题型3 几何图形的折叠与动点问题

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初中数学《菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义》题型及答案解析

解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE=4，DG=3，则AE的长为．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D= 80°，则∠BCF的度数是．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠A=120°，M是CD上，DM=3，N是点AB上一动点，四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，当AE最小时，AN=．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．5.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接BE，交CD于点G，△BFE是△BCE沿BE折叠所得，且点C的对应点F恰好落在AB上，连接FG．(1)求证：四边形CEFG为菱形；(2)若AC=8，BC=6，求DG的长．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.258.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.1929.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.2210.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，P 是直线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，(A 、P ，E 按逆时针排列)，点E 的位置随点P 的位置变化而变化．(1)如图1，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，则BP 与CE 的数量关系是，BC 与CE 的位置关系是；(2)①如图2，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE ，若AB =2，∠APD =75°，直接写出BE 的长；(3)当点P 在直线BD 上时，其他条件不变，连接BE ．若AB =23，BE =219，请直接写出△APE 的面积．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O影部分的面积为cm2．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值是．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD中，∠B=60°，E是BC中点，连接AE,DE，点F是DE上一动点，G为AF中点，连接CG．(1)∠BAE=；(2)若AB=2，则CG的最小值为．18.(2024八年级下·全国·专题练习)如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P为AD边上任意一点(不包括端点)，连结AC，过点P作PQ∥AC，交边CD于点Q，点R线段AC上的一点．(1)若点R为菱形ABCD对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，求PR+QR的值；(2)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值；(3)当PR+QR的值最小，且PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出PR+QR+PQ的最小值．【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】19.(22-23八年级下·江苏苏州·期末)定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，∠C>90°，若∠A=40°，则∠B=°．(2)如图，在菱形ABCD中，∠B>90°，AB=5，连接AC，若△ABC正好为一个准直角三角形，求菱形ABCD的面积．【变式训练】20.(23-24九年级下·山东威海·期中)【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．【解决新问题】(1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形ABCD的边CD，AD上，CE=DF，∠A=60°．四边形BEDF是否为补等四边形？(填“是”或“否”)(2)如图Ⅱ，在△ABC中，∠B>90°．∠ACB的平分线和边AB的中垂线交于点D，中垂线交边AC于点G，连接DA，DB．四边形ADBC是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．21.(22-23八年级下·浙江宁波·期末)我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E 使得AC=AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．(1)如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA=CF，作∠ACF的平分线CE交AD的延长线于点E，连接FE．求证：四边形AEPC为菱形ABCD的“伴随菱形”．(2)①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O．连接EO若EO=2CH，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出CHED的值．22.(22-23八年级下·安徽合肥·期末)定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．(1)如图(a)，△ABC是中垂三角形，BD,AE分别是AC,BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE=45°，求证：△ABC是等腰三角形．(2)如图(b)，在中垂三角形ABC中，AE,BD分别是边BC,AC上的中线，且AE⊥BD于点O，求证：AC2+BC2=5AB2．(3)如图(c)，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O，点M,N分别是OA,OD的中点，连接BM,CN并延长，交于点E．求证：△BCE是中垂三角形；解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，沿EF 翻折后，点B 落在边CD 上的G 处，若EG ⊥CD ，BE =4，DG =3，则AE 的长为．【答案】914【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，因为EG ⊥CD ，所以BH ∥EG ，由四边形ABCD 是菱形，得AB ∥CD ，AB =BC =CD ，则四边形BEGH 是平行四边形，所以GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，则BH =GE =4，所以DH =DG +GH =3+4=7，由勾股定理得42+7-AB 2=AB 2，求得AB =6514，所以AE =AB -BE =6514-4=914，于是得到问题的答案．【详解】解：作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，则∠H =90°，∵EG ⊥CD ，∴BH ∥EG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD ，∴BE ∥GH ，∴四边形BEGH 是平行四边形，∴GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，∵DG =3，∴DH =DG +GH =3+4=7，∵BH 2+CH 2=BC 2，CH =7-CD =7-AB ，∴42+7-AB 2=AB 2，解得AB =6514，∴AE =AB -BE =6514-4=914，故答案为：914．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D =80°，则∠BCF 的度数是．【答案】80°/80度【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，首先根据平行的性质得到BC =CD ，由折叠得BC =CF ，然后求出CF =CD ，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD由折叠可得，BC =CF∴CF =CD∴∠CFD =∠D =80°∵四边形ABCD 是菱形∴AD ∥BC∴∠BCF =∠DFC =80°．故答案为：80°．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD 中，AB =8，∠A =120°，M 是CD 上，DM =3，N 是点AB 上一动点，四边形CMNB 沿直线MN 翻折，点C 对应点为E ，当AE 最小时，AN =．【答案】7【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点E在AM上时，AE的值最小．作AH⊥CD于H，如图，根据菱形的性质可求得AH=32AD=83，DH=CH=8，在Rt△AHM中，利用勾股定理计算出AM=7，再根据两点间线段最短得到当点E在AM上时，AE的值最小，然后证明AN=AM即可．【详解】解：作AH⊥CD于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8，∠A=120°，∴AD=AB=CD=8，AB∥CD，∴∠D=180°-∠BAD=60°，∴∠DAH=30°，∴DH=12AD=4，AH=AD2-DH2=43，∵DM=3，∴HM=1，MC=CD-DM=5，在Rt△AHM中，AM=AH2+HM2=7，∵四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，，∴ME=MC=10，∵AE+ME≥AM，∴AE≥AM-ME，∴当点E在AM上时，AE的值最小，由折叠的性质得∠AMN=∠CMN，而AB∥CD，∴∠ANM=∠CMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM=7．故答案为：7．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．【答案】6075【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义．(1)直接根据菱形的对角相等即可求解；(2)如图，由垂直平分线的定义得到∠1=90°，从而∠ADC =30°，由菱形的性质得到∠CDC =∠1=90°，从而由折叠有∠CDE=∠C DE=12∠CDC =45°，因此∠ADE=75°，再根据菱形的对边平行即可求解．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=60°．故答案为：60(2)如图，∵C D 是AB 的垂直平分线，∴∠1=90°，∴∠ADC =90°-∠A =90°-60°=30°，∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDC =∠1=90°，由折叠可得∠CDE =∠C DE =12∠CDC =12×90°=45°，∴∠ADE =∠ADC +∠C DE =30°+45°=75°，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEC =∠ADE =75°．故答案为：755.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC 中，∠ACB =90°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 上一点，连接BE ，交CD 于点G ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在AB 上，连接FG ．(1)求证：四边形CEFG 为菱形；(2)若AC =8，BC =6，求DG 的长．【答案】(1)见解析(2)GD =1.8．【分析】(1)推出CG =EF ，CG ∥EF ，进而推出四边形CEFG 是平行四边形，并根据EC =EF 证得四边形CEFG 是菱形；(2)首先利用勾股定理求出AB ，设CG =x ，然后用x 表示出AE 和EF ，再在Rt △AEF 中，利用勾股定理构建方程，求出x ，进一步计算即可求解．【详解】(1)证明：∵CD ⊥AB ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴∠BFE =∠BCE =90°，∠CEG =∠FEG ，EC =EF ，∴CD ∥EF ，∴∠CGE =∠FEG ，∴∠CGE =∠CEG ，∴CE =CG ，∴CG =EF ，∵CG ∥EF ，∴四边形CEFG 是平行四边形，∵EC =EF ，∴平行四边形CEFG 是菱形；(2)解：∵AC =8，BC =6，∠ACB =90°，22∵四边形CEFG 是菱形，∴EF =FG =CE =CG =x ，∴AE =8-x ，∵△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴BF =BC =6，∴AF =AB -BF =10-6=4，∵在Rt △AEF 中，EF 2+AF 2=AE 2，∴x 2+42=8-x 2，解得：x =3，即CG =3．∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ，∴CD =4.8，∴GD =4.8-3=1.8．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【答案】C【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P 在对角线BD 上，BP =4，BP +AP =6，设AO =x ，则AB =2AO =2x ，利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，由图象可得，当x 从0到4时，MA MC=y =1∴MA =MC∵四边形ABCD 是菱形∴点P 在对角线BD 上∴由图象可得，BP =4，BP +AP =6∵在菱形ABCD 中，∠B =60°，∴∠ABD =30°，AC ⊥BD∴设AO =x ，则AB =2AO =2x∴PO =BP -BO =4-3x∴BO =AB 2-AO 2=3x∴在Rt △APO 中，AP 2=AO 2+PO 2∴22=x 2+4-3x 2解得x =3，负值舍去∴AB =2x =23∴菱形ABCD 的边长是23．故选：C ．【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P 在对角线BD 上．【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.25【答案】A 【分析】根据图象可知，当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，进而求出菱形的面积，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．【详解】解：由图象可知：当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，∴S 菱形ABCD =2S △ABE =24，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，交AC 于点O ，则：BD ⊥AC ,OA =OC =4,OB =OD ，∴S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =24，∴BD =6，∴OB =OD =3，∴AB =OA 2+OB 2=5，∴菱形ABCD 的边长为5；故选A ．8.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.192【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，过点C 作CE ⊥AD ，根据函数图象求出菱形的边长为a ，再根据图像的三角形的面积可得CE =8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a 即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AD 于E ，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，∴当点P 在边BC 上运动时，y 的值不变，∴AD =BC =10+a -10=a ，即菱形的边长是a ，∴12⋅AD ⋅CE =4a ，即CE =8．当点P 在AC 上运动时，y 逐渐增大，∴AC =10，∴AE =AC 2-CE 2=102-82=6．在Rt △DCE 中，DC =a ,DE =a -6,CE =8，∴a 2=82+a -6 2，解得a =253．故选：B ．9.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.22【答案】C 【分析】结合图象，得到当x =0时，PO =AO =4，当点P 运动到点B 时，PO =BO =2，根据菱形的性质，得∠AOB =∠BOC =90°，继而得到AB =BC =OA 2+OB 2=25，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为12BC=5，解得即可．本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．【详解】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4，当点P运动到点B时，PO=BO=2，根据菱形的性质，得∠AOB=∠BOC=90°，故AB=BC=OA2+OB2=25，当点P运动到BC中点时，PO的长为12BC=5，故选C．10.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，(A、P，E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；(2)①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE，若AB=2，∠APD=75°，直接写出BE的长；(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=23，BE=219，请直接写出△APE的面积．【答案】(1)BP=CE，CE⊥BC；(2)①仍然成立，见解析；②20-83(3)73或313【分析】(1)连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；(2)①(1)中的结论成立，用(1)中的方法证明△BAP≌△CAE即可；②根据已知得出DP=AD，进而根据①可得BP=CE，根据CE⊥BC，勾股定理，即可求解；(3)分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE=90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．【详解】(1)解：如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°；∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠BAP=∠CAE=60°-∠P AC，∴△BAP≌△CAE SAS，∴BP=CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP=1∠ABC=30°，2∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠ACB=60°，∴∠BCE=60°+30°=90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP=CE，CE⊥BC；(2)(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°+∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE SAS，∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30°，∴∠DCE=30°，∵∠ADC=60°，∴∠DCE+∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD；∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立；②如图所示，∵△ABP≌△ACE SAS，∴CE=BP，∵∠APD=75°,∠ADB=30°∴∠DAP=75°=∠APD，∴DA=DP=2，∵BD=2BO=23AO=3AB=23∴BP=CE=BD-DP=23-2∵CE⊥AD，AD∥BC∴CE⊥BC∴BE=BC2+CE2=22+23-22=20-83故答案为：20-83．(3)如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∵∠ABC =60°，AB =23，∴∠ABO =30°，∴AO =12AB =3，OB =3AO =3，∴BD =6，由(2)知CE ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴CE ⊥BC ，∵BE =219，BC =AB =23，∴CE =(219)2-(23)2=8，由(2)知BP =CE =8，∴DP =2，∴OP =5，∴AP =OA 2+OP 2=(3)2+52=27，∵△APE 是等边三角形，∴S △AEP =34×27 2=73，如图4中，当点P 在DB 的延长线上时，同法可得AP =OA 2+OP 2=(3)2+112=231，∴S △AEP =34×231 2=313．【点睛】此题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键．根据题意得到点C 2024与点C 重合，在菱形中算出C 点坐标，即可解答．【详解】解：作CD ⊥OA 于D ，则∠CDO =90°，∵四边形OABC 是菱形，O 0,0 ,A -1,0 ，∴∠AOC =∠B =60°,OC =OA =1∴∠OCD =30°∴OD =12OC =12,CD =3OD =32∴点C 的坐标为-12,32，若菱形绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，则菱形OABC 绕点O 连续旋转2024次，旋转4次为一周，旋转2024次为2024÷4=506(周)，∴绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024与菱形OABC 重合，∴点C 2024与C 重合，∴点C 2024的坐标为-12,32，故选：D ．【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O按顺时针方向分别旋转90°、180°、270°后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为cm 2．【答案】12-43【分析】连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，S △AOD =12×AE ×OD =12×3×3-1 =3-32cm 2 ，计算即可．【详解】如图，连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，∴点D 在OB 上，由已知条件易得BE =DE =12AB =1cm ,AE =OE =3cm ，∴OD =3-1cm ，∴S =1×AE ×OD =1×3×3-1 =3-3cm 2 ，∴所求面积为8×3-32=12-43cm2．故答案为：12-43．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？【答案】(1)证明见解析(2)①33；②30°或90°【分析】(1)连接AF，根据菱形的性质，可得到△GAF≅△EAF，从而得到∠GAF=∠EAF，进而得到△DAF ≅△BAF，即可求证；(2)①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O，AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得AF∥OD，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解；②分两种情况讨论：∠BDF=90°和∠BFD=90°，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得．【详解】(1)证明：连接AF，∵四边形AEFG是菱形，∴AE=EF=FG=GA，在△GAF和△EAF中，AG=AEGF=EFAF=AF，∴△GAF≅△EAF SSS，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =AB ，在△DAF 和△BAF 中，AD =AB∠DAF =∠BAF AF =AF，∴△DAF ≅△BAF SAS ，∴DF =BF ．(2)解：①如图，连接AF ，EG ，BD ，AC ，BD 与AC 交于点O ，AF 交EG 于点P ，由(1)得当菱形AEFG 没有旋转时，AC 平分∠BAD ，AF 平分∠EAG ，∴此时点A 、F 、C 三点共线，∴当菱形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转时，∠FAC =α，∴当α=90°时，∠FAC =∠BAE =90°，在菱形ABCD 中，AB =AD ，OD =12BD ,OA =12AC ，BD ⊥AC ，∠DAO =12∠BAD =30°，∴∠AOD =90°∴∠DOA +∠FAC =180°，∴AF ∥OD ，在菱形AEFG 中，∠EAF =12∠EAG =30°，AE =AG ，AP =12AF ,PE =12EG ，∵∠DAB =∠GAE =60°．∴△ABD 和△AEG 是等边三角形，∴BD =AB =6，EG =AE =3，∴OD =3,EP =32，∴AP =AE 2-EP 2=32，OA =AD 2-OD 2=33∴AF =3，∴AF =OD ，∴四边形AODF 是平行四边形，∴DF =OA =33；②由①得四边形AODF 是平行四边形，∵∠FAC =90°，∴四边形AODF 是矩形，∴∠BDF =90°，即△DFB 为直角三角形，∴此时旋转角α的度数为90°；如图，当点F 在AD 上时，由①得AF =3，∴AF=DF，∵△ABD为等边三角形，∴BF⊥AD，即∠BFD=90°，∴此时△DFB为直角三角形，∵∠EAF=1∠EAG=30°，2∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=30°，即此时旋转角α的度数为30°；综上所述，当△DFB为直角三角形时，旋转角α的度数为30°或90°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【答案】(1)43(2)FD=3CG，证明见解析(3)OE=3OC,2≤OC≤4【分析】(1)连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，根据菱形的性质，证明B,F,D三点共线，求出BD,BF的长，用BD-BF即可求出DF的长度；(2)过点D作DM∥FG，过点G作GM∥DF，过点C作CN⊥MG，得到四边形DMGF为平行四边形，证明△CDM≌△CBG，得到CM=CG,∠DCM=∠BCG，进而求出∠MCG=∠BCG+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠DCB=120°，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，先证明△DOC≌△GOH，推出四边形AHGB为平行四边形，再证明△HAC≌△EBC，推出△CHE为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出CE的范围，进而求出OC的范围即可．【详解】(1)解：连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∴∠ABD =∠CBF =12∠ABC =30°,∠EBF =∠GBF =12∠EBG =30°，AC ⊥BD ,EG ⊥BF ,BD =2OB ,BF =2HB ，∵点E 、G 分别在边AB 、BC 上，∴∠ABD =∠ABF =30°，∴B ,F ,D 三点共线，∵BE =2,∠EBF =30°，∴HE =12BE =1，BH =3HE =3，∴BF =2BH =23，同理：BD =2OB =23OA =2×32AB =63，∴DF =BD -BF =43；故答案为：43；(2)FD =3CG ，证明如下：过点D 作DM ∥FG ，过点G 作GM ∥DF ，过点C 作CN ⊥MG ，则：四边形DMGF 为平行四边形，∴DF =MG ，DM =GF ，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∠ABC =∠EBG =60°，∴AD ∥BC ,BE ∥GF ，∠ADB =∠ABC =∠EBG =60°，CD =BC ,BG =GF =DM∴BE ∥DM ，∠1=∠2，∠DCB =180°-∠ADC =120°，∴∠3=∠DMN ，∵∠1=∠ADM +∠DMN ,∠2=∠3+∠CBE∴∠ADM =∠CBE ，∴∠CDA +∠ADM =∠CBE +∠EBG ，即：∠CDM =∠CBG ，又∵CD =BC ,BG =DM ，∴△CDM ≌△CBG ，∴CM =CG ,∠DCM =∠BCG ，∴∠MCG =∠BCG +∠BCM =∠DCM +∠BCM =∠DCB =120°，∴∠CMG =∠CGM =12180°-120° =30°，∵CN ⊥MG ，∴DF =MG =2NG ，CN =12CG ，∴NG=CG2-CN2=3CG，2∴DF=3CG；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，∵O是DG的中点，∴OD=OG，又∵∠DOC=∠HOG，∴△DOC≌△GOH，∴GH=CD，∠OCD=∠OHG，∴CD∥HG，∵菱形ABCD，∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=DA,∠ADC=∠ABC=60°，∴AB∥HG，GH=CD=AB，△ABC为等边三角形，∴四边形AHGB为平行四边形，∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB=BC，∴AH∥BG,AH=BG，∠CAQ=180°-∠CAB=120°，∴∠HAQ=∠ABG，∵BG=BE，∴AH=BE，∵∠CBE=∠ABC+∠ABG+∠EBG=120°+∠ABG，∠HAC=∠HAQ+∠CAQ=∠HAQ+120°，∴∠CBE=∠HAC，又∵AH=BE，AC=BC，∴△HAC≌△EBC，∴CH=CE，∠HCA=∠ECB，∴∠HCE=∠HCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∴△CHE为等边三角形，∵OC=OH，∠HEC=60°，∴OE⊥OC，∠CEO=30°，∴OC=1CE，2∴OE=3OC；②∵BC=AB=6,BE=2，∴BC-BE≤CE≤BC+BE，即：4≤CE≤8，∵OC=1CE，2∴2≤OC≤4．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质连接BD ，DE ，根据菱形的性质可得，△ABD 是等边三角形，再证明△ADP ≌△ABP ，可得PD =PB ，从而得到PE +PB 的最小值为DE 的长，再由E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ,AE =12AB =1，然后根据勾股定理可得DE =3，即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是菱形，周长为8，∠DAC =30°，∴∠DAB =2∠DAC =60°，∠DAP =∠BAP ，AB =AD =2，∴△ABD 是等边三角形，在△ADP 和△ABP 中，∵AP =AP ，∠DAP =∠BAP ，AB =AD ，∴△ADP ≌△ABP ，∴PD =PB ，∴PE +PB =PE +PD ≥DE ，即PE +PB 的最小值为DE 的长，∵E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ,AE =12AB =1，∴DE =AD 2-AE 2=3，即PE +PB 的最小值为3．故答案为：3．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B =45°，BC =23，则GH 的最小值是．【答案】62【分析】连接AF ，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，AF 最小，求出AF 最小值即可求出．【详解】解：连接AF ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是△AEF 的中位线，∴GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，则∠AFB =90°，AF 最小，GH 得到最小值，∵∠B =45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF 2+BF 2=AB 2，即2AF 2=AB 2，∴AF =6，∴GH =62，故答案为：62．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD 中，∠B =60°，E 是BC 中点，连接AE ,DE ，点F 是DE 上一动点，G 为AF 中点，连接CG ．(1)∠BAE =；(2)若AB =2，则CG 的最小值为．【答案】30°2217【分析】(1)连接AC ，证明△ABC 为等边三角形，三线合一，即可得出结果；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI ，根据三角形的中位线定理，推出点G 在IH 上运动，当CG ⊥HG 时，CG 最小，进行求解即可．【详解】解：(1)连接AC ，∵菱形ABCD ，∴AB =BC ，∵∠B =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°，∵E 是BC 中点，∴AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =12∠BAC =30°；故答案为：30°；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI则：IG ∥DF ，HG ∥DF ，∴I ,G ,H 三点共线，。

高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案

高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC的中点为M，点P在正方体的表面DCC1D1上移动，且满足∠APD=∠MPC。

求三棱锥P-BCD的体积的最大值。

2.△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别为AB、AC的中点，沿EF把四面体OAEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。

当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时，求四棱锥P-BCFE的体积。

3.△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，且EF//BC，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。

求四棱锥P-BCFE的体积的最大值。

4.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，且AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD=3DC，球O为三棱锥P-ABC的外接球，过点D作球O的截面。

若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则求球O的表面积。

5.已知A、B、C、D四点均在半径为R(R为常数）的球O的球面上运动，且AB=AC，AB⊥AC，AD⊥BC。

若四面体ABCD的体积的最大值为V，求V的值。

6.已知A、B、C是球O的球面上的三点，AB=2，AC=23，∠ABC=60°，且三棱锥O-ABC的体积为V。

求V的值。

7.已知三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个半径为3的球，四边形A1ACC1与B1BCC1为两个全等的矩形，M是A1B1的中点，且C1M=√3.求三棱锥C1-ABC的体积。

8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，连接AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，AO=BD=4，点C'与点C关于平面BC1D对称。

求三棱锥C'-ABD的体积。

1.删除该题，因为这明显是一道数学计算题，没有文章可言。

2.球O的表面积为4π，则球O的体积为(4/3)π。

立体几何中的折叠、展开与动点问题

２尽
于是
得
由余弦定理可求得ＡＣ＝５ｚ
Ｃ
Ａ＋Ｄ＝Ｄ，ＢＢ２Ａ
ＡＢ上ＢＤ．
又平面ＥＤ上平面ＡＤ，面ＥＤｎ平面ＡＤ＝ＢＢ平ＢＢＢＡＤ，Ｂｃ平面ＡＤ，ＡＢ得Ｂ上平面ＥＤ由ＤＢ．Ｅｃ平
Ｂ＝０，６。得
例１一张正方形的纸ＡＣＢ是对角线，ＢＤ，Ｄ过ＡＣ的中点Ｅ，Ｂ，ＤＦ的线段交ＢＤ于点０，Ｅ以Ｆ
・
３・０
中学教研（学）数
／＿Ａ１＝１５。，Ｃ１Ｃ３
ＢＤ＝、Ａ＋Ａ／ＢＤ一２Ｂ・Ｄｃｓ＿ＤＢ＝ＡＡｏ／Ａ
性和交汇性．立体几何中的轨迹问题将立体几何与解析几何有机地结合起来，解决此类问题的关键是
把空间问题转化为平面问题，然后再根据曲线的定
√ 芎／。２＋ａ．ｎ
又在ＡＢＤ中，Ｏ由余弦定理可得
ｃｓＢＯＤ＝ｏ２２２２６
问题，常把几何体的侧面展开转化为平面图形中通的两点距离问题．
在Ｒ △ ｔ培Ｅ中，由
解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形，仅不
能考查立体几何点、、线面之间的位置关系，而且能
△ＣＤ沿ＢＢＤ折起到 △船Ｄ
Ｃ
巧妙地考查求轨迹的基本方法．由于知识点多，数学思想和方法考查充分，因此笔者预计２１高００年

中考数学专题题型讲练过关题型04 几何图形的折叠与动点问题

思路分析根据题意分析出点 O 的运动轨迹,从而通过计算即可得到点 P 从点 D 运动至点 B 的过程中,点 O 的运动路径长.
考法帮类型3 探究移动范围问题
例3
高分技法
在动点的运动过程中,观察图形的变化情况,抓住动点运动中的某一瞬间,寻找确定的关系式,就能找到解决问题的突破口.对于此类题目,分析点的运动路径是关键,一般分为直线和曲线(弧)两种.解题时往往是先找到动点运动的起点和终点,再结合题中的关键要求进行分析计算.
考法帮类型2 探究位置问题
例2
高分技法
[2018 郑州二模]如图,在矩形 ABCD 中,点 G 在 AD 上,且 GD=AB=1,AG=2,点 E 是线段 BC
上的一个动点(点 E 不与点 B,C 重合),连接 GB,GE,作△GBE 关于直线 GE 对称的三角形,记为
△GFE.当点 E 运动到使点 F 落在矩形任意一边所在的直线上时,线段 BE 的长是
△AB'F 为直角三角形,则 AE 的长为
3或14 5
.
思路分析
考法帮类型1 探究形状问题
例1
高分技法
该类型题常涉及特殊四边形或特殊三角形的折叠问题与相关性质、特殊三角形的判定、勾股定理的应用、角平分线的性质等.解答此类问题,关键在于画出所有符合题意的图形,联系已知条件,结合图形特点求解,注意不要漏解(直角三角形问题:要根据直角顶点的不同,分三种情况讨论,但往往有一种情况不成立,对于成立的情况一般利用勾股定理或相似列出方程进行求解;等腰三角形问题:要根据腰的不同,分三种情况讨论,可以利用边相等的条件列方程求解).
5 ,2或 5 3
.
思路分析根据题意可知,需分以下三种情况讨论:①点 F 落在 DC 的延长线上;②点 F 落在 BC 的延长线上;③点 F 落在 AD 的延长线上.分别画出符合题意的图形,利用勾股定理和全等三角形的性质求解即可.

中考数学压轴题：几何图形的折叠与动点问题

几何图形的折叠与动点问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝9，点E 在BC 上，CE ＝4，点F 是AD 上的一个动点，若把△BEF 沿EF 折叠，点B 落在点B ′处，当点B ′恰好落在矩形ABCD 的一边上，则AF 的长为________．第1题图3或 113 【解析】如解图①，当点B ′落在边AD 上时，则易证四边形BEB ′F 为菱形，∴BF ＝BE ＝9－4＝5，由勾股定理易求AF ＝3；如解图②，当点B ′落在边CD 上时，BE ＝B ′E ＝9－4＝5.由勾股定理易求B ′C ＝3，∴B ′D ＝4－3＝1.设AF ＝x ，则FD ＝9－x .根据折叠的性质得BF ＝B ′F ，∴x 2＋42＝(9－x )2＋12，解得x ＝113，∴AF ＝3或 113.第1题解图2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC 上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．第2题图6－25≤BP≤4【解析】①如解图①，当F、D重合时，BP的值最小，根据折叠的性质可知：AF＝PF＝6，在Rt△PFC中，PF＝6，FC＝4，则PC＝25，∴BP min＝6－25；②如解图②，当E、B重合时，BP的值最大，根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝4，即BP的最大值为4；故BP的取值范围是6－25≤BP≤4.第2题解图3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C 落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．第3题图4或4－22【解析】当C落在BE的延长线上时，对应点为P1，如解图①，连接FP1，AP1，过P1点作P1H⊥FC，垂足为点H，交AD于点N，设FH＝x，∵∠P1BH＝45°，∴P1H ＝BH＝x＋2，由折叠性质可得P1F＝FC＝6－2＝4，在Rt△P1HF中，x2＋(x＋2)2＝42，解得x＝7－1或x＝－7－1(舍去)，∴P1H＝2＋7－1＝7＋1，P1N＝7＋1－2＝7－1，在Rt△P1NA中，AP1＝AN2＋P1N2＝（7＋1）2＋（7－1）2＝4；当点C落在F A的延长线上时，对应点为P2，如解图②，易知P2F＝CF＝4，AF＝22＋22＝22，∴AP2＝P2F－AF＝4－2 2 .第3题解图4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD 不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．第4题图511或513 【解析】如解图①所示，∵AD ∥BC ，∴△HB ′D∽△HBC ，∴HD HC ＝DB ′CB ，∵AB ＝CD ＝5，BC ＝12，DB ′＝1，∴HD 5＋HD＝112，解得：HD ＝511；如解图②所示，∵AD ∥BC ，∴△HB ′D ∽△HBC ，∴HD HC ＝DB ′BC ，∵AB ＝CD ＝5，BC ＝12，DB ′＝1，∴HD 5－HD＝112，解得：DH ＝513.故DH 的长度为511或513.5.如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N .当点B ′分线段MN 为3∶5的两部分时，EN 的长为________．第5题图 35511或53913【解析】由翻折的性质，得AB ＝AB ′，BE ＝B ′E .①当MB ′＝3，B ′N ＝5时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋25.由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 3＝x 2＋258，解得x 2＝4511，∴EN ＝x ＝35511；②当MB ′＝5，B ′N ＝3时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋9，由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 5＝x 2＋98，解得x 2＝7513，∴EN ＝x ＝53913，故EN 的长为35511或53913.6.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 是对角线BD 上一动点，将纸片折叠，使点C 与点P 重合，折痕为EF ，折痕EF 的两端分别在BC 、DC 边上(含端点)，当△PDF 为直角三角形时，FC 的长为________．第6题图247或 83 【解析】在矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝6，BC ＝AD ＝8，在Rt △BCD 中，由勾股定理得BD ＝10.由折叠得PE ＝EC ，PF ＝CF ，∠EPF ＝∠FCE ＝90°.∵∠PDF ＜90°，∴△PDF 为直角三角形有以下两种情况：(Ⅰ)如解图1，当∠PFD ＝90°时，∵∠FCE ＝∠FPE ＝∠PFC ＝90°，∴四边形PECF 是矩形．∵PF ＝FC ，∴四边形PECF 是正方形，∴PF ∥BC ，∴△DPF ∽△DBC ，∴PF BC ＝DF DC .设FC ＝PF ＝x ，则DF ＝6－x ，∴x 8＝6－x 6，解得：x ＝247，即FC ＝247；(Ⅱ)如解图2，当∠DPF＝90°时，∵∠FPE＝∠FCB＝90°，∴此时点E与点B 重合，∴BP＝BC＝8，∴PD＝10－8＝2.∵∠PDF公用，∠DPF＝∠DCB＝90°，∴△DPF∽△DCB，∴PFBC＝PDDC，即：PF8＝26，解得：PF＝83，∴FC＝83.综上所述，FC的长为247或83.第6题解图7.如图，正方形的边长为4，E是BC的中点，点P是射线AD 上一动点，过P作PF⊥AE于F.若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则P A＝________．第7题图2或5【解析】分两种情况：如解图①，当△EFP∽△ABE 时，则有∠PEF＝∠EAB，∴PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴P A＝EB＝2；如解图②，当△PFE∽△ABE时，则有∠PEF＝∠AEB，又∵∠P AF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠P AF，∴PE＝P A，∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点，∵AE＝42＋22＝25，PEAE＝EFEB，即PE25＝52，得PE＝5，∴P A＝5，∴当P A＝2或P A＝5时，以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似．第7题解图8.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于____________．第8题图2或53或655 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∴∠BAD ＝90°，AE ＝DE ＝1，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE ＝2AB ＝ 2.若△BEP 为等腰三角形，则分三种情况：①当BP ＝BE 时，显然BP ＝2；②当PB ＝PE 时，如解图①，连接AP .∵PB ＝PE ，AB ＝AE ，∴AP 垂直平分BE ，∵△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠EAP ＝45°，作PM ⊥AB 于点M ，设PM ＝x ，∵S △ABD ＝S △ABP ＋S △APD ，∴12×1×2＝12×1×x ＋12×2×x ，解得x ＝23，∴PM ＝23，∴BP ＝PM sin ∠ABD＝2325＝53；③当EB ＝EP 时，如解图②，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥BD 于点G ，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin ∠ABF ＝1×25＝255，∵AE ＝ED ，EG ∥AF ，∴EG ＝12AF ＝55，在Rt △BEG 中，∵BE ＝2，EG ＝55，∴BG ＝BE 2－EG 2＝355，∵EB ＝EP ，EG ⊥BP ，∴BP ＝2BG ＝655.综上所述，线段BP 的长度等于2或53或655.第8题解图① 第8题解图②9.如图，在▱ABCD 中，∠B ＝30°，AB ＝AC ，O 是两条对角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交边AD 、BC 于点E 、F ；点M 是边AB 的一个三等分点．则△AOE 与△BMF 的面积比为__________．第9题图3∶4或3∶8 【解析】如解图，连接AF 、MF ，∵AB ＝AC ，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝∠B ＝30°， ∵点O 是对角线的交点，EF ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，∴∠F AB ＝90°，∴BF ＝2AF ＝2FC ，∵点M 为AB 的三等分点，如解图①，当BM ＝13AB 时，设S △BMF ＝a ，则S △AMF ＝2a ，S △ABF ＝3a ，∴S △AFC ＝3a 2，∴S △AOE ＝3a 4，∴S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶a ＝3∶4.则△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4；如解图②，当BM ＝23AB时，S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶2a ＝3∶8.综上所述：△AOE 与△BMF的面积比为3∶4或3∶8.第9题解图① 第9题解图②10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，点P 是射线BC 上的一个动点，连接AP 、PE ，将△AEP 沿着边PE 折叠，折叠后得到△EP A ′，若△EP A ′与△ABC 的另一个交点为F ，当EF ＝14AB 时，则BP的长为________．第10题图 2或23 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E为斜边AB 的中点，∴AB ＝4，AE ＝12AB ＝2，BC ＝2 3.①若P A ′与AB 交于点F ，连接A ′B ，如解图①，由折叠可得S △A ′EP ＝S △AEP ，A ′E ＝AE ＝2，∵点E 是AB 的中点，∴S △BEP ＝S △AEP ＝12S △ABP .∵EF ＝14AB ，∴S △EFP ＝12S △BEP ＝12S △AEP ＝12S △A ′EP ，∴EF ＝12BE ＝BF ，PF ＝12A ′P ＝A ′F .∴四边形A ′EPB 是平行四边形，∴BP ＝A ′E ＝2；②若EA ′与BC 交于点F ，连接AA ′，交EP 于H ，如解图②.同理可得FP ＝12BP ＝BF ，EF＝12×2＝1.∵BE ＝AE ，∴EF ＝12EA ′＝12AP ＝1，∴AP ＝2＝AC ，∴点P 与点C 重合，∴BP ＝BC ＝2 3.故BP 的长为2或2 3.第10题解图① 第10题解图②。

2019年河南中考数学之选择、填空重难点题型：专题四几何图形的折叠与动点问题

折叠后点位置的不确定
8．(2018· 达州)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝2，BC＝5，点 D 是 BC 边上一点，且 CD＝1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰直角三角形 AOP.在点 P 从点 D 运动至点 B 的过程中，点 O 的运动路径长为 2 2 ．
4．如图，在直角坐标系中，点 A(4，0)，B(0，2)，过点 A 的直线 l⊥AB，点 P 是直线 l 上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为点 C，把△ACP 沿 AP 翻折，使点 C 落在点 D 处，且以点 A，D，P 为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足条件的点 P 的坐标是 (5，2)或(8，8)或(0，－8)或(3，－2) ．
12．(2018· 安阳一模改编)在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝9，点 E 是 AD 边上一动点，将△ABE 折叠，点 A 的对应点为 A′，若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为 1∶3， 4 4 则线段 AE 的长为 5 15或7 7或 4 3 ． 13．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝6，点 E 为 AD 边上一点，将△ABE 沿 BE 折叠，点 A 落在点 A′处，取 BE 的中点 F，连接 A′F，当 A′F 平行于矩形的某条边时，AE 的长为
折叠后特殊三角形的判定
1．(2018· 宜宾)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，CB＝2，点 E 为线段 AB 上的动点，将△CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 ①②③ 所有正确结论的序号) ．(写出
①当 E 为线段 AB 中点时，AF∥CE； 9 ②当 E 为线段 AB 中点时，AF＝； 5 13－2 13 ③当 A，F，C 三点共线时，AE＝； 3 ④当 A，F，C 三点共线时，△CEF≌△AEF.

河南省2019年中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练(含答案)

专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE 并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE ＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB 中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为43或4.图①图②1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．3．(2017·河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C 为直角三角形，则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝23＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD 为等腰三角形时，AP的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E为AC，BC 上两个动点．若将∠C沿DE折叠，点C的对应点C′恰好落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为__________．类型二点的位置不确定(2016·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为________．【分析】根据勾股定理，可得EB ′，根据相似三角形的性质，可得EN 的长，根据勾股定理，可得答案．【自主解答】由翻折的性质，得AB ＝AB ′，BE ＝B ′E .①当MB ′＝2，B ′N ＝1时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋1.由△B ′EN ～△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 2＝x 2＋13，x 2＝45，BE ＝B ′E ＝45＋1＝355； ②当MB ′＝1，B ′N ＝2时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋22，△B ′EN ∽△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 1＝x 2＋43，解得x 2＝12，BE ＝B ′E ＝12＋4＝322，故答案为：322或355.1．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使D 点落在BC 边上的点E 处，折痕为GH .若点E 是BC 的三等分点，则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝9，点E 是AD 边上一动点，将边AB 沿BE 折叠，点A 的对应点为A ′.若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE 的长为__________．3．(2015·河南)如图，矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上时，DE 的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为__________．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把△PBC 沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图，△ABC中，AB＝5，AC＝5，tan A＝2，D是BC中点，点P是AC 上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD 面积的一半，则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE －A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：A ′E ＝AE ＝12AB ＝1.在Rt △BCE 中，BE ＝12AB ＝1，BC ＝3，∠B ＝90°，∴CE ＝BE 2＋BC 2＝10，∴A ′C 的最小值＝CE －A ′E ＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图，在边长为10的等边三角形△ABC 中，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，连接BA ′，则BA ′的最小值是__________．2．在矩形ABCD 中，AD ＝12，E 是AB 边上的点，AE ＝5，点P 在AD 边上，将△AEP 沿EP 折叠，使得点A 落在点A ′的位置，如图，当A ′与点D 的距离最短时，△A ′PD 的面积为________．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D .则当B ′D 取得最小值时，tan ∠BEF 的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练 1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E 在边AD 上时，过点E 作EF ⊥CD 于F ，如解图①，设CF ＝x ，第1题解图①∵∠ABC ＝30°，∴∠BCD ＝150°.∵△BCD ′是等边三角形，∴∠DCD ′＝90°.由折叠可知，∠ECD ＝∠D ′CE ＝45°，∵EF ＝CF ＝x ，在直角三角形DEF 中，∠D ＝30°，∴DE ＝2x ，∴DF ＝3x ，∴CD ＝CF ＋DF ＝x ＋3x ＝2，解得x ＝3x －1，∴DE ＝2x ＝23－2.(2)当E 在DA 的延长线上时，如解图②.第1题解图②过点B 作BF ⊥DA 于点F ，根据折叠可知，∠ED ′C ＝∠D ＝30°，又∵三角形BD ′C 是等边三角形，∴D ′E 垂直平分BC ，∵AD ∥BC .∴D ′E ⊥AD ，∵∠ABC ＝30°∴∠BAF ＝30°，又∵AB＝2，∴AF ＝ 3.令D ′E 与BC 的交点为G ，则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1，∴AE ＝3－1，∴DE ＝3＋1，综上所述，DE 的长度为3＋1或23－2.2.158或157【解析】在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC ＝3.沿直线EF 将∠B 折叠，使点B 恰好落在BC 上的D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE ＝DE ，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝5－x ，①当∠ADE ＝90°时，则DE ∥BC ，∴DE CB ＝AE AB ，∴x 3＝5－x 5，解得x ＝158；②当∠AED ＝90°时，则△AED ∽△ACB ，∴DE BC ＝AE AC ，∴x 3＝5－x 4，解得x ＝157，故所求BE 的长度为：158或157.3.122＋12或1 【解析】①如解图①，当∠B ′MC ＝90°，B ′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM ＝12BC ＝122＋12；②如解图②，当∠MB ′C ＝90°，∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴∠C ＝45°，∴△CMB ′是等腰直角三角形，∴CM ＝2MB ′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点为B ′，∴BM ＝B ′M ，∴CM ＝2BM .∵BC ＝2＋1，∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1，∴BM ＝1，综上所述，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①，当A ′D ＝A ′C 时，∠A ′DC ＝∠A ′CD ＝30°，∴∠AA ′D ＝60°.又∵∠CAD ＝30°，∴∠ADA ′＝90°，在Rt △ADA ′中，AA ′＝AD cos 30°＝432＝833，由折叠可得AP ＝12AA ′＝433；图①图②第4题解图②如解图②，当CD ＝CA ′＝4时，连接BD 交AC 于O ，则Rt △COD 中，CO ＝CD ×cos 30°＝4×32＝23，∴AC ＝43，∴AA ′＝AC －A ′C ＝43－4，由折叠可得AP ＝12AA ′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示，点E 与点C ′重合时．在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE ，则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x ，则BD ＝4－x .在Rt △DBE中，DE 2＋BE 2＝DB 2，即x 2＋22＝(4－x )2.解得x ＝32.∴DE ＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB ＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC ′，∠C ＝∠AC ′D ＝90°.∵∠C ＝∠AC ′D ＝∠CDC ′＝90°，∴四边形ACDC ′为矩形．又∵AC ＝AC ′，∴四边形ACDC ′为正方形．∴CD ＝AC ＝3.∴DB ＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA .∴DE AC ＝DB CB ＝14，即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动，∠DBC ′＜90°，故∠DBC ′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或6 【解析】分两种情况：①如解图①，当∠CDM ＝90°，△CDM 是直角三角形，∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝23＋4，∴∠C ＝30°，AB ＝12AC ＝3＋2，由折叠可得，∠MDN ＝∠A ＝60°，∴∠BDN ＝30°，∴BN ＝12DN ＝12AN ，∴BN ＝13AB ＝3＋23，∴AN ＝2BN ＝233＋43，∵∠DNB ＝60°，∴∠ANM ＝∠DNM ＝60°，∴∠ANM ＝60°，∴AN ＝MN ＝23＋43.②如解图②，当∠CMD ＝90°时，△CDM 是直角三角形，由题可得∠CDM ＝60°，∠A ＝∠MDN ＝60°，∴∠BDN ＝60°，∠BND ＝30°，∴BD ＝12DN ＝12AN ，BN ＝3BD ，又∵AB＝3＋2，∴AN ＝2，BN ＝3，过N 作NH ⊥AM 于H ，则∠ANH ＝30°，∴AH ＝12AN ＝1，HN ＝3，由折叠可得∠AMN ＝∠DMN ＝45°，∴△MNH 是等腰直角三角形，∴HM ＝HN ＝3，∴MN ＝6，故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C ＝90°，BC ＝23，AC ＝2，∴tan B ＝AC BC ＝223＝33，∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B ′D ′E 的位置，B ′D 交AB 于点F ，∴DB ＝DC ＝3，EB ′＝EB ，∠DB ′E ＝∠B ＝30°.设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，EB ′＝4－x ，当∠AFB ′＝90°时，在Rt △BDF 中，cos B ＝BF BD ，∴BF ＝3cos 30°＝32，∴EF ＝32－(4－x )＝x －52.在Rt △B ′EF 中，∵∠EB ′F ＝30°，∴EB ′＝2EF ，则4－x ＝2(x －52)，解得x ＝3，此时AE 为3；第7题解图当∠FB ′A ＝90°时，作EH ⊥AB ′于H ，连接AD ，如解图，∵DC ＝DB ′，AD ＝AD ，∴Rt △ADB ′≌Rt △ADC ，∴AB ′＝AC ＝2.∵∠AB ′E ＝∠AB ′F ＋∠EB ′F ＝90°＋30°＝120°，∴∠EB ′H ＝60°.在Rt △EHB ′中，B ′H ＝12B ′E ＝12(4－x )，EH ＝3B ′H ＝32(4－x )，在Rt △AEH中，∵EH 2＋AH 2＝AE 2，∴34(4－x )2＋[12(4－x )＋2]2＝x 2，解得x ＝145，此时AE 为145.综上所述，AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∠DAC ＝∠BAC .∵EF ⊥AA ′，∴∠EPA ＝∠FPA ′＝90°，∴∠EAP ＋∠AEP ＝90°，∠FAP ＋∠AFP ＝90°，∴∠AEP ＝∠AFP ，∴AE ＝AF .∵△A ′EF 是由△AEF 翻折，∴AE ＝EA ′，AF ＝FA ′，∴AE ＝EA ′＝A ′F ＝FA ，∴四边形AEA ′F 是菱形，∴AP ＝PA ′.①当CD ＝CA ′时，∵AA ′＝AC －CA ′＝3，∴AP ＝12AA ′＝32.②当A ′C ＝A ′D 时，∵∠A ′CD ＝∠A ′DC ＝∠DAC ，∴△A ′CD ∽△DAC ，∴A′C AD ＝DC AC，∴A ′C ＝258，∴AA ′＝8－258＝398，∴AP ＝12AA ′＝3916，故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①，当∠ADC ′＝90°时，∠ADC ′＝∠C ，第9题解图①∴DC ′∥CB ，∴△ADC ′∽△ACB .又∵AC ＝3，BC ＝4，∴AD DC′＝34，设CD ＝C ′D ＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝34，解得x ＝127，经检验：x ＝127是所列方程的解，∴CD ＝127；②如解图②，当∠DC ′A ＝90°时，∠DCB ＝90°，第9题解图②由折叠可得，∠C ＝∠DC ′E ＝90°，∴C ′B 与CE 重合，由∠C ＝∠AC ′D ＝90°，∠A ＝∠A ，可得△ADC ′∽△ABC ，在Rt △ABC 中，AB ＝5，∴AD C′D ＝AB CB ＝54，设CD ＝C ′D ＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝54，解得x ＝43，∴CD ＝43.综上所述，CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝9－x ，当BE ∶EC ＝2∶1时，BC ＝9，∴CE ＝13BC＝3.在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.当BE ∶EC＝1∶2时，CE ＝23BC ＝6.在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝62＋x 2，解得：x ＝52，即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图，过点A ′作A ′M ⊥AD 于M 交BC 于N ，则四边形ABNM 是矩形，∴AB ＝MN ＝4.∵若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A ′M ＝1，A ′N ＝3或A ′M ＝3，A ′N ＝1.①当A ′M ＝1，A ′N ＝3时，在Rt △BA ′N 中，BN ＝42－32＝7，∴AM ＝BN ＝7.由△A ′EM ～△BA ′N ，∴EM A′N ＝A′M BN ，∴EM 3＝17，∴EM ＝377，∴AE ＝477；②当A ′M ＝3，A ′N ＝1时，同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图，连接BD ′，过D ′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D ′P ⊥BC 交BC 于点P .∵点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上，∴MD ′＝PD ′.设MD ′＝x ，则PD ′＝BM ＝x ，∴AM ＝AB －BM ＝7－x ，又由折叠图形可得AD ＝AD ′＝5，∴x 2＋(7－x )2＝25，解得x ＝3或4，即MD ′＝3或4.在Rt △END ′中，设ED ′＝a ，①当MD ′＝3时，AM ＝7－3＝4，D ′N＝5－3＝2，EN ＝4－a ，∴a 2＝22＋(4－a )2，解得a ＝52，即DE ＝52；②当MD ′＝4时，AM ＝7－4＝3，D ′N ＝5－4＝1，EN ＝3－a ，∴a 2＝12＋(3－a )2，解得a ＝53，即DE ＝53.综上所述，DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①，当点F 在矩形内部时，∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上，∴AN ＝4.∵AF ＝AD ＝5，由勾股定理得FN ＝3，∴FM ＝2.设DE 为x ，则EM ＝4－x ，FE ＝x ，在△EMF 中，由勾股定理，得x 2＝(4－x )2＋22，∴x ＝52，即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②，当点F 在矩形外部时，同①的方法可得FN ＝3，∴FM ＝8，设DE 为y ，则EM ＝y －4，FE ＝y ，在△EMF 中，由勾股定理，得y 2＝(y －4)2＋82，∴y ＝10，即DE 的长为10.综上所述，点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如解图①，∵在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6∴∠ABC ＝90°，AC ＝BD ，∴AC ＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质，得PC ⊥BB ′，∴∠PBD ＝∠BCP ，∴△BCP ∽△ABD ，∴BP AD ＝BC AB ，即BP 6＝68，解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上，如解图②，根据折叠的性质，得BP ＝B ′P ，∠B ＝∠PB ′C ＝90°，∴∠AB ′A＝90°，∴△APB ′∽△ACB ，∴B′P BC ＝AP AC ，即BP 6＝8－BP 10，解得BP ＝3，故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－5 【解析】分两种情况：①当点B ′在AC 的下方时，如解图①，∵D 是BC 中点，∴S△BPD＝S△PDC，∵S△PDF＝12S△BPD，∴S△PDF＝12S△PDC.∴F是PC的中点，∴DF是△BPC的中位线，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB＝BD，过B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，tan A＝BEAE＝2，∵AB＝5，∴AE ＝1，BE＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC＝BE2＋EC2＝22＋42＝25，∵D为BC的中点，∴BD＝5，∴PB＝BD＝5，在Rt△BPE中，PE＝1，∴AP＝AE＋PE＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，∴DF＝FC，PF＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD＝5，∴AP＝5－5，综上所述，AP的长为2或5－ 5.7．8＋23或8－23【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，BEC′E＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时，如解图①，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE ＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝23，∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时，如解图②，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF＝BG，FG＝AB＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝2 3.∵BE＝8，∴BG＝8－23，∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图，连接BE .第1题解图∵AB ＝BC ＝AC ＝10，∴∠C ＝60°.∵AB ＝BC ，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC .∴BE ＝BC 2－EC 2＝102－52＝5 3.∵AC ＝10，E 是AC 边的中点，∴AE ＝5.由翻折的性质可知A ′E ＝AE ＝5.∵BA ′＋A ′E ≥BE ，∴当点B 、A ′、E 在一条直线上时，BA ′有最小值，最小值＝BE －A ′E ＝53－5. 2.403【解析】连接DE ，DE ＝52＋122＝13，∵将△AEP 沿FP 折叠，使得点A 落在点A ′的位置，∴EA ′＝EA ＝5，∵A ′D ≥DE －EA ′第2题解图(当且仅当A ′点在DE 上时，取等号)，∴当A ′与点D 的距离最短时，A ′点在DE 上，∴DA ′＝13－5＝8，设PA ′＝x ，则PA ＝x ，PD ＝12－x ，在Rt △DPA ′中，x 2＋82＝(12－x )2，解得x ＝103，∴△A ′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt △ADE 中，DE ＝22＋42＝25，当B ′在ED 上时，B ′D 最小，在ED 上截取EB ′＝EB ＝2，连接B ′F ，FD ，则B ′D ＝ED －EB ′＝25－2，设BF ＝x ，则B ′F ＝x ，CF ＝4－x ，在Rt △B ′FD 和Rt △FCD 中，利用勾股定理，可得DB ′2＋B ′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2，即(25－2)2＋x 2＝(4－x )2＋42，解得x ＝5＋1，∴Rt △BEF 中，tan ∠BEF ＝BF BE ＝1＋52.第3题解图 4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，第4题解图∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，作⊙D ; 连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD ＝BD ＝3；而AC ＝4，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∴AD ＝5，而FD ＝3，∴FA ＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，∵∠ACB ＝90°，∴FH ∥AC ，∴△DFH ∽△DAC ，∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF ＝125，DH ＝95，∴BH ＝245，∴BF ＝BH 2＋HF 2＝1255.。

15题压轴题练习--图形折叠及动点问题的相关计算

图形折叠及动点问题的相关计算考情总结：图形折叠及动点问题的相关计算是近五年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题第15题进行考查，分值为3分，常见的类型有三角形折叠相关计算、四边形结合的相关计算，常见的设问为探究特殊三角形存在时的线段长、探究动点在特殊位置时的线段长．【方法指导】对于河南中招考试中的几何图形折叠与动点问题的计算，常涉及特殊三角形的探究及动点特殊位置的探究．1．掌握折叠的性质是解决问题的关键．(1)折叠前后位置的图形全等，对应边、角相等；(2)折痕两边的图形关于折痕对称；(3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分；2．特殊三角形：(1)直角或等腰三角形的判定：首先从可能满足直角的顶点或腰入手，通过矩形的性质、折叠的性质或结合直角三角形勾股定理直接计算，或设出某条线段长，根据相似、勾股定理等，列方程进行求解；3．河南中招考试中，此类问题的重点为分类讨论，即该题多为多解题，注意等腰三角形的腰，直角三角形的直角顶点，特殊点的位置等．1.（2017年）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为21221 或1．【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论．【解答】解：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM=BC=+；②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC ，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′，∴BM=B′M ，∴CM=BM ，∵BC=+1，∴CM +BM=BM +BM=+1，∴BM=1，综上所述，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为+或1，故答案为：+或1．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．2.（2016年）如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=3.点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N ．当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为__________223或553________.解：由翻折的性质可得：AB=AB’BE=B’E①当MB’=2，B’N=1时，设EN=x 得B’E=12+x △B’EN ∽△AB’E'''AB EB M B EN =即3122+=x x解得2x =54BE=B’E=154+=553②当MB’=1，B’N=2时，设EN=x 得B’E=222+x △B’EN ∽△AB’E'''AB EB M B EN =即3412+=x x解得2x =21BE=B’E=421+=223故答案为：223或5533.（2015年）如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE ＝3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B'处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为16或45.4．（2014年）如图，矩形ABCD 中，AD=5,AB=7.点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D /落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为53或52.5．（2013年）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，BE 的长为___32或3_______．对应练习1．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，点E 是射线BC 上一动点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AEF ，延长AF 交CD 的延长线于点G ，当BE=3EC 时，DG=25或8.如图①，当E 点在边BC 上时，BE=3EC ，BE=4.5，EC=1.5设AH=HE=x ，FH=4.5-x在Rt △AHF 中：222)5.4(3x x =-+解得：x=3.25FH=4.5-3.25=1.25∵△AHF ∽△AGD ，∴DG FHAD AF =DG25.163=解得DG=2.5=25如图②，当E 点在BC 延长线上时，BE=3EC ，BC=6，EC=3设AH=HE=x ，FH=9-x在Rt △AHF 中：222)9(3x x =-+解得：x=5FH=9-5=4∵△AHF ∽△AGD ，∴DG FHAD AF =DG463=解得DG=82．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是斜边AC 上的一点，且AE=AB 。

几何图形的折叠与动点问题

几何图形的折叠与动点问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝9，点E 在BC 上，CE ＝4，点F 是AD 上的一个动点，若把△BEF 沿EF 折叠，点B 落在点B ′处，当点B ′恰好落在矩形ABCD 的一边上，则AF 的长为________．第1题图3或 113 【解析】如解图①，当点B ′落在边AD 上时，则易证四边形BEB ′F 为菱形，∴BF ＝BE ＝9－4＝5，由勾股定理易求AF ＝3；如解图②，当点B ′落在边CD 上时，BE ＝B ′E ＝9－4＝5.由勾股定理易求B ′C ＝3，∴B ′D ＝4－3＝1.设AF ＝x ，则FD ＝9－x .根据折叠的性质得BF ＝B ′F ，∴x 2＋42＝(9－x )2＋12，解得x ＝113，∴AF ＝3或 113.第1题解图2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC 上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．第2题图6－25≤BP≤4【解析】①如解图①，当F、D重合时，BP的值最小，根据折叠的性质可知：AF＝PF＝6，在Rt△PFC中，PF＝6，FC＝4，则PC＝25，∴BP min＝6－25；②如解图②，当E、B重合时，BP的值最大，根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝4，即BP的最大值为4；故BP的取值范围是6－25≤BP≤4.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C 落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．第3题图4或4－22【解析】当C落在BE的延长线上时，对应点为P1，如解图①，连接FP1，AP1，过P1点作P1H⊥FC，垂足为点H，交AD于点N，设FH＝x，∵∠P1BH＝45°，∴P1H ＝BH＝x＋2，由折叠性质可得P1F＝FC＝6－2＝4，在Rt△P1HF中，x2＋(x＋2)2＝42，解得x＝7－1或x＝－7－1(舍去)，∴P1H＝2＋7－1＝7＋1，P1N＝7＋1－2＝7－1，在Rt△P1NA中，AP1＝AN2＋P1N2＝（7＋1）2＋（7－1）2＝4；当点C落在F A的延长线上时，对应点为P2，如解图②，易知P2F＝CF＝4，AF＝22＋22第3题解图4.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC (AD ＜BC )，AB 与CD 不平行，AB ＝CD ＝5，BC ＝12，点E 是BC 上的动点，将∠B 沿着AE 折叠，使点B 落在直线AD 上的点B ′处，DB ′＝1，直线BB ′与直线DC 交于点H ，则DH ＝________．第4题图511或513 【解析】如解图①所示，∵AD ∥BC ，∴△HB ′D∽△HBC ，∴HD HC ＝DB ′CB ，∵AB ＝CD ＝5，BC ＝12，DB ′＝1，∴HD 5＋HD＝112，解得：HD ＝511；如解图②所示，∵AD ∥BC＝12，DB′＝1，∴HD5－HD＝112，解得：DH＝513.故DH的长度为511或513.5.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC 上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．35511或53913【解析】由翻折的性质，得AB ＝AB ′，BE ＝B ′E .①当MB ′＝3，B ′N ＝5时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋25.由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 3＝x 2＋258，解得x 2＝4511，∴EN ＝x ＝35511；②当MB ′＝5，B ′N ＝3时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋9，由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 5＝x 2＋98，解得x 2＝7513，∴EN ＝x ＝53913，故EN 的长为35511或53913.6.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 是对角线BD 上一动点，将纸片折叠，使点C 与点P 重合，折痕为EF ，折痕EF 的两端分别在BC 、DC 边上(含端点)，当△PDF 为直角三角形时，FC 的长为________．24 7或83【解析】在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝10.由折叠得PE＝EC，PF＝CF，∠EPF＝∠FCE＝90°.∵∠PDF＜90°，∴△PDF 为直角三角形有以下两种情况：(Ⅰ)如解图1，当∠PFD＝90°时，∵∠FCE＝∠FPE＝∠PFC＝90°，∴四边形PECF是矩形．∵PF＝FC，∴四边形PECF是正方形，∴PF∥BC，∴△DPF∽△DBC，∴PFBC＝DFDC.设FC＝PF＝x，则DF＝6－x，∴x8＝6－x6，解得：x＝247，即FC＝247；(Ⅱ)如解图2，当∠DPF＝90°时，∵∠FPE＝∠FCB＝90°，∴此时点E与点B 重合，∴BP＝BC＝8，∴PD＝10－8＝2.∵∠PDF公用，∠DPF＝∠DCB＝90°，∴△DPF∽△DCB，∴PFBC＝PDDC，即：PF8＝26，解得：PF＝83，∴FC＝83.综上所述，FC的长为247或83.7.如图，正方形的边长为4，E 是BC 的中点，点P 是射线AD 上一动点，过P 作PF ⊥AE 于F .若以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似，则P A ＝________．第7题图2或5 【解析】分两种情况：如解图①，当△EFP ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠EAB ，∴PE ∥AB ，∴四边形ABEP 为矩形，∴P A ＝EB ＝2；如解图②，当△PFE ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠AEB ，又∵∠P AF ＝∠AEB ，∴∠PEF ＝∠P AF ，∴PE ＝P A ，∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，∵AE ＝42＋22＝25，PE AE ＝EF EB ，即PE 25＝52，得PE ＝5，∴P A ＝5，∴当P A ＝2或P A ＝5时，以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似．第7题解图8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 中点，点P 在射线BD 上运动，若△BEP 为等腰三角形，则线段BP 的长度等于____________．第8题图2或53或655 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∴∠BAD ＝90°，AE ＝DE ＝1，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE ＝2AB ＝ 2.若△BEP 为等腰三角形，则分三种情况：①当BP ＝BE 时，显然BP ＝2；②当PB ＝PE 时，如解图①，连接AP .∵PB ＝PE ，AB ＝AE ，∴AP 垂直平分BE ，∵△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠EAP ＝45°，作PM ⊥AB 于点M ，设PM ＝x ，∵S △ABD ＝S △ABP ＋S △APD ，∴12×1×2＝12×1×x ＋12×2×x ，解得x ＝23，∴PM ＝23，∴BP ＝PM sin ∠ABD ＝2325＝53；③当EB ＝EP 时，如解图②，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥BD 于点G ，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin ∠ABF ＝1×25＝255，∵AE ＝ED ，EG ∥AF ，∴EG ＝12AF ＝55，在Rt △BEG 中，∵BE ＝2，EG ＝55，∴BG ＝BE 2－EG 2＝355，∵EB ＝EP ，EG ⊥BP ，∴BP ＝2BG ＝655.综上所述，线段BP 的长度等于2或53或655.第8题解图① 第8题解图②9.如图，在▱ABCD 中，∠B ＝30°，AB ＝AC ，O 是两条对角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交边AD 、BC 于点E 、F ；为__________．第9题图3∶4或3∶8 【解析】如解图，连接AF 、MF ，∵AB ＝AC ，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝∠B ＝30°， ∵点O 是对角线的交点，EF ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，∴∠F AB ＝90°，∴BF ＝2AF ＝2FC ，∵点M 为AB 的三等分点，如解图①，当BM ＝13AB 时，设S △BMF ＝a ，则S △AMF ＝2a ，S △ABF ＝3a ，∴S △AFC ＝3a 2，∴S △AOE ＝3a 4，∴S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶a ＝3∶4.则△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4；如解图②，当BM ＝23AB时，S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶2a ＝3∶8.综上所述：△AOE 与△BMF的面积比为3∶4或3∶8.第9题解图① 第9题解图②10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，点P 是射线BC 上的一个动点，连接AP 、PE ，将△AEP 沿着边PE 折叠，折叠后得到△EP A ′，若△EP A ′与△ABC 的另一个交点为F ，当EF ＝14AB 时，则BP的长为________．第10题图 2或23 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E为斜边AB 的中点，∴AB ＝4，AE ＝12AB ＝2，BC ＝2 3.①若P A ′与AB 交于点F ，连接A ′B ，如解图①，由折叠可得S △A ′EP ＝S △AEP ，A ′E ＝AE ＝2，∵点E 是AB 的中点，∴S △BEP ＝S △AEP ＝12S △ABP .∵EF ＝14AB ，∴S △EFP ＝12S △BEP ＝12S △AEP ＝12S △A ′EP ，∴EF ＝12BE ＝BF ，PF ＝12A ′P ＝A ′F .∴四边形A ′EPB 是平行四边形，∴BP ＝A ′E ＝2；②若EA ′与BC 交于点F ，连接AA ′，交EP 于H ，如解图②.同理可得FP ＝12BP ＝BF ，EF＝12×2＝1.∵BE＝AE，∴EF＝12EA′＝12AP＝1，∴AP＝2＝AC，∴点P与点C重合，∴BP＝BC＝2 3.故BP的长为2或2 3.第10题解图①第10题解图②。

几何图形的折叠与动点问题

折叠中的动点问题1.如图所示，矩形ABCD中，AB=4,34BC，点E是线段AD上的一个动点（点E与点A不重合），沿BE折叠，使点A落在P处，连接CP，若△BPC是直角三角形，则AE的长为________。

第1题图第2题图第3题图2.在矩形ABCD中，点E是射线AB上一点，点F是线段CD上的动点，将矩形沿EF折叠，使得对角线的两个端点Ａ、Ｃ重合，若AB＝３，BE＝１，则BC的长为________。

3.已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝５，将矩形ABCD折叠，使点Ｃ落在边AB上的Ｅ处，折痕交 DC边于点Ｍ，点Ｆ在DM上运动，当△AEF是腰长为５的等腰三角形时，ＥＦ的长为________。

第4题图第5题图第6题图4.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝６，AD⊥BC，垂足为Ｄ．Ｅ是BD上一动点，EF⊥BC，交AB于Ｆ．把∠Ｂ沿EF折叠，使点Ｂ落在点Ｂ′处．当△AＢ′F为直角三角形时，BE＝________。

5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AB与CD不平行，AB＝CD＝５，BC＝12，点Ｅ是BC上的动点将∠Ｂ沿着AE折叠，使点Ｂ落在直线AD上的点Ｂ′处，ＤＢ′＝１，直线ＢＢ′与直线DC交于点Ｈ，则 DH＝________。

6.如图，正方形的边长为４，Ｅ是BC的中点，点Ｐ是射线AD上一动点，过Ｐ作PF⊥AE于Ｆ．若以Ｐ、Ｆ、Ｅ为顶点的三角形与△ABE相似，则PA＝________。

第７题图第8题图7.如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，点Ｅ是AC上一点，点Ｆ是BC边上的动点，∠Ｃ沿EF折叠，使点Ｃ落在斜边AB上某一点Ｄ处，折痕为EF．若以Ｃ、Ｅ、Ｆ为顶点的三角形与以ABC为顶点的三角形相似，且AC＝３，BC＝４时，则AD的长为________。

8.如图，在等边△ABC中，边长为１５，点Ｍ为线段AB上一动点，将等边△ABC沿过点Ｍ的直线折叠，直线与AC交于点Ｎ，使点Ａ落在直线BC的点Ｄ处，且BD∶DC＝1∶4，设折痕为ＭＮ，则AN的值为________。

方法必备09几何综合题的三类折叠问题(解析版)

1方法必备09几何综合题的三类折叠问题题型一：翻折与几何基本图形题型二：翻折与隐形圆题型三：翻折与二次函数题型一：翻折与几何基本图形1．（2024·山东泰安·一模）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C '处，BC '与AD 相交于点E ．求证：EB ED =【答案】见详解【分析】本题主要考查利用平行四边形的性质和折叠得性质证明ABE C DE '≌ ，即可证明结论成立．【详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴A C ∠=∠，AB CD =，∵沿BD 折叠，点C 落在点C '处，∴C C A ∠=∠=∠'，C D CD AB ='=，在ABE 和C DE ' 中AEB C ED A C AB C D ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩∴()ABE C DE AAS ' ≌，∴EB ED =．2．（2023·江苏泰州·二模）如图1，将()Rt 90ABC A ∠=︒ 纸片按照下列图示方式折叠：①将ABD △沿BD 折叠，使得点A 落在BC 边上的点M 处，折痕为BD ；②将BEF △沿EF 折叠，使得点B 与点D 重合，折痕为EF ；③将DEF 沿DF 折叠，点E 落在点'E 处，展开后如图2，BD 、PF 、DF 、DP 为图1折叠过程中产生的折痕．(1)求证：DP BC ∥；(2)若'DE 落在DM 的右侧，求C ∠的范围；(3)是否存在C ∠使得DE 与MDC ∠的角平分线重合，如存在，请求C ∠的大小；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)030C ︒<∠<︒；(3)不存在，理由见解析．【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（1）由第二次翻折可得EF 垂直平分BD ，由第一次翻折可得EF EP =，证出四边形PBFD 是菱形，则可得出结论；（2）设ABD α∠=，求出BDF α∠=，902ADP FDM C α∠=∠=∠=-，当DE '落在DM 的右侧时，902αα>-，求出30a >︒，则可得出答案；（3）设ABD α∠=，902ADP FDM C α∠=∠=∠=-，2MDC α∠=，得出902ααα-+=，求出45α=︒，0C ∠=︒，则可得出结论．【详解】（1）证明：由第二次翻折可得EF 垂直平分BD ，由第一次翻折可得EF EP =，PF ∴与BD 垂直且互相平分，∴四边形PBFD 是菱形，DP BC ∴∥；（2）解：设ABD α∠=，四边形PBFD 是菱形，PB DF ∴∥，BDF α∴∠=，902ADP FDM C α∠=∠=∠=-，当'DE 落在DM 的右侧时，902αα>-，330a ∴>︒，90230α∴︒-<︒，030C ∴︒<∠<︒；（3）解：不存在．若存在C ∠使得DE '与MDC ∠的角平分线重合，设ABD α∠=，902ADP FDM C α∠=∠=∠=-，2MDC α∠=，902ααα∴-+=，45α∴=︒，0C ∴∠=︒，∴不存在C ∠使得DE 与MDC ∠的角平分线重合．3．（2023·吉林松原·三模）如图①，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，点E 为射线CA 上一点，将ADE V 沿DE 折叠，点A 的对应点为点F ．(1)若AB a =，直接写出CD 的长（用含a 的代数式表示）；(2)若点E 与点C 重合，连接BF ，如图②，判断四边形DBFC 的形状，并说明理由；(3)若DF AB ⊥，直接写出CDE ∠的度数．【答案】(1)12a (2)四边形DBFC 是菱形．理由见解析(3)=15CDE ∠︒或105︒【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即得答案；（2）先证明ACD 是等边三角形，再证明四边形DBFC 四边相等，即得答案；（3）分点E 在线段CA 上和其延长线上两种情况，根据DF AB ⊥及折叠的性质，可求得45ADE ∠=︒，进一步可分别求得答案．【详解】（1）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，即点D 是AB 的中点，AB a =，1122CD AB a ∴==；5【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解答本题的关键．4．（2023·广东茂名·二模）如图，正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点，将ABE 沿AE 折叠，得到AFE ，延长EF 交边CD 于点P．(1)求证：DP FP =；(2)若6AB =，求CP 的长．【答案】(1)见解析；(2)4．【分析】（1）连接AP ，由正方形的性质得AD AB =，90B D ∠=∠=︒，由折叠得AF AB =，90AFE B ∠=∠=︒，则AD AF =，90AFP ∠=︒，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt APD Rt APF ≌，得DP FP =；（2）6CD CB AB ===，E 是边BC 的中点，得132BE CE BC ===，6FP DP CP ==-，由勾股定理得()222336CP CP +=+-，求得4CP ＝．【详解】（1）证明：连接AP ，∵四边形ABCD 是正方形，5．（2023·广西贵港·二模）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD ，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF ，然后展开，沿过点A 与点E 所在的直线折叠，点B 落在点B '处，连接 B C '，如图1，请直接写出AEB '∠与ECB '∠的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF ，然后展开，沿过点A 与BE 上的点G 所在的直线折叠，使点B 落在EF 上的点P 处，连接PD ，如图2，猜想APD ∠的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A 关于直线CP 的对称点A '，连接PA '，BA '，AC ，如图3，求PA B '∠的度数．【答案】初步尝试：AEB ECB ''∠=∠；能力提升：猜想：60APD ∠=︒，理由见解析；拓展延伸：15PA B '∠=︒7【分析】初步尝试：连接BB '，由折叠的性质可知，BE CE =，BE BE '=，AEB AEB '∠=∠，BB AE '⊥，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出90BB C '∠=︒，推出AE CB '∥，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证()SAS AFP DFP ≌，从而证明APD △是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C '、AA '，由（2）得APD △是等边三角形，进而得出30PDC ∠=︒，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得15PAC ∠=︒，30ACP ∠=︒，由对称性质得：AC A C '=，30ACP A CP '∠=∠=︒，证明()SSS AA B CA B '' ≌，得到30CA B '∠=︒，再由15CA P CAP '∠=∠=︒，即可求出PA B '∠的度数．【详解】解：初步尝试：AEB ECB ''∠=∠，理由如下：如图，连接BB '，由折叠的性质可知，BE CE =，BE BE '=，AEB AEB '∠=∠，BB AE '⊥，∴BE CE BE '==，∴EBB EB B ''∠=∠，ECB EB C ''∠=∠，∵()2180EBB EB B EB C ECB EB B EB C ''''''∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，∴90BB C '∠=︒，即BB CB ''⊥，∴AE CB '∥，∴AEB ECB '∠=∠，∴AEB ECB ''∠=∠；解：能力提升：猜想：60APD ∠=︒，理由如下：理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ADC ∠=︒，由折叠性质可得：AF DF =，EF AD ⊥，AB AP =，在AFP 和DFP △中，90AF DF AFP DFP FP FP =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()SAS AFP DFP ≌，由（2）得APD △是等边三角形，∴PAD PDA APD ∠=∠=∠∵90ADC ∠=︒，∴30PDC ∠=︒，又∵PD AD DC ==，∴12DPC DCP ∠=∠=∴PAC PAD DAC ∠=∠-∠由对称性质得：AC =6．（2023·吉林长春·模拟预测）如图1，平面上，四边形ABCD 中，4AB =，6CD =，BC =3DA =，90A ∠=︒，点M 在AD 边上，且1DM =．点P 沿折线AB BC -以1个单位速度向终点C 运动，点A '是点A 关于直线MP 的对9称点，连接A P '，设点P 在该折线上运动的时间为()0t t >．(1)直接写出线段BP 的长；(2)如图2，连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当A '、M 、A 共线时t 的值；②若点P 到BD 的距离为1，求tan A MP '∠的值；(3)当04t <≤时，请直接写出点A '到直线AD 的距离（用含t 的式子表示）．【答案】(1)当04t <≤时，4BP t =-；当48t <≤时，4BP t =-；(2)①90CBD ∠=︒，132t =②76或236(3)284tt +【分析】（1）分两种情况04t <≤和48t <≤分别求出BD 即可；（2）①首先根据勾股定理得到225BD AB AD =+=，然后利用勾股定理的逆定理即可求出90CBD ∠=︒；画出图形,然后证明出DNM DBA V V ∽,利用相似三角形的性质求出5433DN MN ==，，然后证明出PBN DMN V V ∽，利用相似三角形的性质得到52PB =，进而求解即可；②当P 点在AB 上时,1,PQ A MP AMP =∠=∠'，分别求得,BP AP ，根据正切的定义即可求解；当P 在BC 上时，则1PB =，过点P 作PO AB ⊥交AB 的延长线于点Q ，延长MP 交AB 的延长线于点H ，证明PQB BAD ∽，得44335555PQ PB BQ PB ====，，进而求得AQ ，证明HPQ HMA ∽，即可求解；（3）如图所示，过点A '作A F AD '⊥于点F ，过点P 作PE A F '⊥于点E ，则四边形AFEP 是矩形，证明A PE MA F '' ∽，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：当04t <≤时，4BP t =-；当48t <≤时，4BP t =-；（2）解：①4,3,90AB DA A ==∠=︒，225BD AB AD ∴=+=，又11,6BC CD == ，²²251136,BD BC ∴+=+=²36CD =，∵PM 平分A MA '∠，90PMA ∴∠=︒，∴PM AB ∥，DNM DBA ∴△∽△，DN DM MN ∴==，3sin 5AD DBA BD ∴∠==，11153sin 5PQ BP DBA ∴===∠，57433AP AB BP ∴=-=-=，773tan tan 26AP A MP AMP AM ∴=∠==='∠，如图所示，当P 在BC 上时，则1PB =，过点P 作PQ AB ⊥交AB 的延长线于点Q ，延长MP 交AB 的延长线于点H ，90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒ ，90QPB PBQ DBA ∴∠=︒-∠=∠，PQB BAD ∴△∽△，,PQ QB PB BA AD BD ∴==即,435PQ QB PB ==4433,5555PQ PB BQ PB ∴====，235AQ AB BQ ∴=+=，,PQ AB DA AB ⊥⊥ ，PQ AD ∥，HPQ HMA ∴△∽△，HQ PQ HA AM =即42355HQ HQ =+，解得：4615HQ =，tan tan tan HQ A MP AMP QPH PQ ∴∠=∠=∠='462315465==，综上所述，tan A MP ∠'的值为76或236；（3）解：∵当04t <≤时，P 在AB 上，如图所示，过点A '作A F AD '⊥于点F ，过点P 作PE A F '⊥于点E ，则四边形AFEP 是矩形，由A PE MA F '' ∽，A P PE A E MA A F MF'''∴==，,2A P AP t MA MA ''==== ，7．（2023·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图（1），正方形纸片ABCD ，点E 是BC 边上（点E 不与点B ，C 重合）任意一点，沿AE 折叠ABE 到AFE △，如图（2）所示；操作二：将图（2）沿过点F 的直线折叠，使点E 的对称点G 落在AE 上，得到折痕MN ，点C 的对称点记为H ，如图（3）所示；操作三：将纸片展平，连接BM ，如图（4）所示．根据以上操作，回答下列问题：13①B ，M ，N 三点（填“在”或“不在”)一条直线上；②AE 和BN 的位置关系是，数量关系是；③如图（5），连接AN ，改变点E 在BC 上的位置，（填“存在”或“不存在”)点E ，使AN 平分DAE ∠．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD ，4AB =，6BC =，按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图（7）．请完成下列探究：①当点N 在CD 上时，如图（6），BE 和CN 有何数量关系？并说明理由；②当DN 的长为1时，请直接写出BE 的长．【答案】(1)①在，②AE BN ⊥，相等；③不存在；(2)①23BE CN =，理由见解析；②2BE =或165．【分析】（1）①E 的对称点为E '，BF EE '⊥，MF EE '⊥，即可判断；②由①AE BN ⊥，由同角的余角相等得BAE CBN ∠=∠，由AAS 可判定ABE BCN ≌，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS 可判定DAN MAN ≌，由全等三角形的性质得AM AD =，等量代换得AB AM =，与AB AM >矛盾，即可得证；（2）①由（1）中的②可判定ABE BCN ∽，由三角形相似的性质即可求解；②当N 在CD 上时，ABE BCN ∽，由三角形相似的性质即可求解；当N 在AD 上时，同理可判定ABE NAB ∽，由三角形相似的性质即可求解．【详解】（1）解：①E 的对称点为E '，BF EE '∴⊥，MF EE '⊥，B ∴、F 、M 共线，故答案为：在；②由①知：B 、F 、M 共线，N 在FM 上，AE BN ∴⊥，90AMB ∴∠=︒，90ABM BAE ∴∠+∠=︒，四边形ABCD 是正方形，90ABC BCN ∴∠=∠=︒，AB BC =，90CBN ABM ∴∠+∠=︒，BAE CBN ∴∠=∠，在ABE 和BCN △中15由①知：ABE BCN ∽，∴23BE AB CN BC ==，223BE CN ∴==，当N 在AD 上时，5AN AD DN =-=，BAE CBN ANB ∠=∠=∠ ，90ABE BAN ∠=∠=︒，ABE NAB ∴ ∽，∴BE AB AB AN =，∴445BE =，165BE ∴=，综上所述：2BE =或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．8．（2023·山东枣庄·中考真题）问题情境：如图1，在ABC 中，1730AB AC BC ===，，AD 是BC 边上的中线．如图2，将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合，折痕分别交,,AB AC BC 于点E ，G ，F ，H ．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG 的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN 折叠，使得顶点B 与点H 重合，折痕分别交,AB BC 于点M ，N ，BM 的对应线段交DG 于点K ，求四边形MKGA 的面积．【答案】(1)四边形AEDG 是菱形，理由见解析(2)30【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到AE DE DG AG ===，即可得出结论．（2）先证明四边形AMKG 为平行四边形，过点H 作HE CG ⊥于点E ，等积法得到CG HE ⋅的积，推出四边形MKGA 的面积CG HE =⋅，即可得解．∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，17∵四边形MKGA 的面积AG HE =⋅，AG CG =，∴四边形MKGA 的面积30CG HE =⋅=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．9．（2023·内蒙古通辽·中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM 、BM ，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．(1)如图1，当点M 在EF 上时，EMB ∠=___________度；(2)改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合）如图2，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．【答案】(1)30(2)MBQ CBQ ∠=∠，理由见解析【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出2BM AB BE ==，90BEF ∠=︒，进而可求出1sin 2EMB ∠=，即得出30EMB ∠=°；（2）由正方形的性质结合折叠的性质可证()Rt Rt HL BCQ BMQ ≅ ，即得出MBQ CBQ ∠=∠．【详解】（1）解：∵对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，∴2AB BC CD AD BE ====，90BEF ∠=︒．∵在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，∴2BM AB BE ==．在Rt BEM 中，1sin 22BE BE EMB BM BE ∠===，∴30EMB ∠=°．故答案为：30．（2）解：结论：MBQ CBQ ∠=∠，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90BAD C ∠=∠=︒．由折叠可得：AB BM =，90BAD BMP ∠=∠=︒，BM BC ∴=，90BMQ C ∠=∠=︒．又BQ BQ = ，()Rt Rt HL BCQ BMQ ∴ ≌，∴MBQ CBQ ∠=∠．【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．10．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知,90AB AC A =∠>︒，点E 为AC 上一动点，将ABE 以BE 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D 落在BC 上时，2EDC ACB ∠=∠．”小红：“若点E 为AC 中点，给出AC 与DC 的长，就可求出BE 的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰ABC 中，,90,AB AC A BDE =∠>︒△由ABE 翻折得到．（1）如图1，当点D 落在BC 上时，求证：2EDC ACB ∠=∠；（2）如图2，若点E 为AC 中点，43AC CD ==,，求BE 的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成90A ∠<︒的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰ABC 中，90,4,2A AB AC BD D ABD ∠<===∠=∠︒．若1CD =，则求BC 的长．19∵180EDC BDE ∠+∠=︒，∴2EDC ACB ∠=∠；（2）如图所示，连接AD ，交BE 于点F ，∵折叠，∴EA ED =，AF FD =，122AE AC ==，AD BE ⊥，∵E 是AC 的中点，∴EA EC =，∴1322EF CD ==，在Rt AEF 中，222237222AF AE EF ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，在Rt ABF 中，2222757422BF AB AF ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴3572BE BF EF +=+=；问题2：如图所示，连接AD ，过点B 作BM AD ⊥于点M ，过点C 作CG BM ⊥于点G ，∵AB BD =，∴AM MD =，12ABM DBM ABD ∠=∠=∠，∵2BDC ABD ∠=∠，∴BDC DBM ∠=∠，∴BM CD ∥，∴CD AD ⊥，11．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ∠=︒，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形BB C C ''的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x =，四边形BB C C ''的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．21根据相似三角形的性质，得出24312QFC x S x =+ ，根据()2QEB BQC QFC S S S S =++ 即可求解．【详解】（1）如图，连接BD 、BQ ，四边形ABCD 为菱形，∴4CB CD ==，60A C ∠=∠=︒，∴BDC 为等边三角形．Q 为CD 中点，∴2CQ =，BQ CD ⊥，∴23BQ =，QB PB ⊥．45QPB ∠=︒，∴PBQ 为等腰直角三角形，∴23PB =，62PQ =，翻折，∴90BPB ∠='︒，PB PB '=，∴26BB '=，6PE =；.同理2CQ =，∴22CC '=，2QF =，∴()()221112222323232438222PBB CQC BB C C PBCQ S S S S ''''=-+=⨯⨯+⨯-⨯+⨯=+ 四边形梯形；（2）如图2，连接BQ 、B Q '，延长PQ 交CC '于点F ．12．（2023·重庆·中考真题）在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．23(1)如图1，若9AC =，3BD =，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若G BCE ∠=∠，求证：GF BF BE =+．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．【答案】(1)53(2)见解析(3)435【分析】（1）解Rt ABC ，求得AB ，根据AD AB BD =-即可求解；（2）延长FB 使得FH FG =，连接EH ，可得()SAS GFD HFE ≌，根据60DEC DBC ==︒∠∠，得出,,,B C D E 四点共圆，则EDB BCE ∠=∠，BEC BDC ∠=∠，得出6060BEH BEC BDC EDB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，结合已知条件得出H BEH ∠=∠，可得EB BH =，即可得证；（3）在CD 取得最小值的条件下，即CD AB ⊥，设4AB a =，则2BC a =，23AC a =，根据题意得出点N 在以B 为圆心，a 为半径的圆上运动，取AB 的中点S ，连接SP ，则SP 是ABN 的中位线，P 在半径为12a 的S 上运动，当CP 取最大值时，即,,P S C 三点共线时，此时如图，过点P 作PT AC ⊥于点T ，过点N 作NR AC ⊥于点R ，连接PQ ，交NR 于点U ，则四边形PURT 是矩形，得出PD 是ANR 的中位线，同理可得PT 是ANR 的中位线，BCS △是等边三角形，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，则2120QCP BCP ∠=∠=︒，在Rt NUQ 中，勾股定理求得NQ ，进而即可求解．【详解】（1）解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，∴963sin 32AC AB B ===，∵3BD =，∵F 是DE 的中点则DF FE =，FH FG =，∠∴()SAS GFD HFE ≌，∴H G ∠=∠，∴EH GC ∥，在CD 取得最小值的条件下，即CD ⊥设4AB a =，则2BC a =，23AC a =25∴23234AC BC a a CD a AB a⨯⨯===，12BD BC a ==，∵将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．∴BE BN=∴点N 在以B 为圆心，a 为半径的圆上运动，取AB 的中点S ，连接SP ，则SP 是ABN 的中位线，∴P 在半径为12a 的S 上运动，当CP 取最大值时，即,,P S C 三点共线时，此时如图，过点P 作PT AC ⊥于点T ，过点N 作NR AC ⊥于点R ，∵S 是AB 的中点，60ABC ∠=︒∴SC SB BC ==，∴BCS △是等边三角形，则60PCB ∠=︒，∴30PCA ACB BCP ∠=∠-∠=︒，∵2BC a =，4AB a =，∴2CS BC a ==，12PS a =∴52PC a =，15sin 24PT PC PCT PC a =⨯∠==，5334TC PT a ==∵23AC a =，∴334AT a =，如图所示，连接PQ ，交NR 于点U ，则四边形PURT 是矩形，∴PU AR ∥，P 是AN 的中点，∴1NU NP UR PA==即PU 是ANR 的中位线，同理可得PT 是ANR ∴54NU UR PT a ===，12PU AR AT ===∵BCS △是等边三角形，将BCP 沿BC 所在直线翻折至∴2120QCP BCP ∠=∠=︒【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型二：翻折与隐形圆一、单选题1．（湖北鄂州·中考真题）如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，P 是AB 上一点，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）27A ．5B ．7C ．8D ．132【答案】B 【详解】作CH ⊥AB 于H ，如图．∵菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴CH =32AB =43，AH =BH =4．∵PB =3，∴HP =1．在Rt △CHP 中，CP =22(43)1 =7．∵梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点A ′，∴点A ′在以P 点为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点A ′在PC 上时，CA ′的值最小，∴∠APQ =∠CPQ ，而CD ∥AB ，∴∠APQ =∠CQP ，∴∠CQP =∠CPQ ，∴CQ =CP =7．故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质．解答本题的关键是确定A ′在PC 上时CA ′的长度最小．2．如图，菱形ABCD 边长为4，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 的最小值是（）A ．3B 3C ．72D ．3【答案】C 【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M 为圆心、AD 为直径的圆上的弧AD 上运动，当A′C 取最小值时，由两点之间线段最短知此时M 、A′、C 三点共线，得出A′的位置，过点M 作MH ⊥DC 于点H ，再利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC 的长，进而求出A′C 的长即可．【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上．过点M 作MH ⊥DC 于点H ，∵在边长为4的菱形ABCD 中，∠MAN=60°，M 为AD 的中点，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=12MD=1，∴HM=22DM DH -=3，CH=CD+DH=5，∴2227MC CH MH =+=，∴A′C=MC-MA′=27-2；故选：C ．【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置．3．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且EAB EBC ∠=∠．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD PE +的最小值为（）29A ．2132-B ．452C ．432D ．2152【答案】A 【分析】先证明90AEB ∠=︒，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD PF =，则有：PE PD PE PF +=+，则线段EF 的长即为PE PD +的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC ∠=︒，∴90ABE EBC ∠+∠=︒，∵EAB EBC ∠=∠，∴90EAB EBA ∠+∠=︒，∴90AEB ∠=︒，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD PF =，则有：PE PD PE PF +=+，则线段EF 的长即为PE PD +的长度最小值，E∵90G ∠=︒，4FG BG AB ===，∴6OG =，2OA OB OE ===，∴22213OF FG OG =+=，二、填空题4．（2022·广东汕头·一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC 边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．31∴BF =BD －DF =353-，故答案为：353-．【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F 点运动轨迹是解题关键．5．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 是BC 的中点，E 为AB 上一动点，点B 关于DE 的对称点B '在△ABC 内（不含△ABC 的边上），则BE 长的范围为．【答案】9552BE <<【分析】首先根据运动特点分析出点B '的运动轨迹在以D 为圆心，BD 为半径的圆弧上，然后分点B '恰好落在AB 边上和点B '恰好落在AC 边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下BE 的长度，从而得出结论．【详解】解：∵点B 与B '关于DE 对称，∴BD B D '=，则点B '的运动轨迹在以D 为圆心，BD 为半径的圆弧上，①如图所示，当点B '恰好落在AB 边上时，此时，连接AD 和DE ，由题意及“三线合一”知，AD BD ⊥，132BD BC ==，∴在Rt ABD 中，2222534AD AB BD =-=-=，此时，根据对称的性质，DE AB ⊥，∴由等面积法，1122AB DE AD BD = ，∴125DE =，在Rt BDE 中，2295BE BD DE =-=；②如图所示，当点B '恰好落在AC 边上时，连接AD 、DE 、BB '和DB '，由题意，BD DB DC '==，22综上，BE长的范围为9 5 <故答案为：95 52BE<<．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动点的运动6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB'F，连接B'D，则B'D的最小值是．33【详解】如图所示点B '在以E 为圆心EA 为半径的圆上运动，当D 、B '、E 共线时，B 'D 的值最小，根据折叠的性质，△EBF ≌△EB 'F ，∴∠B =∠EB 'F ，EB '=EB ．∵E 是AB 边的中点，AB =4，∴AE =EB '=2．∵AD =6，∴DE 2262=+=210，∴B 'D =210-2．故答案为210-2．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B '在何位置时，B 'D 的值最小是解决问题的关键．7．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，矩形ABCD ，4AB =，8BC =，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足12APB AGB ∠=∠，则DP 的最小值．【答案】21022-【分析】由题意可知，90AGB ∠=︒，可得1452APB AGB ∠=∠=︒，可知点P 在以AB 为弦，圆周角45APB ∠=︒的圆上，（要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧），设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ AD ⊥，可知AOB 为等腰直角三角形，求得2222OA AB OP ===，222AQ OQ OA ===，6QD AD AQ =-=，22210OD OQ QD =+=，再由三角形三边关系可得：21022DP OD OP ≥-=-，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH GH =，且EF BG⊥∵E 为AB 中点，则EH 为ABG 的中位线，∴EH AG ∥，∴90AGB ∠=︒，∵12APB AGB∠=∠，即1452APB AGB∠=∠=︒，∴点P在以AB为弦，圆周角45APB∠=︒的圆上，（要使DP设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．35【答案】（1）见解析；（2）103【分析】（1）根据题意可得∠B ＝∠C ＝90°，∠AFB ＝∠FEC ，即可得出结论；（2）取AE 的中点O ，连接OD 、OF ，根据∠AFE ＝∠ADE ＝90°，得出A 、D 、E 、F 四点共圆，当⊙O 与BC 相切时，∠AFD 的值最大，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∵∠AFE ＝90°，∴∠AFB +∠EFC ＝90°，∵∠EFC +∠FEC ＝90°，∴∠AFB ＝∠FEC ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）取AE 的中点O ，连接OD 、OF ．∵∠AFE ＝∠ADE ＝90°，∴OA ＝OD ＝OE ＝OF ，∴A 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠AED ＝∠AFD ，∴当⊙O 与BC 相切时，∠AFD 的值最大，∴BF ＝CF ＝4，∵△ABF ∽△FCE ，∴AB BF FC EC，9．（2022·天津河东·二模）已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形OABC ，M 为线段OC 上的动点，将AOM 沿直线AM 对折，使O 点落在O '处．(1)如图①，当30OAM ∠=︒时，求点O '的坐标；(2)如图②，连接'CO ，当CO AM '∥时．①求点M 的坐标；②连接OB ，求AO M '△与AOB 重叠部分的面积；(3)当点M 在线段OC （不包括端点）上运动时，请直接写出线段O C '的取值范围．37于,Q 当,Q O ¢重合时，'CO 取得最小值，从而可得答案．【详解】（1）解：如图，连接,OO ¢交AM 于,Q 过O '作O N OC ¢^于,N 由对折可得：6,,30,AO AO OM O M OAM O AM ⅱ===Ð=°=Ð,,OO AM OQ O Q ⅱ\^=60,OAO OAO ⅱ\Ð=°V 是等边三角形，6,OO AO ¢\==90,AOM Ð=°Q 903060,OMQ \Ð=°-°=°AM OO ¢^Q ，30,O ON ¢\Ð=°333,ON Q N ¢\==()33,3.O ¢\（2）①,AM O C ¢∥Q ,,AMO MCO AMO MO C ⅱ\�行=而,AMO AMO ¢Ð=Ð,MO C MCO ¢\Ð=Ð,MO MC ¢\=3,OM O M CM ¢\===()3,0.M \②如图，连接,OB 交AM 于,Q 交AO '于,P 过Q 作,QD OA ∥交AO '于,D 过O E OC '⊥于,E 由①得：tan 2tan ,AO O E AMO O CE OM CE∠===∠'='当,Q O ¢重合时，'CO 取得最小值，此时226662,6,AC AQ AO =+===39626,CO ¢\=-所以'CO 的取值范围为：626 6.CO ¢-£<【点睛】本题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数的几何应用，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图形面积问题，利用圆的基本性质求解线段长度的最小值是解本题的关键．10．（2022·重庆·三模）在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA ＝2CB ．将线段CA 绕点C 旋转得到线段CD ．(1)如图1，当点D 落在AB 的延长线上时，过点D 作DE AD ⊥交AC 的延长线于点E ，若BC ＝2，求DE 的长；(2)如图2，当点D 落在CB 的延长线上时，连接AD ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，延长CF 交AD 于点E ，连接BE ，求证：AB CE BE =+；(3)如图3，在（2）的条件下，将ACF △沿AC 翻折得到ACF '△，M 为直线AD 上一个动点．连接BM ，将BDM 沿BM 翻折得到BMD '△．当D F ''最小时，直接写出F D FF '''的值．【答案】(1)855(2)见解析(3)8558-【分析】（1）根据已知条件，先求出1tan 2A =，再由90ADE ∠=︒，AC CD =，求得4CE CD CA ===，8AE AC CE =+=，最后在Rt ADE △中，求得DE 的长．（2）过D 作DG ⊥CD 交CE 延长线于点G ，先证ACB △≌CDG ，再证BED ≌GED ，最后通过AB CG =，BE EG =，进行等量代换，得到结论．（3）过F '作F K BC '⊥交BC 延长线于点K ，以B 为圆心，BC 长为半径画圆．D ¢在以B 为圆心，BC 长为半径的圆上运动，当F '，D ¢，B 三点共线且D ¢在F B '之间时，D F ''最小．设1CB =，通过解直角三角形，运用翻折性质，求得F D FF '''的值．41∵CAB GCD AC CD ACB CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ACB △≌CDG （ASA ）．∴CB DG =，∵CB =BD ，∴BD DG =．∵DG ⊥CD ，∴90CDG ∠=︒，∵ACD 是等腰直角三角形，∴45CDA ∠=︒，∴45EDG EDB ∠=∠=︒．在BED 与GED 中，∵BD GD BDE GDE ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BED ≌GED （SAS ）．∴BE EG =，∴CE BE CE EG CG +=+=．∵ACB △≌CDG ，∴AB CG =，∴AB CE BE =+．（3）如图，过F '作F K BC '⊥交BC 延长线于点K ，以B 为圆心，BC 长为半径画圆，由题意得，D ¢在以B 为圆心，BC 长为半径的圆上运动，当F '，D ¢，B 三点共线且D ¢在F B '之间时，D F ''最小．设1CB =，43∵8555F D -''=，∴8558F D FF ''-='．【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质运用，以及翻折的性质，综合运用以上性质，合理作相应辅助线是解题的关键．题型三：翻折与二次函数1．（21-22九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c =-+经过()2,0A -，()0,4C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是第一象限抛物线上一动点，连接CP ，CP 的延长线与x 轴交于点Q ，过点P 作PE y ⊥轴于点E ，以PE 为轴，翻折直线CP ，与抛物线相交于另一点R ．设P 点横坐标为t ，R 点横坐标为s ，求出s 与t 的函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，连接RC ，点G 在RP 上，且RG RC =，连接CG ，若45OCG ∠=︒，求点Q 坐标．【答案】(1)2142y x x =-++(2)24s t =-+(3)(8,0)【分析】（1）利用待定系数法即可求得结论．（2）由已知条件得出点P 的坐标，则PE ，OE 的长度可得，利用点C 的坐标可得线段OC 的长度；根据对称性可得EF 的长度；设PR 交y 轴于点F ，过点R 作RH y ⊥轴于点H ，通过证明PEF RHF ∽，得出比例式，将线段的长度代入化简即可得出结论．（3）根据等腰三角形的性质，可得RCG RGC ∠=∠，利用三角形的外角的性质可得RCH GPE ∠=∠，通过证明RCH CEP ∽，得到比例式，将线段的长度代入即可得到1111122s t ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用（2）中结论，将24s t =-+代入上式即可求得t 值，进而点P 的坐标可得，可求出直线CP 的解析式，进而可求得答案．【详解】（1）∵抛物线22y ax ax c =-+经过()2,0A -，()0,4C 两点，∴4404a a c c ++=⎧⎨=⎩根据题意得：212EF CE t ==-∴2142OF OE EF t t =-=-++-∵点R 的横坐标为s ，∴点R 的坐标为21,42s s s ⎛⎫-++ ⎪45∴12FH st s =-+．∴2211222st s t t s s -+=-++-，即222440t ts s s t --+-=．∴()()()240t s t s t s +---=．∴()()240t s t s -+-=．∵t s ≠，∴240t s +-=．∴s 与t 的函数关系式为：24s t =-+．（3）∵RG RC =，∴RCG RGC ∠=∠．∵45RCG RCH OCG RCH ∠=∠+∠=︒+∠，RGC GCP GPE CPE ∠=∠+∠+∠，∴45RCH GCP GPE CPE ︒+∠=∠+∠+∠．如图所示，设CG 与EP 交于点I ．∵45OCG ∠=︒，PE CE ⊥，∴45EIC ∠=︒．∵45EIC GCP CPE ∠=∠+∠=︒，∴4545RCH GPE ︒+∠=︒+∠．∴RCH GPE ∠=∠．∵GPE CPE ∠=∠，∴RCH CPE ∠=∠．∵90RHC CEP ∠=∠=︒，∴RCH CEP ∽．∴RH CH CE PE=．∴22144212s s s t t t +---=-．2．（2023·天津河西·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x bx c =++与x 轴交于()30A -,，()4,0B 两点，在y 轴正半轴上有一点C ，OC OB =．点D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点，且均不与端点重合．。

2022年河南省中考数学一轮复习课件：专题四几何图形的折叠与动点问题

连接 CE,DF,相交于点 G,连接 AG.若正方形的边长为 2,则线段 AG 的最小值
为
.
7.如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=3,P 是矩形 ABCD 内一动点,且 S△ PAB=2S△ PCD,
则 PC+PD 的最小值为 .
落在 AB 边上,使△ BEF 为直角三角形,则 BF 的长度为

或4

.
思路点拨
当∠EFB=90°时, 当∠FEB=90°时,
D,F,B 三点共线, 四边形 CEFD 为正方形
且点 D 与点 A 重合
↓
翻折的性质
△ BEF∽△BCA
求得 AF 的长
↓
比例的性质
在 Rt△ ACB 中
↓
求得 BE 的长
5.(2020·金水区模拟)如图所示,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,E 为 BC 边上不与端
点重合的一动点,连接 AE,并将△ ABE 沿直线 AE 翻折,得点 B 的对应点 F,连接
CF.若△ CEF 为直角三角形,则 BE 的长度为或 − .
类型 4:动点与最值
6.(2021·铜仁)如图,E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB,BC 上的动点,满足 AE=BF,
突破一选填题重难点
专题四几何图形的折叠与动点问题
类型1
类型2
C
目录
ONTENTS
类型3
类型4
专题训练
【专题解读】
几何图形的折叠与动点问题是河南中考选填问题中的必考题,由于其难度
较大,故一般安排在选填的压轴位置,其考查的主要类型有以下几种:①矩形的
折叠与动点相结合,求线段的长度;②特殊四边形或三角形与动点相结合,判定

河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练

专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图.∠MAN＝90°.点C在边AM上.AC＝4.点B为边AN上一动点.连接BC.△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D.E分别为AC.BC的中点.连接DE并延长交A′B所在直线于点F.连接A′E.当△A′EF为直角三角形时.AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①∠A′EF＝90°.②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时.如解图①.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴A′C＝AC＝4.∠ACB＝∠A′CB.∵点D.E分别为AC.BC的中点.∴D、E是△ABC的中位线.∴DE∥AB.∴∠CDE＝∠MAN＝90°.∴∠CDE＝∠A′EF.∴AC∥A′E.∴∠ACB＝∠A′EC.∴∠A′CB＝∠A′EC.∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中.∵E是斜边BC的中点.∴BC＝2A′E＝8.由勾股定理.得AB2＝BC2－AC2.∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时.如解图②.∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴∠ABC＝∠CBA′＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.∴AB＝AC＝4；综上所述.AB的长为43或4.图①图②1．如图.四边形ABCD是菱形.AB＝2.∠ABC＝30°.点E是射线DA上一动点.把△CDE沿CE折叠.其中点D 的对应点为D′.连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形.则DE＝________________.2．如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝4.E、F分别为AB、AC上的点.沿直线EF将∠B折叠.使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时.BE的长为______．3．(2017·河南)如图.在Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝AC.BC＝2＋1.点M.N分别是边BC.AB上的动点.沿MN所在的直线折叠∠B.使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形.则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4.∠DAB＝60°.点M、N分别在边AD、AB上.且MN⊥AC.垂足为P.把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形.则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝3.点D是BC上一动点.连接AD.将△ACD沿AD折叠.点C落在点C′.连接C′D交AB于点E.连接BC′.当△BC′D是直角三角形时.DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图.已知Rt△ABC中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC＝23＋4.点M、N分别在线段AC、AB 上．将△ANM沿直线MN折叠.使点A的对应点D恰好落在线段BC上.当△DCM为直角三角形时.折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.BC＝2 3.AC＝2.点D是BC的中点.点E是边AB上一动点.沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置.B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形.则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中.AB ＝5.AC ＝8.点P 是对角线AC 上的一个动点.过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E.交AB 于点F.将△AEF 折叠.使点A 落在点A′处.当△A′CD 为等腰三角形时.AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图.在Rt△ABC 中.∠C＝90°.AC ＝3.BC ＝4.点D.E 为AC.BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠.点C 的对应点C′恰好落在AB 上.且△ADC′恰好为直角三角形.则此时CD 的长为__________．类型二点的位置不确定(2016·河南)如图.已知AD∥BC .AB⊥BC .AB ＝3.点E 为射线BC 上一个动点.连接AE.将△ABE 沿AE折叠.点B 落在点B′处.过点B′作AD 的垂线.分别交AD.BC 于点M.N.当点B′为线段MN 的三等分点时.BE 的长为________．【分析】根据勾股定理.可得EB′.根据相似三角形的性质.可得EN 的长.根据勾股定理.可得答案．【自主解答】由翻折的性质.得AB ＝AB′.BE ＝B′E.①当MB′＝2.B′N＝1时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋1.由△B′EN～△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 2＝x 2＋13.x 2＝45.BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1.B′N＝2时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋22.△B′EN∽△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 1＝x 2＋43.解得x 2＝12.BE ＝B′E＝12＋4＝322.故答案为：322或355.1．如图.正方形ABCD 的边长为9.将正方形折叠.使D 点落在BC 边上的点E 处.折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点.则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中.AB＝4.BC＝9.点E是AD边上一动点.将边AB沿BE折叠.点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图.矩形ABCD中.AD＝5.AB＝7.点E为DC上一个动点.把△ADE沿AE折叠.当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时.DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图.在矩形ABCD中.AD＝5.AB＝8.点E为射线DC上一个动点.把△ADE沿直线AE 折叠.当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时.则DE的长为__________．5．如图.在矩形ABCD中.BC＝6.CD＝8.点P是AB上(不含端点A.B)任意一点.把△PBC沿PC折叠.当点B 的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时.BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图.△ABC中.AB＝ 5.AC＝5.tan A＝2.D是BC中点.点P是AC上一个动点.将△BPD 沿PD折叠.折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半.则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中.AB＝6.BC＝12.点E在边BC上.且BE＝2CE.将矩形沿过点E的直线折叠.点C.D的对应点分别为C′.D′.折痕与边AD交于点 F.当点 B.C′.D′恰好在同一直线上时.AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图.在矩形纸片ABCD中.AB＝2.AD＝3.点E是AB的中点.点F是AD边上的一个动点.将△AEF沿EF所在直线翻折.得到△A′EF.则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.根据折叠的性质可知A′E＝1.在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度.用CE－A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝12AB＝1.在Rt△BCE中.BE＝12AB＝1.BC＝3.∠B＝90°.∴CE＝BE2＋BC2＝10.∴A′C的最小值＝CE－A′E＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图.在边长为10的等边三角形△ABC中.D是AB边上的动点.E是AC边的中点.将△ADE 沿DE翻折得到△A′DE.连接BA′.则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD中.AD＝12.E是AB边上的点.AE＝5.点P在AD边上.将△AEP沿EP折叠.使得点A落在点A′的位置.如图.当A′与点D的距离最短时.△A′PD的面积为________．3．如图.在边长为4的正方形ABCD中.E为AB边的中点.F是BC边上的动点.将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F.连接B′D.则当B′D取得最小值时.tan∠BEF的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝4.BC＝6.点D是边BC的中点.点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合).沿DE翻折△DBE使点B落在点F处.连接AF.则线段AF的长取最小值时.BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E在边AD上时.过点E作EF⊥CD于F.如解图①.设CF＝x.第1题解图①∵∠ABC＝30°.∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形.∴∠DCD′＝90°.由折叠可知.∠ECD＝∠D′CE＝45°.∵EF＝CF＝x.在直角三角形DEF中.∠D＝30°.∴DE＝2x.∴DF＝3x.∴CD＝CF＋DF＝x＋3x＝2.解得x＝3x－1.∴DE＝2x＝23－2.(2)当E在DA的延长线上时.如解图②.第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F.根据折叠可知.∠ED′C＝∠D＝30°.又∵三角形BD′C是等边三角形.∴D′E垂直平分BC.∵AD∥BC.∴D′E⊥AD.∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°.又∵AB＝2.∴AF＝ 3.令D′E与BC的交点为G.则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1.∴AE＝3－1.∴DE＝3＋1.综上所述.DE 的长度为3＋1或23－2. 2.158或157【解析】在Rt△ABC 中.∵∠C＝90°.AB ＝5.AC ＝4.∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠.使点B 恰好落在BC 上的D 处.当△ADE 恰好为直角三角形时.根据折叠的性质：BE ＝DE.设BE ＝x.则DE ＝x.AE ＝5－x.①当∠ADE＝90°时.则DE∥BC .∴DE CB ＝AE AB .∴x 3＝5－x 5.解得x ＝158；②当∠AED＝90°时.则△AED∽△ACB .∴DE BC＝AE AC .∴x 3＝5－x 4.解得x ＝157.故所求BE 的长度为：158或157. 3.122＋12或1 【解析】①如解图①.当∠B′MC＝90°.B′与A 重合.M 是BC 的中点.∴BM＝12BC ＝122＋12；②如解图②.当∠MB′C＝90°.∵∠A＝90°.AB ＝AC.∴∠C＝45°.∴△CMB′是等腰直角三角形.∴CM＝2MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B.使点B 的对应点为B′.∴BM＝B′M .∴CM＝2BM.∵BC＝2＋1.∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1.∴BM＝1.综上所述.若△MB′C 为直角三角形.则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①.当A′D＝A′C 时.∠A′DC＝∠A′CD＝30°.∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°.∴∠ADA′＝90°.在Rt△ADA′中.AA′＝AD cos 30°＝432＝833.由折叠可得AP ＝12AA′＝433；图①图②第4题解图②如解图②.当CD ＝CA′＝4时.连接BD 交AC 于O.则Rt△COD 中.CO ＝CD×cos 30°＝4×32＝2 3.∴AC ＝4 3.∴AA′＝AC －A′C＝43－4.由折叠可得AP ＝12AA′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示.点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中.BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE.则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x.则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中.DE 2＋BE 2＝DB 2.即x 2＋22＝(4－x)2.解得x ＝32.∴DE＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′.∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D ＝∠CDC′＝90°.∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′.∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC .∴△BDE∽△BCA.∴DE AC ＝DB CB ＝14.即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动.∠DBC′＜90°.故∠DBC′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或 6 【解析】分两种情况：①如解图①.当∠CDM＝90°.△CDM 是直角三角形.∵在Rt△ABC 中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC ＝23＋4.∴∠C＝30°.AB ＝12AC ＝3＋2.由折叠可得.∠MDN＝∠A＝60°.∴∠BDN＝30°.∴BN＝12DN ＝12AN.∴BN＝13AB ＝3＋23.∴AN＝2BN ＝233＋43.∵∠DNB＝60°.∴∠ANM ＝∠DNM＝60°.∴∠ANM＝60°.∴AN＝MN ＝23＋43.②如解图②.当∠CMD＝90°时.△CDM 是直角三角形.由题可得∠CDM＝60°.∠A＝∠MDN＝60°.∴∠BDN＝60°.∠BND＝30°.∴BD＝12DN ＝12AN.BN ＝3BD.又∵AB＝3＋2.∴AN＝2.BN ＝ 3.过N 作NH⊥AM 于H.则∠ANH＝30°.∴AH＝12AN ＝1.HN ＝ 3.由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°.∴△MNH 是等腰直角三角形.∴HM＝HN ＝ 3.∴MN＝ 6.故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C＝90°.BC ＝2 3.AC ＝2.∴tan B＝AC BC ＝223＝33.∴∠B＝30°.∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点.沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置.B′D 交AB 于点F.∴DB＝DC ＝ 3.EB′＝EB.∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x.则BE ＝4－x.EB′＝4－x.当∠AFB′＝90°时.在Rt△BDF 中.cos B ＝BF BD .∴BF＝3cos 30°＝32.∴EF＝32－(4－x)＝x －52.在Rt△B′EF 中.∵∠EB′F＝30°.∴EB′＝2EF. 则4－x ＝2(x －52).解得x ＝3.此时AE 为3；第7题解图当∠FB′A＝90°时.作EH⊥AB′于H.连接AD.如解图.∵DC＝DB′.AD ＝AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC .∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°.∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中.B′H＝12B ′E ＝12(4－x).EH ＝3B′H＝32(4－x).在Rt△AEH 中.∵EH 2＋AH 2＝AE 2.∴34(4－x)2＋[12(4－x)＋2]2＝x 2.解得x ＝145.此时AE 为145.综上所述.AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形.∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5.∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′.∴∠EPA＝∠FPA′＝90°.∴∠EAP＋∠AEP＝90°.∠FAP＋∠AFP＝90°.∴∠AEP＝∠AFP .∴AE＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折.∴AE＝EA′.AF ＝FA′.∴AE＝EA′＝A′F＝FA.∴四边形AEA′F 是菱形.∴AP＝PA′.①当CD＝CA′时.∵AA′＝AC －CA′＝3.∴AP ＝12AA′＝32.②当A′C ＝A′D 时.∵∠A′CD ＝∠A′DC ＝∠DAC .∴△A′CD∽△DAC.∴A′C AD ＝DC AC .∴A′C＝258.∴AA′＝8－258＝398.∴AP＝12AA′＝3916.故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①.当∠ADC′＝90°时.∠ADC′＝∠C .第9题解图①∴DC′∥CB .∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3.BC ＝4.∴AD DC′＝34.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝34.解得x ＝127.经检验：x ＝127是所列方程的解.∴CD＝127；②如解图②.当∠DC′A＝90°时.∠DCB＝90°.第9题解图②由折叠可得.∠C ＝∠DC′E ＝90°.∴C′B 与CE 重合.由∠C ＝∠AC′D ＝90°.∠A ＝∠A .可得△ADC′∽△ABC .在Rt △ABC 中.AB ＝5.∴AD C′D ＝AB CB ＝54.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝54.解得x ＝43.∴CD＝43.综上所述.CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x.则DH ＝EH ＝9－x.当BE∶EC＝2∶1时.BC ＝9.∴CE＝13BC ＝3.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝32＋x 2.解得x ＝4.即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时.CE ＝23BC ＝6.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝62＋x 2.解得：x ＝52.即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图.过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N.则四边形ABNM 是矩形.∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.∴A′M＝1.A′N＝3或A′M＝3.A′N＝1.①当A′M＝1.A′N ＝3时.在Rt△BA′N 中.BN ＝42－32＝7.∴AM ＝BN ＝7.由△A′EM～△BA′N .∴EM A′N ＝A′M BN .∴EM 3＝17.∴EM＝377.∴AE＝477；②当A′M＝3.A′N＝1时.同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图.连接BD′.过D′作MN⊥AB .交AB 于点M.CD 于点N.作D′P⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上.∴MD′＝PD′.设MD′＝x.则PD′＝BM ＝x.∴AM＝AB －BM ＝7－x.又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5.∴x 2＋(7－x)2＝25.解得x ＝3或4.即MD′＝3或4.在Rt△END′中.设ED′＝a.①当MD′＝3时.AM ＝7－3＝4.D′N＝5－3＝2.EN ＝4－a.∴a 2＝22＋(4－a)2.解得a ＝52.即DE ＝52；②当MD′＝4时.AM ＝7－4＝3.D′N＝5－4＝1.EN ＝3－a.∴a 2＝12＋(3－a)2.解得a ＝53.即DE ＝53.综上所述.DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①.当点F 在矩形内部时.∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上.∴AN ＝4.∵AF＝AD ＝5.由勾股定理得FN ＝3.∴FM＝2.设DE 为x.则EM ＝4－x.FE ＝x.在△EMF 中.由勾股定理.得x 2＝(4－x)2＋22.∴x＝52.即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②.当点F 在矩形外部时.同①的方法可得FN ＝3.∴FM＝8.设DE 为y.则EM ＝y －4.FE ＝y.在△EMF 中.由勾股定理.得y 2＝(y －4)2＋82.∴y＝10.即DE 的长为10.综上所述.点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时.DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上.如解图①.∵在矩形ABCD 中.AB ＝8.BC ＝6∴∠ABC＝90°.AC ＝BD.∴AC＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质.得PC⊥BB′.∴∠PBD＝∠BCP .∴△BCP∽△ABD .∴BP AD ＝BC AB.即BP 6＝68.解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上.如解图②.根据折叠的性质.得BP ＝B′P .∠B＝∠PB′C ＝90°.∴∠AB′A＝90°.∴△APB′∽△ACB .∴B′P BC ＝AP AC .即BP 6＝8－BP 10.解得BP ＝3.故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－ 5 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时.如解图①.∵D 是BC 中点.∴S △BPD ＝S △PDC .∵S △PDF ＝12S △BPD .∴S △PDF ＝12S △PDC .∴F 是PC 的中点.∴DF 是△BPC 的中位线.∴DF∥BP .∴∠BPD＝∠PDF .由折叠得：∠BPD＝∠B′PD .∴∠B′PD＝∠PDF .∴PB′＝B′D .即PB ＝BD.过B 作BE⊥AC 于E.在Rt△ABE中.tan A ＝BE AE＝2.∵AB＝ 5.∴AE＝1.BE ＝2.∴EC＝5－1＝4.由勾股定理.得BC ＝BE 2＋EC 2＝22＋42＝2 5.∵D 为BC 的中点.∴BD＝ 5.∴PB＝BD ＝ 5.在Rt△BPE 中.PE ＝1.∴AP＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC 的上方时.如解图②.连接B′C .同理得：F 是DC 的中点.F 是PB′的中点.∴DF＝FC.PF ＝FB′.∴四边形DPCB′是平行四边形.∴PC＝B′D＝BD＝ 5.∴AP＝5－ 5.综上所述.AP的长为2或5－5.7．8＋23或8－2 3 【解析】由折叠的性质得.∠EC′D′＝∠C＝90°.C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上.∴∠BC′E＝90°.∵BC＝12.BE＝2CE.∴BE＝8.C′E＝CE＝4.在Rt△BC′E中.BE C′E＝2.∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时.如解图①.过E作EG⊥AD于G.延长EC′交AD于H.则四边形ABEG是矩形.∴EG＝AB＝6.AG＝BE＝8.∵∠C′BE＝30°.∠BC′E＝90°.∴∠BEC′＝60°.由折叠的性质得.∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC.∴∠HFE＝∠CEF＝60°.∴△EFH是等边三角形.∴在Rt△EFG 中.EG＝6.∴GF＝23.∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时.如解图②.过F作FG⊥AD于G.D′F交BE于H.同①可得.四边形ABGF是矩形.△EFH是等边三角形.∴AF＝BG.FG＝AB＝6.∠FEH＝60°.在Rt△EFG 中.GE＝23.∵BE＝8.∴BG＝8－2 3.∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图.连接BE.第1题解图∵AB＝BC＝AC＝10.∴∠C＝60°.∵AB＝BC.E是AC的中点.∴BE⊥AC.∴BE＝BC2－EC2＝102－52＝53.∵AC＝10.E是AC边的中点.∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE.∴当点B、A′、E在一条直线上时.BA′有最小值.最小值＝BE－A′E＝53－5.2.403【解析】连接DE.DE＝52＋122＝13.∵将△AEP沿FP折叠.使得点A落在点A′的位置.∴EA′＝EA＝5.∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时.取等号).∴当A′与点D 的距离最短时.A′点在DE 上.∴DA′＝13－5＝8.设PA′＝x.则PA ＝x.PD ＝12－x.在Rt△DPA′中.x 2＋82＝(12－x)2.解得x ＝103.∴△A′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt△ADE 中.DE ＝22＋42＝2 5.当B′在ED 上时.B′D 最小.在ED 上截取EB′＝EB ＝2.连接B′F .FD.则B′D＝ED －EB′＝25－2.设BF ＝x.则B′F＝x.CF ＝4－x.在Rt△B′FD 和Rt△FCD 中.利用勾股定理.可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2.即(25－2)2＋x 2＝(4－x)2＋42.解得x ＝5＋1.∴Rt△BEF 中.tan∠BEF＝BF BE ＝1＋52.第3题解图4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB.第4题解图∴点F 在以D 为圆心.BD 为半径的圆上.作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F.此时AF 值最小.∵点D 是边BC 的中点.∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4.由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2.∴AD＝5.而FD ＝3.∴FA＝5－3＝2.即线段AF长的最小值是2.连接BF.过F 作FH⊥BC 于H.∵∠ACB＝90°.∴FH∥AC .∴△DFH∽△DAC .∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC.即35＝DH 3＝HF 4.∴HF＝125.DH ＝95.∴BH＝245.∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255.。

河南省2021年中考数学总复习课件：专题三几何图形的折叠与动点问题(共18张PPT)

4．如图，菱形ABCD的边长为10，∠BAD＝60°，点P是对角线AC上一动点，连接DP，BP，当△ADP是直角三角形时，AP 的长为__________．
∴EM＝ 1 BF，∠B′MF＝∠B′FM， ∴B′M＝2 B′F.
设BF＝x，则B′M＝B′F＝BF＝x，EM＝ 1 x，EB′＝ 3 x.
2
2
在Rt△AEB′中，根据勾股定理得32＋( 3 x)2＝62，
பைடு நூலகம்
2
解得x＝2 3 ，即BF＝2 3 .
当B′在竖对称轴上时，此时AM＝MD＝BN＝CN＝4，如图2所示．设BF＝x，B′N＝y，则FN＝4－x.
类型二特殊图形边或角不确定这类题型一般考查折叠中直角三角形、等腰三角形等
特殊图形的判定，由于边或角不确定，针对此类问题，关键在于画出所有符合题意的图形，联系已知条件结合图形特点，找出隐含的折叠前后的图形中线段、角的位置关系和数量关系，建立方程模型或函数模型进行求解，注意多种情况分类讨论．
①当A′C＝CD时，A′C＝5，AA′＝AC－A′C＝8－5＝3，
∴AP＝
1 2
AA′＝
3 2
.
②当A′D＝A′C时，∠A′DC＝∠A′CD＝∠BCA＝∠BAC，
∴△A′CD∽△BAC，
3．(2017·焦作模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝ 5，BC＝3，D是边AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E⊥AC时，A′B＝_________.
类型一点的位置不确定这类问题通常考查线段长度的计算，由于折叠中的点的
位置不确定，解决此类问题一般运用三角形全等、直角三角形、相似三角形等知识及方程思想，设一条边的长为x，再用含x的代数式来表示其他的边，最后设法用勾股定理或相似性质来求线段的长度，注意一般涉及多种情况要分类讨论．

2020中考数学结合压轴专题：折叠问题与动点问题(含答案)

2020中考数学结合压轴专题：折叠问题与动点问题（含答案）1.如图①，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图②，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N.若AD=2，则MN=_____ .第1题图132.边长为4的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在直线上的C′处，得到经过点D的折痕DE，则CE＝________．43－43.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，将∠ABE沿着BE翻折得到∠FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝16，BC＝24，则BH＝_______．第2题图第3题图7584.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将∠ABE沿BE折叠后得到∠GBE，延长BG交CD于点F，若CF＝1，FD＝2，则BC 的长为________．第4题图第4题解图265.如图，在∠ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB＝75°，BD＝4，将∠ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为E，连接BE 与OA交于点F，则OF的长度为______．第5题图6－226.如图①，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C.(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)如图②，M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM.①若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；②若CM＝3，CN＝4，求BC的长．第题图(1)证明：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．(2)解：如解图①中，延长CM、BA交于点E.第6题解图①∵AN ＝BN ＝2， ∴AB ＝ CD ＝4， ∵AE ∥DC ， ∴∠E ＝∠MCD ，在△AEM 和△DCM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠E ＝∠MCD ∠AME ＝∠DMC AM ＝DM， ∴△AME ≌△DMC ， ∴AE ＝CD ＝4，∵∠BNC ＝2∠DCM ＝∠NCD ， ∴∠NCE ＝∠ECD ＝∠E ， ∴CN ＝EN ＝AE ＋AN ＝ 4＋2＝ 6. ②如解图②中，延长CM 、BA 交于点E .第6题解图②由①可知，△EAM ≌△CDM ，EN ＝CN ， ∴EM ＝ CM ＝ 3，EN ＝ CN ＝ 4，设BN ＝ x ，则BC 2＝ CN 2－BN 2＝ CE 2－EB 2， ∴42－x 2＝62－(x ＋4)2， ∴x ＝12，∴BC ＝CN 2－BN 2＝42－（12）2＝ 372.7. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点(点D 不与B 、C 重合)，以AD为边作等边△ADE (顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列)，连接CE .(1)如图①，当点D 在边BC 上时，求证：①BD ＝CE ，②AC ＝CE ＋CD ；第7题图(2)如图②，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CE ＋CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点D 在边BC 的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系．(1)证明：①∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AE ， ∠BAC ＝ ∠DAE ＝ 60°，∴∠BAC －∠CAD ＝∠DAE －∠CAD ，即∠BAD ＝ ∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝ ∠CAE AD ＝AE， ∴△ABD ≌△ACE (SAS)， ∴BD ＝CE ；②∵BC ＝BD ＋CD ，AC ＝BC ，BD ＝CE ， ∴AC ＝CE ＋CD ；(2)解：AC ＝CE ＋CD 不成立，AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是：AC ＝CE －CD . 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AE ， ∠BAC ＝∠DAE ＝60°，∴∠BAC ＋∠CAD ＝ ∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝ ∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE， ∴△ABD ≌△ACE (SAS)， ∴BD ＝CE ， ∵BC ＝BD －CD ， ∴BC ＝CE －CD ， ∵AC ＝BC ， ∴AC ＝CE －CD ；(3)解：补全图形如解图，第7题解图AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC＝CD－CE.8.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G.(1)求证：△CDE≌△CBF；(2)当DE＝12时，求CG的长；(3)连接AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．第8题图(1)证明：如解图，在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠CBA＝∠CBF＝∠DCB ＝90°，第8题解图∴∠1＋∠2＝ 90°， ∵CF ⊥CE ， ∴∠2＋∠3＝ 90°， ∴∠1＝ ∠3，在△CDE 和△CBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝ ∠CBF DC ＝BC ∠1＝ ∠3， ∴△CDE ≌△CBF (ASA);(2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴△GBF ∽△EAF ， ∴BG AE ＝ BFAF，由(1)知，△CDE ≌△CBF ， ∴BF ＝ DE ＝ 12，∵正方形的边长为1， ∴AF ＝AB ＋BF ＝ 32，AE ＝AD －DE ＝ 12，∴BG 12＝1232， ∴BG ＝16，∴CG ＝BC －BG ＝ 56；(3)解：不能．理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ，∴AD－AE＝BC－CG，∴DE＝BG，由(1)知，△CDE≌△CBF，∴DE＝BF，CE＝CF，∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，∴∠GFB＝45°，∠CFE＝45°，∴∠CF A＝∠GFB＋∠CFE＝90°，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．9.如图，已知△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.连接PQ，设运动的时间为t(单位：s)(0≤t≤4)．第9题图(1)当t为何值时，PQ∥BC；(2)设△AQP的面积为S(单位：cm2)，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；(3)是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知BP＝2t，AP＝10－2t，AQ＝2t，∵PQ∥BC，∴△APQ ∽△ABC ， ∴AP AB ＝AQ AC，即10－2t 10＝2t 8，解得t ＝209，即当t 为209s 时，PQ ∥BC ；(2)∵AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴∠C ＝90°，如解图，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，第9题解图则PD ∥BC ， ∴△APD ∽△ABC ， ∴AP AB ＝PD BC， ∴10－2t 10＝PD6， ∴PD ＝35(10－2t )，∴S ＝12AQ ·PD ＝12 ·2t ·35(10－2t )＝－65t 2＋6t ＝－65(t －52)2＋7.5，∵－65<0，抛物线开口向下，有最大值，∴当t ＝52 秒时，S 有最大值，最大值是7.5 cm 2；(3)不存在．理由如下：假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则S △AQP ＝12S △ABC ，即－65t 2＋6t ＝12×12×8×6，整理得t 2－5t ＋10＝0，∵b 2－4ac ＝(－5)2－4×10＝－15<0， ∴此方程无解，即不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．10. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝ 6 cm ，BC ＝ 8 cm ，对角线AC ，BD 交于点O .点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为 1 cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF ∥AC ，交BD 于点F .设运动时间为t (s)(0<t <6)，解答下列问题：(1)当t 为何值时，AP ＝ PO ；(2)设五边形OECQF 的面积为S (cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．第10题图解：(1)∵在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，∠ABC ＝90°， ∴AC ＝10 cm ，AO ＝12AC ＝5 cm ，如解图①，过点P 作PM ⊥AO ，第10题解图①∵AP ＝PO ＝t ， ∴AM ＝12AO ＝52 cm ，∵∠PMA ＝∠ADC ＝90°， ∠P AM ＝∠CAD ， ∴△APM ∽△ACD ， ∴AP AC ＝AM AD ，即t 10＝528，解得t ＝258，即t ＝258s 时，AP ＝PO ；(2)如解图②，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，则OH ＝12CD ＝12AB ＝3 cm.由矩形的性质可知∠PDO ＝∠EBO ，DO ＝BO ，在△DOP 和△BOE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠PDO ＝∠EBOOD ＝OB∠DOP ＝∠BOE， ∴△DOP ≌△BOE (ASA)， ∴BE ＝PD ＝(8－t )cm ，则S △BOE ＝12BE ·OH ＝12×(8－t )×3＝12－32t .∵FQ ∥AC ，第10题解图②∴△DFQ ∽△DOC ，相似比为DQ DC ＝t6，∴S △DFQ S △DOC ＝t 236， ∵S △DOC ＝14S 矩形ABCD ＝14×6×8＝12 cm 2，∴S △DFQ ＝12×t 236＝t 23，∴S 五边形OECQF ＝S △DBC －S △BOE －S △DFQ ＝12×6×8－(12－32t )－t 23＝－13t 2＋32t ＋12，∴S 与t 的函数关系式为S ＝－13t 2＋32t ＋12；(3)存在．如解图③，过点D 作DM ⊥PE 于点M ，作DN ⊥AC 于点N ，易证△ADN ∽△ACD ， ∴DN CD ＝AD AC ，即DN 6＝810， ∴DN ＝245，第10题解图③∵∠POD ＝∠COD ，∴DM ＝DN ＝245，∴ON ＝OM ＝OD 2－DN 2＝75，∵S △POD ＝12OP ·DM ，S △POD ＝12×12PD ·DC ，∴OP ·DM ＝3PD ， ∴OP ＝5－58t ，∴PM ＝185－58t ，∵PD 2＝PM 2＋DM 2，即(8－t )2＝(185－58t )2＋(245)2，解得t 1＝16(不合题意，舍去)，t 2＝11239，∴当t ＝11239s 时，OD 平分∠COP .11. 已知四边形ABCD 是菱形，AB ＝ 4，∠ABC ＝ 60°，∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC相交于点E ，F ，且∠EAF ＝ 60°.(1)如图①，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出线段AE ，EF ，AF 之间的数量关系； (2)如图②，当点E 是线段CB 上任意一点时(点E 不与点B 、C 重合)，求证：BE ＝ CF ； (3)如图③，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝ 15°时，直接写出点F 到BC 的距离.第11题图(1)解：AE ＝ EF ＝ AF ；【解法提示】如解图①，连接AC ，第11题解图①∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝ 60°， ∴∠BCD ＝ 120°， ∴∠ACE ＝ ∠ACF ＝ 60°，∴AB ＝ BC ＝ AC ，即△ABC 为等边三角形，又∵∠BAC ＝ ∠1＋∠2＝ 60°， ∠EAF ＝ ∠2＋∠3＝ 60°， ∴∠1＝ ∠3，在△ABE 和△ACF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝ ∠3AB ＝ AC∠ABE ＝ ∠ACF ， ∴△ABE ≌△ACF (ASA)， ∴AE ＝ AF ，又∵∠EAF ＝ 60°， ∴△AEF 为等边三角形， ∴AE ＝ EF ＝ AF ；(2)证明：如解图②，连接AC ，由(1)知，AB ＝ AC ，∠ACF ＝ 60°，第11题解图②∵∠BAC ＝ ∠4＋∠5＝ 60°， ∠EAF ＝ ∠5＋∠6＝ 60°， ∴∠4＝ ∠6，在△ABE 和△ACF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠4＝ ∠6AB ＝ AC∠ABE ＝ ∠ACF ， ∴△ABE ≌△ACF (ASA)， ∴BE ＝ CF ；(3)解：点F 到BC 的距离为3－ 3.【解法提示】由(2)知，BE ＝ CF ，如解图③，过点A 作AG ⊥CE 于点G ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，第11题解图③∵∠EAB ＝ 15°，∠ABC ＝ 60°， ∴∠BAG ＝ 90°－∠ABC ＝ 30°， ∴∠EAG ＝ 15°＋30°＝ 45°， ∴△AEG 为等腰直角三角形，又∵AB ＝ 4，∴AG ＝ AB ·cos ∠BAG ＝ 4×32＝ 23， ∴BG ＝AB 2－AG 2＝42－（23）2＝ 2，∵EG ＝ AG ＝ 23，∴BE ＝ EG －BG ＝ 23－2， ∴CF ＝ 23－2， ∵FH ⊥CE ，∴∠FCH ＝ 180°－∠BCD ＝ 60°，∴FH＝CF ·sin∠FCH＝(23－2)×32＝3－3，∴点F到BC的距离为3－ 3.12.在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上(与点C，D不重合)，连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG.第12题图(1)问题猜想：如图①，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系和位置关系；(2)类比探究：如图②，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想(1)中的结论仍然成立，请你给出证明；(3)解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF＝120°，正方形ABCD的边长为2，请在图③中画出图形，并直接写出DE的长度．解：(1)由平移得EF＝CD＝AD，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，∵FG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠GFD＋∠CDB＝90°，∴∠DFG＝45°，∴GD ＝ GF ，在△AGD 和△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ EF ∠ADG ＝ ∠EFG DG ＝ FG ，∴△AGD ≌△EGF (SAS)， ∴AG ＝ EG ，∠AGD ＝ ∠EGF ，∴∠AGE ＝ ∠AGD ＋∠DGE ＝ ∠EGF ＋∠DGE ＝ 90°， ∴AG ⊥EG ；(2)证明：由平移得EF ＝CD ＝AD ， ∵BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠ADB ＝∠CDB ＝ 45°， ∵FG ⊥BD ， ∴∠DGF ＝ 90°， ∴∠GFD ＋∠CDB ＝ 90°， ∴∠DFG ＝45°， ∴GD ＝GF ，在△AGD 和△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ EF ∠ADG ＝ ∠EFG DG ＝ FG ，∴△AGD ≌△EGF (SAS)， ∴AG ＝EG ，∠AGD ＝∠EGF ，∴∠AGE ＝∠AGD-∠DGE ＝∠EGF-∠DGE ＝90°， ∴AG ⊥EG ；(3)画出图形如解图，DE ＝ 2 3.第12题解图【解法提示】同(1)可得，AG＝EG，AG⊥EG，∴∠GEA＝45°，∵∠AGF＝120°，∴∠AGB＝∠EGF＝30°，又∵∠GFD＝45°，∴由外角性质得∠CEG＝∠EFG＋∠EGF＝75°，∴∠AED＝∠CEG-∠GEA＝30°，在Rt△ADE中，AD＝2，∴DE＝2 3.。

高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案

立体几何折叠动点问题1．（2020•湖南模拟）在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -，中，M 是BC 的中点，点P 是正方体的表面11DCC D （包括边界）上的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -体积的最大值是( )A ．B ．36C ．24D ．2．（2020•德阳模拟）ABC ∆是边长为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，沿EF 把OAEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为( )A B C D3．（2020•德阳模拟）ABC ∆是边长为的等边三角形，E 、F 分别在线段AB 、AC 上滑动，//EF BC ，沿EF 把AEF ∆折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P BCFE -的体积的最大值为()A ．BC ．3D ．24．（2020春•江西月考）已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O 的表面积为( ) A ．72π B ．86π C ．112π D ．128π5．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知A ，B ，C ，D 四点均在半径为(R R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为( ) A ．32π B ．2π C ．94π D ．83π6．（2020春•五华区校级月考）已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，2AB =，AC =60ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -，则球O 的体积为( )A ．24πB ．48πC ．D ．7．（2020•东莞市模拟）已知三棱柱111ABC A B C -四边形11A ACC 与11B BCC 为两个全等的矩形，M 是11A B 的中点，且11112C M A B =，则三棱柱111ABC A B C -体积的最大值为( ) A ．12B ．16C ．4D ．438．（2020•江西模拟）四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是菱形，120ADC ∠=︒，连接AC ，BD 交于点O ，1A O ⊥平面ABCD ，14AO BD ==，点C '与点C 关于平面1BC D 对称，则三棱锥C ABD '-的体积为( )A ．B ．C ．D ．9．（2020•浙江模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧棱1(4)AA t t =>，点E 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点（包括四条边上的点），且满足tan 4tan APD EPB ∠=∠，则四棱锥P ABED -的体积的最大值是( )A B ． C D10．（2019秋•包河区校级期末）矩形ABCD 中，2BC =，沿对角线AC 将三角形ADC 折起，得到四面体A BCD -，四面体A BCD -外接球表面积为16π，当四面体A BCD -的体积取最大值时，四面体A BCD -的表面积为( )A ．B ．C ．D ．11．（2020•山东模拟）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11A C 上有两个动点E ，F ，且12EF =；则下列结论错误的是( )A ．BD CE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥E FBC -的体积为定值D ．BEF ∆的面积与CEF ∆的面积相等12．（2020•海淀区校级模拟）在边长为1的正方体中，E ，F ，G ，H 分别为11A B ，11C D ，AB ，CD 的中点，点P 从G 出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q 从H 出发，沿折线HDAG 匀速运动，且点P 与点Q 运动的速度相等，记E ，F ，P ，Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点P 运动的路程为x ，在02x 剟时，V 与x 的图象应为( )A ．B ．C ．D ．13．（2019秋•襄城区校级月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A ．643π B ．163π C ．253π D ．649π14．（2019春•昆明期末）在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 在AB 边上，112AD AE AB ===，将ADE ∆沿直线DE 折起成△A DE '，F 为A C '的中点，则下列结论正确的是( )A ．直线A E '与直线BF 共面B ．12BF =C ．△A EC '可以是直角三角形D ．A C DE '⊥15．（2019秋•安顺月考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2m ，E 为1AA 的中点，动点P 从点D 出发，沿DA AB BC CD ---运动，最后返回D ．已知P 的运动速度为1/m s ，那么三棱锥11P EC D -的体积y （单位：3)m 关于时间x （单位：)s 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．16．（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上．给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关； ④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关．其中正确判断的有( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④17．（2019秋•镜湖区校级期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是( )A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值18．（2019•越城区校级学业考试）如图，线段AB 是圆的直径，圆内一条动弦CD 与AB 交于点M ，且22MB AM ==．现将半圆ACB 沿直径AB 翻折，则三棱锥C ABD -体积的最大值是( )A ．23B ．13C ．3D ．1参考答案与试题解析1．（2020•湖南模拟）在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -，中，M 是BC 的中点，点P 是正方体的表面11DCC D （包括边界）上的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -体积的最大值是( )A ．B ．36C ．24D ．【解答】解：Q 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，Rt ADP ∴∆∽△Rt PMC ∆，∴2AD PDMC PC==，即2PD PC =，设DO x =，PO h =，作PO CD ⊥，∴=，化简得：223348144h x x =-+-，06x 剟，根据函数单调性判断：6x =时，23h 最大值为36，h =最大值，Q 在正方体中PO ⊥面BCD ，∴三棱锥P BCD -的体积最大值：116632⨯⨯⨯⨯=2．（2020•德阳模拟）ABC ∆是边长为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，沿EF 把OAEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为( )A B C D 【解答】解：如图，由题意，BC 的中点O 为等腰梯形BCFE 的外接圆的圆心，则四棱锥P BCFE -的外接球的球心在过O 且垂直于平面BCFE 的直线上，要使四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小，则半径最小，即需要O 为四棱锥P BCFE -的外接球的球心，此时OP OB ==1322PG OG OA ===，则99344cos 322POG +-∠==， P ∴到平面BCFE的距离为sin d OP POG =∠g1322BCFE S =⨯ ∴四棱锥P BCFE -的体积为13V =D ． 3．（2020•德阳模拟）ABC ∆是边长为的等边三角形，E 、F 分别在线段AB 、AC 上滑动，//EF BC ，沿EF 把AEF ∆折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P BCFE -的体积的最大值为()A．BC ．3D ．2【解答】解：要想体积最大，高得最大，底面积也得最大，当平面AEF ⊥平面EFCB 时，体积才最大；设2EF a =；设O 为EF 的中点，如图： Q 等边ABC ∆中，点E ，F 分别为AB ，AC 上一点，且//EF BC ，AE AF ∴=，O Q 为EF 的中点，AO EF ∴⊥，Q 平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF ⋂平面EFCB EF =，AO ∴⊥平面EFCB ，2EF a =Q，AO ∴．∴四棱锥A EFCB -的体积311(2(3)()332V a a a a a a =⨯⨯+⨯==-，2330V a ∴'=-=，1a ∴= （负值舍），01a <<，V1a >>，V 单调递减， 1a ∴=，四棱锥A EFCB -的体积最大，最大值为：312-=．故选：D ．4．（2020春•江西月考）已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O 的表面积为( ) A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π【解答】解：如图．M 是BC 边中点，E 是AC 边中点，AB AC ⊥Q ，M ∴是ABC ∆的外心，作//OM PA ，PA ⊥Q 平面ABC ，OM ∴⊥平面ABC ，OM AM ∴⊥，OM MD ⊥，取12OM PA =，易得OA OP =，O ∴是三棱锥P ABC -的外接球的球心． E 是AC 中点，则//ME AB ，132ME AB ==，ME AC ∴⊥，3AD DC =Q ，∴124ED AC ==，∴MD =，设2PA a =，则OM a =，222213OD OM MD a =+=+，又152AM BC ==， 222225OA OM AM a ∴=+=+，过D 且与OD 垂直的截面圆半径为r ，则r ==径等于球半径OA ，222(25)1244OA r a πππππ∴+=++=，22(25)32OA a ππ=+=．∴24128S OA ππ==球．故选：D ．5．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知A ，B ，C ，D 四点均在半径为(R R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为( ) A ．32πB ．2πC ．94π D ．83π 【解答】解：因为AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，作AN BC ⊥于N ，则N 为BC 的中点，且12AN BC =，若四面体ABCD 的体积的最大值时，则DN ⊥面ABC ，则外接球的球心在DN 上，设为O ，设外接球的半径为R ，连接OA ，则OA OD R ==，211112()()3263D ABC V BC AN DN AN AN R ON AN R ON -==+=+g g g g g g g2211()()()()()33OA ON R ON R ON R ON R ON =-+=+-+ 3311()(22)()14()(22)()()()66363R ON R ON R ON R R ON R ON R ON ++-++=+-+=g …，当且仅当22R ON R ON -=+，即3R ON =时取等号，因为三棱锥的最大体积为16，所以3141()636R =g ，可得34R =，所以外接球的表面积为29944164S R πππ===g ，6．（2020春•五华区校级月考）已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，2AB =，AC =60ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -，则球O 的体积为( ) A ．24πB ．48π C． D．【解答】解：O 到截面ABC 的投影为三角形ABC 的外接圆的圆心，设为E ，连接AE ，则AE 为底面外接圆的圆心，OE OB OC ==为球的半径R ，因为2AB =，AC =，60ABC ∠=︒，由余弦定理可得：22221412cos cos602222AB BC AC BC ABC AB BC BC+-+-∠=︒===g g g g ，整理可得：2280BC BC --=，解得4BC =，设三角形ABC 的外接圆半径为r，则2sin 60AC r ==︒2r =，111sin 6024326O ABC V AB BC OE OE -=︒==g g g g g g，所以OE = 在三角形OAE中，R OA ===所以外接球的体积为3441233V R ππ===g g ．7．（2020•东莞市模拟）已知三棱柱111ABC A B C -四边形11A ACC 与11B BCC 为两个全等的矩形，M 是11A B 的中点，且11112C M A B =，则三棱柱111ABC A B C -体积的最大值为( ) A ．12B ．16C ．4D ．43【解答】解：Q 四边形11A ACC 与11B BCC 为两个全等的矩形，AC BC ∴=，1CC AC ⊥，1CC BC ⊥，又AC BC C =Q I ，AC ，BC ⊂平面ABC ，1CC ∴⊥平面ABC ；M Q 是11A B 的中点，且11112C M A B =，∴底面△111A B C 是直角三角形；综上，三棱柱111ABC A B C -是底面为等腰三角形的直棱柱．设AC BC a ==，1CC b =，将三棱柱还原为长方体，即22212a b +=；∴三棱柱的体积2231111(12)(12),244ABC V S CC a b b b b b b ∆===-=-+∈g ；记31()(12)4f b b b =-+，则213()(312)(2)(2)44f b b b b '=-+=--+，当f '（b ）0>时，02b <<；当f '（b ）0<时，2b <<f ∴（b ）在(0,2)上单调递增，(2,上单调递减，故f （b ）max f =（2）4=．故选：C ．8．（2020•江西模拟）四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是菱形，120ADC ∠=︒，连接AC ，BD 交于点O ，1A O ⊥平面ABCD ，14AO BD ==，点C '与点C 关于平面1BC D 对称，则三棱锥C ABD '-的体积为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：连接1OC ，过点C 作1CM OC ⊥，垂足为M ，因为1OA ⊥平面ABCD ，故1OA BD ⊥，因为四边形ABCD 是菱形，故OA BD ⊥，故BD ⊥平面11ACC A ，故BD CM ⊥，又1CM OC ⊥，故CM ⊥平面1BDC ，又ABD ∆是边长为4的等边三角形，可得OC OA ==所以11A C AC ==Rt △11A C O 中，可得1160AOC ∠=︒，则30MOC ∠=︒，可知OCC '∆为等边三角形，且所在平面垂直底面，故114432C ABD V '-=⨯⨯⨯=三棱锥，故选：D ．9．（2020•浙江模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧棱1(4)AA t t =>，点E 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点（包括四条边上的点），且满足tan 4tan APD EPB ∠=∠，则四棱锥P ABED -的体积的最大值是( )A B ． C D 【解答】解：作PN AB ⊥于N ，在长方体1111ABCD A B C D -中，DA ⊥平面11A ABB ，CB ⊥平面11A ABB ，在Rt PAD ∆和Rt PBC ∆中，tan AD APD AP ∠=，tan BE EPB PB ∠=，tan 4tan APD EPB ∠=∠Q ，1122BE BC AD ==，12PA PB ∴=，设PN h =，AN x =，则4BN x =-，[0x ∈，4]，由12PA PB =，得2214PA PB =，即22221[(4)]4h x h x +=+-，整理得2281633h x x =--+，[0x ∈，4]，开口向下，对称轴为43x =-，∴在[0x ∈，4]单调递减，则0x =时，2h 取到最大值163，即h∴四棱锥P ABED -的体积的最大值是11(24)432⨯+⨯=故选：C ．10．（2019秋•包河区校级期末）矩形ABCD 中，2BC =，沿对角线AC 将三角形ADC 折起，得到四面体A BCD -，四面体A BCD -外接球表面积为16π，当四面体A BCD -的体积取最大值时，四面体A BCD -的表面积为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为2和1的长方形ABCD 沿对角线AC 折起二面角，得到四面体A BCD -，则四面体A BCD -的外接球的球心O 为AC 中点，半径12R AC =，所求四面体A BCD -的外接球的表面积为2416R ππ⨯=；24R AC AB ⇒=⇒=⇒=∴矩形ABCD 中，AB =2BC =，沿AC 将三角形ADC 折起，当平面ADC ⊥平面ABC 时，得到的四面体A BCD -的体积最大，如图所示；过点D 作DO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则点D 到平面ABC 的距离为AD CD d OD AC ⨯==== 过点O 作OM AB ⊥，作ON BC ⊥，垂足分别为M 、N ，连接DM ，DN ；则BM AB ⊥，DN BC ⊥；所以1AO =，3OC =，所以12OM =，ON =；所以DMDN ==；又122ADC ABC S S ∆∆==⨯22=11222ACD S AB DM ∆==⨯g =11222BCD S BC DN ∆==⨯=g ；所以四面体A BCD -的表面积为：24ABC ACD BCD S S S S ∆∆∆=++=B ．11．（2020•山东模拟）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11A C 上有两个动点E ，F ，且12EF =；则下列结论错误的是( )A ．BD CE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥E FBC -的体积为定值D ．BEF ∆的面积与CEF ∆的面积相等【解答】解：对于A ，连接AC ，则BD AC ⊥，1BD AA ⊥，BD ∴⊥平面11AA C C ，又AE ⊂平面11AA C C ，BD AE ∴⊥．故A 正确；对于B ，11//AC AC Q ，即//EF AC ，又EF ⊂/平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，故B 正确；对于C ，1111112224AEF S EF AA ∆==⨯⨯=g g ，点B 到平面AEF 的距离为B 到平面11AA C C 的距离12d BD ==，1134A BEF B AEF V V --∴==⨯，故C 正确；对于D ，连接1A B ，1C B ，则△11A BC B ∴到EF =A 到EF 的距离为11AA =，AEF ∴∆的面积与BEF ∆的面积不相等．故D 错误．故选：D ．12．（2020•海淀区校级模拟）在边长为1的正方体中，E ，F ，G ，H 分别为11A B ，11C D ，AB ，CD 的中点，点P 从G 出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q 从H 出发，沿折线HDAG 匀速运动，且点P 与点Q 运动的速度相等，记E ，F ，P ，Q 四点为顶点的三棱锥的体积为V ，点P 运动的路程为x ，在02x 剟时，V 与x 的图象应为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：（1）当102x剟时，点P 与点Q 运动的速度相等根据下图得出：面OEF 把几何体PEFQ 分割为相等的几何体，111122OEF S ∆=⨯⨯=Q ，P 到面OEF 的距离为x ，112223263PEFQ P OEF x xV V x -==⨯⨯==g ，23（2）当1322x <…时，P 在AB 上，Q 在11C D 上，P 到12，111122OEF S ∆=⨯⨯=， 1111223226PEFQ P OEF V V -==⨯⨯⨯==定值．（3）当322x <…时，111122OEF S ∆=⨯⨯=，P 到面OEF 的距离为2x -， 112122(2)3233PEFQ P OEF V V x x -==⨯⨯⨯-=-，1,032113,622213,2332xx V x x x ⎧<⎪⎪⎪=<⎨⎪⎪-⎪⎩……剟故选：C ．13．（2019秋•襄城区校级月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A ．643π B ．163π C ．253π D ．649π 【解答】解：将三角形POD 展开到与平面PAO 共面，则AN MN +的最小值时，A 、M 、N 三点共线，记作AM ．M Q 点在线段PD 上，AM 最短时恰为PD 中点，AM PD ∴⊥，AM ∴既为PD 中线，又是PD 边上的高，AP AD ∴=．Q 顶点P 在底面的投影恰为正方形ABCD 的中心，则四棱锥为正四棱锥，AP PD ∴=，∴三角形APD 为等边三角形．Q AB =2AO ∴=，24AP AD AO ∴===，则PO ==设球心为Q ，连接QA ，则在Rt QOA ∆中，222QA AO QO =+，∴224)R R =+，解得R =，∴外接球的表面积216644433S R πππ==⨯=．故选：A ． 14．（2019春•昆明期末）在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 在AB 边上，112AD AE AB ===，将ADE ∆沿直线DE 折起成△A DE '，F 为A C '的中点，则下列结论正确的是( )A ．直线A E '与直线BF 共面B ．12BF =C ．△A EC '可以是直角三角形D ．A C DE '⊥【解答】解：在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 在AB 边上，112AD AE AB ===，将ADE ∆沿直线DE 折起成△A DE '，F 为A C '的中点，在A 中，取CD 中点G ，连结BG ，FG ，则//BG DE ，//FG A D '， BG FG G =Q I ，∴平面//BGF 平面A DE '，BF ⊂Q 平面BFG ，//BF ∴平面A DE '，∴直线A E '与直线BF 平行或异面，故A 错误；在B 中，Q 将ADE ∆沿直线DE 折起成△A DE '，F 为A C '的中点，A '点位置不确定，BF ∴的长不是常数，故B 错误；在C 中，1A E '=，CE =∴当2A E '=时，A E CE '⊥，△A EC '是直角三角形，故D 正确；在D 中，DE CE ⊥Q ，60DEA ∠'=︒，DE ∴与A C '不垂直，故D 错误．故选：C ．15．（2019秋•安顺月考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2m ，E 为1AA 的中点，动点P 从点D 出发，沿DA AB BC CD ---运动，最后返回D ．已知P 的运动速度为1/m s ，那么三棱锥11P EC D -的体积y （单位：3)m 关于时间x （单位：)s 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：（1）当02x 剟时，P 在线段DA 上运动，此时DP x =， 112224()22222PED x x x S ⨯-=-++=-V ，所以1111112(2)(4)323P EC D C PED x V V x --==⨯⨯-=-；（2）当24x 剟时，P 在线段AB 上，因为//AB 平面11EC D ，所以P 到平面11EC D 的距离为定值，所以11P EC D V -为定值，1112(42)33A EC D V -=-=；（3）当46x 剟时，P 在线段BC 上，取1BB 的中点F ，1111P EC D P FC E E PFC V V V ---==，此时6CP x =-，同理可得112PC F x S =-V ，所以11(2)3E PFC V x -=-；（4）当68x 剟时，P 在线段CD 上，因为//CD 平面11EC D ，所以P 到平面11EC D 的距离为定值，所以11P EC D V -为定值，1114(62)33D EC D V -=-=．综上，三棱锥11P EC D -的体积y （单位：3)m 关于时间x （单位：)s 的函数大致图象如右图所示．故选：B ．16．（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上．给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关； ④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关．其中正确判断的有( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【解答】解：对于①，假设存在F 使得1A C ⊥平面1B EF ，则11AC B E ⊥，又1BC B E ⊥，1BC A C C =I ，1B E ∴⊥平面1A BC ，则11B E A B ⊥，这与11A B AB ⊥矛盾，所以①错误；对于②，因为平面1B EF 与平面1111A B C D 相交，设交线为l ，则在平面1111A B C D 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，则平面ABCD 的法向量为(0m =r ，0，1)，而平面1B EF 的法向量n r，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1//DD 平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上移动时，F 到平面11ABB A 的距离不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确．故选：D ．17．（2019秋•镜湖区校级期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是( )A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【解答】解：在A 中，因为F 、M 分别是AD 、CD 的中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由平面几何得BM CF ⊥，又有1BM C C ⊥，所以BM ⊥平面1CC F ，故B 正确；在C 中，BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故C 错误．在D 中，三棱锥B CEF -以面BCF 为底，则高是定值，所以三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确．故选：C ．18．（2019•越城区校级学业考试）如图，线段AB 是圆的直径，圆内一条动弦CD 与AB 交于点M ，且22MB AM ==．现将半圆ACB 沿直径AB 翻折，则三棱锥C ABD -体积的最大值是( )A ．23B ．13C ．3D ．1【解答】解：记翻折后CM 与平面ABD 所成角为α，则三棱锥C ABD -的高为sin h CM α=，∴三棱锥C ABD -体积：11(sin )sin 32C ABD V AB DM DMA CM α-=⨯⨯⨯⨯∠⨯⨯16AB DM CM ⨯⨯⨯…， 3AB =Q ，2DM CM AM BM ⨯=⨯=，∴三棱锥C ABD -体积的最大值是： 1()3216C ABD max V -=⨯⨯=V ．故选：D ．。

(完整版)2020年中考数学专题复习学案：折叠类题目中的动点问题(含答案).doc

在BC边上可移动的最大距离为
.
图例1-1
【答案】2.
【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点
P与点B重合时，点A'的位置处于最右端.根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，
二者之差即为所求.
①当点Q与点D重合时，Aபைடு நூலகம்的位置处于最左端，如图例1-2所示.
tan30
BC
3
3=
3，AB
2AC=2
3
3
∵∠EAF=90°
∴∠AFC=60°，∠CAF=30°
在Rt△ACF中，有：AF
AC
cos
3
=2，BF 2AF 4
CAF = 3
2
BD
DF
BF
2
由折叠性质可得：∠B=∠DFE=30°，
1
2
②当∠AFE=90°时，如图例3-3所示.
由折叠性质得：∠B=∠DFE=30°，BD
（2）根据DC=2DF，设DF=FC=x，AE=ED=y
由折叠性质及（1）知BF=BG+GF=AB+GF=3x
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
BF2=BC2+CF2
(3x)2=(2y)2+x2
即：y
2x
AD
2 y
∴
2
AB
2 x
（3）设AE=ED=y，DF=x，根据DC=nDF，得CD=nx，FC=(n－1)x；
专题：折叠类题目中的动点问题
折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，

立体几何“动态”之折叠问题

ʏ胥子伍立体几何中常求一些固定不变的点㊁线㊁面的位置关系,若给静态的立体几何问题赋予活力 ,渗透了动态的点㊁线㊁面元素,在点㊁线㊁面运动变化的几何图形中,探寻点㊁线㊁面的位置关系或进行有关角与距离的计算,立意会更新颖㊁更灵活,能很好地培养同学们的空间想象能力㊂一㊁折叠之轨迹问题例1 如图1,在正四棱锥S -A B C D 中,E 是B C 的中点,点P 在侧面әS C D 内及其边界上运动,并且总是保持P E ʊ平面S B D㊂图1则动点P 的轨迹与әS C D 组成的相关图形最有可能是( )㊂解:分别取C D ,S C 的中点M ,N ㊂因为E 是B C 的中点,所以E M ʊB D ,E N ʊS B ㊂因为E M ,E N ⊄平面S B D ,B D ,S B ⊂平面S B D ,所以E M ʊ平面S B D ,E N ʊ平面S B D ㊂又因为E M ɘE N =E ,E M ,E N ⊂平面E MN ,所以平面E MN ʊ平面S B D ,所以当P 在线段MN 上移动时,P E ⊂平面E MN ,此时能保持P E ʊ平面S B D ,则动点P 的轨迹与әS C D 组成的相关图形符合选项A ㊂应选A㊂变量的变化引发空间位置关系的变化,将一些变化的线与角合理转化,集中到一个平面内,则可将空间的动态问题转化为平面的动态问题,再利用平面几何知识加以解决㊂本题利用线面平行㊁面面平行,在动态问题中提炼一些不变的静态的量,建立不变量与动点之间的关系,从而确定动点的轨迹㊂二㊁折叠之范围问题例2 在如图2所示的长方形A B C D中,A B =2,B C =1,E 为D C 的中点,F 为线段E C (端点除外)上一动点㊂现将әA F D 沿A F 折起,使平面A F D ʅ平面ABC F ,得到如图3所示的四棱锥㊂在平面A BD 内过点D 作D K ʅA B ,垂足为K ㊂设A K =t ,则t 的取值范围是㊂图2 图3解:过点F 作F M ʅA B ,交A B 于点M ㊂设F C =x ,0<x <1,则M F =B C =1,M B =F C =x ㊂易知A K <A D =1㊂因为A B =2,所以点K 一定在点M 的左边,则MK =2-t -x ㊂在R t әA D K 中,D K 2=1-t 2,在R tәF MK 中,F K 2=1+(2-t -x )2㊂因为平面A B D ʅ平面A B C F ,平面A B D ɘ平面A B C F =A B ,D K ʅA B ,D K ⊂平面A B D ,所以D K ʅ平面A B C F ,所以D K ʅF K ㊂在R tәD F K 中,D F =2-x ,由D K 2+F K 2=D F 2,可得1-t 2+1+(2-t -x )2=(2-x )2,化简得1-2t +t x =0,即t =12-x ㊂因为函数t =12-x 在x ɪ(0,1)上单调递增,所以12<t <1㊂故所求t 的取值范围为12,1㊂动与静是相对的,在运动变化过程中,要善于寻找或构造与之相关的一些不变因素,建立变量与不变量的有机统一体㊂本题是一个动态的33创新题追根溯源高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.翻折问题,需要同学们发现其中不变的垂直关系,从而得出相关变量间的关系,最终转化成函数的值域问题求解㊂三㊁折叠之最值问题例3 设矩形A B C D (A B >B C )的周长为定值2a ,把әA B C 沿A C 向әA D C 折叠,A B 折过去后交D C 于点P ,如图4,则下列说法正确的是( )㊂图4A .矩形ABCD 的面积有最大值B .әA P D 的周长为定值C .әA PD 的面积有最大值D .线段P C 有最大值解:设A B =x ,则B C =a -x ㊂因为A B >B C ,所以x ɪa2,a ㊂矩形A B C D 的面积S =A B ㊃B C =x (a -x )<x +a -x22=a 24,因为x ʂa2,所以S 无最大值,A 错误㊂根据图形折叠知әA P D 与әC P B 1全等,所以әA P D 周长为A P +P D +D A =A P +P B 1+D A =A B +D A =a ,B 正确㊂设D P =m ,则A P =P C =x -m ,由D P 2+D A 2=A P 2,可得m 2+(a -x )2=(x -m )2,即m =a -a 22x ,则S әA P D =12a -a 22x(a -x )=3a 24-12a x +a32xɤ3-224a 2,当且仅当x =22a 时,әA P D 的面积取最大值,C 正确㊂P C =x -m =x +a 22x-a ,因为函数y =x +a 22x -a 在x ɪ0,2a 2上单调递减,在x ɪ2a 2,+ɕ上单调递增,而x ɪa 2,a,所以当x =2a2时,函数有最小值,无最大值,即线段P C 有最小值,无最大值,D 错误㊂应选B C ㊂一般地,位于折痕同侧的点㊁线㊁面间的位置和数量关系不变,而位于折痕两侧的点㊁线㊁面间的位置关系会发生变化;对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决㊂已知菱形A B C D 的边长为1(如图5),øB A D =60ʎ,对角线A C 与B D 交于点O ㊂将菱形A B C D 沿对角线B D 折成平面角为θ的二面角(如图6),若θɪ60ʎ,120ʎ ,则折后点O 到直线A C 距离的最值是( )㊂图5 图6A .最小值为34,最大值为32B .最小值为34,最大值为34C .最小值为14,最大值为34D .最小值为34,最大值为32提示:因为A O ʅB D ,C O ʅB D ,所以øA O C =θ,θɪ60ʎ,120ʎ ㊂因为菱形A B C D 的边长为1,øB A D =60ʎ,所以A O =C O =32,点O 到A C 的距离d =32㊃c o s12øA O C ㊂当øA O C =θ=60ʎ时,d 取得最大值32ˑ32=34;当øA O C =θ=120ʎ,d取得最小值32ˑ12=34㊂应选B ㊂作者单位:华东师范大学盐城高级中学(责任编辑郭正华)43 创新题追根溯源高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

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__________. 1≤AE≤3
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常考类型剖析
【解析】在Rt△ABC中，AC= AB2 BC 2 =5, 如解图①，M点在C点处，AE的长度最短，沿∠ACB的角平分线折叠，则CE=CB=4,所以 AE=AC-BC=1；如解图②，N点在A点处，AE
备考试题演练
的长度最大，沿∠CAB的角平分线折叠，则
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2.对于几何图形的折叠与动点问题的计算
常考类型剖析
有以下三种类型：（1）折叠中的动点问题求最值.解决此类问题，首先通过观察图形找到求线段最值的点，
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即端点或利用轴对称的性质找点的对称点，再
利用勾股定理、全等三角形和相似三角形的性质进行求解；
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应边、角、线段、周长、面积等均相等；③折
叠之后，对应点的连线被折痕垂直平分；（2）找出隐含的折叠前后的图形中线段、
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Байду номын сангаас
角的位置关系和数量关系；
（3）一般运用三角形全等、直角三角形、
常考类型剖析
相似三角形等知识及方程思想，设一条边的长为x，再用含x的代数式来表示其他的边，最后设法用勾股定理或相似性质来求线段的长度.
AE=AB=3，∴AE的取值范围为1≤AE≤3．
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常考类型剖析
备考试题演练
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【方法指导】1.对于图形折叠的相关计算，
常考类型剖析
应掌握以下内容：（1）折叠的性质：①位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形；②满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对
常考类型剖析
第二部分热点题型攻略
题型三几何图形的折叠与动点问题
备考试题演练
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例如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
常考类型剖析
点M在BC上，点N是AB上的动点，将矩形 ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E，若点E在对角线AC上，则 AE的取值范围是
备考试题演练
（2）求线段的取值范围，即求线段的最大值和最小值.根据（1）的方法进行计算；
（3）分类讨论求线段长度.针对此类问题，
常考类型剖析
关键在于画出所有符合题意的图形,联系已知条件结合图形特点,建立方程模型或函数模型进行求解.
备考试题演练
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