固体力学 SMF03

或
&&i τ Ki , K + ρ 0 f i = ρ 0 u
由于该张量不仅不是对称张量， 甚至两个基矢量不在同一构形， 第一基矢量在初始构形， 而第二基矢量在变形后构形。用它来建立本构关系不很方便。 对照(4)式，若引进
S = τ ⋅ (F −1 )T = JF −1 ⋅ σ ⋅ (F −1 ) T
4
固体力学研究生学位课固体力学基础电子讲义
姚振汉
独立的转动场 φ 。应变张量也有两个， eij 和 γ ij ：
eij = ui , j − eijk φk
分布载荷除分布力 f 外还有分布力偶 程和平衡方程。
γ ij = φi , j
m 。由动量定理及动量矩定理可以导出其运动方
这一理论开始没有得到应用，后来在与强磁场有关的高技术领域中得到了一定的应 用。 非局部连续介质力学属于广义连续介质力学。它舍弃局部化假设，考虑到载荷对物 体运动和变形的远距离直接效应，以及物质点间的远距离相互作用。在讨论内、外特征 长度相近的问题（例如弹性裂纹尖端的应力分布、短波范围内的 Love 波等）时，这种 理论能给出较古典理论更为接近实际的结果。
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)
无论小变形、有限变形，在变形后构形中用 Cauchy 应力表示的平衡方程总是(2) 式。但是，对于有限变形或大变形问题，如果基本方程在变形后构形上建立，采用 Euler 坐标，将面临边界形状本身在求解时也是未知的这样的困难。这很不便于求解。因此通 常要把方程化到初始构形上，即采用 Lagrange 坐标。 推导过程可以列出如下： 由对于连续体任意部分体积动量定理出发
σ (jν ) = niσ ij
由此可证应力是二阶张量 。 ２） Ｃａｕｃｈｙ 应力张量 由六面体微元的力矩平衡可证为二阶对称张量 。对于二阶张量可写出坐标转换公 式。 对于二阶对称张量可列出如下性质：不变量，３ 个独立的不变量；主轴方向，主分 量（主应力）；最大剪应力，八面体剪应力；分解为球形张量（平均应力）和应力偏量 考虑有限变形情况，可以注意到：在外界载荷等作用下，内力和外力在变形后状态 处于平衡状态。
应力与平衡
一、应力概念与应力张量（复习）
σ ν = lim
坐标面上的应力矢量可分解成应力分量
∆F ∆S →0 ∆S
σ 11 σ 12 σ 13 (σ ij ) = σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
约定：第一下标为截面方向，第二下标为对某坐标轴的分量。 计算斜截面应力的 Cauchy 应力公式 ：
固体力学研究生学位课固体力学基础电子讲义
姚振汉
《固体力学基础》
2
1) 应力概念
与量子力学、分子动力学中粒子之间作用力的概念不同，连续介质力学中通常研究 在外加载荷或其它作用下引起的伴随着变形的附加内力。 Euler-Cauchy 应力原理： 在任一曲面分开的两部分介质之间的作用力即通过界面互 相作用的作用力与反作用力，远程力可以忽略不计。 这种相互作用用应力矢量 来定量表示：
于是
n dS = J (F −1 ) T ⋅ n0 dS0
S′
∫ n ⋅ σ dS = ∫ J (F
S0 ′
−1 T
) ⋅ n0 ⋅ σ d S0 = ∫ n0 ⋅ τ dS0
S0 ′
由此可以导出
其中 F −1 = e I X I , j e j ，用指标符号可以写出 τ 与 σ 之间的关系为
τ = JF − 1 ⋅ σ
n dS
其中
形成的元体积，若变形后与变形前元体积之比为
J ，则可以写出
a ⋅ ndS = Ja0 ⋅ n0 dS0 a = F ⋅ a0 a0 = F −1 ⋅ a
F 为变形梯度张量，其分量为 xi , J ， F −1 为其逆，其分量为 X I , j ， J 为其行列式的值 （ J = det F ）。由于对于任意的矢量 a 成立 a ⋅ ndS = Ja 0 ⋅ n0dS 0 = JF −1 ⋅ a ⋅ n0 dS0 = a ⋅ J (F −1 ) T ⋅ n0dS0
量的关系式还可写成
(5)
则该张量亦为对称张量，称为第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量。它和第一类 P-K 应力张
τ = S ⋅ F T = S ⋅ ( I + ∇ 0u) S IJ = τ Ik X J , k
第二类 P-K 应力张量的基矢量均在变形前的初始构形，用它在初始构形列出的运动 方程为
四、正交曲线坐标下的平衡方程（略）
习题：
推导球坐标系中的平衡方程。
5
S′
&&dV ∫ tdS + ∫ ρfdV = ∫ ρu
V′ V′
其中
S′
∫ tdS = ∫ n ⋅ σ d S = ∫ ∇ ⋅ σ dV
S′ V′
考虑到 V ′ 的任意性，可以导出连续体的运动方程
&& ∇ ⋅σ + ρ f = ρu
对于静力问题，就得到平衡方程
∀x ∈V ∀x ∈V
(1)
∇ ⋅σ + ρ f = 0
2
固体力学研究生学位课固体力学基础电子讲义
姚振汉
S′
∫ n ⋅ σ dS = ∫ n ⋅ τ dS
0 S0 ′
0
根据 n dS 和 n0dS0 之间的关系，可以导出 τ 和 σ 之间的关系。在初始构形中由任意矢 量 a0 和边界面元 n0dS 0 形成的元体积，在变形后构形中变为由任意矢量 a 和边界面元
三、偶应力理论（微极弹性固体）及非局部连续介质力学
根据 Cauchy 应力原理，连续介质之间的作用归结为作用在界面上的面力，面力是 界面上的点的函数，作用于界面每点的力只有这种面力，而没有分布力偶。 后来又提出了一种偶应力理论，在面元上除去面力外还作用有面力偶。对于这种理 论，应力张量将不再是对称张量，由动量矩定理可以导出附加的力矩平衡方程。 这种模型针对由可以平移和独立进行转动的微小刚体物质点组成的弹性固体，除应 力张量 σij 外，还有（力）偶应力张量 mij 。为了描述它的运动，除去位移场 u 外还有
二、由动量定理导出连续体的运动方程
任何物体的运动，都可用动量定理或 Newton 运动第二定律写出其运动方程。Euler
1
2
应力与平衡
和 Cauchy 把 Newton 第二定律推广应用于连续介质内部的任一区域。 由动量定理
Fdt = mdv
或 Newton 第二定律
F = ma
对于连续体，在变形后构形
&& ∇ 0 ⋅ ( S ⋅ F T ) + ρ 0 f = ρ0 u &&i (S KL xi , L ), K + ρ 0 f i = ρ 0 u 思考题：
(6)
以悬臂细长薄板梁为例，对于在悬臂端承受重力载荷产生大挠度变形情况画出任意一点 处的应力分量 σ 11 , τ 11 , S11 ，并写出相应的自由表面边界条件，分析采用哪种应力分量比 较方便。
S′
&&d V ∫ n ⋅ σ dS + ∫ ρfdV = ∫ ρu
V′ V′
(3)
考虑到质量守恒 ρ dV = ρ0 dV0 ，对(3)式中的两个体积分可以写出
V′
∫ ρ fdV = ∫ ρ
V0′
0
f dV0
V′
&&dV = ∫ ρ u &&dV ∫ ρu
0 V0′
0
对(3)式中的第一个面积分希望也能写成对应的简单形式
(4)
τ Ik = JX I , j σ jk
还可以写出
τ = e I τ Ij e j = e I JX I , k σ kj e j
此张量称为第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量。 利用这第一类 P-K 应力张量，运动方程可写成
&& ∇ 0 ⋅τ + ρ0 f = ρ0u
3
2
应力与平衡