初中数学分式化解求值解题技巧大全
解答分式求值问题常用的小妙招
数学篇分式求值运算是初中代数的重要内容之一.由于分式的形式多样，分式求值问题也存在着多种不同的解法.下面介绍“引入参数”“拆项变形”“整体代入”“巧取倒数”这四种分式求值的方法，供同学们学习与参考.一、借助参数求分式的值在分式求值问题中，如果出现等比例式，就可以引入参数，将等比设成参数，将所有未知量都转换成含有参数的式子，再将之代入分式求得分式的值，这样求解过程将变得非常简单.例1若c 4=b 5=a 6≠0，则b +c a 的值为_____.分析：题中“c 4=b 5=a 6”是一个等比例式，可以设公共比为“t ”，这样可以得到c =4t ，b =5t ，a =6t ，然后将a 、b 、c 的值代入b +c a 即可求出值.解：∵c 4=b 5=a 6≠0，∴设c 4=b 5=a 6=t （t ≠0），∴有a =6t ，b =5t ，c =4t .将a =6t ，b =5t ，c =4t 代入b +c a 有：b +c a =5t +4t 6t =96=32，∴b +c a 的值为32.评注：该题中是一个等比例式，可以通过“引入参数”的方法将比值具体化，将a 、b 、c都替换成含有t 的参数，然后代入到b +c a 中，最后通过约分就能得到具体的数值.二、通过拆项求分式的值在求解比较复杂的分式时，我们可以根据具体的题目特征，对部分分式进行拆分，再配凑出较为容易计算的项来求解.结合题目的结论和条件往中间项配凑，往往能化繁为简，变难为易.例2若1a +1b =5a +b ，则b 2a 2+a 2b 2=_____.分析：待求分式“b 2a 2+a 2b 2”中的“b 2a 2”和“a 2b 2”互为倒数，如果能求出其中一个或知道“a b +b a ”，就可以对其进行平方后求得结果.再细看题目条件“1a +1b =5a +b”，需要配凑出“b a ”或“a b ”，我们可以考虑通分并整理得到“a 2+b 2=3ab ”.再将“a 2+b 2=3ab ”两边同除“ab ”，可得到“a b +b a =3”.解：∵1a +1b =5a +b ，通分并整理可得，a 2+b 2=3ab ，两边同除ab 可得，a b +b a =3，两边平方并整理可得，b 2a 2+a 2b 2=7.解答分式求值问题常用的小妙招江苏省盐城市新洋初级中学王伟解题指南19数学篇评注：此题看起来比较复杂，但是待计算的“b 2a 2+a 2b 2”是非常对称的，可以考虑由“a b +b a ”变形得出.通过通分找出a 、b 的其他数量关系“a 2+b 2=3ab ”，再同除ab 得到需要的“a b +b a ”.所以，本题的解题思路是由两端往中间变换.三、通过整体代换求分式的值整体代入的方法一般用于比较复杂的题目中，这类题目往往有共同的“局部”，解题时将共同的“局部”视为一个整体，然后直接整体代入求值.这种方法可以大大减少计算量，降低解题难度.例3若22y 2+3y +7的值为14，则14y 2+6y -1的值为（）.A.1 B.-1 C.-17 D.15分析：仔细观察条件“22y 2+3y +7=14”和结论“14y 2+6y -1”，发现有公共部分“2y 2+3y ”，可以转化为4y 2+6y =2(2y 2+3y ).若能计算出“2y 2+3y ”，则整个题目就能迎刃而解.解：∵22y 2+3y +7的值为14，∴22y 2+3y +7=14，∴2y 2+3y =1，∴4y 2+6y =2(2y 2+3y )=2×1=2，∴14y 2+6y -1=12-1=1，即14y 2+6y -1=1.∴此题选择A 项.2四、巧取倒数求分式的值倒数法往往出现在分数式的化简求值问题中.当分母相对分子而言比较复杂时，我们可以采用取倒数的方法将分式简单化，通过变形整理后得到“倒数”的具体值，再次通过“倒数法”还原待求值.例4若x +1x =3，则x 2x 4+x 2+1的值为（）.A.10 B.8 C.110 D.18分析：该题“x 2x 4+x 2+1”中分母比较复杂，若分子、分母调换一下位置，求解将会变得容易些.所以采用“巧取倒数法”解此题.设t =x 2x 4+x 2+1，则1t =x 4+x 2+1x 2=x 2+1x 2+1.而题目条件中“x +1x =3”通过平方可以轻松求出x 2+1x 2的值为7，从而求得1t =8，进而求解出t =18.解：设t =x 2x 4+x 2+1,则1t =x 4+x 2+1x 2=x 2+1x 2+1，∵x +1x =3，∴x 2+1x 2=(x +1x )2-2x ⋅1x =7，∴1t =x 2+1x 2+1=8，∴t =18，即x 2x 4+x 2+1=18.故D 项正确.评注：“取倒数法”可以简化解题过程，但是一定要记住在解题结束前再次采用“倒数法”将数值倒回来.分式的求值问题是一种常见问题.它涉及面广，技巧性强，也是中考中出现频率较高的问题.解答这类问题要认真分析条件式和解题指南。
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简是指将一个分式写成一个最简形式的过程。
下面列举一些分式化简的方法与技巧：
1. 因式分解法：如果分子和分母都可以被一个公因子因式分解，可以先进行因式分解，然后约去公因子。
2. 公约法：将分子和分母的公因子约去，使分子和分母无公因子。
3. 分子与分母分别除以最大公约数法：先求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，使得分子和分母互质。
4. 乘法逆元法：如果分子和分母互为乘法逆元，即分子和分母互为倒数关系，可以将分式化简为整数。
5. 积化和差法：对于有相同分子或分母的分式，可以将其化为积或差的形式，然后进行约分或运算。
6. 公倍数法：如果分式的分子和分母都是整数，可以找到一个公倍数使得分子和分母变为整数，然后约去公倍数。
7. 有理化法：对于含有根号的分式，可以通过有理化的方法将其转化为整数或分数。
8. 倒数法：对于一个分式，可以将其倒数的分子和分母对换位
置，然后约分。
以上是一些常见的分式化简的方法与技巧，根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
分式求值的方法与技巧
分式专题三---分式求值的方法与技巧一．求值。
1．已知()224++=+-x B x A x x x ，求A ，B 的值。
2．已知:22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ，则A= 、B = 3．若()()212112+++=+++x B x A x x x 恒成立，则A ＋B ＝_______________。
二．将条件式变形后代入求值。
1．已知432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． （提示：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法）2.二、将求值变形代入求值． 1．已知31=+xx ，的值求1242++x x x ． 2．已知的值求ba b a b ab a +-=-+,0622． 3.已知0132=+-a a ，求142+a a 的值。
4． 已知yxy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 5．已知231=-x x ，求分式221xx +的值． 6．已知b a 43=，则222232b a b ab a -+-＝_______________。
7.（2007赤峰）已知114a b +=，则3227a ab b a b ab-+=+- ． 8．已知311=+b a ，则b ab a b ab a +++-23的值是_________.9．如果a+a 1=3，则=+221aa __________. 10．已知1a - 1b =3，求分式2a+3ab-2b a-ab-b 的值. 11．若ab=2,a+b=-1,则ba 11+ 的值为 12．若0152=+-x x ，则x x x x 1122+++＝_______________。
13.已知02322=-+y xy x （x ≠0，y ≠0），求xyy x x y y x 22+--的值。
三、将条件式和求值式分别变形后代入求值．14．已知a 2＋2a －1＝0，求分式24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值． 注意：本例是将条件式化为“122=+a a ”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．15．已知abc ＝1，则111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值为________． 16．已知)11()11()11(,0cb a ac b b a c c b a +++++=++求的值． 17．若.1,11,11的值求b ab a c c b +=+=+ 18．若7=+b a ，12=ab ，则ab b a 22+＝_______________。
分式化简求值解题技巧
分式化简求值解题技巧分式化简求值解题技巧一、整体代入对于一些分式表达式，可以先将其中的变量整体代入，然后再求值。
比如：已知a+2b=2006，求3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b)的值。
可以先将a替换为2006-2b，然后化简得到：3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b) = 3(2006-2b)² + 12b(2006-2b) + 12b² ÷ (2(2006-2b)+4b)再进行进一步化简求解。
练一练：1.已知x+y=3，求(2x+3y) ÷ (x-y)的值。
2.已知112x-3xy+2y ÷ xy-x-2y = 5，求xy ÷ (x+2y)的值。
3.若a+b=3ab，求(1+2b²) ÷ (2a-b)的值。
二、构造代入有些分式表达式可以通过构造代入的方式来求解。
比如：已知x-5 ÷ (x-2) = 2001，求(x-2)³ - (x-1)² + 1的值。
可以构造一个分式，使得它的分母为(x-2)，分子为(x-2)³-(x-1)²+1，然后将其化简，得到：x-2)³-(x-1)²+1 ÷ (x-2) = (x-5) + 4(x-2) + 9再进行进一步化简求解。
练一练：4.若ab=1，求a ÷ (b+c) + b ÷ (c+a) + c ÷ (a+b)的值。
5.已知xy+yz+zx ÷ xyz = 2，求(x+y)² ÷ z²的值。
三、参数辅助，多元归一有些分式表达式可以通过引入参数或多元归一的方式来求解。
比如：已知a+b+c=1，求a(1-b) ÷ (b+c) + b(1-c) ÷ (c+a) + c(1-a) ÷(a+b)的值。
2022中考数学技巧《分式化简求值的方法与技巧》专题讲解附练习及答案
解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧 ◆类型一 着眼全局，整体代入1．1a －1b ＝13，那么ab 6a －6b的值为( ) A .12 B ．－12C ．2D ．－2 2．假设a 2＋b 2＝3ab ，求分式⎝⎛⎭⎫1＋2b 2a 2－b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b 的值．◆类型二 巧妙变形，构造代入3．x 2－3x ＋1＝0，那么x x 2－x ＋1的值是( ) A .12 B ．2 C .13D ．3 4．★假设x －1x ＝4，那么x 4＋x 2＋1x 2＝________． 5．★★a ，b ，c 不等于0，且a ＋b ＋c ＝0，求a(1b ＋1c )＋b(1a ＋1c )＋c(1a ＋1b)的值．◆类型三 参数辅助，多元归一6．x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．7．a ＋b a －b ＝32，求分式a 2－b 2ab 的值．◆类型四 打破常规，倒数代入8．★x x 2＋x ＋1＝13，求x 22x 4－3x 2＋2的值．9．★★ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，求abc ab ＋ac ＋bc的值．参考答案与解析1．B 解析：因为1a －1b ＝13，所以ab ＝－3(a －b )，所以原式＝ab 6〔a －b 〕＝－3〔a －b 〕6〔a －b 〕＝－12. 2．解：⎝⎛⎭⎫1＋2b 2a 2－b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b ＝a 2－b 2＋2b 2a 2－b 2·a －b ＋2b a －b ＝a 2＋b 2a 2－b 2·a ＋b a －b ＝a 2＋b 2〔a －b 〕2＝a 2＋b 2a 2＋b 2－2ab .因为a 2＋b 2＝3ab ，所以原式＝3ab 3ab －2ab＝3. 3．A 解析：因为x 2－3x ＋1＝0，所以x 2＝3x －1，所以原式＝x 3x －1－x ＋1＝12. 4．19 解析：等式两边同时平方得⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝x 2－2＋1x 2＝16，即x 2＋1x 2＝18，那么x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2＝18＋1＝19. 5．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋b ⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋1a －1＋b (1a ＋1c＋1b )－1＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c －1＝(1a ＋1c ＋1b)(a ＋b ＋c )－3＝－3. 6．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，那么x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝2k ·3k ＋3k ·4k ＋2k ·4k 〔2k 〕2＋〔3k 〕2＋〔4k 〕2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629. 7．解：设a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，解得⎩⎨⎧a ＝52k ，b ＝12k ，所以a 2－b 2ab ＝245. 8．解：因为x x 2＋x ＋1＝13，所以x 2＋x ＋1x ＝3，x ＋1＋1x ＝3，x ＋1x x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 22x 4－3x 2＋2x 2＝2x 2－3＋2x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－3＝2×2－3＝1，所以x 22x 4－3x 2＋2＝1. 9．解：因为ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，所以a ＋b ab ＝3，b ＋c bc ＝4，a ＋c ac ＝5，所以1b ＋1a ＝3，1b ＋1c ＝4，1a ＋1c ＝5，所以2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋4＋5，所以1a ＋1b ＋1c ＝6，abc ab ＋ac ＋bc ＝11a ＋1b ＋1c＝16.。
分式求值的常用技巧
分式求值的常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、 应用分式的根本性质例1 如果12x x +=，那么2421x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-. 2、倒数法例2 如果12x x +=，那么2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-= ∴原式=13. 3、平方法例3 12x x +=，那么221x x+的值是多少？ 解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x++=∴+=-= 4、设参数法例4 0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235a b c k ===，那么 2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5,a b c b c a ==求a b c a b c+--+的值. 解：设a b c k b c a ===，那么 ,,.a bk b ck c ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=，∴31,1k k ==∴a b c ==∴原式= 1.a b c a b c+-=-+ 5、整体代换法例6 113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===----- 6、消元代换法例7 1,abc =那么111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab= ∴原式=111111a b ab ab a b ab b a ab ab++++⋅++⋅++ 1111a ab ab a ab a a ab =++++++++1 1.1ab a ab a ++==++ 7、拆项法 例8 假设0,a b c ++=求111111()()()3a b c b c a c a b++++++的值. 解：原式=111111()1()1()1a b c b c a c a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111111111()()()a b c a b c a b c a b c =++++++++ 111()()a b c a b c=++++ 0a b c ++=∵∴原式=0.8、配方法例9 假设11a b b c -=-=求2221a b c ab ac bc ++---的值.解：由11a b b c -=-=得2a c -=. ∴2222a b c ab ac b ++---2221()()()2a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦11202=⨯= ∴原式=16.。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==初中数学分式求值的10个常用技巧分式求值是分式运算中的一类常见问题，对计算能力的要求较高.在求解此类问题时，既要注意基本法则的应用，也要掌握相关的解题技巧.下面是小编为大家带来的初中数学学习方法分式求值的10个常用技巧，欢迎阅读。
一、整体通分例1：计算x2+x+1-.分析：把（x2+x+1）看成一个整体，对式子进行通分，并且分子还可利用乘法公式简化运算.解：原式 =-==-.二、部分通分例2：计算 ---.分析：按照常规解法是把四个分母一起通分，这样求解过于繁琐.若选择前面两个分式通分，然后再逐个通分，这样便化繁琐为简单.解：原式=--=-=-.三、取倒数例3：已知=1，求x+的值.分析：根据已知分式的特点，运用取倒数的方法是解决这类问题的常用方法.解：把=1两边取倒数，得=1，即x-3+=1，所以x+=4.四、整体代入例4：已知-=，则的值是（）.A. B. - C. 2 D. -2分析：将已知等式变形，转化为含有ab、（a-b）的代数式，整体代入求解.解：将已知条件通分合并得=，所以ab=2×（b-a）=-2（a-b），则==-2.故答案选D.五、特值思想例5：已知-=1，则的值是（）.A. B. - C. 1 D. -1分析：本题从不同的角度来思考，可以得到不同解法，但用特值思想求解最简捷.解：取b = 1，则a=，代入得，原式 =-1，故答案选D.六、因式分解例6：计算+.分析：通过观察发现，每个分式的分子、分母均可进行因式分解，因此可将每个分式先因式分解，约分后，再进行计算.解：原式 =+=+==七、巧用拼凑例7：化简.分析：观察分式不难发现，其中的常数3给该分式的运算带来了不便.为此可设法将3巧妙拼凑成与a、b、c有关的式子，这样很容易想到3=++.解：原式=+=+=。
分式化简的解题思路及方法
分式化简的解题思路及方法分式化简是代数学习中常见的问题，正确化简分式可以简化计算过程，提高求解效率。
本文将介绍分式化简的解题思路及方法，帮助读者更好地掌握这一技能。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《分式化简的解题思路及方法》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《分式化简的解题思路及方法》篇1一、分式化简的解题思路分式化简的解题思路主要包括以下几个方面:1. 熟悉分式的基本形式：分式通常写成 $frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是代数式。
要化简分式，需要先将其转化为这种基本形式。
2. 确定公因式：在分式中，如果有公共的因子，可以先提出来，这样可以简化分式的形式。
3. 利用分式性质：分式具有一些特殊的性质，如分子分母同乘以一个数或一个代数式，分式的值不变。
利用这些性质，可以对分式进行化简。
4. 运用运算法则：分式的化简也需要运用代数运算法则，如合并同类项、分配律、结合律等。
二、分式化简的方法分式化简的方法主要有以下几种:1. 提取公因式法：这种方法是指在分式中提取公共的因子，将分式化简为最简形式。
例如，将 $frac{2x+4y}{x+2y}$ 化简为$frac{2(x+2y)}{x+2y}$，再进一步化简为 $2$。
2. 拆分分式法：这种方法是指将分式拆分成两个或多个分式，以便更好地提取公因式或运用运算法则。
例如，将$frac{x+y}{x-y}$ 拆分成 $frac{x+y}{x-y} cdot frac{x+y}{x+y} = frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}$。
3. 合并同类项法：这种方法是指将分式中的同类项合并在一起，从而简化分式的形式。
例如，将 $frac{3x+2y}{x+y}$ 化简为$frac{3x+2y}{x+y} cdot frac{x+y}{x+y} =frac{3x^2+2xy+2xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2} =frac{3x^2+4xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}$。
八年级数学上册 3.7 可化为一元一次方程的分式方程 分式求值五技巧素材 (新版)青岛版
分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现.有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难.所以我们要善于总结，寻找技巧，这样才能顺利解题.以下向同学们介绍了几种常用的技巧.一、巧用整体代换例1：已知：x+x 1=2，求x 2+21x的值. 分析：用x+x 1表示x 2+21x，用已知式整体代换所求式. 解： 由x+x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4 所以x 2+21x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x -2•x•x 1 =4-2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4 求 2222n mn m mn m +--的值 分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入. 解：由n m=4可得m=4n 代入原式，原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222c b a ac bc ab ++++的值 分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为k ，把a ，b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了. 解：设2a =3b =4c =k 则a=2k b=3k c=4k 代入求值式：原式=2221694424332kk k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a+a 1=5 则1242++a a a 为________ 分析：由a+a 1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法. 解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来 即2241aa a ++=24a a +22a a +21a =a 2+21a +1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -2+1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -1 =52-1=24 所以，原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若 x 1-y 1=31，求y xy x y xy x ---+3232的值 分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值.这种特殊的方法计算起来简单快捷，但是条件中字母不能任意取值，要受限制.所以我们在选值时要让它符合两个条件：（1）代入条件式和求值式中都有意义.（2）尽量找整数，利于求值计算.解：令x=2代入已知等式得， y=6把x=2，y=6代入求值式，得y xy x y xy x ---+3232=662326262322-••-•-••+•=636212364---+原式=4028 =-107 以上例5题还有其它的巧解方法，希望同学们在今后的学习中多找技巧，提高数学的学习兴趣，丰富自己的生活.。
分式的化简与求值
分式的化简与求值例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有例7 化简分式：解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。
初中数学分式化解求值解题技巧大全
化简求值常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质例1 如果12x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-.2、倒数法例2如果12x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-= ∴原式=13. 3、平方法例3已知12x x +=，则221x x+的值是多少？ 解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x ++=∴+=-= 4、设参数法例4已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc aca b c +-+-的值. 解：设235a b ck ===，则2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5已知,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b ck b c a===，则,,.a bk b ck c ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=， ∴31,1k k == ∴a b c == ∴原式=1.a b ca b c+-=-+5、整体代换法例6已知113,x y -=求2322x xy yx xy y+---的值. 解：将已知变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===-----例： 例5. 已知a b +<0，且满足a a b ba b 2222++--=，求a b a b3313+-的值。
初中数学(初二)考点：分式的化简求值
1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。
分式求值的方法与技巧
分式专题三---分式求值的方法与技巧一．求值;1．已知()224++=+-x B x A x x x ,求A,B 的值; 2．已知:22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ,则A= 、B = 3．若()()212112+++=+++x B x A x x x 恒成立,则A ＋B ＝_______________;二．将条件式变形后代入求值;1．已知432z y x ==,z y x z y x +--+22求的值． 提示：已知连比,常设比值k 为参数,这种解题方法叫参数法2. 二、将求值变形代入求值．1．已知31=+xx ,的值求1242++x x x ． 2．已知的值求ba b a b ab a +-=-+,0622． 3.已知0132=+-a a ,求142+a a 的值; 4． 已知yxy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 5．已知231=-x x ,求分式221xx +的值．6．已知b a 43=,则222232b a b ab a -+-＝_______________;7.2007赤峰已知114a b +=,则3227a ab b a b ab-+=+- ． 8．已知311=+b a ,则bab a b ab a +++-23的值是_________. 9．如果a+a 1=3,则=+221a a __________. 10．已知错误!- 错误!=3,求分式错误!的值.11．若ab=2,a+b=-1,则ba 11+ 的值为 12．若0152=+-x x ,则x x x x 1122+++＝_______________; 13.已知02322=-+y xy x x ≠0,y ≠0,求xy y x x y y x 22+--的值; 三、将条件式和求值式分别变形后代入求值．14．已知a 2＋2a －1＝0,求分式24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值． 注意：本例是将条件式化为“122=+a a ”代入化简后的求值式再求值,这种代入的技巧叫做整体代入．15．已知abc ＝1,则111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值为________． 16．已知)11()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值．17．若.1,11,11的值求bab a c c b +=+=+ 18．若7=+b a ,12=ab ,则ab b a 22+＝_______________;19．若b a a b -=-111,则b a a b +＝_______________; 20．如果n 222108++为完全平方数,则n ＝_______________;21．已知0199752=--x x ,则代数式()()211223-+---x x x 的值是多少22．已知：A=xy-x 2,B=xy y xy x 222+-,C=y x x -2,若A ÷B=C ×D,求D ． 24．已知ac c b b a 111+=+=+,且c b a ≠≠,你能否求出222c b a 的值请说出理由 25.2008四川省达州市符号“a bc d ”称为二阶行列式,规定它的运算法则为：a bad bc c d =-,请你根据上述规定求出下列等式中x 的值． 2111111x x =--26．已知b a b a b a ab b a -+>>=+则且,0622的值为 27．3213213232y x y x x y x y -+--+ 28．143)1(2111=-+-x 29．已知01342=+++x x x ,先化简后求xx x -+-3932的值． 30．化简求值43326512222-+---+÷+--a a a a a a a a ,其中a ＝－3．。
浅谈初中数学分式化简求值的技巧
象 按 照 一个 整体 来 对 待 ， 而这 个 整 体是 各
要 素 按 一定 的思 路 组 合 成 的有 机 统 一体 。
三、 应 用 平 方 差 公 式
在 分 式 化 简求 值 中 ， 若 直 接 进 行 通 分
相 对 较 麻 烦 。因此 ， 可对其进行化简 ， 然 而
方式 是行 不 通 的 ， 然后 再 引 导 学 生 将 各 个 分 式进 行 变形 ，化 成 整 式 和 真 分 式 之 和 ，
学 生 就 会 发 现 这 样 题 目就 可 以 进 行 化 简 了。 通 过 这 种 形 式 为 学生 提 供 更 多 的选 择 方式 ， 可 以 避 免 学 生 在 一 拿 到 题 目之 后 就
＿ ｉ ：
问题简化 ， 提高解题 的速度 ， 同时还 能够提高 解题 的正确率 ， 进 而达到事半功倍 的效果。本
文分 别从整体 思想 、 先 通分后 化简 、 应用 平方 差公式 、 转化假分 式及应用“ 拆 项消分 法” 几方 面探讨分 式化简 的求知技巧。
８
＿ ｉ 二
１ ６ １ ． ６
有机统一体 ， 然 后 再 对 其 进行 分 析 。
比如 在 题 目 “ ａ ｂ ｃ ＝ １ ， 求
ａ ｏ 十 ａ 十 １
一
Ｔ：
３２
Ｔ
＋
一
关键词： 初 中数学； 分 式化简 ； 求值技巧 在 数 学 知识 的学 习 中 ， 最 重 要 的 是 数
学 思 想 和数 学 方 法 的学 习 和 运 用 ， 这是 见 知 识 转 化 为 能力 的桥 梁 。 其 中我 们 所说 的
分式的化简与计算
分式的化简与计算分式（也称为有理数）是由一个整数的比值表示的数，其中分母不等于零。
在数学中，分式的化简与计算是一种重要的运算技巧，它可以使复杂的分式变得简单，并且有助于在解题过程中更加高效地进行计算。
本文将介绍分式的化简和计算方法，并提供一些例子来帮助读者更好地理解和应用这些技巧。
一、分式的化简当我们遇到一个复杂的分式时，我们可以通过化简来简化它，使得操作更加方便。
下面是一些分式的化简方法：1. 因式分解：如果分子和分母都可以因式分解，我们可以通过约去公因子的方式来简化分式。
例如，对于分式3x/6x，我们可以因式分解分子和分母得到3x/(2*3x)，然后约去公因子3x，最终得到1/2。
2. 合并同类项：如果分子或分母中包含多个项，我们可以将其中的同类项合并在一起。
同类项指的是具有相同的变量和指数的项。
例如，对于分式(2x+3y)/(4x+2y)，我们可以合并分子和分母中的x和y的项，得到(2x+3y)/(2(2x+y))，从而更简化了分式。
3. 分式的乘法和除法：对于两个分式的乘法，我们可以将其合并为一个分式。
例如，对于分式(1/2)*(2/3)，我们可以进行分子之间的乘法和分母之间的乘法得到1/3。
类似地，在分子和分母都是分式的除法中，我们可以将其转化为乘法，然后根据分子的性质进行约分。
二、分式的计算在日常生活和数学问题中，我们经常需要对分式进行计算。
下面是一些分式的计算方法：1. 分式的加法和减法：对于两个分式的加法和减法，我们可以先找到它们的公共分母，然后将分子相加或相减，并保持分母不变。
例如，计算(1/2)+(1/3)，我们可以找到它们的最小公倍数6，然后将分子相加得到(3+2)/6=5/6。
2. 分式的乘法：对于两个分式的乘法，我们可以将其分子相乘，分母相乘，并将结果化简到最简分式。
例如，计算(2/3)*(4/5)，我们可以进行分子之间的乘法和分母之间的乘法得到8/15。
3. 分式的除法：在分式的除法中，我们可以将其转化为乘法，并将两个分式的转置相乘。
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化简求值常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质例1 如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少?解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.22221111112131()1x x x x===-+++-.2、倒数法例2如果12x x+=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213x x x x x x x++=++=+-=-= ∴原式=13. 3、平方法例3已知12x x+=，则221x x +的值是多少？解：两边同时平方，得22221124,42 2.x x x x++=∴+=-= 4、设参数法例4已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc aca b c +-+-的值. 解：设235a b ck ===，则2,3,5a k b k c k ===.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5已知,a b c b c a==求a b c a b c +--+的值.解：设a b ck b c a===，则,,.a bk b ck c ak ===∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=， ∴31,1k k == ∴a b c == ∴原式=1.a b ca b c+-=-+5、整体代换法例6已知113,x y -=求2322x xy y x xy y+---的值. 解：将已知变形，得3,y x xy -=即3x y xy -=-∴原式=2()32(3)333.()23255x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===-----例： 例5. 已知a b +<0，且满足a a b ba b 2222++--=，求a b a b3313+-的值。
解：因为a a b ba b 2222++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1所以a b a b a ba a b b a b33221313+-=+-+-()()=-⨯-+-=-+-113312222()a ab b aba ab b ab =+--=---=--()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331=-1评注：本题应先对已知条件a a b ba b 2222++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。
6、消元代换法例7已知1,abc =则111a b cab a bc b ac c ++=++++++ .解：∵1,abc =∴1,c ab= ∴原式=111111a b ab ab a b ab b a ab ab++++⋅++⋅++1111a ab ab a ab a a ab =++++++++ 1 1.1ab a ab a ++==++ 7、拆项法例8若0,a b c ++=求111111()()()3a b c b c a c a b++++++的值.解：原式=111111()1()1()1a b c bcacab⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦111111111()()()a b c a b c a b c a b c =++++++++111()()a b c a b c=++++ 0a b c ++=∵∴原式=0. 8、配方法例9若13,13,a b b c -=-=求2221a b c ab ac bc++---的值.解：由13,13,a b b c -=-=得2a c -=. ∴2222a b c ab ac b ++---2221()()()2a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ 11202=⨯= ∴原式=16.化简求值切入点介绍解题的切入点是解题的重要方向，是解题的有效钥匙。
分式求值有哪些切入点呢？下面本文结合例题归纳六个求分式的值的常见切入点，供同学们借鉴：切入点一：“运算符号”点拨：对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式的分母的运算符号提出来，即可化成同分母分式进行相加减。
例1：求ab a b a b 24222-+-解：原式=b a a b a b ---24222=b a a b --2422=ba b a ---2422=)2()2)(2(b a b a b a --+-=)2(b a +-=b a --2评注：我们在求解异分母分式相加减时，先要仔细观察这两个分式的分母是否互为相反数。
若互为相反数，则可以通过改变运算符号来化成同分母分式，从而避免盲目通分带来的繁琐。
切入点二：“常用数学运算公式”点拨：在求分式的值时，有些数学运算公式直接应用难以奏效，这时，需要对这些数学公式进行变形应用。
例2：若0132=+-a a ，则331aa +的值为______ 解：依题意知，0≠a ，由0132=+-a a 得a a 312=+，对此方程两边同时除以a 得31=+aa ∴18)33(3]3)1)[(1()11)(1(1222233=-⨯=-++=+-+=+a a a a a a a a a a评注：在求分式的值时，要高度重视以下这些经过变形后的公式的应用：①))((22b a b a b a -+=- ②ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+ ③)(3)(]3))[(())((322233b a ab b a ab b a b a b ab a b a b a +-+=-++=+-+=+ ④)(3)(]3))[(())((322233b a ab b a ab b a b a b ab a b a b a -+-=+--=++-=- ⑤])()[(4122b a b a ab --+=切入点三：“分式的分子或分母”点拨：对于分子或分母含有比较繁杂多项式的分式求值，往往需要对这些多项式进行分解因式变形处理，然后再代题设条件式进行求值。
例3：已知5,3-==+xy y x ，求2222223xy y x y xy x +++的值。
解：xy y x y x xy y x y x xyy x y xy x +=+++=+++)2())(2(2232222 ∵5,3-==+xy y x ∴原式=5353-=- 评注：分解因式的方法是打开分式求值大门的有效钥匙，也是实现分式约分化简的重要工具。
像本题先利用十字相乘法对分子分解因式，利用提公因式法对分母分解因式，然后约去相同的因式，再代题设条件式求值，从而化繁为简。
切入点四：“原分式中的分子和分母的位置”点拨：对于那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式，倘若直接求值，则难以求解。
但是，我们可以先从其倒数形式入手，然后再对所求得的值取其倒数，则可以把问题简单化。
例4：已知3112=++x x x ，则1242++x x x 的值为______ 解：依题意知，0≠x ，由3112=++x x x 得,312=++x x x ，即311=++x x 从而得21=+x x ∴3121)1(1112222224=-=-+=++=++x x x x x x x 故311242=++x x x 评注：取倒数思想是处理那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式求值问题的重要法宝。
像本题利用取倒数思想巧变原分式中的分子和分母的位置，从而化难为易。
切入点五：“题设条件式”点拨：当题设条件式难以直接代入求值时，不妨对其进行等价变换，也许可以找到解题钥匙。
例5：已知323=-y x ，则xy xy xyy x 69732-+--的值为______ 解：由323=-yx 得xy x y 323=-，则xy y x 332-=- ∴4116473337)23(33269732-=-=+⨯--=+---=-+--xy xy xy xy xy xy xy x y xy y x x y xy xy y x评注：等价变换思想是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁，是恒等变形的充分体现。
像本题通过对题设条件式作等价变换，找到重要解题条件“xy x y 323=-”和“xy y x 332-=-”，然后作代换处理，从而快速求值。
切入点六：“分式中的常数值”点拨：当题设条件式的值和所要求解的分式的常数相同时，应注意考虑是否可以作整体代入变形求解，以便更快找到解题的突破口。
例6：设1=abc ，求111++++++++c ac cb bc b a ab a 的值解：∵1=abc∴原式=11++++++++c ac cb bc b abc a ab a =1111++++++++c ac c b bc b bc b =abc c ac c b bc b ++++++11=ab a b bc b ++++++1111 =ab abc a abc b bc b ++++++11=b bc bcb bc b ++++++111 =111=++++b bc bcb评注：整体代入变形是分式求值的重要策略。
像本题紧扣“1=abc ”，多次作整体代入处理，先繁后简，逐项通分，最后顺利得到分式的值。
综上可见，找准切入点，灵活变形可以巧妙求解分式的值。
所以，当你遇到分式求值题找不到解题方向时，不妨找准切入点，对原分式变一变，也许分式求值思路现。