数学分析中数学思想方法的教学研究【文献综述】

文献综述

数学与应用数学

数学分析中数学思想方法的教学研究

数学思想是对数学概念、方法和理论的本质认识, 是建立数学理论和解决数学问题的指导思想. 任何数学知识的理解, 数学概念的掌握, 数学方法的应用, 数学理论的建立, 无一不是数学思想的体现和运用. 数学的知识可以记忆一时, 而数学的思想与方法却永远发挥作用, 可以终身受益. 正如国内研究数学史与数学思想方法的专家张奠宙教授所提出的, “每一门数学学科都有其特有的数学思想, 赖以进行研究 (或学习) 的导向, 以便掌握其精神实质. 只有把数学思想掌握了, 计算才能发生作用, 形式演绎体系才有灵魂. ”

长期以来, 由于人们过于注重记述数学研究成果, 而忽视交流和刊发取得成果的真实经过和思想方法. 因此, 数学思想方法的研究进展缓慢. 但是随着社会和科技的发展, 人们越来越意识到数学思想方法的重要性. 从80年代开始, 关于数学思想方法的著作和学术论文也越来越多. 由于数学思想的深入研究, 人们对数学分析也有了更深的理解并发现数学分析中也隐含着丰富的数学思想方法. 近十多年来, 各类期刊杂志上也刊登了许多关于数学分析中的数学思想方法的文章.

1995年葛仁福发表了《略谈数学分析中类比化归思想》, 他认为类比化归是一种重要的思想方法. 数学分析中许多概念都可通过类比化归来揭示其本质, 甚至得到另外的新概念. 在进行级数理论教学时, 完全可以同数列的极限理论联系起来. 如级数收敛的定义是建立在部分和数列∑==n R R n a

S 1收敛的基础之上的, 其实质是有限与无限的类比化归, 由这种类比化归

我们直接可以得到收敛级数的许多结论. 此外, 数学分析中还有许多的内容都渗透着类比化归的思想, 如广义积分的收敛性可与函数极限类比化归; 由一元函数极限, 定积分的概念, 通过类比可得二元函数极限, 重积分的概念, 同时都可化归为累次极限, 两次定积分. 由一元函数、导数定义可用类比法得到多元函数、偏导数的概念; 而偏导数的求法又归结为一元函数的求导法则与公式.

2000年4月卢洁发表了《论函数级数展开的辩证数学思想》, 文章主要针对数学分析中函数级数展开这一重要内容, 从三方面——级数展开的形式、展开的内涵和展开的条件, 深入揭示它们所蕴含的丰富多彩的辩证数学思想. 首先, 她列出了七种函数的展开级数, 并指出尽

管它们有不同的意义和形式, 却具有一般无限级数某些共同的性质, 这是它们的共性, 即在一定条件下函数展开存在统一性. 随后她又指出一般不同种类和不同形式的级数,有不同的展开或收敛条件以及不同的收敛性质或特性,这是函数级数展开的个性或者说是多样性的表现. 因此函数级数展开体现了展开形式的共性与个性、统一性与多样性. 其次, 她认为空间中同一个级数,当适当改变空间距离函数的选取时,级数的收敛与发散性质可互相转化, 可见级数收敛与发散的区分是相对的. 但对某一种确定的求和法或收敛意义来说, 级数收敛与发散的对立则是绝对的. 因此函数级数展开的内涵体现了收敛与发散的相对性与绝对性. 最后, 她列出了三个著名的收敛定理, 并从这些事实中说明了函数级数展开条件同一性的相对性和复杂性.

2001年赵丽棉发表了《试析数学分析的数学思想方法特点》, 在文章中她阐述了五种数学思想方法. 第一是极限思想方法. 她认为极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法, 也是数学分析与初等数学的本性区别之处数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题 (例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题), 正是由于它采用了极限的思想方法. 第二是数学模型方法. 如导数与积分都是为解决求瞬时速度切线斜率最值求积等实际问题而产生的因而它们的形成过程无不体现了构建数学模型的过程而这些基本概念的应用更是运用数学模型方法的具体体现. 第三是关系映射反演方法, 简称为RMI 法. 全过程包括的步骤为关系——映射——定映——反演——得解. 数学分析中的变数代换、积分变换等都体现了RMI 方法. 第四是数形结合思想方法. 数学分析中几乎每个重要概念定理都有明显几何解释通过这些几何图形我们可以确切地理解一些抽象概念的含义定理的内容掌握定理的证法. 例如, 一元函数()x f y =在点0x 处可导的几何意义是曲线()x f y =在点()00,y x 存在不垂直于x 轴的切线. 第五是一般化与特殊化的方法. 她指出由一元函数的性质类比猜想到二元函数的性质体现了从特殊到一般化的方法, 在处理问题上把二元函数归结为一元函数的问题体现了从一般到特殊化的方法.

2007年孔君香在《数学分析中体现的数学思想》这一论文中对数学分析内容中体现的函数思想、极限思想、连续思想、导数思想、微分思想、积分思想、级数思想的产生与发展、本质与意义、认识与应用进行分析和探讨. 例如: 她在介绍函数思想时提出函数的思想就是运用函数的方法, 将常量视为变量、化静为动、化离散为连续,将所讨论的问题转化为函数问题并加以解决的一种思想方法. 她举了一个证明不等式的例子: 已知,1>x 证明.132x x -> 在这个例子中x x 132->可以转化为()x x x f 132+-=, 即可以把不等式问题转化为函数问题, 从而简化了解题步骤.

2010年8月李福兴在《解读数学分析中的数学思想方法》中简要分析了数学思想方法的

内涵并根据对数学思想方法的理解概括出数学分析中三个层次的数学思想方法. 第一是低层次的思想方法. 就是指数学分析的基本内容、解证题法. 它们的特征为操作性强, 具体. 如极限的计算法:利用两个重要极限、等价无穷小代换、两边夹法、单调有界法、导数法(用导数定义式、罗必达法则)、级数法等. 第二是较高层次的数学思想方法. 是从数学分析的基本内容、基本理论、解证题方法出发, 经过分析、归纳、概括而得到的具有普遍性的方法. 主要包括化归思想方法(换元法、变换是这一思想方法的体现), 构造性思想方法, 估值思想方法. 第三是高层次的数学思想方法. 这是现代数学中普遍使用的最基本的一种数学思想方法. 它的实质是一种结构论的思想方法. 主要包括公理化思想方法, 符号化思想方法, 互逆型思想方法.

文[1]主要介绍了类比化归思想方法, 文[2]主要介绍了辩证数学思想方法, 文[3]~文[5]都对数学思想方法进行了归类并给出了主要的数学思想方法, 对本文帮助很大. 本文将根据上诉文章中所提到的数学思想, 并综合自己的理解, 对数学思想方法进行归类并分类并介绍数学分析中一些重要的数学思想, 如函数思想、极限思想、化归思想和数学建模思想等.

参考文献

[1]葛仁福. 略谈数学分析中类比化归思想[J]. 连云港教育学院学报, 1995, 1: 39~42.

[2]卢洁. 函数级数展开的辩证数学思想[J]. 广东职业技术师范学院学报, 2000, 22(5):

22~26.

[3]赵丽棉. 试析数学分析的数学思想方法特点[J]. 广西教育学院学报, 2001, 4: 40~45.

[4]孔君香. 数学分析中体现的数学思想[J]. 科技信息, 2007, 4: 128~129.

[5]李福兴. 解读数学分析中的数学思想方法[J]. 贺州学院学报, 2010, 26(3): 109~112.

[6]徐利治. 浅谈数学方法论[M]. 沈阳: 辽宁出版社, 1980.

[7]徐利治. 数学方法论选讲[M]. 武汉: 华中理工大学出版社, 1983.

[8]解恩泽, 徐本顺. 数学思想方法[M] . 济南: 山东教育出版社, 1989.