控制系统的复域数学模型
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现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型
1 C
∫ i (t )dt
= u c (t )
i (t ) | t = t 0 = i (t 0 )
u c (t ) | t = t 0 = u c (t 0 )
若将 i (t ) 和 u c (t ) 视为一组信息量，则这样一 组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。 状态:表征系统运动的信息和行为 状态 表征系统运动的信息和行为。 表征系统运动的信息和行为 状态变量：系统的状态变量就是确定系 统状态的最小一组变量。（或完全表征 系统运动状态的最小一 组变量。）
di dt
=
R x1 L
1 L
x2+ 1 u( t )
L
x
2
1 x c 1
y = x2 = u c (t )
写成矩阵— 写成矩阵—向量的形式为：
x
1
=
R L
1 L
x1
x
2
1 c
0
x2
+
1 L u( t )
0
y=
x1
0 1
x2
为状态向量
x 1 x2 T 令x =
则：
x=
R L
1 L
1 c
1 x+ L
状态方程 输出方程
一 、状态、状态变量和状态空间
R + u(t)
输入
L
+ + y C uc(t) _ 输出 _
i(t)
_
解：以 i(t) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u c (t ) = u (t ) dt
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。 它们由初始条件
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
控制系统的数学模型及传递函数【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
自动控制原理第2版全篇
=
△
- + - 其中:△称为系统特征式 △= 1 ∑La ∑LbLc ∑LdLeLf+…
—∑La 所有单独回路增益之和
∑L∑和dLLebLLf—c—所有所三有个互两不两接互触回不路接增益触乘回积路之增和益乘积之
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
△k称为第k条前向通路的余子式 去掉第k条前向通路后所求的△
x0
(x x0 )
1 d 2 f (x)
2!
dx2
x0
(x x0 )2
忽略二阶以上各项，可写成
y
f
(x0 )
df (x)
dx x0
(x
x0 )
2、对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量 为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作 点为y0＝ f(x10, x20) 。
注意：相加点和分支点一般不能变位
25
2.3.3闭环传递函数
1、给定输入单独作用下的系统闭环传递函数
(s) G1G2 G1G2 1 G1G2H 1 Gk
2、扰动输入单独作用下的闭环系统
n
(
s)
1
G2 G1G2
H
G2 1 Gk
3、误差传递函数：误差信号的拉氏变换与输入信 号的拉氏变换之比。
（1）给定输入单独作用下的闭环系统
Er
(
s)
1
1 G1G2
H
1 1 Gk
（2）扰动输入单独作用下的闭环系统
En
(
s)
1
G2 H G1G2
H
G2H 1 Gk
4)给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的总的输
出量和偏差输出量
2.2 复数域数学模型
m1
m2
G(s)
K s
( js 1) ( k 2s2 2 k k s 1)
j 1
k 1
n1
n2
(Tis 1) (Tl2s2 2 lTl s 1)
i 1
l 1
22
2.2.2 传递函数极点和零点对输出的影响
传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统 自由运动的模态。
G(s) C(s) 6(s 3) , R(s) (s 1)(s 2)
1 RCs
U 1
r
(s)
RC RCs
1
uc
(0)
若uc(0)=0
Uc (s)
1 RCs
U 1
r
(s)
或
G(s) Uc(s) 1 1
Ur (s) RCs 1 Ts 1
式中 T=RC
4
1、定义
零初始条件下，输出量拉氏变换 输入量拉氏变换
r(t)—输入量， c(t)—输出量 R(s)=L[r(t)], C(s)=L[c(t)]
控制系统中常用的典型环节有:比例环节、惯性环节 、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。
25
1. 比例环节（放大环节） 微分方程：C(t) Kr(t) 传递函数：G(s) K(增益、放大系数）
方框图： R(s) K C(s)
特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。 举例：机械系统中略去弹性的杠杆、无弹性变形的杠杆、 放大器、分压器、齿轮、减速器等等，在一定条件下都可以 认为是比例环节。Leabharlann 26+ E
-
u(t)
+
(t) •
(s)
U (s)
K
电位器
G(s) U(s) K
自动控制原理-胡寿松-第二章
G(s)
C(s) R(s)b0 s m a Nhomakorabea s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
bm
(1s
1)(
2 2
s
2
222s 1)
式中， i
an (T1s 1)(T22s2 22T2s
、T j 称为时间常数；
1)
(is 1)
(2) t≥0 时 f(t)是分段连续的
(3) ∫ ∞ f(t)e -st dt <∞
0
f(t)的拉氏变换为：
F(s)=∫
∞ 0
f(t)e-stdt
记作 F(s)=L[f(t)]
拉氏反变换为：
f(t)=L-1 [F(s)]
第一节控制系统的时域数学模型
2．常用函数的拉氏变换
(3()1(6))单单指位位数斜阶函坡数跃函函数e-数att I(t)
(Tjs 1)
m
K bm
K*
(zi )
i
为传递系数或增益。
an
n
( p j )
j 1
第二节控制系统的复数域数学模型
三、 典型环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很大。但若 从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系 统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。 研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
第二节控制系统的复数域数学模型
1．比例环节
放大倍数
微分拉氏方反程变: 换得c(:t)=Kr(t) c(取t)=拉K氏变换:
单位阶跃响应曲线
得传递函数: Gcr(((tts)))
K
微分方程是控制系统的复数域数学模型
微分方程在控制系统中起着重要的作用，它是描述系统动态行为的数学工具。
控制系统是一种通过操纵一个或多个输入使得系统输出达到期望目标的工程系统。
在实际的控制系统中，常常会出现不确定因素、各种各样的干扰等问题，这些都会对系统的稳定性和性能造成影响。
微分方程能够描述系统的动态行为，通过对微分方程进行分析和求解，可以得到系统的稳定性、阻尼比、频率响应等重要参数，对于控制系统的设计和优化起着至关重要的作用。
一、微分方程在控制系统中的应用微分方程是一种描述系统动态行为的数学模型，它能够准确地描述系统的变化规律和响应特性。
在控制系统中，微分方程通常被用来描述系统的状态方程、传递函数等。
控制系统可以分为线性系统和非线性系统，而微分方程可以准确描述各种类型的系统。
1.线性系统中的微分方程对于线性系统，微分方程通常采用状态空间法进行描述。
状态空间法是一种描述线性系统动态行为的数学工具，它将系统的状态、输入和输出用变量和矩阵的形式表示，系统的动态行为可以通过一组状态方程和输出方程描述。
状态方程一般采用微分方程进行描述，通过对状态方程进行求解和分析，可以得到系统的稳定性、阻尼比、频率响应等参数。
在控制系统的设计和分析中，状态方程是非常重要的，它能够帮助工程师深入理解系统的动态特性，对系统进行优化和设计。
2.非线性系统中的微分方程对于非线性系统，微分方程同样可以进行描述。
非线性系统由于其非线性特性，系统的动态行为往往更加复杂。
微分方程能够准确描述非线性系统的动态特性，在控制系统的设计中，对非线性系统进行微分方程建模是非常重要的。
通过对非线性系统的微分方程进行分析和求解，可以得到系统的稳定性、周期解、混沌现象等重要信息。
这些信息对于控制系统的设计和优化具有重要的指导意义，能够帮助工程师克服非线性系统的复杂性，实现系统的稳定性和性能要求。
二、微分方程在控制系统设计中的重要性微分方程是控制系统设计中不可或缺的数学工具，它能够帮助工程师深入理解系统的动态特性，为控制系统的设计和优化提供重要的信息。
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
自动控制原理：第2章-控制系统的数学模型可编辑全文
下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
2.3 控制系统的复数域数学模型 型
G (s) Y (s) X (s) k Ts 1
式中：k为放大系数，T为时间常数。 特点：其微分方程是一阶的，且输出响应需要一定的时间才 能达到稳定值
实例：RC滤波电路、温度控制系统等
21
当输入为单位阶跃函数时,由 可解得：
y ( t ) k (1 e
t T
G (s)
Y (s) X (s)
线性定常系统：
传 递 函 数 G (s) 输 出 信 号 c ( t )的 拉 氏 变 换 C ( s ) 输 入 信 号 r ( t )的 拉 氏 变 换 R ( s ) 零 初 始 条 件
传递函数的零初始条件的含义： 一、指输入量是在 t 0 时才作用于系统，因此在 时，输入量及其各阶导数均为零；
s 1) s 1)
R1 R 2 R2
1 1 Ts
R1 R 2 R2
1 Ts
T
R1 R 2 C R1 R 2
10
[传递函数的几种表达形式]： 表示为有理分式形式：
G (s) Y (s) X (s) bm s
m n
b m 1 s
m 1 n 1
15
•例4 具有相同极点不同零点的两个系统
G 2 (s) 1 .5 s 2 ( s 1 )( s 2 )
1
G1 (s)
4s 2 ( s 1 )( s 2 )
,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为
4s 2 ] 1 2e
t
c1 (t ) L [
s ( s 1 )( s 2 )
2 2
( T1 s 1)( T 2 s 2 T 2 s 1)...( T j s 1)
式中：k为放大系数，T为时间常数。 特点：其微分方程是一阶的，且输出响应需要一定的时间才 能达到稳定值
实例：RC滤波电路、温度控制系统等
21
当输入为单位阶跃函数时,由 可解得：
y ( t ) k (1 e
t T
G (s)
Y (s) X (s)
线性定常系统：
传 递 函 数 G (s) 输 出 信 号 c ( t )的 拉 氏 变 换 C ( s ) 输 入 信 号 r ( t )的 拉 氏 变 换 R ( s ) 零 初 始 条 件
传递函数的零初始条件的含义： 一、指输入量是在 t 0 时才作用于系统，因此在 时，输入量及其各阶导数均为零；
s 1) s 1)
R1 R 2 R2
1 1 Ts
R1 R 2 R2
1 Ts
T
R1 R 2 C R1 R 2
10
[传递函数的几种表达形式]： 表示为有理分式形式：
G (s) Y (s) X (s) bm s
m n
b m 1 s
m 1 n 1
15
•例4 具有相同极点不同零点的两个系统
G 2 (s) 1 .5 s 2 ( s 1 )( s 2 )
1
G1 (s)
4s 2 ( s 1 )( s 2 )
,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为
4s 2 ] 1 2e
t
c1 (t ) L [
s ( s 1 )( s 2 )
2 2
( T1 s 1)( T 2 s 2 T 2 s 1)...( T j s 1)
自动控制原理 第2章数学模型
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件 都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
第二章 控制系统的数学模型
本章内容
2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图/方框图 2.4 梅森公式与信号流图
系统的数学模型
数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的 数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统 的数学模型。
b0s m a0s n
b1s m 1 a1s n 1
... bm 1s ... an 1s
bm an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
传递函数-控制系统的复域数学模型
称为传递函数零极点增益模型
G(s)
K
(1
s
1)(
2 2
s
2
22s 1)
(i s 1)
(T1s 1)(T22s2 2T2s 1) (Tj s 1)
称为传递函数时间常数模型
2、传递函数的性质
1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是 固有特性的描述，反映了线性定常系统输入量和输出量之 间的一种关系式。
这说明此时系统的g(t)与传递函数G(s)有单值对应关系，它们 都可以用来表征系统的动态特性。
5) 闭环传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统特征方程。
3、传递函数的求解
1）利用微分方程求传递函数 2）利用复数阻抗求电路传递函数
例 图示为一由电感L、电阻R和电容C组成的电路
解：此电路的电压平衡方程式 （微分方程）：
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b0x(t)
式中：x(t)—输入，y(t) —输出
ai ,bj (i 0 ~ n, j 0 ~ m) 为常系数
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）
(ansn an1sn1 a1s a0)Y(s) (bmsm bm1sm1 b1s b0)X (s)
2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关 3) 传递函数是复变量s的有理真分式函数，即mn。（ m 、n分
别为分子、分母的最 高阶次。）
4) 若输入为单位脉冲函数，即r(t)=(t)，则R(s)=L[r(t)]=1， 则 g(t) L-1[R(s)G(s)] L-1[G(s)]
LC
d 2 uo(t) dt 2
自动控制原理
F k x k vdt
1 dF v k dt
4.阻尼器（不储存能量，吸收能→热能） 平动阻尼器 K：阻尼系数 F：阻尼力 dy F kv k y：位移 dt
旋转阻尼器
d T k k dt
K：阻尼系数 ω：旋转角速度 θ：旋转角度 T：阻尼力矩
例2-3
建立如图所示为电枢控制 直流电动机的微分方程， ＋ if 要求取电枢电压 La Ra ua(t)(v)为输入量，电 动机转速ωm(t)(rad/s) ＋ ia ωm 为输出量，列写微分方 负 ua Ea Jm,fm SM 载 程。图中Ra(Ω)、La(H) 分别是电枢电路的电阻 _ 和电感，Mc(N· M)是折 电枢控制直流电动机原理图 合到电动机轴上的总负 载转距。激磁磁通为常 值。
k
F(t)
x(t)位移
m
弹簧 阻尼系数f 阻尼器
首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物 体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在 我们单独取出m进行分析
F1 kx ( t ) F 2 f x (t)
而 F ma
K2
Ra Ra f m CmCe
电动机传递系数
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽 略不计时 ⑥还可进一步简化为 Cem (t ) U a (t ) ⑦ 电动机的转速m (t ) 与电枢电压 U a(t ) 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。
2 线性系统
1).定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这 样的系统就是线性系统。 线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元 件。
3).重要特点：对线性系统可以应用迭加性和 齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和 干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几 个外作用单独求响应，然后加起来就是总响 应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时， 其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可 以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉 冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化 了问题。
1 dF v k dt
4.阻尼器（不储存能量，吸收能→热能） 平动阻尼器 K：阻尼系数 F：阻尼力 dy F kv k y：位移 dt
旋转阻尼器
d T k k dt
K：阻尼系数 ω：旋转角速度 θ：旋转角度 T：阻尼力矩
例2-3
建立如图所示为电枢控制 直流电动机的微分方程， ＋ if 要求取电枢电压 La Ra ua(t)(v)为输入量，电 动机转速ωm(t)(rad/s) ＋ ia ωm 为输出量，列写微分方 负 ua Ea Jm,fm SM 载 程。图中Ra(Ω)、La(H) 分别是电枢电路的电阻 _ 和电感，Mc(N· M)是折 电枢控制直流电动机原理图 合到电动机轴上的总负 载转距。激磁磁通为常 值。
k
F(t)
x(t)位移
m
弹簧 阻尼系数f 阻尼器
首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物 体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在 我们单独取出m进行分析
F1 kx ( t ) F 2 f x (t)
而 F ma
K2
Ra Ra f m CmCe
电动机传递系数
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽 略不计时 ⑥还可进一步简化为 Cem (t ) U a (t ) ⑦ 电动机的转速m (t ) 与电枢电压 U a(t ) 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。
2 线性系统
1).定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这 样的系统就是线性系统。 线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元 件。
3).重要特点：对线性系统可以应用迭加性和 齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和 干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几 个外作用单独求响应，然后加起来就是总响 应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时， 其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可 以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉 冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化 了问题。
2-3 控制系统的复数域数学模型
uL
uC
－
di (t ) uL (t ) L L dt 1 t 或 iL (t ) uL ( )d L
1 t uC (t ) iC ( )d C du (t ) 或 iC (t ) C C dt
拉氏变换式
（零初始条件）
U R ( s) R I R ( s)
复阻抗 （频域）
2018/8/22
UR ZR R IR
UL ZL j L IL
UC 1 ZC IC jC
15
RLC
＋
iR
R
iL
－ ＋
L
iC
－ ＋
C
uR
uL
uC
－
复数域
（零初始条件， 拉氏变换）
U R ( s) R I R ( s)
U L (s) Ls I L (s)
d K t dt U s ( s) U s ( s) Kt s Kt 或 G( s) 传递函数 G ( s) ( s) ( s) u (t ) K t
2018/8/22
24
3、机械转动系统：
M
J f
J – 旋转物体的转动惯量； f – 阻尼器的粘性摩擦系数； M – 转矩，输入量； ω – 转速，输出量。
1.直接法（利用微分方程求取）：列出微分方程→ 拉氏变换→传函。
2.复阻抗法：只适用于电网络，方便、实用。 3.利用动态结构图求取：简化计算、非常方便。 4.利用梅逊公式求取。
5.实验法：实际测量，多用频率特性。
2018/8/22
13
用复阻抗法求电路的传递函数（补充）
电路中有3种基本阻抗元件：电阻、电容和电感。
自动控制原理(数学模型)精选全文完整版
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
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G(s) 1 S
特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消
失，输出具有记忆功能。
实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计 算机中的积分器等。
5 振荡环节
G(s)
n 2
1
S 2 2n S n2 T 2S 2 2TS 1
式中 ξ－阻尼比
(0 1)
T 1
n
n-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
X c (s)
B1s 机K械1 系统传递函数
X r (s) (B1 B2 )s K1 K2
(R1
R2
•
)U
c
(1 C1
1 C2
)U
c
•
R1 U r
1 C1
U
r
5/18/2020 5:55:56 PM
3
(R1
R2 )SUc (s)
(1 C1
1 C2
)U c (s)
R1SU r (s)
1 C1
于是，由定义得系统传递函数为：
5/18/2020 5:55:56 PM
2
G(s)
C(s) R(s)
b0sm b1sm1 bm1s bm sn a1sn1 an1s an
M (s) N (s)
M (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm N (s) sn a1sn1 an1s an
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模 态所占比重越大
零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小
5/18/2020 5:55:56 PM
7
2.2.3典型环节及其传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。 典型环节通常分为以下六种：
1 比例环节
G(s) K
式中 K-增益
c(t)
an1
d dt
c(t)
anc(t )
b0
dm dtm
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是 与系统结构和参数有关的常系数。
设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零， 即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方 程为： [sn a1sn1 an1s an]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s am]R(s)
i 1
(i 1,2,,m) Z i为传递函数的零点
N (s)
n
(S Pj ) ( j 1,2,,n) Pj 为传递函数的极点
j 1
极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系
统自由运动的模态。
5/18/2020 5:55:56 PM
6
-1.33
-0.5
-2
z2 -1
z1
图2-7 传递函S
1 C1
U r (s)
(R1R2 )S
(1 C1
1 C2
)
电系统的传递函数
2.2.2 传递函数性质
性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所 具有复变量函数的所有性质。
性质2
G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式（幅度与大小）无关。
R(s)
G(s)
C(s)
图2-6
5/18/2020 5:55:56 PM
4
性质3
G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的 物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
性质4 性质5
如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。
如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研 究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出 该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。
传递函数数学模型是（表示）输出变量和输入变量微 分方程的运算模型
性质 传递函数与微分方程之间有关系。
6
G(s)
C (s) R(s)
如果将 S d dt
5/18/2020 5:55:56 PM
置换 传递函数 微分方程 5
性质 传递函数的极点和零点对输出的影响
7
m
G(s)
M (s)
K*
(S Zi )
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其 输出出现振荡。
实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
5/18/2020 5:55:56 PM
10
2.2.4典型元部件的传递函数
电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。
图2-8 电位器
单个电位器用作为信号变换装置。
3 微分环节
理想微分 G(s) KS
一阶微分 G(s) S 1 二阶微分 G(s) 2S 2 2 S 1
特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入 信号的变化趋势。
实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数
即为微分环节。 5/18/2020 5:55:56 PM
9
4 积分环节
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式 变送器等。
2 惯性环节
1
G(s)
TS 1
5/18/2020 5:55:56 PM
8
式中 T-时间常数
特点：含一个储能元件，对突变的输入, 其输出不能立即复现，输出无振荡。
实例：图2-4所示的RC网络，直流伺服电动机的 传递函数也包含这一环节。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
传递函数
输出信号的拉氏变换 输入信号的拉氏变换零初始条件
C(s) R(s)
5/18/2020 5:55:56 PM
1
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn dtn
c(t)
a1
d n1 dt n1
例
求例2-4机械系统与电路系统的传递函数Xc(s和) Uc (s)
解：
Xr (s)
U r (s)
•
•
(B1 B2 ) X c (K1 K2 ) X c B1 X c K1X r
(B1 B2 )SXc (s) (K1 K2 ) X c (s) B1SX r (s) K1X r (s)
2.2 控制系统的复域数学模型 2.2.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。
用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。