反比例函数的图像与性质2
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反比例函数的图象和性质(2)课件人教版数学九年级下册
o
x
-1
A
2、下列各点在双曲线
y2 x
上的是（ B
）
A、（ 4 ， 3 ） 32
B、（ 4 ， 3 ） 32
C、（ 3 ， 4 ） 43
D、（ 3 ， 8 ） 43
例2：如图是反比例函数 y m 5 的图象一支，
根据图象回答下列问题 ：
x
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是
什么？
探究1.
如图,点P是反比例函数 y 图2 象上的一 x
点,PD⊥x轴于D.求△POD的面积
1
S△POD
=
2
OD·PD
=
1 m n
2
=
1k 2
y
P (m,n)
oD
x
如图,点P是反比例函数 y 图2象上的一 x
点,PA⊥x轴于A, PB⊥y轴于B.则长方形
PAOB的面积为 2. S△POD =OD·PD
y
o SS1 1A
SS2
B
x
C2 D
8.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A, B,C, x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1, B1,C1三点,
边结OA,OB,OC,记OAA1, OBB1, OCC1的
面积分别为S1, S2, S3,则有 _A_ .
y
A.S1 = S2 = S3
B. S1 < S2 < S3
小测：
1.反比例函数的图象是__双__曲__线______.
2.反比例函数
y2 x
的图象在第__二__、__四___象限内，
在每一象限内，y 随x 的增大而______增__大_.
3.点(m,2) 在双曲线
反比例函数的图象与性质(2)
3 （4）已知点(x1,y1)，(x2,y2)都在反比例函数 y 的图 x 象上，且y ＜ y ，则x x 的大小关系是 .
1 2 1、 2
k （5）已知点A(2,1) 在反比例函数 y 的图象上，当 x
1＜x＜ 4时 ，y的取值范围是
.
k (6)如果点（-2,y1)，(-1,y2)和(3,y3)都在反比例函数 y x 的图象上，那么y1、 y2 、y3的大小关系又如何呢？
图象与性质(2)
y
0
y
x
0
x
k 反比例函数 y (k 0)的图象 x
1.形状： 2.位置：
反比例函数的图象是双曲线 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
3.对称性：
既是中心对称图形;又是轴对称图形.
2 4 6 观察反比例函数 y , y , y 的图象，回答下列 x x x 问题：
1、反比例函数的性质: 反比例函数y=k/x的图象是两支曲线； 当k>0时,图象位于第一、三象限，在每一象限内，y的值 随x的增大而减小； 当k<0时,图象位于第二、四象限，在每一象限内， y的值 随x的增大而增大. 2、双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交 . 3、反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对 称图形,又是关于直线y=x和y=-x的轴对称图形. 4、在反比例函数y=k/x的图象上任取一点，分别作坐标轴 的垂线（或平行线），与坐标轴所围成的S矩形=︱K ︱
1、 2
（2）已知点(2,y1)，(1,y2)，(-1,y3)，(-2,y4)都在反比例 1 函数 y 的图象上，则y1、 y2 、y3、y4的大小关系 x 是 y3＜y4 ＜ y1＜y2.
27.2反比例函数图像和性质2
-m>-2 m<2
(3) y2 y1 y3
y3 C
-A3 -1o y1 2
x
B y2
例3 已知反比例函y数 k的图象经过点(3，-4) （1）写出函数关系式 x
（2）根据函数图象，当x取什么值时，函数值小于0？
（3）当3 x 时1，求y的取值范围？
解： （1） 将(3，4)代入y 得k
y
1.指出反比例函数的
y
k2 x
图像所在的象限.
练习
第一、三象限.
2.指出下列反比例函数的图像所在的象限，并说明
在每个象限内，y的值随x的值的增大而变化的情况.
(1) y
3 ；(2) x
y
1； x
(3)
y
10； (4) x
y
3 2x
.
图像位于第一、三象限，在每个象限内，y的值
随着x值的增大而减小： （1）（4） 图像位于第二、四象限，在每个象限内， y的值
y
y
y k x
y k x
o
x
o
x
A
y
B
y
o
x
C
o
x
D
学练优88页8题
9.如果正比例函数y=kx的图像经过第一、
三象限，那么反比例函数y k 下列说
法正确的是（D） k>0
x-k<0
A.它的图像在第一、三象限，且在每个象限
内，y随着x的增大而减小.
B.它的图像在第一、三象限，且在每个象限 内，y随着x的增大而增大.
4 k 3
x
k 12
y 12
x
(2) x>0时，函数值小于0
（3）
6.2反比例函数的图像和性质2
在每一象限内， 函数值y随自 变量x的增大 而增大。
正、反比例函数的图象与性质的比较：
正比例函数
解析 式
图象
反比例函数
k y ( k 0) x
双曲线 k＞0，一、三象限； k＜0，二、四象限．
y kx ( k 0)
直线
k＞0，一、三象限； k＜0，二、四象限．
位置
增减 性
k＞0，y随x的增大而增大； k＞0，在每个象限y随x的 增大而随x的 增大而增大．
LQ @ LQZX
y
A（1，4）
K
o
x
反比例函数的图象与性质：
反比例 函数
k y= x
（k > 0）
图 象
图象的 位置
图象的 对称性
增减性
y
0
x
第一、 两个分 三象 支关于原 限内 点成中心 对称
在每一象限内， 函数值y随自 变量x的增大 而减小。
k y= x
（k < 0）
y 0 x
两个分 第二、 支关于原 四象 点成中心 限内 对称
6.2
反比例函数的图象及性质
（2）
反比例函数的性质
1.当k>0时,图象的两个分支分别在第 一、三象限内； 2.当k<0时,图象的两个分支分别在第 二、四象限内。 3.图象的两个分支关于直角坐标系的 原点成中心对称。
双曲线的两个分支无限接近x轴和y 轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
练习
k 1．反比例函数 y ( k 0 ) 的图象经过点（－1， 2），那 x 2
A
C
D
图1
O
x
LQ @ LQZX
A
LQ @ LQZX
反比例函数图像与性质第2课时
反比例函数与幂函数的比较
幂函数
$y = x^n$，图像为单调递增或 递减的曲线，当n>0时，在第一 象限和第三象限；当n<0时，在
第二象限和第四象限。
反比例函数
$y = frac{k}{x}$，图像为双曲线， 与x轴交点为$(pmsqrt{k},0)$，与 y轴交点为$(0,-frac{1}{sqrt{k}})$。
在流体中，压强与高度之间存在 反比关系，即随着高度的增加， 压强减小；随着高度的减小，压 强增大。
反比例函数在经济中的应用
供需关系
在市场经济中，供给与需求之间存在反比关系。当需求增加 时，供给量减少；当需求减少时，供给量增加。
投资回报率
投资回报率与投资规模之间存在反比关系。随着投资规模的 增大，投资回报率可能会降低。
像上。
答案与解析
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
判断题答案与解析
错。反比例函数图像可 能在第一、三象限或第 二、四象限，取决于k 的正负。
选择题答案与解析
答案不唯一，如点(1, 1)或(-1,1)都在反比例 函数图像上。解析：反 比例函数图像上的点满 足xy = k (k ≠ 0)，因此 只需验证给定点是否满
反比例函数图像与性 质第2课时
目录
• 反比例函数的图像 • 反比例函数的性质 • 反比例பைடு நூலகம்数的应用 • 反比例函数与其他函数的比较 • 习题与解答
01
反比例函数的图像
反比例函数图像的形状
反比例函数的图像通 常位于第一象限和第 三象限，呈双曲线状。
图像在x轴和y轴上都 没有截距。
当x为正数时，y为负 数；当x为负数时，y 为正数。
例函数图像上。
反比例函数图像与性质2
2 例：在反比例函数 y 的图象上有两点（x1，y1）、 （x2， x y2）,若x1>x2 ,则y1>y2吗？ 解： 不一定y1>y2 若x1 x2 0或者0 x1 x2，则y1>y2 若x1 0 x2 , 则y1<y2
3 5、正比例函数y=x与反比例函数 y 图象交点有 两 个， 3x 正比例函数y=x与反比例函数 y 图象交点有 零个。 x
3 (1) y 2x
1 ( 2) y 2x
( 3) y
3
4x
1 ( 4) y 800x
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B )
3 ( A) y x
2 1 k 3 ( B) y (C ) y ( D) y x x x 1 a 2 4、函数 y 的图象在第 二、四 象限。 x
例题讲解
6、长方形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系式为 点（-2，-10）是否在其图像上？（不在），用图象大致可表 示为（ D ） （B）双曲线在第三象限的一支 （A）直线 （D）双曲线在第一象限的一支 （C）双曲线
已知圆柱的侧面积是10π cm2,若圆柱底面半径为
rcm,高为hcm,则h与r的函数图象大致是(
1、什么是反比例函数？
解析式 图象名称
K>0
y=kx (k≠0) 直 线 (过原点） 图象位于：一、三象限 增减性： y随x的增大而增大
性 质
图象位于：二、四象限 K<0 y随x的增大而减小 增减性：
研究反比例函数的图象和性质
画函数图象的一般步骤:
1、列表 2、描点 （自变量怎样取值？ 自变量的取值范围）
).
反比例函数图象与性质(二)
99 2.对于函数 y ,x＜0时,y ＞0 x
,且
y的值随x的增大而
增大
.
老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同
学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限;
乙:函数的图象经过第四象限;
丙:在每个象限内,y随x的增大而增大.
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的 一个函数: .
已知反比例函数的图象经过点A（2，6） （1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大 而如何变化？ 4 1 （2）点B（3，4）、C（-2 ,-4 ）和D（2，5） 5 2 是否在这个函数的图象上？
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，双曲线 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，双曲线 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
性 质
m5 如图是反比例函数 y 的图象的一支，根据 x 图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围 是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和 点B(a2,b2),如果a1>a2,那么b1和b2有怎样的大小关 系？
（3）如果a3>0>a1>a2, 那么b3,b1,b2的大小 关系如何？
2
x
5.如图,若正比例函数y=2x与y=ax（a＞0）的图象
k 与反比例函数y= （k＞0）的图象分别交于A、 x
C两点。若Rt△AOB与Rt△COD的面积分别记 为S1、S2，请你分析S1和S2的大小关系.
反比例函数的图像和性质2
例2、根据下图中点的坐标
y （1）求出y与x的函数解析式。 （2）如果点A（-2，b）
0
A(-2,b) .
x B (3,-1)
在双曲线上，求b的值。 (3)比较绿色部分和黄色部 分的面积的大小。
答：一样大。因为双曲线上任何一点 的横坐标与纵坐标的乘积是一个常数。
想一想
y
o B y= x A
5
如图：A、B是双曲线y= x 上的 任意两点 。 过A、B两点分别作
P(a,b)
X>0
填一填
2 1.函数 y 是 反比例 函数，其图象为双曲线 ， x
其中k= 2 ，自变量x的取值范围为 x≠ 0
.
6 2.函数 y 的图象位于第一、三 象限, x
在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x＞0时,y ＞ 0,这部分图象位于第 一 象限.
6 3.函数 y 的图象位于第二、四象限, x
x
着|k|的增大，反比例函数的图象的位置相对于坐标原点 是越来越远还是越来越近？
结论三：
随着|k|的增大，反比例函数的图象的位置相对于坐标 原点会越来越远。
巩固练习
3、如图是三个反比例函数
k3 k1 k2 y1 , y2 , y3 x x x
在x轴上方的图象，由此观察得到( A k1 > k2 > k3 B k 3 > k2 > k 1 C k 2 > k1 > k3 D k3 > k1 > k2
3 y 关系式是 x .
p
y
N
o x
M
例2、根据下图中点的坐标
y （1）求出y与x的函数解析式。 （2）如果点A（-2，b）
反比例函数的图像和性质2ppt
K
1.如图,点P是反比例函数 y 图 象2 上的一 x
点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
1
S△POD
=1
2
OD·PD
y
= 1 mn
2
o
= 1k
2
P (m,n)
D
x
y k
k
x
2
拓展：
反比例函数
上一点P（x0，y0），
过点P作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为
A、B，则四边形AOBP的面积
为
；且S△AOP
S△BOP
。
=
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点, 过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分 面积为3,则这个反比例函数的
关系式是
y
.
3 x
y
p
N
M ox
3.如图:A、C是函数 y 1 x
的图象上任意两点，过A,
B两点分别作X轴和Y轴的垂线，垂足分别为B,D，连接
OA和OC，得Rt△OAB和Rt△OCD，设Rt△OAB和Rt
y
S1
A
S2 S3
B C
o A1 B1 C1
x
2、如图，已知反比例函数 y 1 2 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标
是6。
（1）求这个一次函数的解析式
y
（2）求△POQ的面积
D
P
C
o
x
Q
3.如图，在平面直角坐标系，正方形OABC的顶点
O与坐标原点重合，点C的坐标为（0,3），点A在X
x
（2，-1），则k的值为-2
；
2、反比例函数y k 的图象经过点
反比例函数的图像与性质2
一坐标系内的图象大致是 （D ）
6y
6y
4
4
2
-5
O
-2
A -4
5x
2
-5
O
-2
B -4
先假设某个函数 5 x 图象已经画好，
再确定另外的是否 符合条件.
6y
4 2
6y
4 2
-5
O
5x
-5
O
5x
-2
C
-4
-2
D
-4
3.已知反比例函数 y k (k≠0)
x
当x＜0时，y随x的增大而减小，k＞0 则一次函数y=kx-k的图象不经过第 二 象限
3.已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)且x1＜0＜x2 都则在y1与反y比2的例大函小数关y系(xk从(大k＜到0)小的) 图象上,
为 y1 ＞0＞y2 .
y
A
oy1 x2
x1 y2
B
x
4.已知点 A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3) 都在反比例函数 y 4 的图象上,
的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为1 .
y
P (m,n)
oD
x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一 点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴 影部分面积为3,则这个反比例函数的
关系式是
y
3 x
.
y
p
N
M ox
例5:如右图点为反比例函数上一点,若图中
阴影部分即三角形AOB的面积为4,求反比
反比例函数的图象与性质2
比较正比例函数和反比例函数的区别
函数 解析式
图象形状
正比例函数
2反比例函数的图像与性质课件
函数图象画法
描点法
列
表
描 点
连 线
作反比例函数 y= 4 的图象
列表
x
自变量x不能取0
(在自变量取值勤范围内取一些值,并计算相应的函数值)
x
-8
-4
-3
-2
-1 1
y4 1
x
2
-1
4 3
-2 -4
2 -8
x
1 2
1
y4 8
4
x
2
3
2
4
3
4
8
11
2
描点
连线
思考：1、你认为作反比例函数图象是应注意哪些问题？
3 x
pN M ox
3. 如图，正比例函数 y kx(k 0)与反比例函数
y 2 相交于A、B两点．过 A作x轴的垂线、过B
x
作y轴的垂线，垂足分别为D、C，设梯形ABCD的
面积为S，则( B )
A．S＝6
B．S=3
y
C．2<S<3
D．3<S<6.
A
O
D
x
B
C
梳理概括,形成结构
请大家环绕以下三个问题小结本节课 ① 什么是反比例函数?
y
B P(m,n) 长方形面积 ︳m n︱ ＝︳K︱
oA
x
三角形的面积
SAOP
k 2
y
1.如图,点P是反比例函数 y 图4x 象上的一点,PD⊥xP
轴于D.则△POD的面积为 .
2
oD x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分
别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这
y
《反比例函数的图像和性质》PPT教学课件(第2课时)
∵-3<-1,∴y1>y2.
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. （重点）
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义，并会
应用其解决问题. （难点）
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式，探究下列问题：
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
反比例函数中比例系数的几何意义
如图所示,点A在反比例函数 y
3
x
(x >0)的图像上,AB⊥x轴于
B,AC⊥y轴于C,你能求出矩形OBAC的面积吗?
回答问题:
(1)矩形的两条邻边长与点A的坐标之间有什么关系?
(2)点A在反比例函数图像上,它的横、纵坐标与比例系数之间
反比例函数的图像和性质
第2课时
学习目标
1 通过对反比例函数图像进行比较和归纳，得到反比
例函数的性质,并能灵活运用函数的图象和性质解
决问题. （重点）
2 理解反比例函数的比例系数的几何意义，并会
应用其解决问题. （难点）
知识讲解
6
6
y
y
观察上节课我们画出的反比例函数
与
的
x
x
图像及表达式，探究下列问题：
4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.
例1
反比例函数 y
k
x
的图像如图所示.
(1)判断k为正数还是负数.
(2)如果A(-3,y1)和B(-1, y2)为这个函
数图像上的两点,那么y1与y2的大小
关系是怎样的?
解:(1)∵反比例函数
限,∴k>0.
y
k
的图像在第一、三象
x
(2)由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小.
是否有等量关系?
(3)你能求出矩形OBAC的面积吗?
(4)求出的矩形面积与比例系数之间有什么关系?
解:设点A的坐标为(x,y),则x y=3.
∴S矩形OBAC= x y=3.
拓展思考:
八年级数学反比例函数的图象和性质2
第五章
2.反比例函数的图象与性质
复习回顾
1.反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是一 个怎样的图象？
反比例函数的图象是双曲线 2.反比例函数的图象的位置与k有 怎样关系？
当k>0时，两支曲线分别位于第一、 三象限内；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、 四象限内.
3 反比例函数的图象可能与x轴相交吗？ 可能与y轴相交吗？为什么？
x2
y1 A(x1,y1)
B(x2,y2)
y2
观察反比例函数 y 2 , y 4 , y 6
xxx
的图象，回答下列问题：
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的 值怎样变化？
在每一象限内，y的值随x值的增大而减小。
如果k=－2, －4,－6,那么函数 的图象有又什么共同特征？
y
k x
不能与x轴、y轴相交。
因为x≠0，所以不与y轴相交； 因为y ≠0，所以不与x轴相交。
结论：图像的两个分支无限接近x轴和 y轴，但永远不会与X轴、y轴相交。
4、 将反比例函数的图象绕原点旋转 180°后，
5、 将反比例函数的图象沿着直线y=x或 直线y=-x折叠后，两部分图象能重合吗？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第四象限； x<0 时，图象在第二象限。
如果k=－2, －4,－6,那么函数 的图象有又什么共同特征？
原力，使我们变成行义的人，以真诚涵摄了现实的人，则不足为奇的恋爱，因容纳而与恒河等长，生命因
观察反比例函数 y 2 , y 4 , y 6
xxx
的图象，回答下列问题：
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？ 第一、三象限内。
2.反比例函数的图象与性质
复习回顾
1.反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是一 个怎样的图象？
反比例函数的图象是双曲线 2.反比例函数的图象的位置与k有 怎样关系？
当k>0时，两支曲线分别位于第一、 三象限内；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、 四象限内.
3 反比例函数的图象可能与x轴相交吗？ 可能与y轴相交吗？为什么？
x2
y1 A(x1,y1)
B(x2,y2)
y2
观察反比例函数 y 2 , y 4 , y 6
xxx
的图象，回答下列问题：
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的 值怎样变化？
在每一象限内，y的值随x值的增大而减小。
如果k=－2, －4,－6,那么函数 的图象有又什么共同特征？
y
k x
不能与x轴、y轴相交。
因为x≠0，所以不与y轴相交； 因为y ≠0，所以不与x轴相交。
结论：图像的两个分支无限接近x轴和 y轴，但永远不会与X轴、y轴相交。
4、 将反比例函数的图象绕原点旋转 180°后，
5、 将反比例函数的图象沿着直线y=x或 直线y=-x折叠后，两部分图象能重合吗？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第四象限； x<0 时，图象在第二象限。
如果k=－2, －4,－6,那么函数 的图象有又什么共同特征？
原力，使我们变成行义的人，以真诚涵摄了现实的人，则不足为奇的恋爱，因容纳而与恒河等长，生命因
观察反比例函数 y 2 , y 4 , y 6
xxx
的图象，回答下列问题：
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？ 第一、三象限内。
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y
当k>0时,在每 一象限内,y随 x的增大而减 小
8 7=4 X=2时, y=2 X=4时， y=1
y=4/x
x
-8 –7–6 –5–4 –3 -2-1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180度后, 能与原来的图象重合吗?
温故而知新
问题情景，导入新课。 1.什么是反比例函数？ k 一般地，形如 y = — ( k是常数, k≠0 ) 的函数叫做反比例函数。 x 2.反比例函数的图象是什么?图象的位置由谁决定?分别在哪些象限? 反比例函数的图象是双曲线. 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内, 当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内 以前我们学习了一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,知道了 当k>0时, y随x的增大而增大,当k<0时,y随x的增大而减小. 那么反比例函数有哪些性质呢?
7.下列函数中y随x的值增大而增大的有( c ) A.y=-2x+1 B.y=3/x C.y=-3/x(x<0) D.y=-2x
加油!继续努力!
动手操作
y3>y1>y2
炼就火眼金睛
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在y=4/x上,比较y1,y2,y3的大小 2.变式练习:已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在y=k/x上, 比较y1,y2,y3的大小.
y
y=4/x
o
x
y
y=4/x
o
x
y
y=4/x
o
x
y
y=4/x
o
x
o
x
y
y=4/x
y
y=4/x
o
x
y
y=4/x
o
x
y
y=4/x
x
o
x
y
归纳总结
归纳 总结
1.过反比例函数图象上任意一点向x轴,y轴作 垂线,与坐标轴围成的矩形面积等于|k|,若 与原点相连,所构成的直角三角形的面积等 于|k|/2. 2.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中 心对称图形. 对称轴有两条:y=x和y=-x,对称中心是原点 .
随堂练习
1.下列函数中,其图象位于第一、三象限的是 (1)(2)(3)
______;在其图象所在象限内,y的值随x的值增大 而增大的有_________ (4) (1)y=1/2x (2)y=0.3/x (3)y=10/x (4)y=-7/2x m 1 2.反比例函数y= 在其图象所在象限内,y的 x m>-1 值随x的值增大而减小,则m的取值范围为_______ 3.反比例函数y=k/x经过点(3,-2),在其所在象限内 ,y的值随x的值增大而___________ 增大 2 a 1 4.a<0时,反比例函数 y x 的增减性如何?
y=k4/x
y=k1/x
k1>k2>k3>k4
思考： 反比例函数y=m/x与一次函数y=kx+b 交于点A(1,8),和B(4,2),则三角形AOB 15 的面积是________
y=k3/x
y=k2/x
y
A B
双曲线离原点越远 k的绝对值越大 双曲线离原点越近 k的绝对值越小
o
x
你有什么收获？
• 反比例函数的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而 减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大. • 过反比例函数图象上任意一点向x轴,y轴作垂线,与坐标轴 围成的矩形面积等于|k|,若与原点相连,所构成的直角三 角形的面积等于|k|/2. • 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形. 对称轴有两条:y=x和y=-x,对称中心是原点.
数形结合是一种很好的数学方法! 由特殊到一般是一种常用的数学思想!
自学释疑
观察与猜想
观察反比例函数y=2/x，y=4/x 与的图象,你能发现它们的共同特点 y 吗? y y=2/x y=4/x
o
x
o
x
(1)函数图象分别位于哪几个象限内？
(2)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？ 可能与y轴相交吗？为什么？
（3)在每一个象限内，随着x的值增大，
y的值是怎样变化的？
解疑释疑 探求新知
反比例函数的图象与性质 （2）
梨河中学 高淑芳
教学目标：
1.进一步巩固作反比例函数的图象. 2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反 比例函数的主要性质. 3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组 织能力. 教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特 征，探索 反比例函数的主要性质. 教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的 主要性质.
在每一象限内,y随x的增大而增大
你真棒！
5.下列函数中y随x的值增大而减小的有( D ) A.y=3x B.y=3/x C.y=-3/x D.y=-3x 6.y=3/x,当x>0时图象在第______象限, y随x的值增 一 大而_____,当x<0时图象在第______象限, y随x的 减小 三 值增大而______ 减小
当K>0时, y3>y1>y2 当k<0时,y2>y1>y3
3.反比例函数y=（m+1）/x经过点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0<x2 时,有y1>y2,则m的取值范围是________ m<-1
小心！这里 有陷阱！
我 为 你 骄 傲 ！
注意数形结合！
驶向胜利 的彼岸
4.如图所示:比较k1,k2,k3,k4的大小.
当k>0时,在每 一象限内,y随 x的增大而减 小
8 7=4 X=2时, y=2 X=4时， y=1
y=4/x
x
-8 –7–6 –5–4 –3 -2-1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180度后, 能与原来的图象重合吗?
温故而知新
问题情景，导入新课。 1.什么是反比例函数？ k 一般地，形如 y = — ( k是常数, k≠0 ) 的函数叫做反比例函数。 x 2.反比例函数的图象是什么?图象的位置由谁决定?分别在哪些象限? 反比例函数的图象是双曲线. 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内, 当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内 以前我们学习了一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,知道了 当k>0时, y随x的增大而增大,当k<0时,y随x的增大而减小. 那么反比例函数有哪些性质呢?
7.下列函数中y随x的值增大而增大的有( c ) A.y=-2x+1 B.y=3/x C.y=-3/x(x<0) D.y=-2x
加油!继续努力!
动手操作
y3>y1>y2
炼就火眼金睛
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在y=4/x上,比较y1,y2,y3的大小 2.变式练习:已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在y=k/x上, 比较y1,y2,y3的大小.
y
y=4/x
o
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y=4/x
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归纳总结
归纳 总结
1.过反比例函数图象上任意一点向x轴,y轴作 垂线,与坐标轴围成的矩形面积等于|k|,若 与原点相连,所构成的直角三角形的面积等 于|k|/2. 2.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中 心对称图形. 对称轴有两条:y=x和y=-x,对称中心是原点 .
随堂练习
1.下列函数中,其图象位于第一、三象限的是 (1)(2)(3)
______;在其图象所在象限内,y的值随x的值增大 而增大的有_________ (4) (1)y=1/2x (2)y=0.3/x (3)y=10/x (4)y=-7/2x m 1 2.反比例函数y= 在其图象所在象限内,y的 x m>-1 值随x的值增大而减小,则m的取值范围为_______ 3.反比例函数y=k/x经过点(3,-2),在其所在象限内 ,y的值随x的值增大而___________ 增大 2 a 1 4.a<0时,反比例函数 y x 的增减性如何?
y=k4/x
y=k1/x
k1>k2>k3>k4
思考： 反比例函数y=m/x与一次函数y=kx+b 交于点A(1,8),和B(4,2),则三角形AOB 15 的面积是________
y=k3/x
y=k2/x
y
A B
双曲线离原点越远 k的绝对值越大 双曲线离原点越近 k的绝对值越小
o
x
你有什么收获？
• 反比例函数的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而 减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大. • 过反比例函数图象上任意一点向x轴,y轴作垂线,与坐标轴 围成的矩形面积等于|k|,若与原点相连,所构成的直角三 角形的面积等于|k|/2. • 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形. 对称轴有两条:y=x和y=-x,对称中心是原点.
数形结合是一种很好的数学方法! 由特殊到一般是一种常用的数学思想!
自学释疑
观察与猜想
观察反比例函数y=2/x，y=4/x 与的图象,你能发现它们的共同特点 y 吗? y y=2/x y=4/x
o
x
o
x
(1)函数图象分别位于哪几个象限内？
(2)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？ 可能与y轴相交吗？为什么？
（3)在每一个象限内，随着x的值增大，
y的值是怎样变化的？
解疑释疑 探求新知
反比例函数的图象与性质 （2）
梨河中学 高淑芳
教学目标：
1.进一步巩固作反比例函数的图象. 2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反 比例函数的主要性质. 3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组 织能力. 教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特 征，探索 反比例函数的主要性质. 教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的 主要性质.
在每一象限内,y随x的增大而增大
你真棒！
5.下列函数中y随x的值增大而减小的有( D ) A.y=3x B.y=3/x C.y=-3/x D.y=-3x 6.y=3/x,当x>0时图象在第______象限, y随x的值增 一 大而_____,当x<0时图象在第______象限, y随x的 减小 三 值增大而______ 减小
当K>0时, y3>y1>y2 当k<0时,y2>y1>y3
3.反比例函数y=（m+1）/x经过点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0<x2 时,有y1>y2,则m的取值范围是________ m<-1
小心！这里 有陷阱！
我 为 你 骄 傲 ！
注意数形结合！
驶向胜利 的彼岸
4.如图所示:比较k1,k2,k3,k4的大小.