第四章圆的基本性质复习课件

【试题精选】
1．(2013 年黑龙江牡丹江)在半径为 13 的⊙O 中，弦 AB∥
CD，弦 AB 和 CD 的距离为 7.若 AB＝24，则 CD 的长为( )
A．10
B．4 30
C．10 或 4 30
D．10 或 2 165
解析：如图 20，连接 OA，OC，作直线 EF⊥CD 交 CD 于 E，交 AB 于 F，则 EF⊥AB.∵OF⊥AB，OE⊥CD，∴AF＝12AB ＝12，CE＝12CD.在 Rt△AOF 中，根据勾股定理，得 OF＝
第4讲 圆
第1课时 圆的基本性质
1．理解圆弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等 弧的概念．
2．探索圆周角与圆心角及其所对的弧的关系． 3．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它 所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．
【试题精选】 3. (2013 年湖南株洲)如图 4-4-8，AB 是⊙O 的直径，∠BAC
＝42°，点 D 是弦 AC 的中点，则∠DOC 的度数是___4_8_°_．
4．(2014 年广西贵港)如图 4-4-9，AB 是⊙O 的直径，BC ＝
CD ＝ DE ，∠COD＝34°，则∠AEO 的度数是( A )
解：CD＝CE.理由：连接 CO. ∵C 是弧 AB 的中点，∴ AC ＝ BC.∴∠COD＝∠COE. ∵CD⊥AO，CE⊥BO，∴CD＝CE.
垂径定理的简单应用 例题：(2013 年甘肃兰州)如图 4-4-5 是一圆柱形输水管的横 截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8 cm，水的最 大深度为 2 cm，那么该输水管的半径为( )
考点 1 圆的有关概念及性质 1．圆． (1) 平面上到____定__点____ 的距离等于___定__长___ 的所有点组 成的图形叫做圆． (2)圆是轴对称图形，也是____中__心____对称图形． (3)不共线的___三__点___可以确定一个圆．
2．垂径定理及其推论． (1)定理：垂直于弦的直径___平__分___这条弦，并且___平__分___ 弦所对的弧．
132－122＝5.
(1)
(2)
图 20
①如图 20(1)，当 AB 和 CD 在圆心的两侧时，
则 OE＝EF－OF＝2.在 Rt△COE 中，根据勾股定理，得
CE＝ 132－22＝ 165.∴CD＝2 165. ②如图 20(2)，当 AB 和 CD 在圆心的同侧时，
则 OE＝EF＋OF＝12.在 Rt△COE 中，根据勾股定理，得
圆心角与圆周角之间的关系 例题：如图 4-4-7，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠BOC＝ 120°，延长 BO 交⊙O 于点 D. (1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)试求∠BAD 的度数．
(1)证明：∵∠BOC＝120°， ∴∠BAC＝ ∠12BOC＝60°.
又∵AB＝AC，∴△ABC 是等边三角形． (2)解：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°.(直径所对的圆 周角是直角)
(4)垂径定理及其推论可概括为：
过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
知二推三
3．圆心角、弧、弦的关系． (1)定理：在同圆或等圆中，相等的___圆__心__角___所对的弧相 等，所对的弦相等． (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、___两__条__弧__、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等．
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
解析：如图4-4-5，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，连接 OA. ∵OD⊥AB，∴AD＝12AB＝12×8＝4(cm)．设 OA＝r cm，则 OD＝r－2(cm)． 在 Rt△AOD 中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝(r－2)2＋42.解得 r＝5. 答案：C
1．如图 4-4-1，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，CD⊥ AB 于点 E，则下列结论不成立的是( D )
A．∠A＝∠D C．∠ACB＝90°
B．CE＝DE D．BD＝CE
2．(2014 年贵州铜仁)如图 4-4-2，点 A，B，C 在圆 O 上，
∠A＝64°，则∠BOC 的度数是( C )
考点 2 与圆有关的角及其性质 1．圆心角：顶点在____圆__心____，角的两边和圆相交的角． 圆周角：顶点在____圆__上____，角的两边和圆相交的角． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，等于它所对的圆心角的___一__半___． 推论：直径所对的圆周角是____直__角___；90°的圆周角所对 的弦是直径．
A．26° B．116°
C．128°
D．154°
3．如图 4-4-3，∠AOB＝100°，点 C 在⊙O 上，且点 C 不 与点 A，B 重合，则∠ACB 的度数为( D )
A．50° B．80°或 50° C．130° D．50°或 130°
4．如图 4-4-4，C 是劣弧 AB 的中点，过点 C 分别作 CD⊥ OA，CE⊥OB，点 D，E 分别是垂足，试判断 CD，CE 的大小 关系，并证明你的结论．
CE＝ 132－122＝5.∴CD＝10.
∴CD 的长为 10 或 2 165.
答案：D
2．(2013 年湖南邵阳)如图 4-4-6，某窗户是由矩形和弓形 组成，已知弓形的跨度 AB＝3 m，弓形的高 EF＝1 m，现计划 安装玻璃，请帮工程师求出 AB 所在圆 O 的半径 r.
解：由题意可设 OA＝OE＝r.∵EF＝1，∴OF＝r－1. ∵OE⊥AB，∴AF＝12AB＝12×3＝1.5(m)．
(2)推论 1： ①平分弦(不是直径)的直径___垂__直___于弦，并且平分弦所 对的____弧______； ②弦的垂直平分线经过_____圆__心_____，并且平分弦所对的 两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分_____弦_____，并且 平分弦所对的另一条弧．
(3)推论 2：圆的两条平行弦所夹的____弧___相等．
A．51°
B．56°
Hale Waihona Puke C．68°D．78°
在 Rt△OAF 中，OF2＋AF2＝OA2， 即(r－1)2＋1.52＝r2.解得 r＝ 183. 名师点评：垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧 相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长的计算中常常 需要添加辅助线(半径或弦心距)．利用垂径定理及其推论(“平 分弦”为条件时，弦不能是直径)，将其转化为直角三角形，应 用勾股定理计算．