构建知识体系

解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP.
则PM=8-3-2=3(cm)，
1
QM=A1B1= 2
×2×π×2=6(cm)，
在Rt△QMP中，由勾股Baidu Nhomakorabea理得
PQ QM 2 PM 2 3 5cm.
答：蜘蛛爬行的最短路径长是3 5 cm．
[方法归纳] 在曲面上求两点之间的最短距离,根据“两 点之间线段最短”和“化曲面为平面”的转化思想,利用 勾股定理解决.
当高AD在△ABC外部时，自己画出示意图求解
【针对训练6】. 1.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC
边上的高AD=8,则BC的长度
=________________________. 2.等腰△ABC的腰长为10cm, △ABC的面积为
30cm²，则底边长_________________________.
A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.2,3,4 D.1,,3
〔解析〕 ∵42=16,52=25,62=36,∴42+52≠62,∴长为4,5,6的线段不能构成直角 三角形;∵1.52=2.25,22=4,2.52=6.25,∴1.52+22=2.52,∴长为1.5,2,2.5的线段能构成 直角三角形.故选B.
[方法归纳] 给出三条线段的长度,判定能否构成直角三角形的步骤:(1)分别计 算三条线段长的平方;(2)看是否满足两较短线段长的平方和等于最长线段长的 平方;(3)做出判断.
【针对训练3】.如果下列各组数是三角形的三边，那么不
能组成直角三角形的一组数是( ).
A．7，24，25 B 2,1.5,2.5
正方形面积与勾股定理中的a2、b2、c2的相互转化
在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置
的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个
4 的正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则
S1+S2+S3+S4=
。
3
1
2
S1
S2
S3
S4
[方法归纳]以Rt△ABC三边a,b,c的三边为边长分别向 外作正方形、等边三角形、半圆、等腰直角三角形， 都有S1+S2=S3成立
C S2 b a
c A
S1 B
S3
C S2 b A
S1 a c
S3
专题二 实际问题中应用勾股定理
例2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的 意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一 根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端 恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
如果三角形的三边长a，b，c满足
Ca B
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
【针对训练5】. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶
点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是_____
B
A
专题六：分类讨论思想
例6 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高， 且AD＝12，求△ABC的周长．
解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16. 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
每周习惯：调整自我，适应课堂。 每日一言：为了理想，不懈奋斗。 课前准备：课本、练习本、双色笔
相信自己，我能行！
第十七章 勾股定理
构建知识体系
昌吉市第五中学 胡玉莲
要点梳理
专题讲练
归纳小结
课后作业
要点梳理 一、勾股定理
1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
C．5，7，9
D．4，7.5，8.5
专题四：勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用 (数形结合思想）
已知△ABC中,AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线 AD=12 cm,求证AB=AC. 证明:∵AD为中线,∴BD=DC=5 cm.
在△ABD中,∵AD2+BD2=169,AB2=169, ∴AD2+BD2=AB2, ∴∠ADB=90°, ∴AC2=AD2+DC2=169,∴AC=13 cm, ∴AB=AC.
A
b
c
Ca B 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理的应用条件 在直角三角形中才可以运用
3.勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2，
c a2 b2 , a c2 b2 ,b c2 a2
二、勾股定理的逆定理
A
1.勾股定理的逆定理
c b
a2+ b2=c2
Ｒt△
直角边a、b，斜边c
形
Ｒt△
逆定理:
a2+b2=c2 互
逆
数
命
a2+b2=c2 题
三边a、b、c
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形 是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
知识体系
专题讲练
专题一：用勾股定理计算图形的面积
例1 如图，Rt△ABC中，AC=5，BC=12，分别 以它的三边为直径向上作三个半圆， 则阴影部分面积为______
【针对训练2】 有一根旗杆在离地面9m处 断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗 杆折断之前长________m.
[方法归纳] 勾股定理的 实际应用时遇到求线段长 度类问题,通常可以通过 构造直角三角形,从而利 用勾股定理求解.
专题三：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形
(滨州中考)下列长度的四组线段中,可以构成直角三角形的是 ()
【针对训练4】.如图所示,已知四边形ABCD中
,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.则四边形ABCD的面积是
.
专题五：用勾股定理计算最短路径（转化思想） 例5 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如 图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1 上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最 短路径长(π取3).