第4章第1节不定积分.

Ji JS E 第

4早

不定积分

微分法："*?)互逆运算

积分法：(?y=/(x)J

4. 1不定积分的概念与性质

4.1.1原函数与不定积分的概念

弓I例:一个质点沿直线运动，加速度« = sinz, 求速度v(Z).

即：已知讨⑷= siiu, 求v(0 = ?

定义1若在区间/上，VXG/都有

[F(X)上/(X)或d F(x) = /(x)dx,

则称F(x)^(x)在区间Z上的原函数.

如引例中.sin/的原函数有YosY, Yosf + 3,…

2

问题：

1.在什么条件下•一个函数的原函数存在？

2.若原函数存在.如何表示它的原函数？第5章证明206页定理5.4

定理1 •若/(Q在区间/上连续，则/(X)在f上存在原函数.

初等函数在定义区间上连续=＞初等函数在定义区间上有原函数任何一个自然数的平方还是自然数.aw, 但是一个自然数的平方根不一定是自然数V24S/3,75,76不是自然数初等函数导数还是初等函数但是初等函数的原函数不一定是初等函数3

定理若F(x)是/(X)的一个原函数，

1)则F(x)+C是/(X)的原函数.

2)若＜D(x)也是/(X)的任何原函数，

则＜D(X)=F(X)+C

定义2. /(X)的原函数与任意常数C之和称为/(X)的不定积分.记作jy(x)d小其中

J为积分号;/(X)为被积函数；X为积分变量；/(x)dx为被积表达式.

若[F(兀)卜/(X)测J/(x)cU= F(x) +C^ dr - (C为

任意常—lj/(^)dxj=/(x)或d[ JyXx) cj^l=)/(x)dx

j[F(x)]ax=F(x) + C 或J dF(x) = F(x)+C 4

dx =ln (X +Vx"—fl-) +C

—a

例 1 证明 sin\v,-cos^x,-A cos2x 是同一函数 y 4・2 、，,・ 2 的原函数 lit ： (sin X )= 2sinxcosx= sin2x

(-cos^ •¥)'= -2cosx -(-sinx) = sin2x (-—cos2x) = (-sin2x)-2=sin2x 2 2

J sin 2xd x = sin^ x+C JsinZxdx = - cos' x + C

I sinZxd A = ——cos2x + C ,J .2

故sin^X, — cos^ X, cos2x 都是"“2* 的原函数

2

5

secx +tanx

J sec X dx = ln(sec x+ tan x)+C I ----------- 1

X

Iln(x+7x^^)r= (1+ / 2

异)=―!■

X+Zr? y/x^ -a

2—a ，

(In(secx-Ftanx )y =竺竺竽业

“

2i

不定积分的几何意义：jy(x)dx= F(x) + C 曲线y =F{x)+ c是一些平行曲线

例2设曲线通过点(1,2),且其上任一点处

的切线斜率等于该点横坐标的两倍■求此曲线的方程解：y =lx

y =J 2xdx= +C

所求曲线过点(1,2),故有

2=f+C —

C = 1

因此所求曲线为+ l

8

10

4. 1.3基本积分丧（P165） I 利用逆向思维 （1） J kdx = kx + C （k 为常数）s* j ） （2） 兀“ + 丄+C fxMx = ix^ +C

J a+1 J 3 J X dx = i +C 片日兀=+C jF dx J

（3）

（5）

f d x= arcsin x +C

vl —* arccosx +c

（6） Jcosxdx=sinx+C^^^ 页公式⑴ _（4） （7） f sinx dx=—cosx+C Jf 1 f 2

（8） ——厂 dx= sec xdx = tanx+C

dx

J —^ = --- +C » Y V

1

f — dx= In X +C J X

f —-—dx= arctan X +C J [ + 兀2

或—arc cot X

J cos X J

⑼ f — dx =

X dr=-cotx+C J sin X

（10）f sec X tan xdx = sec x+c

11

12

1. \ kf (x)dx= A: J f(x)dx

2. J[ fM + g(x)]dx = J/(x)dx +J g(x)dx

f X X

例 4•求 JsinyCOSydx

f

X

X

解：r§in —cos —dx

J 2 2

—fsinxdx =——COSX +C 2 J 2

(11) (12)

(13) J cscxcot xdx = —cscx+c

J

In“

例3・

求J 页血 1

_4

_i

——-=dx= f X dx = -3 X +C X^X J

3 +c

11

4・1・4不定积分的性质 (3 0)