大学物理参考答案(白少民)第9章 振动学基础

2 2 而这力要靠静摩擦力来充当。故有 m4π Aν ≤ µ0 mg
由此得物体随木版一起振动的最大振幅为 Amax =
µ0 g 4π 2ν 2
9.12 一个物体放在一块水平木板上 ,此板在竖直方向上以频率 v 作简谐振动 .试求使物体 随木板一起振动的最大振幅. 解：同题 9.11，这里物体要做简谐振动，重力和支持力之和充当回复力，所以有： m4π 2 Aν 2 < mg + N . 当 N 刚要为 0 时，振幅达到最大。由此得 Amax =
板之间的静摩擦系数为 µ 0 ,试求使物体随木板一起振动的最大振幅. 解：设简谐运动的位移与时间的关系为 x = A cos(ω t + ϕ) = −Aω 2 cos(ω t + ϕ) ， 那 么 物 体 所 受 的 最 大 力 为 x 则 加 速 度 a =
Fm = mAω 2 = 4π 2 Aν 2 m
解：设物体 m 离开平衡位置的位移为 x，所受线性回复力为 f 则有 f = −k1 x1 = −k 2 x 2 （1）、（2）联立解之得
（ 1 ）
x1 + x 2 = x
(2)
f =−
kk 1 x=− 1 2 1 / k1 + 1 / k 2 k1 + k 2 k1 k 2 m ( k1 + k 2 ) , ν = 1 2π k1 k 2 m ( k1 + k 2 )
ω=
（3）设 x = A cos(ω t + ϕ) t=0 时， x
= −s
k m
频率ν = ω / 2π = 则得 ϕ = π
1 2π
k m
∴振动的位移与时间的关系为 x = s cos(
k t +π ) m 9.11 一个物体放在一块水平木板上,此板在水平方向上以频率 v 作简谐振动.若物体与木
有 两 个 在 同 一 直 线 上 的 简 谐 振 动 ： x1 = 0.05 cos(10t + 3π / 4 ) m 和
x2 = 0.06 cos(10t − π / 4 ) m ,试问：（1）它们合振动的振幅和初相位各为多大？（ 2）若另Hale Waihona Puke Baidu
有一简谐振动 x3 = 0.07 cos(10t + φ ) m , 分别与上两个振动叠加 ,φ 为何值时 , x1 + x3 的 振幅最大？φ 为何值时, x 2 + x3 的振幅最小？ 解
3
g 4π 2ν 2
9.13 一个系统作简谐振动,周期为 T,初相位为零.问在哪些时刻物体的动能与势能相等？
解：由初相为零则简谐振动可表为 简 谐 振 动 的 动 能
x = A cos(ω t )
Ek =
1 1 mυ 2 = mω 2 A 2 sin 2 ω t ， 2 2
势
能
Ep =
1 2 1 kx = mω 2 A 2 cos 2 ω t 2 2
9.16 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动： x1 = 0.05 cos( 2t + π / 3) 和
x2 = 0.06 cos( 2t − 2π / 3) （式中 x 的单位是 m，t 的单位是 s）,求合振动的振幅和初相位.
解： ∆φ = φ 2 − φ1 = −2π / 3 − π / 3 = −π 则由合振动的振幅和初相公式得：
第 9章
振动学基础
π 5 9.4 一个运动质点的位置与时间的关系为 x = 0.1 cos π t + m , 其中 x 的单位是 3 2 m , t 的单位是 s.试求： （1）周期、角频率、频率、振幅和初相位； （2）t =2s 时质点的位移、速度和加速度.
解 ：（1 ）由题中质点位置与时间的关系便知，振幅 A=0.1m ，初相位 ϕ =
2
E p = mgh = mgl (1 − cosθ ) ≈ 12 mglθ
E = E k + E p = 12 mglθ 02
ml 2θ 2 + 12 mglθ 2 = 12 mglθ 02
2
g 2 = ±ω θ 2 −θ 2 ) (θ 0 − θ 2 ) = ω 2 (θ 02 − θ 2 ) θ 0 l 9.9 与轻弹簧的一端相接的小球沿 x 轴作简谐振动,振幅为 A,位移与时间的关系可以用余 弦函数表示.若在 t=0 时,小球的运动状态分别为 （1）x = - A ；（2）过平衡位置,向 x 轴正向运动；（ 3）过 x=A/2 处,向 x 轴负向运动； （4）过 x = A / 2 处,向 x 轴正向运动.试确定上述状态的初相位. 解：位移 x 与时间 t 的一般关系可表为 x = A cos(ω t +ϕ) 1 。则初相 ϕ = π （1）t=0 时， x = − A ， 则有 − A = A cos ϕ ， 即 cos ϕ = − x = A cos ϕ = 0 ， （ 2 ） t=0 时 ， 过 平 衡 位 置 ， 向 x 轴 正 向 运 动 ， 即 由此得： θ = dx = − Aω sin ϕ > 0 dt 由此可知初相 ϕ = −π / 2 .
（3）过 x = A / 2 处，向 x 轴负向运动，即 t=0 时 x =
2
A dx <0 ， 2 dt
1 → cos ϕ = ∴有 A cos ϕ = A 2 2
及
− Aω sin ϕ < 0
由此得初相 ϕ =
π
3
（4）过 x = A / 2 处，向 x 轴正向运动，即 t=0， x =
A dx >0 ， 2 dt
∴有
2 9.10 长度为 l 的弹簧 ,上端被固定 ,下端挂一重物后长度变为 l+s,并仍在弹簧限度之内 .若 将重物向上托起,使弹簧缩回到原来的长度,然后放手,重物将做上下运动. （1）证明重物的运动是简谐振动；（2）求简谐振动的振幅、角频率和频率； （3）若从放手时开始计时,求此振动的位移与时间的关系（向下为正）. 解 ：（1）以平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正向，则在位移为 x 处，重物所受之力
+ 复力，则有 x
k1 + k 2 x=0 m
故ω =
k1 + k 2 m
ν=
1 2π
k1 + k 2 m
9.7 如图 9.28 所示 , 求振动装置的振动频率,已知物体的质量为 m,两个轻弹簧的径度系数 为 k1 和 k 2 。
1
图 9.27 题 9.6 示图
图 9.28 题 9.7 示图
动能与势能相等，即 E k = E p
( n = 0, 1, 2, ) ，由此得在下式 4 2 nπ / 2 ± π / 4 t= = ( 2n + 1)T / 8 表示的时刻动能和势能相等： ω 9.14 质量为 10g 的物体作简谐振动 ,其振幅为 24cm,周期为 1.0s,当 t=0 时,位移为+24cm,求： （1） t =1/ 8 s 时物体的位置以及所受力的大小和方向；（ 2）由起始位置运动到 x=12cm 处 所需要的最少时间；（3）在 x=12cm 处物体的速度、动能、势能和总能量。 解：A=24cm=0.24m， ω = 2πν = 2π / T = 2π rad / s x = 0.24 cos 2π t 由 t=0 时 x=0.24m 得初相 ϕ = 0 . 所以简谐振动为 （1） t =1 / 8 s 时，位移为 x = 0.24 cos 2π ×1 / 8 = 0.24 × 2 / 2 = 0.17 m = −0.01 × ( 2π ) 2 × 0.24 cos 2π / 8 = −6.7 ×10 −2 N . 负号代表方向与位 x 所受力 f = m 移的方向相反。 1 （2）由 0.12 = 0.24 cos 2π t 得最少时间 t = s 6 （3）在 x =12cm处（即t =1 / 6 s) = −2π × 0.24 sin 2πt = −2π × 0.24 sin π / 3 = −1.31m/s 物体的速度 υ = x 1 1 E k = mυ 2 = × 0.01 × ( −1.31) 2 = 8.6 ×10 −3 J 动能 2 2 势 能 1 1 π 1 1 E p = kx 2 = mω 2 A 2 cos 2 = × 0.01 × (2π ) 2 × (0.24) 2 × = 2.8 ×10 −3 J 2 2 3 2 4
∴有 sin 2 ω t = cos 2 ω t ，那么 ω t = ±
π
+n
π
则总能量
E = E k + E p = (8.6 + 2.8) ×10 −3 = 1.14 ×10 −2 J
9.15 质 量 为 0.10kg 的 物 体 以 2.0 ×10 −2 m 的 振 幅 作 简 谐 振 动 ， 其 最 大 加 速 度 为 4.0ms −2 ,求：(1) 振动周期；(2) 通过平衡位置的动能；(3) 总能量. 解：由题知，最大的加速度
A cos ϕ =
A
→ cos ϕ =
π 2 及 − Aω sin ϕ > 0 .由此得初相 ϕ = − . 2 4
为
F = mg − k ( x + s )
在平衡位置 x=0，F=0。则 mg=ks。 所以 F = −kx ，即合力为线性回复力，则重物的运 动是简谐振动。 （2）简谐振动的振幅 A=s.角频率
+ x 所以有振动方程
1 k1 k 2 ( ) x = 0 ，则 ω = m k1 + k 2
9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式. 解：对于单摆系统中的物体 m，其振动动能 系统的势能（重力势能） 而系统的总能量 所以 1 2
Ek =
1 1 2 mυ 2 = ml 2θ 2 2
则当 t=2s 时，质点的位移，速度和加速度分别为 π π 5 x = 0.1 cos π × 2 + = −0.1 cos = −0.05m ； 2 3 3
υ = − π sin π × 2 +
1 4
5 π 5 π 5 a = − π 2 cos π × 2 + = π 2 cos = 3.1m / s 2 8 3 8 3 2 9.5 一个质量为 2.5kg 的物体，系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定 .若 弹簧受 10N 的拉力,其伸长量为 5.0cm,求物体的振动周期.
解：由 f = kx 可得弹簧的经度系数为
5 2
π
1 π 3 π = 0.68m / s = π sin = 3 4 3 8
k=
f 10 = = 2 × 10 2 N / m −2 x 5 × 10
弹簧振子的周期
T = 2π
m 2 .5 = 2π = 0.70 s k 2 ×10 2
9.6 如图 9.27 图所示 ,求振动装置的振动频率,已知物体的质量为 m,两个轻弹簧的劲度系 数为 k1 和 k 2 。 解：设物体离开平衡位置的位移是 x，此时物体所受合力 f = −(k1 + k 2 ) x 作为线性回
a max = ω 2 A = 4.0ms −2
由此得角频率为
ω=
T = 1
a max = A
= 2π
4 .0 = 14.14rad/s 2.0 × 10 −2
2π = 0.45 s 14.14
4
（1）振动周期
ν
ω
=
（2）通过平衡位置的动能
1 1 1 2 mυmax = mω 2 A 2 = × 0.1 × 200 × ( 2.0 ×10 −2 ) 2 = 4.0 ×10 −3 J 2 2 2 1 E = mω 2 A 2 = 4.0 ×10 −3 J （3）总能量 2 Ek =
1 4 5 5 ω = π rad / s ，频率ν = Hz ，周期 T = = = 0.8s f 5 2 4
π
3
，角频率
（2） υ =
dx 1 π d 2x 5 π 5 5 = − π sin π t + ； a = 2 = − π 2 cos π t + dt 4 3 8 3 dt 2 2
A=
2 A12 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ = A1 − A2 = 0.05 −0.06 = 0.01m
cos ∆ φ = −1
φ = arctan
9.17
A1 sin φ1 + A2 sin φ 2 0.05 sin π / 3 + 0.06 sin( −2π / 3) 2π = arctan = arctan 3 = − A1 cos φ1 + A2 cos φ 2 0.05 cos π / 3 + 0.06 cos(−2π / 3) 3