数学物理方程第零章-矢量分析
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场: 二维或二维以上的空间中的
一个范围,在其每一点,都定义一 个标量,矢量或其它什么量。对应 地称为标量场,矢量场,或者什么 什么场。因此,场就是空间座标的 函数。
自变量可以具有几个独立分量, 函数也可以有几个独立分量。因 此,有标量,场矢量场等。
导数是函数的增量与自变量的增量的比的极限。 对于一维的情况,函数对于座标的导数,是沿 自变量增加的方向进行。因此这个导数只有唯 一的方向,而无需特别地强度导数的方向性。 场是二维以上空间的函数,其自变量具有两个 以上的独立分量。故在求其导数时,几个自变 量的增量确定了一个矢量,这个表示增量的矢 量的方向可以是任意的。函数的增量随自变量 增量矢量的方向变化而变化,导致场的导数有 方向性。
矢量线:矢量场中的曲线,每一点的切线方向与该 点上的矢量相同。 流体中流线,电场中电力线,磁场中磁力线。
ni
i
i
vi
( xi , yi , zi )
通量:与流量相类似,单位时间通过 某面积的量。
单位时间通过 i 的量
i v i cos i
i
为
i
通过单位面积的总量为
u y y s
u z z s u z
}
u x
cos
u y
cos
cos
其中 cos , cos , cos 为方向余弦。
2.梯 度
方向余弦又可以看作沿PP’的如下单位矢量的 分量 i cos j cos k cos 这个单位矢量指定了一个空间方向。因此,方向 导数可以看作如下矢量在指定方向的单位矢量上 的投影
( A B ) ( B ) A B ( A ) A ( B ) ( A ) B
u 0
A 0
( A B ) ( B ) A ( A ) B B ( A ) A ( B )
E x x
2 2
Ex
2
xq (x y z )
2 2 2 3/2
( y z 2 x )q (x y z )
2 2 2 5/2
E 0
运算规则:
(cA dB ) c A d B
(u A ) u A A u
u
2
1
(
1
(
u
)
z
(
u z
)
旋量
ˆ 1 A A
ˆ A
ˆ z z Az
球座标
方向导数
r: u r 1 u r u
:
:
1
r sin
梯度
ˆ u r u 1 u 1 u ˆ ˆ r r r sin
2
(
r r
)
ˆ r r
2
等量面 u ( x , y , z ) cons 是 间决定一个解
x, y, z
的一个方程,在空
z f ( x, y )
等量面的法线方向的余弦正比于
u x , u y , u z
即梯度的方向是等量面法线方向
3.矢量场的散度
矢量场:空间每一点上定义的矢量的全体,因此, 每一点的函数有几个独立分量
lim
i o
i
i lim
i o
i
v n
i
v n d
v d
散度:对于封闭曲面,量 A 的通量为
A n d
A d
曲面内无源时 0 曲面内存在源, 与源的强度成正比。
由
A 0
可知 (A 为其矢量势)
矢量场的 B 的散度为零(叫无散场),则可写为
B A
又由 u 0 可知 矢量场 B 的旋度为零(叫无旋场,或有势场), 则可写为
B u
(u 为其势)
正交曲线座标系
z
( x, y, z )
r
z
y
x
球极座标
u u u i j k u x y z
叫标量场的梯度。又记为gradu。由 于方向导数是投影,故
u s
u .
例
点电荷e的场强.
U ( x, y, z) e 4
2 0
1 x y z
2 2
点电荷的势为: 电场强度为:
U U U E U ( i j k) x y z e 4
(u A ) u A ( u ) A
由
C ( A B ) B (C A ) A (C B )
并计及 是求导:
( A B ) B ( A ) A ( B )
r sin
旋度
1 A
ˆ r Ar
r ˆ rA
ˆ r sin r sin A
r
小结: 标量场和矢量场的各种局域性质。 算子的定义和运算规则
Ax x Az z
Ay y
Az z
)dv (
Ax x
Ay y
Az z
) lim
1 V
V 0
dv
V
Ax x
Ay
记为
A
标量场的梯度是矢量,矢量场的散度是标量!
例 例
r 1 1 1 3
电场
q E 3r r
z
如左图:若极限
y
P ( x x, y y, z z)
P ' P
P
x
lim
u(P ') u(P ) P'P
0
y
存在,则称它为u在P点,沿 PP’的方向导数。 计算方法(以三维为 例):记 PP ' 为 s
x
u s
lim {
s 0
u x x s
x y
z z
S
x
y
l
0
y
x
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但这是绕有限范围的环流量。为了描述矢量场在 一点上的性质,必须让 l 包围的面积 S 趋于零。 这就得到
1 ( curl A ) z ( rot A ) z lim S0 S lim 1 S
S
A x dx A y dy Ay x Ax y ) lim 1 S
4.矢量场的旋度
矢量场的散度与它的面积分有关。矢量场还有线 积分,与之有关的为旋度。
Fj
A
j
rj
B
如在电场中,电场对电荷作用力作功为
W i Fi ri
B
沿曲线从 A 的 B 电场力作功为 环路上
W
W
A
F dr
l
F dr
称为环流量,如下图,可以计算绕 z 轴沿了 l 的 环流量。它为 A dx A dy
0
[ 2( x
2 xi
2
y
2
z )
2
3/2
]
e 4
0
xi yj zk (x
2
y
2
z )
2
3/2
e 4
0
r r
3
e 4
0
ˆ r r
2
梯度是以对座标的导数为分量的矢量。
运算规则
i j k x y z
( cu dv ) c u d v ( uv ) v u u v
复合函数
u [ v ( x , y , z )]
u
u v
v
例
u [ r ( x , y , z )] 1 / r
u u r r 1 r
例
Ex qx r
3
3 E qr / r
E x y 3 qxy r
5/2
E 0
Ey
qy r
3
E y x
3 qxy r
5/2
它们是对称的
运算规则 (也是线性算子)
(cA dB ) c A d B )
复 变 函 数
矢量分析复习
复变函数
付利叶变换和拉普拉斯变换
矢量分析
标量场的梯度(grad) 矢量场的散度(div) 矢量场的旋度(curl) 无散场和无旋场
正交曲线座标系
以复习为主
标量场的梯度
1.方向导数 标量:一个自由度的变量,它只具有一个值。 如:密度,电量,质量,能量,温度等。 矢量:两个以上的自由度的变量,一个自由度 可 取 为它的值,其它的自由度确定它的方向。 如:速度,电场强度,力等。 一般地,具有多自由度的量可以利用矢 量来表示其特性,并进行推理
散度
拉普拉斯算子
A 1 1 1 2 A 2 ( r Ar ) ( A sin ) r r r sin r sin
u
2
1 r
2
r
(r
2
u r
)
1
2
r sin
(sin
u
)
1
2 2
u
2 2
q
o
r
E (r )
x
E (x)
大学物理:均匀带电圆环,求轴上离圆心 x 处电场强度。
利用
U
电动力学:求圆环周围的度。
解拉普拉斯方程 U 0 ,
4
dq
0
, r
E gradU .
E gradU
《数学物理方法》p.297, 第9题。
Grad的概念,拉普拉斯方程的解法。 求积分需要利用电荷分布的对称性, 只能计算轴上各点的电势,拉普拉 斯方程求解不受这个限制。所以理 论物理可以给出复杂条件下更多更 精确的结果。
取比例系数为一,则曲面内源的平均密度为
1 V 1 V
A d
一点上的源的密度
div A lim
1 V
V 0
lim
1 V
V 0
V
A d
叫散度。 由奥-高定理
div A lim 1 V
V 0
y
(
V
数学物理方法
数学物理方程 复变函数
教 学 目 的
介绍理论物理中出现的数学概念; 介绍一些处理理论物理问题常用的数学方
法,如付里叶变换,拉普拉斯变换,留数 定理,保角变换等等。 介绍求线性偏微分方程解的几个主要方法, 分离变量法,格林函数方法,达朗贝耳公 式等等。
考察大学物理与理论物理间的区别
S0
(
S
Ay x )
Ax y
)dxdy (
S0
dxdy
S
(
Ay x
Ax y
式中使用了格林公式。 旋度 在三维的情况下
curl A rot A A Ay A A Ay Ax Az x z i( ) j( )k( ) y z z x x y
u ( x, y )
0
r 2 r1
y
左边是一个平面温度场, u(x,y)为温度。在点P,不 同的方向温度的陡度是不 同的。因此温度沿不同方 向的导数是不同的。
导数的大小与方向有关
x
u2
u1
r1 r2 , u1 u 2 .
r1
r2
z
r , ,
柱座标 方向导数:
:
u
, z,
:
1 u
z:
u z
柱座标
梯度:
散度:
ˆ u u ˆ
1 u
ˆ z
u z
A z Az
1 A
( A )
1
u )
拉普拉斯算子