B B B B 四种油品的平均产量.5．计算下列矩阵的乘积：（1）01121043⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）5112207432-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦；（3）（-1，3，2）304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（-1，2）；（5）112120124305--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（6）（1，-1，2）120201013112-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦解：1) 4312⎛⎫=⎪⎝⎭2) 126241114⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3) =54) 241236-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭5) 1332⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭6) =156．设311212123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111210111B -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求（1）AB 和BA ；（2）AB-BA .解：1) 612610842AB -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 400410222AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2) 212220660AB BA -⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭7．求所有与A 可交换的矩阵：（1）1011A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）11001101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 设ab Xcd ⎛⎫=⎪⎝⎭,则 XA =AX 得 a =d b =0 0a X c a ⎛⎫∴=⎪⎝⎭2) 设111222ab c Y a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则 YA AY =得 1220a a b === 12b c a == 1c b =00a b c Y a b a ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭8．设矩阵A 与B 可交换.证明：（1）22()()A B A B A B +-=-；（2）222()2A B A AB B ±=±+.解：1) 2222()()A B A B A AB BA B A B +-=-+-=- 2) 22222()2A B A AB BA B A AB B ±=±±+=±+9．计算（1）31111⎡⎤⎢⎥--⎣⎦；（2）1301n⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）2212301111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（4）000000na b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（5）311110111001101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（6）1111111111111111n---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦解：1) 0000⎛⎫=⎪⎝⎭ 2) 1301n ⎛⎫=⎪⎝⎭3) 507527622⎛⎫⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭4) 000000n n n a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭5) 13610013600130001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6) 2,1,nE n n A n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数2为奇数10．设2210()f x a x a x a =++，A 是n 阶矩阵，定义2210()f A a A a A a E =++. （1）如果2()1f x x x =-+211312110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求()f A .（2）如果35)(2+-=x x x f⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3312A 求)(A f .解：1) 2713()823210f A A A E ⎛⎫⎪=-+= ⎪ ⎪-⎝⎭2) 200()5300f A A A E ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭11．设521341A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，320201B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，计算（1）AB T ；（2）B T A ；（3）A T A .解：1) 32521199203411701TAB --⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭2) 21211042341TB A ---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3) 34222206262TA A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭12．设某港口在一月份出口到三个地区的两种货物的数量以及两种货物的单位价格、重量、体积如下表：（1）利用矩阵乘法计算经该港口出口到三个地区的货物总价值、总重量、总体积各为多少？（2）利用（1）的结果计算经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？解：1) 0.20.35820655335200010008000.0110.05827633.8120013005000.120.5840770346⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2) 82065533511810827633.81191.884077034611956⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭总价值为1810,总重量为191.8,总体积为195613．设A 为n 阵对称矩阵，k 为常数.试证kA 仍为对称矩阵.证明: 设111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭,则 111212122212()n n T n n nn ka ka ka ka ka ka kA kA ka ka ka ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则kA 为对称矩阵14．（1）证明：对任意的m ×n 矩阵A ，A T A 和AA T 都是对称矩阵.（2）证明；对任意的n 阶矩阵A ，A +A T 为对称矩阵，而A -A T 为反对称矩阵. 解：1) 证明: ()()T T T T T TA A A A A A == ()()T T T T T TAA A A AA == ,T TA A AA ∴都是对称矩阵2) ()(),T T T T T T TA A A A A A A A A A +=+=+=++为对称矩阵 ()()()T T T T T TA A A A A A A A -=-=-=-- 则TA A -为对称矩阵15．设A 、B 是同阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .解：()TTTAB AB B A AB BA AB =⇔=⇔=16．判断下列矩阵是否可逆.若可逆，利用伴随矩阵法求其逆矩阵：（1）5432⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1326-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（3）021111312⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（4）100120123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.解：1) 1123522A --⎛⎫ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭2)不可逆3) 1153444131444131222A -⎛⎫- ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭4) 11001102211033A -⎛⎫⎪⎪⎪=-⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭17．设n 阶矩阵A 可逆，且det A =a ，求1det A -，det *A .解：1AA E -= 111det det AA a-==∴ *det AA A E =⋅∴*11det (det )n n A A a --==18．设A 为n 阶矩阵，A ≠O 且存在正整数k ≥2，使k A O =.求证：E A -可逆，且121()k E A E A A A ---=++++证明: 21()()k E A E A A A--+++2121()k k k E A A A A A A E A E E A --=++++----=-=- 21K E A A A -=+++19．已知n 阶阵A 满足232A A E O --=.求证：A 可逆，并求A -1。

考研数学一(填空题)模拟试卷62(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷62(题后含答案及解析) 题型有：1.1．已知f(x)=sinx,f[φ(x)]=1－x2，则φ(x)的定义域为_______________。

正确答案：解析：因为f[φ(x)]=sinφ(x)=1－x2，所以φ(x)=arcsin(1－x2)，则有－1≤1－x2≤1，故知识模块：函数、极限、连续2．=________．正确答案：解析：知识模块：高等数学3．设4阶方阵则A的逆阵A—1=________．正确答案：解析：记矩阵为一分块对角矩阵，由分块对角矩阵求逆矩阵的方法，得知识模块：线性代数4．设y=f且f′(x)=arctanx2，则=____________．正确答案：解析：y=f(u)，u=，u｜x=0=－1．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算5．从R2的基α1＝，α2＝到基β1＝，β2＝的过渡矩阵为_______．正确答案：解析：根据定义，从R2的基α1＝，α2＝到基β1＝，β2＝的过渡矩阵为知识模块：向量6．设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表)，其中α，β未知，但已知E(Y)=5／3，则α=_______，β=_______，E(X)=_______，E(XY)=_______．正确答案：2／9；1／9；5／3；25／9解析：知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0．5，则根据切比雪夫不等式P{丨X+Y丨≥6}≤___________.正确答案：1/12解析：P{丨X+Y丨≥6}≤3/62=1/12 知识模块：综合8．=_________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学9．将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于______.正确答案：7/2解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望EX=21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．知识模块：概率论与数理统计10．=_________．正确答案：＋C解析：知识模块：高等数学11．设∑为平面y＋z＝5被柱面x2＋y2＝25所截得的部分，则曲面积分I ＝(x＋y＋z)dS＝______．正确答案：解析：用∑的方程简化被积表达式得其中xdS＝0，因为∑关于yz平面对称，被积函数x对z为奇函数．∑的一个单位法向量n＝(cosα，cosβ，cosγ)＝(0，1，1)，∑的面积＝．因此I＝5·∑的面积＝125π．知识模块：高等数学12．设L是平面上从圆周x2＋y2＝a2上一点到圆周x2＋y2＝b2上一点的一条光滑曲线(a＞0，b＜0)，r＝，则I＝r3(xdx＋ydy)＝______．正确答案：解析：r3(xdx＋ydy)＝r3d(x2＋y2)＝r3dr2＝r4dr＝d，知识模块：高等数学13．正确答案：3e解析：令S(x)=xn(－∞＜x＜+∞)，=xn+(x+1)ex=(x2+x+1)ex于是=S(1)=3e．知识模块：高等数学14．计算∫01dxdy=________．正确答案：1一sin1解析：改变积分次序得知识模块：高等数学15．微分方程xy’+y-ex=0满足条件y(1)=e的特解为______．正确答案：解析：原微分方程可写成这是一阶线性微分方程，可利用一阶线性微分方程求解公式求解，但用观察法更简捷．xy’+y=ex，(xy)’=ex，等式两边积分，得xy=ex+C，由y(1)=e，得C=0，所以xy=ex，即y=ex．知识模块：高等数学16．y’’+y=xsinx的通解为________．正确答案：y=C1cosx+C2sinx-xsinx解析：这是一个非齐次项形如f(x)=eλx[Pm(x)cosωx+Pn(x)sinωx]的形式的二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题．首先求y’’+y=0的通解．y’’+y=0的特征方程为r2+1=0，特征根为r1,2=±i，所以其通解为Y=C1cosx+C2sinx．其次求y’’+y=xsinx的一个特解．因为λ±iw=±i是特征根，故设y*=x[(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx]是其一个特解．则y*’=(Cx2+2Ax+Dx+B)cosx+(-Ax2-Bx+2Cx+D)sinx，y*’=(-Ax2-Bx+4Cx+2A+2D)cosx+(-Cx2-4Ax-Dx-2B+2C)sinx，将其代入到y’’+y=xsinx，并化简得(4Cx+2A+2D)cosx+(-4Ax-2B+2C)sinx=xsinx，比较等式两边cosx，sinx的系数，得再比较等式两边x同次幂的系数，得最后写出y’’+y=xsinx的通解，为y=Y+y*=C1cosx+C2sinx-xsinx．知识模块：高等数学17．设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X解析：由P＝0可知，X与Y独立，从而有X—Y～N(0，2σ2)，根据对称性，有P｛X－Y＜0｝＝．知识模块：概率论与数理统计18．将长度为L的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为______．正确答案：解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X～U(0，L)，且于是E(Y)＝E[g(X)]＝g(x)f(x)dx 知识模块：概率论与数理统计19．设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P-1AP=________。

考研数学三(填空题)专项练习试卷23(题后含答案及解析)

考研数学三（填空题）专项练习试卷23(题后含答案及解析)题型有：1.1．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分2．设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＞0，则=________。

正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续3．设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n一1，则线性方程组AX=0的通解为________。

正确答案：k(1，1，…，1)T(k为任意常数)。

因基础解系含n—r(A)=n一(n 一1)=1个向量，故Ax=0的任一非零解都可作为Ax=0的基础解系，由条件知ξ=(1，1，…，1)T是Ax=0的非零解，故Ax=0的通解为x=kξ。

涉及知识点：线性代数4．已知则f’（x）=________。

正确答案：解析：当x＜0时，f’（x）=cosx;当x＞0时，f’（x）=1；知识模块：微积分5．正确答案：解析：先考查φ（x）的可导性并进行求导。

φ（x）在x=0处的左导数为知识模块：微积分6．设A为n阶矩阵，且|A|=0，Aki≠0，则AX=0的通解为________．正确答案：C(Akk1，Akk2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．解析：因为|A|=0，所以r(A)＜n，又因为Aki≠0，所以r(A*)≥1，从而r(A)=n 一1，AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=|A|E=0，所以A*的列向量为方程组AX=0的解向量，故AX=0的通解为C(Akk1，Akk2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．知识模块：线性代数7．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P{X+Y≤1}=________。

正确答案：解析：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，求满足一定条件的概率P{g(X，Y)≤z0}，一般可转化为二重积分P{g(X，Y)≤z0}=f(x，y)dxdy进行计算。

根据题设可得，如图3—3—1所示，知识模块：概率论与数理统计8．计算积分＝_______，其中D＝{(χ，y)｜0≤y≤χ，χ2＋y2≤2χ}正确答案：涉及知识点：微积分9．y=上的平均值为________．正确答案：解析：知识模块：微积分10．设随机变量X和Y的联合分布函数为则随机变量X的分布函数F(x)为______．正确答案：解析：根据题意分布函数F(x)是F(x，y)的边缘分布函数，所以F(x)=F(x，+∞)=F(x，1)，因此F(x)= 知识模块：概率论与数理统计11．设矩阵A＝，矩阵B满足ABA*＝2BA*＋E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜＝_______．正确答案：涉及知识点：线性代数12．设．则a=______，b=______，c=______。

第3章二维随机向量辅导及习题选解

第3章二维随机向量一、二维随机向量及其分布函数1. 两个随机变量X 与Y 构成的整体),(Y X 称为二维随机向量或二维随机变量.2. 二元函数2),(},,{),(R y x y Y x X P y x F ∈≤≤=称为),(Y X 的分布函数，或称为X 与Y 的联合分布函数.3. ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数；1),(0≤≤y x F 且1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ；),(y x F 关于y x ,均右连续.二、边缘分布与条件分布1. 如果),(Y X 只取有限个或可列个值，那么称),(Y X 为二维离散型随机向量.若),(Y X 的所有可能取值为),2,1,(),( =j i y x j i ，则称),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i为),(Y X 的概率分布，或X 与Y 的联合分布律，其中1,0=≥∑∑ijijij pp .,2,1,}{====∑⋅i p x X P p jij i i,2,1,}{====∑⋅j p y Y P p iij j j分别称为关于X 、Y 的边缘分布律.2. 设),(Y X 为二维随机向量，),(y x F 为其分布函数，若存在非负可积函数),(y x p 使得2),(),(),(R y x dudv v u p y x F xy∈=⎰⎰∞-∞-则称),(Y X 为二维连续型随机向量，称),(y x p 为),(Y X 的密度函数，或X 与Y 的联合密度函数，且有（1）2),(,0),(R y x y x p ∈≥；（2）⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x p .分别称⎰+∞∞-=dy y x p x p X ),()(、⎰+∞∞-=dx y x p y p Y ),()(为关于X 、Y 的边缘密度函数.【注】由联合分布求边缘分布属于考研的基本要求.3. 组成二维随机变量),(Y X 的随机变量Y X ,各自的分布函数)(),(y F x F Y X 称为),(Y X 的边缘分布函数.若),(y x F 是),(Y X 的分布函数，则),(lim ),(}{)(y x F x F x X P x F y X +∞→=+∞=≤=，),()(y F y F Y +∞=4. 设二维离散型随机变量),(Y X 的分布律为ij p ，若0>⋅j p ，则称),2,1(}|{ ====⋅i p p y Y x X P jij j i为在}{j y Y =条件下X 的条件分布律；若0>⋅i p ，则称内容提要),2,1(}|{ ====⋅j p p x X y Y P i ij i j为在}{i x X =条件下Y 的条件分布律.5. 设二维连续型随机变量),(Y X 的密度函数为),(y x p ，若0)(>y p Y ，则称)(),()|(|y p y x p y x p Y Y X =为在条件y Y =下X 的条件密度函数；若0)(>x p X ，则称)(),()|(|x p y x p x y p X X Y =为在条件x X =下Y 的条件密度函数. 【注】条件分布在考研中有所涉及.三、随机变量的独立性1. 随机变量X 与Y 相互独立⇔)),((),()(),(2R y x y F x F y x F Y X ∈∀=2. 离散型随机变量X 与Y 相互独立⇔),(,j i p p p j i ij ∀=⋅⋅⇔联合概率矩阵)(ij p 的任意两行（或列）成比例. 【注】第二个条件（以后简称比例方法）在解题时非常方便，后面有例题3.8等说明.3. 连续型随机变量X 与Y 相互独立⇔)()(),(y p x p y x p Y X =几乎处处成立.【注】几乎处处成立是指在平面上除去“面积”为零的集合以外，处处成立.4. 设),(Y X ～),,,,(222121ρσσμμN ，则X 与Y 相互独立⇔0=ρ.四、两个随机变量函数的分布1. 设离散型随机变量),(Y X 的分布律ij j i p y Y x X P ===},{，则),(Y X f Z =的分布律为∑===kj i z y x f ijk pz Z P ),(}{2. 设连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x p ，则),(Y X f Z =的分布函数为⎰⎰≤=≤=zy x f Z dxdy y x p z Z P z F ),(),(}{)(Z 的概率密度为)()(z F z p Z Z '=（在)(z p Z 连续点处）.3. 常见函数的概率密度（1）Y X Z +=，⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dy y y z p dx x z x p z p Z ),(),()(.一般地，bY aX Z +=，⎰∞+∞--=dx b axz x p b z p Z ),(||1)( 或 ⎰∞+∞--=dy y abyz p a z p Z ),(||1)(. （2）XYZ =，⎰+∞∞-=dx zx x p x z p Z ),(||)(.（3）XY Z =，⎰∞+∞-=dx xzx p x z p Z ),(||1)(. （4）},max{Y X Z =，若X 与Y 相互独立，则Z 的分布函数为)()()(z F z F z F Y X Z =，从而Z 的密度函数为)()()()()(z p z F z F z p z p Y X Y X Z +=.（5）},min{Y X Z =，若X 与Y 相互独立，则Z 的分布函数为))(1))((1(1)(z F z F z F Y X Z ---=，从而Z 的密度函数为)())(1())(1)(()(z p z F z F z p z p Y X Y X Z -+-=.【注】本节是考研的重点内容之一，尤其是二维连续型随机变量函数的概率分布经常考到，掌握好相应的方法及公式非常重要.题型一二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律例3.1 设随机变量i X ～⎪⎪⎭⎫⎝⎛-412141101)2,1(=i ，且满足1}0{21==X X P ，则}{21X X P =等于【】.（1999年，数学三）A. 0B. 41C. 21D. 1解选A . 由1}0{21==X X P 知0}0{21=≠X X P ，即0}1,1{}1,1{}1,1{}1,1{21212121====-====-==-=-=X X P X X P X X P X X P利用边缘分布律与联合分布律的关系，很容易求出X 与Y 的联合分布律如下表所示最后确定的是0}0,0{21===X X P ，从而0}1,1{}0,0{}1,1{}{21212121===+==+-=-===X X P X X P X X P X X P . 【注】1}0{21==X X P 隐含0}0{21=≠X X P 是解决问题的关键。

第三章二维随机变量及分布第三节历年真题数学一

第三章二维随机变量及分布第三节历年真题数学一：1（87，6分）设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=其他,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(y y e y f y Y 求随机变量Z=2X+Y 的概率密度函数。

2（91，6分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,00,02),()2(y x e y x f y x求随机变量Z=X+2Y 的分布函数。

3（92，6分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从正态分布),(2σμN ，Y 服从[-π，π]上均匀分布，试求Z=X+Y 的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中)(21)(22dt ex xt ⎰∞--=Φπ。

4（94，3分）设相互独立的两个数随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为212110pX则随机变量Z =max{X ，Y }的分布律为。

5（95，3分）设X 和Y 为两个随机变量，且74}0{}0{,73}0,0{=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P 则=≥}0),{max(Y X P。

6（98，3分）设平面区域D 由曲线所围成及直线2,1,01e x x y xy ====，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，则（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为。

7（99，3分）设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （0，1）和N （1，1），则（A ）21}0{=≤+Y X P（B ）21}1{=≤+Y X P（C ）21}0{=≤-Y X P（D ）21}1{=≤-Y X P 8（99，8分）设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。

9（02，3分）设21X X 和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)()(21x f x f 和，分布函数分别为)()(21x F x F 和，则（A ）)()(21x f x f +必为某一随机变量的概率密度；（B ）)()(21x f x f •必为某一随机变量的概率密度；（C ）)()(21x F x F +必为某一随机变量的分布函数；（D ）)()(21x F x F •必为某一随机变量的分布函数。