第8章 数列与无穷级数

∑u
n
的余和。
若级数 n =1 的部分和数列 2．级数的基本性质
∞
∑u
un {s n } 发散，则称级数 ∑ n =1 发散。
∞
（１）若
∑un = s
n =1
∞
， c 是常数，则 n =1
∞ ∞
∑ cu
n
n
= cs
。
（2）若 n =1
∞
∑u ∑u
n
=s， n =1
n
∑v
n
=σ
∞
，则 n =1
∑ (u
，则 L ≥ 0 。
若∃正整数 N，当 n > N时成立 a n ≤ bn ≤ c n , 且 lim a n = lim c n = L, 则 lim bn = L
n→∞ n →∞ n →∞
（2）
单调有界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5． 5． 数列极限与函数极限的联系 对于数列
∞
a = f (a
)
每个级数 n =1
∑u
n
涉及到两个数列：一是由其项构成的数列｛u n ｝ ，二是由其部分和构成
∞
的数列｛s n
｝ 。级数
∑u
n =1
∞
n
的敛散性是用｛s n ｝的敛散性定义的。
∞
一般，即使级数 n =1
∑u
n
收敛，要求其和也是很困难的。但只要级数 n =1
∑u
n
收敛，我们就
可以用部分和近似表示它的和，其误差为 n 。故我们首先关心的是判断级数的敛散性。 ２、级数的基本性质 （１） 、在级数的每一项上同乘以一不为零的常数，级数的敛散性不变。
3． (1) 若 3．
x →∞
数列极限的性质 >0 则 ∃正整数
lim a n = L
N
n →∞
， 当
n > N 时 成 立 a n >0 ；
若∃正整数 N，当n > N时成立 a n ≥ 0, 且 lim bn = L
(2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）:
∞ ∞
s ' ( x ) = (∑ c n x n )' = ∑ nc n x n −1
n =0 n =1
(−r < x < r ) ；
ｃ）和函数 s ( x ) 在 ( − r , r ) 内可积，且可逐项积分：
= 3． 3． 幂级数的展开 （1）函数的泰勒级数
∞
∫
x
0
s( x)dx∫Fra bibliotekx ∞
∞
0
∑ cn x n dx
∞
为 f(x)在点 x 0 的泰勒级数。而称
f ( n ) ( 0) n f ( n ) (0) x ∑ n! n! x n +… n =0 = f ( 0 ) + f ' ( 0) x + L + x 为 f(x)的麦克劳林级数（ 0 =0 时的泰勒级数） 。
（2）函数的幂级数展开（间接展开法） 利用五个初等函数的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的代数运算，分析运算， 变量代换 等手段，求给定函数的幂级数展开式。
∑ (−1) n+1 u n
（及
∑ (−1)
n =1
n
un
）
∑u u 若∑
若
∑ u 绝对收敛； u u 发散，而 ∑ 收敛，则称 ∑ u 绝对收敛级数 ∑ 必收敛。
n n
收敛，则称
n
n
n
条件收敛。
n
绝对收敛级数的任一更序级数仍绝对收敛于原级数的和。 （四）幂级数 1．幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）阿贝尔定理
（４）收敛区间与收敛域
∞
当幂 级 数
∞
∑a
n =0
n
xn
+ r ）是 它 的 收 敛 区 间 ； 当 判 定 的收 敛 半 径 r>0 时， 称 （ − r，
在 x = ± r 处的敛散性后，可确定其收敛域。 2．幂级数的运算 （1）代数运算
n =0
∞
∑a
n
xn
设
∑a
n =0
∞
n
x n = s1 ( x)
∞
{s n } 为级数 n =1
n
∑u
n
若级数
∑ un
n =1
lim s n {s } 的部分和数列 n 收敛，即 n →∞
=s
，则称级数 n =1
∑u
收敛，称 s 为该
∞
∞
∞
级数的和，记为
∞
∑ un = s
n =1 n
rn = s − s n =
，同时称
k = n +1
∑ uk
∞
为级数 n =1
当 n =0 (3)
∑a
n
xn
+ ∞ ）上都收敛时，定义收敛半径 r =+ ∞ 。 在（ − ∞， 收敛半径的计算
∞
设幂级数 n = 0
∑ an x n
满足
a n ≠ 0 , n > N （这里的 N 是某个正整数） ,且
lim
a n +1 =L n →∞ a n
，
1 则 （a）当 L>0 时， r = L ; (b) 当 L=0 时， r = + ∞ ; (c) 当 L= + ∞ 时， r =0。
∞ ∞
若幂级数 n = 0 在某点 的任一点处均绝对收敛；
∞
∑ an x n
x = x0 ( ≠ 0)处收敛，则 n =0
∞
∑a
n
xn
在区间（
− x0 , x0
）内
若幂级数 n =0 散。
∑ an x n
∞
在某点 x = x1 处发散，则 n =0
∑a
n
xn
在满足
x > x1
的任一点 x 处均发
（2）收敛半径的定义 若幂级数 n = 0
∑a
n
xn
+ ∞ ）内的任一点处均收 不是仅在点 x=0 处收敛，也不是在（ − ∞，
∞ ∞
敛，则存在正数 r，使当
∞
x <r
时， n = 0
∑a
n
xn
收敛；而当
∞
x >r
时， n = 0
∑a
n
xn
发散，称此正
数 r 称为幂级数 n = 0
∞
∑a
n
xn
的收敛半径。 当 n =0
∑a
n
xn
仅在点 x =0 处收敛时， 定义收敛半径 r =0;
+ vn ) = s + σ
。
（3）若 n =1 收敛，则 n = m +1 也收敛，其中 m 任一正整数；反之亦成立。 （4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。
∞
∑u
n
（5）级数收敛的必要条件：若 n =1 （三）数项级数 1．正项级数
∞
∑u
n
收敛，则 n →∞
lim u n = 0
。
（1）正项级数 n =1 收敛的充要条件是其部分和数列 （2）正项级数的比较判别法及其极限形式
∞
∑u
n
{s n } 有界。
∞ ∞
设
∞
0 ≤ u n ≤ v n (n = 1,2,L)
， （ １ ）若
∑ vn
n =1
收敛，则 n =1
∑ un
收敛； （ ２ ）若
∑u
n =1
n
发散 ，
则 n =1
∑v
n
发散。
∞ ∞
设 n =1 与 n =1 相同的敛散性。 （3）正项级数的积分判别法
∞
∑u
n
∑v
∞
r
∞
（２） 、收敛级数可以逐项相加。而且，若
∞
∑
un
收敛，
∑v
n =1
n
n =1
发散，则必有
发散。 （３） 、在级数的前面添上或去掉有限项，不影响级数的敛散性。 （４） 、收敛级数可以加括弧，即满足加法的结合律。若加括弧后的级数发散，则原级数发 散。
n =1
∑ (u
n
+ vn )
（５） 、
lim u n
n =1
1
∑u
n
与广义积分 ∫
+∞
f ( x )dx
设
∑u
lim
n
为正项级数，且
n→∞
u n +1 =ρ un , 则
（a） ρ <1 时，级数
∑u
n
收敛；
（b）当 ρ >1（包含 ρ = +∞ ）时，级数 （c）当 ρ = 1 时，本判别法失效。 （5）正项级数根值判别法的极限形式 设
∑u
n
收敛；
{a }
lim a n = L
。否则称数列
{a n } 发散。
lim (a n ) = L1
， n →∞ ；
lim bn = L2
，c 是常数，则
lim (ca n ) = cL1
n→∞
lim (a n ± bn ) = L1 ± L2 lim (a n bn ) = L1 L2
n →∞
；
；
a L lim n = 1 , (L2 ≠ 0) n →∞ b L2 n 。
n =0
= n =0
∑ n + 1x
cn
n +1
， (−r < x < r ) ；
设函数 f(x)在点 x 0 的某个邻域内有任意阶导数，则称幂级数
∑
n =0
f ( n ) ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )( x − x0 ) + L + n! ( x − x0 ) n +… n! =
第8章
（一） （一） 数列 1． 1． 数列极限的定义
数列与无穷级数 内容提要
a −L ε {a } 若 ∀ε >0， ∃ 正整数 N ，使得当 n > N 时成立 n < ,则称常数 L 是数列 n 的极
限，或称数列 n 收敛于 L ，记为 n → ∞ 2． 2． 数列极限的运算法则 若 n→∞
n →∞
x → +∞
{a n } ， 若 存 在 定 义 域 包 含 [1，∞) 的 函 数 f (x ) ， 使 f (n )
lim a n = L
。
= an ， 且
lim f (x ) = L
6．
，且 n → ∞ 6． 数列与数列的关系 ，
nk
（1）若 n→∞
lim a n = L
{a }是 {a }的一个子数列，则
∞
n
∑∑
a k bn − k ) x n
b)
＝ s1 ( x) s 2 ( x) ，收敛半径 r = min(r1 , r2 ) （这里两个幂级数的乘积是柯西乘积） 。 （2） 、分析运算
∞
设
∑
cn x n = s(x)
n=0
，收敛域 I ，收敛半径 r > 0 ，则
a) 和函数 s ( x ) 在 I 上连续； b) 和函数 s ( x ) 在 ( − r , r ) 内可导且可逐项求导：
，收敛域为 I
2
，收敛半径 r1 >０， ，收敛半径 r2 >０，
∞
∑
则
∞
bn x n = s2 ( x )
n=0
，收敛域 I
∞
2
∑
a)
(a n ± bn ) x
n
=
n=0
∑
anx
n
±
n=0
∑
bn x n
n=0
＝ s1 ( x) ± s 2 ( x) ，收敛域为 I 1 ∩ I 2 ；
( ∞ ∞ n n ( ∑ a x ) ( ∑ b x ) = n n n =0 k =0 n = 0 n = 0
1
n → ∞ 时，通项关于无穷小 n 的阶数易观察而得，应优先考虑与 p 级数比较， （利用比较 判别法或其极限形式） 。 （３） 、比较判别法的比较对象，一般可取等比级数和 p 级数，故下列结论应牢记。
∞
等比级数
∞
∑ aq
n =1
n −1
当
q
<1 时，收敛于
∑u
n
为正项级数，且 n→∞
lim n u n = ρ
,
则
（a）当 ρ <1 时，级数
∑u
n
收敛；
(b) 当 ρ >1（包含 ρ = +∞ ）时，级数 ( c) 当 ρ = 1 时，本判别法失效。 2．交错级数的莱布尼兹判别法
∑u
n
发散；
∞
∞
收敛，且余和 。 3. 绝对收敛与条件收敛
lim u n = 0 u 若正数列 ｛ n ｝单调减少，且 n →∞ , 则交错级数 n =1 rn ≤ u n+1
n
lim a nk = L
k →∞
。
k →∞ （2）若 k →∞ （二）无穷级数的基本概念 1．级数敛散性的定义
lim a 2 k = lim a 2 k +1 = L
，则 n → ∞
lim a n = L
。
n k =1 称 的部分和数列。
∞
∞
∞
sn = ∑ uk
为级数 n =1
∑u
n
的前 n 项部分和 (n = 1,2,L) ，而称数列
n→∞
＝０是级数
∑u
n
收敛的必要条件，但不是充分条件。因此由
lim u n
n→∞
≠ ０可推得级数 ∑ u n 发散。
a n }收敛于零，也可考虑以下方法：证明级数 ∑ an 收敛，再利用级数 a
若需证明数列{
收敛的必要条件得{ n }收敛于零。 （三） 、数项级数 １、正项级数 （１） 、首先得注意多种正项级数判敛法使用的前提，就是必须是正项级数。 （２） 、一般，对于通项含有阶乘、指数函数、幂指函数等因式的正项级数，可优先考虑利 用比值判别法；对于通项含有指数函数、幂指函数等因式，但不含阶乘因式的正项级数，可 考虑利用根值判别法；以 n 的幂（整数幂或分数幂）有理式为通项的正项级数，因为
学习指导
（一） 、数列 计算数列的极限， 通常可利用代数恒等变形、 数列极限的运算法则和利用函数极限的方 法。 这里必须注意的是： 由于数列是定义域为离散点集的函数， 故不能直接使用洛必达法则 ， 如需使用此法则，必须先化成具有连续变量的函数，再利用函数极限计算数列极限。
n −1 定义，则一般可考虑利用数列的单调有界收敛定理。 假定数列由递推公式 n 如果数列的通项是由 n 个项的和构成， 通常可考虑利用夹逼定理或定积分的定义， 也可 以考虑先将和求出来，再求极限。 （二） 、无穷级数的基本概念 1、级数敛散性的定义
n
∞ ∞ un = l (0 < l < +∞ ) u vn ∑ ∑ n n →∞ v n 均是正项级数，若 ，则 n =1 与 n =1 具有
lim
对于正项级数
∞
∑u