分段函数的二重积分
高等数学(第三版)课件：二重积分的计算
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
谈二重积分的计算方法与技巧_杨庆
f ( x, y ) 为关于 x 的偶函数， 则有
D
∬ f ( x, y )dxdy = 2∬ f ( x, y )dxdy 。
( x, y ) ( x, y ) ∈ D, x ≥ 0 ； x 若 f ( , y ) 为关于 x 的奇函数， 则有 ∬ f ( x, y ) dxdy = 0。
其中 D1 =
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科技信息
试析 《洛丽塔》 虚构中的真实
沈阳理工大学外国语学院 贾 娜
［摘 要］ 《洛丽塔》 因描写继父与幼女的不伦之恋， 广受各国读者关注。从道德、 心理、 真实性等层面对这对父女畸恋的分析却遭到 了作者纳博科夫的否定。 本文试图通过对小说中亨伯特对洛丽塔的爱， 分析这部虚构小说中的永恒真理。 ［关键词］ 少年 成年 永恒 得不到的真爱
成的闭区域。 解： 方法一. 画出区域 D 的图形， 若将它视为 X-区域(如图 1)， 则它 的积分限为 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ x ； 于是有
é y ù| | xydyù ê ú dx = ∫ ê I = ∬ xy dxdy = ∫1 é ∫ êx ⋅ 2 ú ú | dx 1 1 ë û D ë û |1
y
2 3 2æ é 2 y 4ù | | = 11 。 y ö = = ∫1 ç 2 d ÷ ê ú ç y 2 ÷ y êy | 8ú 8 ë û |1 è ø
例 4. 计算 I = ∫0 dx ∫x e
I = ∫0 dx ∫x e
1 - 2 y 0 1 1 - 2 y 1
dy 。 解： 方法一. 交换积分次序。 |1 1 -1 = 1 ∫ e dy 2 = - 1 e | |0 = 2 (1 - e ) 。 2 2 方法二. 利用分部积分法。 1 1 - 2 1 1 - 2 é e ydú ù I = ∫0 dx ∫x e y dy = ∫0 ê yû dx ë∫x 1 - 2 1 |1 æ 1 -y2 d ö y ç x∫ e ÷ | - ∫ xd ç ∫ e =æ dy ö y÷ x è ø |0 0 è x ø
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。
简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。
接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。
一、直角坐标系下的计算方法在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。
然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。
例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。
先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。
则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。
同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。
二、极坐标系下的计算方法在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。
极坐标系中的坐标是（r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。
在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。
比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。
例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x²＋y² ≤ R² 。
在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到2π 。
分区域函数的二重积分法
Ⅱ ＝， Ｄ ， ｏ
ｆ（ ｙ ｄ ｚ，） 一 １ ，
试证 存在 （， ）∈ Ｄ， 使得
’
使 分 区域 函数 的 二 重 积 分 具 有 相 当 的综 合 性 ， 构 成 了高 等 数 学 重 积 分 的 一 个 重 点 及 难 点 ， 高 校 在 的期末考试 、 研究 生 入 学 考 试 及 数 学 竞 赛 卷 面 上
＋ ，
将积分 区域 Ｄ 划分 为 Ｄ 和 Ｄ。 两部分 （ １ ， 图 ） 则
对上 式两边 同时 在区域 Ｄ 上 作二 重积 分 ， 有 则
Ａ』 ＝Ｄ 『
从 而有
＿
州ｒ Ｄ
ＪＪｘｘ＋ Ｉｄ ＝Ｄ ｄｙ ｄｙ 『ｙｄ ｚ ＝ ． 』ｘｘ＋。 ｄ 』ｌ 『ｙｄ Ｊｄｙ 『捌 ＝ Ｄ ｄｙ『 ｚ一Ｄ ， ｌ ， ｊ岫＋ｎｙ 『 ．（ 。 Ｊｘ １ ］ 岫 ＝ ＋２ ． ｌ ｎ ．
试 计算 二重积 分
Ｊ ｌ ｍ ｘｘ ，）ｘｙ — Ｉ ａ（ｙ１ｄｄ ，
其 中积分 区域 Ｄ ＝ （ ， （ ）ｆ ０≤ ≤ ２ ０≤ Ｙ≤ ２ ． ， ｝
解 用 曲线
ｘｙ ＝＝１ ＝
Ａ— ｌｆｘ ｌ （，）
解 由所给 条件 ， 有
ｆｘｙ 一 再 （， ）
Ｃｓｄ ｒ ＋］一 ０ｉＯ ３ ｒｒ ５ｎ ［ ［ ｚ ８ｇ： １ ｄ
Ｊ （ｙ ｄ ＪＥｚ ） ａ ｏ ，］ ， ｆ
其 中 ［ （ ） 表 示 不超 过 ｆ（ ）的最 大 整 数． 厂 ， ］ ｘ， 其
计算 方法 一般 是 转 化 为 累 次 积 分 ， ｆ ｘ， 用 （ ）能 取
考研数学中二重积分的计算方法与技巧
考研数学中二重积分的计算方法与技巧顾 贞 洪 港 高恒嵩高等数学作为大多数专业研究生考试的必考科目，其有自己固有的特点，大纲几乎不变，注重基本知识点的考察，注重学生的综合应用能力，也考察学生解题的技巧.二重积分作为考研数学必考的知识点，在解题方面有一定的技巧可循，本文针对研究生考试中二重积分的考察给出具有参考性的解题技巧.二重积分的一般计算步骤如下：（1） 画出积分区域D 的草图；（2） 根据积分区域D 以及被积函数的特点确定合适的坐标系；（3） 在相应坐标系下确定积分次序，化为二次积分； （4） 确定二次积分的上、下限，做定积分运算.但是在历年考试题中，越来越多的题目注重解题技巧的考查，考题经常以下列几种情况出现：1分段函数的二重积分如果被积函数中含有函数关系min max,以及绝对值函数，则需要对二重积分进行分区域积分.例1：（2008年试题）计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),({≤≤≤≤=y x y x D .解：积分区域如图1所示：因为⎩⎨⎧>≤=111}1,max{xy xy xy xy ，所以有：max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰1122222111022x xdx dy dx dy dx xydy=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2ln 419)ln 21(21ln 2ln 2212212+=-+-+⨯=x x2交换二重积分的次序交换积分次序的步骤如下： （1） 先验证二次积分是否是二重积分的二次积分（积分下限小于上限）（2） 由所给二次积分的上、下限写出积分区域D 的不等式组（3） 依据不等式组画出积分区域D 的草图（4） 根据积分区域D 的草图写出另一种积分次序下的二次积分。
例2：计算dy e dx xy ⎰⎰-222解：积分区域如图2所示：因为⎰-22xy dy e 不可积，所以交换二重积分次序，则有：)1(214022022222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy e dx e dy dy e dx yy yy xy图1 图2 图3 图43利用积分区域的对称性计算二重积分（1）利用积分区域的对称性，被积函数的奇偶性计算 设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于y 轴对称，1D 为D 中0≥x 的部分.则有：()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=DD y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于x 轴对称，1D 为D 中0≥y 的部分.则有:()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=D D y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ 例3：（2017年试题）已知平面区域22{(,)2}D x y x y y =+≤，计算二重积分2(1).Dx dxdy +⎰⎰解析：积分区域具有对称性如图3，首先考虑使用奇偶性，其次，因为积分区域为圆域，需要使用极坐标进行求解。
2014考研数学基础讲义9二重积分
∫∫ f ( x，y )dσ = ∫∫ f ( x，y )dσ + ∫∫ f ( x，y )dσ ，其中 D = D ∪ D 。除公共边界外， D 与 D 不
D D1 D2
重叠。 （4）
∫∫ 1dσ = σ = S
D
D
（5）若 f ( x，y ) ≤ g ( x，y )， ( x，y ) ∈ D ，则
【例 4】 计算
35π a 4 12
∫∫ (
x + y ≤1
x + y )dxdy
解 I= 8
∫ 0xdx ∫ 0
1
1− x 1 4 dy = 8∫ x (1 − x ) dx = 0 3
【例 5】 计算
∫∫
x ≤1 0≤ y ≤ 2
2
y − x 2 dxdy
原式 =
1 4 3π 5 π + + 1 = + 3 3 8 3 2
∫∫ f ( x，y )dσ = f (ξ，η )iS 。我们也把 S ∫∫ f ( x，y )dσ 称为 f ( x，y ) 在 D 上的积分平均值。
D
D
1
【例】利用二重积分的性质估计 I=
∫∫ ( 4 x
x2 + y2 ≤2
2
+ y 2 + 7 dxdy 的值. （14π ≤ I ≤ 30π .）
{( x，y ) a ≤ x ≤ b，ϕ ( x ) ≤ y ≤ ϕ ( x )} ，其中 ϕ ( x )，ϕ ( x ) 在 [ a，b] 上连
1 2 1 2
续， f ( x，y ) 在 D 上连续，则 模型Ⅱ 设有界闭区域 D = 模型Ⅱ：
∫∫ f ( x，y )dσ = ∫∫ f ( x，y )dxdy = ∫ adx ∫ ϕ ( x ) f ( x，y ) dy 。
二重积分的计算方法与技巧
用 不等 式组 表 示出 来 , 这 是 造 成 计 算 二 重 积 分 困 难 和计 算 结果 错 误 的 最 大 原 因 。其 实 , 在 直 角 坐 标 系 中 , 积 分区 域 不外 乎以 下 两种 基本 类 型 : ( 1 ) 积分 区域 有 一条 或两 条 端线 平行 于 轴 ( 如 图 1) 此 时 , 应将 区 域 D 投 影到 x 轴 上 , 设 x 的 区间 为 [ a , b ] , 并 求出 区 域 的 D 下 、 上边界方程分别为 y = y 1 ( x) ,y = y2 ( x) 。对 区间 [ a , b ] 内 任 意 一 点 , 作 平 行 于 y 轴 的直 线 , 交 D 的 边 界 于 两 点 , 则 这 两 点 的 纵 坐 标分 别为 y1 ( x ) ,y 2 ( x ) , 所以 区域 表 示成 D: a≤ x≤ b y1 ( x) ≤ y 2 ( x) 图 3 图4
林承初 : 二重积分的计算方法与技巧
= e- 1 2 y =
10 月
三、 将积分区域用不等式组表示出来
教学 中 发现 , 不 少 学 生 不 懂 得 如 何 将 积 分 区 域
x , y = 2 所围成的三角形 D (如图 4 ) , 有一边平 2 0≤ y≤ 2 行 于 x 轴 , 将 三角 形投 向 y 轴后 , 易 得 D : y≤ x≤ 2y
[ 收稿日期 ] 2006 - 07 - 17 [ 作者简介 ] 林承初 (1 963 - ) ,男 ,广西北流人 ,广西财经学院数学与统计系高级讲师 ,主要研究方向 : 系统理论 。
336
增刊
1 2
2 sin θ ) θ θ � 0 ecos + sin d ( θ+ sin θ cos sin θ π
同济-高等数学-第三版(9.2) 第二节 二重积分的计算法
积分区域 D 的边界曲线依次为 y = y1( x )，y = y2( x )，x = a，x = b . 考虑此二重积分的计算。
视二重积分为曲顶柱体体积，即假定有 f( x ,y ) 0 ,
考虑曲顶柱体体积的计算：即
f x , y dxdy V .
D
• 化二重积分为两次定积分 采用切片法计算曲顶柱体体积 V .
y
y y2 x
X型
y y1 x
O
则可用投影穿线法将 D
表示为不等式组的形式。
a
b
x
y
y y2 x
y1 x y y2 x , Dx : a x b.
D
P x, y
y y1 x
O
a
a xb
x
b
x
Y - 型区域
算的意义可看出，将二重积分化为两次定积分的计算实
际并不需要这一条件。
因此，所得结果具有一般性，即这种
将二重积分化为两次定积分的计算方法 对定义在 X - 型区域 D 上的连续函数
z = f( x ,y )都成立。
• 对运算过程的理解 以上结果将曲顶柱体体积计算归结为两次定积分。 第一次定积分是对固定的 x 进行的，即将关于 y 的 一元函数 z = f( x ,y )沿区间[ y1( x ), y2( x )]对 y 求积分, 其几何意义是计算截口曲边梯形的面积，截口面积是一
y
y y2 x
故由投影穿线法可将区域
表示为不等式组的形式
y1 x y y 2 x , D: a x b.
X型
y y1 x
O
a
13 第二节 二重积分的计算
x 1( y)
c
D
x 1( y) x 2( y)
c
D
x 2( y)
x 轴的直线与区域 边界相交不多于两
个交点.
f ( x, y)d
d
[
2( y) f ( x, y)dx ]dy
D
c 1( y)
D
:
1
(
y)
x
2(
y) ,
c y d
D
f ( x, y)d
d
dy
2( y) f ( x, y)dx.
确定表示积分区域D的不等式组, 常采用下述步骤：
step1 画出积分区域D的图形, 结合积分域和被积函数 考虑先对哪个变量积分更方便些.
step2 若先对y积分, 则找出D在x轴上的投影区间[a,b].
过任一点 x[a,b]作平行于y轴的直线与区域D相交,
从下往上看: 该直线进入D的边界曲线 y=1(x) 作为
计算积分 I
1
dy 2
cos x 1 cos2 x dx.
0 arcsin y
被积函数为分段函数的二重积分如何计算?
一般是将积分区域适当分块, 使被积函数在各个子块 上都表示为初等函数形式, 然后分别计算各个子块上 的积分并求和.
例9 计算 | y x2 |dxdy. 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
c
1( y)
先对x, 后对y 的二次积分.
例2 计算 y2 sin xydx dy , D由 y 0, y x , x 1 所围.
D
解
D
:
y 0
x y
1 1
y 1
xydxdy
1
0
dy
实例分析分段函数的微积分典型问题
实例分析分段函数的微积分典型问题在高等数学的学习过程中，分段函数作为函数中特殊的一类，对其理解和接受都存在一定难度，同时也是高等数学教学中的重点和难点。
为了突破这一难点，就要掌握分段函数在分界点处的各种性质，进而利用微积分计算等方法进行求解。
1 分段函数和微积分分段函数是指在不同的定义域区间具备不同解析式的函数，即不能用同一解析式进行表达的函数。
归根结底，分段函数也是一个函数，其图像也是唯一的。
而分段函数在分界点的性质变化正是其难点所在，也是其本身特殊性所在，因此为了研究分段函数，首要的研究目标就是分段函数的分界点，而微积分在高等数学中也占据着重要的地位，是研究函数有关概念和性质的数学分支，能够使得分段函数中分界点的相关计算有据可依。
两者的互相补充为高等数学的解题带来了便捷。
2 分段函数微积分问题归类与分析2.1 一元分段函数微积分2.1.1 对一元分段函数在分界点处的极限判断对于一元函数分界点处极限的判断，主要是依据分段函数的表达形式。
若函数表达形式在分界点的左右不同，就可以依据分段函数在分界点处左右极限来判断，当极限存在且相等时，该点存在极限；若不存在或者两者不相等时，则该点不存在极限。
若分界点左右的函数表达方式相同，就可直接运用计算极限的常用方法将极限计算出来。
举例说明：例1：已知函数=，求（1）；（2）。
解析：由分段函数表达式可知，x=1为该分段函数的分界点，当x<1和x>1时，所对应的解析式也不同。
所以针对（1）问，应该讨论当x趋近于1时的左右极限。
因此x时，x<1，此时；而当x时，x>1，此时，因此则有函数的左极限与右极限相等，即=1，因此=1，进而得到。
2.1.2 对一元函数在分界点处的连续性判断函数在某一点具有连续性的充要条件是函数在该点同时满足左连续和右连续。
高等数学中也正是依据这个条件来判断分段函数中分界点处的函数连续性。
其具体解决步骤为：第一步，利用左右连续的定义进行分界点左右连续情况的判断；第二步，根据结果进行判断，当左右都连续则证明该分界点连续，若其中有一个不连续或者左右极限不存在或者函数在该分界点不存在定义，即可判断该点不连续。
二重积分的计算方法最新版本
1 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x b ϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，则有21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰； （1）若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有21()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰．[1]（2）例1 计算22Dy dxdy x ⎰⎰，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．解 积分区域为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则2221221xx Dy y dxdy dx dy x x =⎰⎰⎰⎰ y y=xxy=1 D2D1xO 211 2图1321213xxy dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰251133x dx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰221412761264x x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式123(,)(,)(,)(,)DD D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）进行计算，例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．解 D 划分为()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-则12DD D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230122xxxxdx dy dx dy -=+⎰⎰⎰⎰ 120112322x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰1222013333442x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3D oxy1D2D 图4y xOx=2yy=2xx+y=3图51.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例 3 计算二重积分2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D 为区域1x ≤，02y ≤≤． 分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．解 区域D 如图6可分为12D D ，其中21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩由公式（3）则12222DD D y x dxdy y x dxdy x ydxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰221212211523x xdx y x dy dx x ydy π--=-+-=-⎰⎰⎰⎰2 利用变量变换法计算定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂，(),u v ∈∆．则()()()()(,),,,,Df x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆=⎰⎰⎰⎰ （4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化OyxD1D2图6当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．例4 求x y x yDedxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．解 做变换()()12:12x u v T y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()1,02J u v =>所以12x yux yvDedxdy e dudv -+∆=⎰⎰⎰⎰1012u v v v du e du -=⎰⎰()11012v e e dv -=-⎰ 14e e --=2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且DyxO图7图8vuO,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域∆，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．分析 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．实际是计算二重积分Ddxdy ⎰⎰，其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y yx xαβ==，如果设2,y y u v x x ==，则有,m u n v αβ≤≤≤≤，解 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰作变换2:u x v T v y u ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，[][],,m n αβ∆=⨯ ()()4,,,.uJ u v u v v=∈∆ 所以()()()22334433=6n m D n m udv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ∆--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 例6 求233Dxdxdy y xy+⎰⎰．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2,y u xy v x==，它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域∆．解 令2:u xy T y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩在变换T 作用下，区域D 的原像(){},13,13u v u v ∆=≤≤≤≤， ()1,03J u v v=≠ 所以233113Dx dxdy dudv y xy v uv v ∆=⋅++⎰⎰⎰⎰()3311dudv v v uv =+⎰⎰2ln 23=．2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有()22f x y +、x f y ⎛⎫⎪⎝⎭或y f x ⎛⎫⎪⎝⎭形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换cos :sin x r T y r θθ=⎧⎨=⎩，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．则有()()()()21,cos ,sin r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰ （5）类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤那么()()()()2211,cos ,sin r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰（6）（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成()0r r θ≤≤，0θπ≤≤则有()()()20,cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则∆为。
二重积分的计算问题
计算二次积分．分析 若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．解 由所给的二次积分，我们得积分区域，其中是一个中心角为，半径为的扇形（图5）．因此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有因此小结 (1) 计算二重积分时，适当选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不仅影响到计算的繁简，甚至会影响到计算能否进行．(2) 化直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的二重积分时，一般应1) 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示； 2) 确定的范围，即在极坐标系下表示积分区域； 3) 用分别代换被积函数中的，并把面积元素⎰⎰⎰⎰-----+=22222222y R x RR y yx Ry dxe dy edx edy eI 2xe-21D D D ⋃=12,0: :00y R y D D x x ⎧⎧≤≤⎪⎪≤≤⎨⎨⎪⎪≤≤≤⎩⎩D 4πR ,:420.D R ππθρ⎧⎪≤≤⎨≤≤⎪⎩).1(821)42(2222220024)(R RRDDy xe e d ed d de dxdy e I ----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--====⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππρρθθρρρρππρθρ,θρθρsin ,cos y x ,图5用替代．6．计算二重积分，其中是直线及上半圆周所围成的区域．分析 被积函数中含有因子，它用极坐标表示非常简单，积分区域的边界含有圆周，而圆周用极坐标表示也非常简单，故我们将所给的二重积分化为极坐标来计算．解 在极坐标系下，的边界方程分别表示为（图6）因此这时可表示为于是．小结 采用何种坐标计算二重积分，要从积分区域及被积函数两方面出发．当积分区域为圆域、圆环域、扇形域或圆环域被从原点出发的两条射线所截得的部分；被积函数为等形式时可考虑采用极坐标．不适合极坐标者用直角坐标．θρρd d ()⎰⎰+=DdxdyyxI 3221D 2,==x x y 22x x y -=22y x+D ,2cos (0),422.cos y x y x πθπρθθρθ=→===≤≤=→=D 20, 2cos .4cos πθθρθ≤≤≤≤()ρρθρθρρθθπd d d d dxdy yxI DD⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+=cos 2cos 2240323221)(1()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4012ln 2221cos 21cos 21πθθθd ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+y x f x y f yx f ,,22图67．计算，其中．分析 积分区域为圆形域，因此可考虑采用极坐标计算，注意到积分区域关于都是对称的，而被积函数中关于都是奇函数，关于是偶函数，因此我们先用积分区域关于坐标轴的对称性以及被积函数的奇偶性简化运算．解 ，由于关于轴对称，被积函数关于是奇函数，是偶函数，又为圆域，故又的面积为，故,于是．小结 (1) 计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某相应变量的奇偶性简化运算．(2) 当被积函数为两一元函数乘积，且各变量的上下界皆为常数时，把重积分化为二次积分后，可分别各自独立的计算两个定积分，然后将结果相乘．8．计算，其中．分析 由于被积函数中含有绝对值号，故必须先去掉绝对值()⎰⎰++=Ddxdyy xy I 12{}4),(22≤+=y x y x D 轴轴，y x xy yx ,2y y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=DDDdxdydxdy y xydxdy I 2D x xyyy y 关于2D20 ,20:≤≤≤≤ρπθD 222200223000,2sin 2sin 4,D Dxydxdy y dxdy d d d d ππθρθρρθθρρπ=⎰⎰=⎰⎰⎰⎰==⎰⎰D π4π4=⎰⎰Ddzdy πππ8440=++=I dxdyx y D⎰⎰-220 ,11:≤≤≤≤-y x D号，才能进行计算．在中的符号是不确定的，为此根据被积函数的特点，将区域进行分割(见图7)，从而使得在每个子区域上有确定的符号．解 抛物线将分成上下两部分，分别记作，于是．小结 被积函数中含有绝对值时，必须首先设法将绝对值符号去掉，如果在积分区域内，绝对值号内的式子的符号不确定，应依据绝对值号内的式子的特点添加辅助线把区域进行分割，使得在每个子区域内该式有确定的符号．当被积函数含有偶次根式或被积函数为一般分段函数时，也往往要考虑将积分区域进行分割．作业 习题9-1(78页) 4(4)，5(4) 总习题九(123页) 2(3)，1(２，３)，４．D 2x y -D 2x y -2x y =D 21,D D dyy x dx dy x y dx dxdyy x dxdy x y dxdyx y dxdy x y dxdy x y x xD D D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+-=---222121211221122222()2353423410310232π+=+-=⎰⎰dx x dx x图7。
二重积分公式
二重积分公式1. 二重积分的定义二重积分是对二维平面上的某个区域进行积分的概念。
它是将一个函数在该区域内进行“求和”的过程。
设函数 f(x, y) 在平面区域 D 上有界，划分 D 为 m 行 n 列的小矩形，其中每个小矩形的面积为∆S。
取 D 中的一组任意点（ξi,j，ηi,j），构造函数值与面积的乘积f(ξi,j, ηi,j)⋅ ∆S，然后对所有小矩形内的乘积进行求和，即可得到二重积分的近似值。
当 m 和 n 均趋于无穷大，且∆S 趋于零时，如果此极限存在，则称此极限值为函数 f(x, y) 在区域 D 上的二重积分，记为∬Df(x, y)dS。
2. 二重积分的计算方法2.1 通过极坐标变换计算二重积分对于某些特殊的平面区域，在直角坐标系下求解二重积分可能会比较困难。
这时可以利用极坐标变换来简化计算。
设平面区域 D 在极坐标下的表示是 R（r，θ），且区域 D 内的任意一点（x, y）与极坐标下的点（r，θ）存在一一对应关系。
则二重积分∬Df(x, y)dS 可以改写为∬Rf(r cosθ, r sinθ)r dr dθ。
在极坐标下，面积微元dS = r dr dθ。
因此，对于函数 f(r cosθ, r sinθ)，可以进行类似于直角坐标系下的计算方法，将其转化为对 r 和θ 的积分来求得二重积分的值。
2.2 通过直角坐标系计算二重积分除了利用极坐标变换来计算二重积分外，直角坐标系下的计算方法也是常用的。
对于平面区域 D，利用直角坐标系划分为 m 行 n 列的小矩形，每个小矩形的面积为∆S。
取每个小矩形的中点（ξi,j，ηi,j），构造函数值与面积的乘积f(ξi,j, ηi,j)⋅ ∆S，然后对所有小矩形内的乘积进行求和，即可得到二重积分的近似值。
将 m 和 n 均趋于无穷大，且∆S 趋于零时可以得到二重积分的精确值。
2.3 利用重积分的性质简化计算在实际计算二重积分时，有时可以根据重积分的性质进行简化。
第八章 二重积分
第八章 二重积分8.1 二重积分的概念设函数),(y x f 是闭区域D 上的有界函数，将区域D 任意分成n 个小区域1σ∆、2σ∆、…，n σ∆，其中i σ∆既是第i 个小区域也是第i 个小区域的面积。
在每个小区域i σ∆上任意取一点),(i i ηξ做乘积i i i f σηξ∆⋅),(，并作和式∑=∆⋅ni i i i f 1),(σηξ。
如果当各个小闭区间直径中的最大值0→λ时，极限i ni i i f σηξλ∆∑=→1),(lim 存在，则称为函数),(y x f 在D 上的二重积分，记为σd y x f D⎰⎰),(。
其中),(y x f 为被积函数，D 为积分区域，σd y x f ),(为被积表达式，σd 为面积微元。
（1）积分区域D 的划分和点的选取是任意的。
（2）σd y x f D⎰⎰),(的几何意义表示以积分区域D 为底面积，高为),(y x f 的曲顶柱体体积的代数和。
（3）函数),(y x f 可积的充分条件：若),(y x f 在D 上连续，则),(y x f 在D 上可积。
（4）函数),(y x f 可积的必要条件：若),(y x f 在D 上可积，则),(y x f 在D 上有界。
（5）直角坐标系下的面积微元dxdy d =σ。
8.2 二重积分的性质 （1）线性运算性质[]σβσασβαd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),(),(),(（βα,均为常数）（2）积分区域的可加性 )(),(),(),(2121D D D d y x f d y x f d y x f D D D+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσσ（3）σσ=⎰⎰Dd （σ为积分区域D 的面积）（4）比较定理：设函数),(y x f 与),(y x g 在D 上有),(),(y x g y x f ， 则σσd y x g d y x f DD⎰⎰⎰⎰),(),(推论：①若0),( y x f ，则0),( σd y x f D⎰⎰。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。
简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。
接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。
直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。
当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。
假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。
如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。
极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。
在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。
如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。
高等数学-第九章 二重积分部分
一. 二重积分的计算 二. 三重积分的计算 三. 重积分的运用
一. 二重积分的计算
1. 二重积分的性质
例. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负,
D f (x, y)d
Dr2()
Df(cos,sin) d d
r1()
o
注：若积分区域为圆域、扇形域、环形域、或由 极坐标曲线围成的区域，可考虑选择极坐标;
若 被 积 函 数 为 f( x 2 y 2 ) 或 f(y ) 型 可 考 虑 选 择 极 坐 标 x
例. 计算二重积分
R2x2y2d,
0
2 0
h 1 2
d
h
2 4
d
z
202 h12(h42)d
[1 (4h)ln 1(4h)4h]
4
o x
y
4、球坐标代换
设 M (x,y,z) R 3,其柱坐(标 ,,为 z),令OM r,
ZOM , 则(r,,) 就称为点M 的球坐标.
xrsinco s yrsin sin
zrco s
0 r
z { ( x ,y ,z ) |a z b ,( x ,y ) D z }b
f(x,y,z)dv
b
z a
adzD Zf(x,y,z)dxdy
x
Dz
y
适用范围：
积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间;
在平行于坐标面的截面上二重积分易算 典型题目： 被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求
几种特殊类型二重积分的计算方法
姨sin２θ ３
%
１ r dr= ４
y
乙 sin ２θdθ= １ ６
３ ０
２
r2＝sin2θ
蓦f
D
（ x,y） dxdy =
蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦 蓦
０， f（ -x,y） =－ f （ x,y） ２ f（ x,y） dxdy， f（ -x,y） =f（ x,y）
D１ ［ ３］ Ｐ１２３
D ２ ２ ２
e ,sin
－x
２
y 等函数时， 则只能化成先对 y后对x的 x
蓦
二次积分或者利用定积分的分部积分法。
解： 积分区域 D 如图３， 关于坐标原点 O 对 －x, －y） ＝（ －x） · （ －y）=xy=f （ x,y） ， 所以， 由结论２ 称f（ 知： xydσ=２
D π ２
2. 利 用 被 积 函 数 的 奇 偶 性 和 积 分 区 域
２
D
解 ： 令 x =rcosθ,y =rsinθ 则 积 分 区 域 D =
≤ （ r,θ） ｜ ０≤θ≤２π,０≤r≤a ≤ ，被积函数e
面积微元dxdy=rdrdθ，于是
－x －y
２
２
=e ，
－r
２
O
蓦e
D
－x －y
２
２
dxdy=
２
乙 dθ
０
２π
图 5 区域 D= ≤ （ x,y） ｜ ０≤x≤１， ０≤y≤１ ≤
蓦xsinydσ＝０
D
y
（ x +y ） ＝ a （ x +y ）
２ ２ ２ 2 ２ ２
对称性计算二重积分也是一种非常重要的计 算技巧。 x
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分段函数的二重积分
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 张鸿鹰 北京建筑工程学院基础部,北京,100044 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2006,9(2) 1次
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在同济大学 《 高等数学》 （ 下）二重积分计算中没有出现分段函数的二重积分， 但与定积分类 似， 也有相应的问题" 这种问题的一般做法是先画积分区域的图形， 然后由被积函数的分段点将积 分区域分成若干部分区域， 使得在每个部分区域上的函数表达式明确， 再利用二重积分的可加性， 进行计算" 被积函数含有绝对值的二重积分实际上也是属于分段函数的二重积分， 运算前要去掉绝 对值号， 进行分域研究" 下面看几个例子" 例 !’ 解! 计算 # $
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张鸿鹰： 分段函数的二重积分
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引证文献(1条) 1.余品能.崔周进 分区域函数的二重积分法[期刊论文]-高等数学研究 2011(2)
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分段函数的二重积分
张鸿鹰 !
摘 行了讨论 关键词 ! 分段函数； 二重积分 ! 中图分类号 ! $!%& （ 北京建筑工程学院基础部 !