离散数学关系的概念、性质及运算页PPT文档

如果A=B，则称R为A上的一个二元关系。
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集合与图论
定义域与值域
定义2 设RAB，集合 {x x A且y B使得(x, y) R}
称为R的定义域，并记为dom(R)。
集合 {y y B且x A使得(x, y) R}
称为R的值域，并记为ran(R)。
一般情况下：A dom(R); B ran(R)。 dom(R)A; ran(R)B。
①反自反的二元关系必不是自反的； ②但不是自反的二元关系，却不一定是反自反。 例5：令X={a,b,c}，R={(a,b),(a,a),(b,c),(c,c)}。 R不是自反的，但它也不是反自反的。
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集合与图论 关系的性质：对称
定义3 设R为X上的二元关系。如果x, y X, 只要xRy就有yRx，则称R是对称的。
例如：设A={1,2,3,4}，B={a,b,c,d,e}， {(1,a),(2,b),(2,c),(3,c)}是一个二元关系。
{1,2,3}是定义域，{a,b,c}是值域
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集合与图论
关系与映射
问题1：映射与二元关系有什么联系？ （前提：映射和二元关系都是从A到B的）
映射是特殊的二元关系。
例如: A={1,2}，B={a,b,c}。 令f:AB，f(1)=a，f(2)=b，则
集合与图论第6节 关系的概念、性质及合成
主要内容：
• 关系的概念 • 关系的性质 • 关系的合成
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集合与图论
1 关系的概念
定义1 设A,B是两个集合。AB的任一子集R称 为从A到B的一个二元关系。
如果(a, b) R，则称a与b符合关系R，并记为 aRb;
如果(a, b) R，则称a与b不符合关系R，并记为 aRb。
显然：R是对称的，当且仅当R= R-1。 例6： 定义在人的集合X上的“同学”、“战友”、 “兄弟”关系是对称关系。
例7：令f: AB, Ker(f)={(x,y)x,yA且f(x)=f(y)}, Ker(f)称为f的核。
映射f就对应着AB的子集{(1,a)，(2,b)}
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集合与图论
关系与映射
定义1’ 设A,B是两个集合，一个从AB到{是,否} 的映射R，称为从A到B的一个二元关系，或A与B间 的一个二元关系。
(a, b)AB，如果(a, b)在R下的象为“是”， 则a与b符合关系R，记为aRb；
如果(a, b)在R下的象为“否”，则说a与b没有或 不符合关系R，并记为aRb。
例3：令X={a,b,c}，R={(a,b),(a,a),(b,c),(c,c)}，则 R是不是自反的?
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集合与图论 关系的性质：反自反
定义2 X上的二元关系R称为反自反的，如果 x X，都有(x, x) R。
显然：R是反自反的，当且仅当R∩IX= 。 例4：实数集R上的“大于”关系>是反自反的。 注意：
当n=3时，25(mod 3)，57(mod 3)。
例3：设X是一个集合，集合的包含于“”是2X上的 二元关系。
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集合与图论 二元关系到n元关系的推广
定义3 设A1,A2,...,An是n个集合，一个 A1A2...An的子集R称为A1,A2,...,An间的n元关系。
每个Ai称为R的一个域。
若A=B，则称R为A上的二元关系。
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集合与图论
关系与映射
设A,B是两个集合，一个从A到2B 的映射R称为 从A到B的一个多值部分映射。
如果aA，R(a)= ，则称R在a无定义；
而如果R(a) ，则bR(a)，b称 a在R下的一 个象或值 。
定义1’’ 一个从A到B的多值部分映射R称为从A 到B的一个二元关系。
答案：2mn
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集合与图论 四个特殊二元关系
AB是AB的一个子集，按定义AB也是从A 到B的一个二元关系。
AB叫做A到B的全关系。
空集也是AB的一个子集。 空集叫做A到B的空关系。 集合{(a, a) a A}称为A上的恒等关系或相等关 系，并记为IA。 设R是A到B的二元关系，集合
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集合与图论
关系的个数
例如：设A={1,2}，B={a,b,c}， AB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}。
AB有6个元素， 从而有26个子集， 因此从A到B就有26个关系。
问题2：A到B的关系的个数 设|A|=m，|B|=n，则A到B上有多少个二元关系？
姓名 性别 年龄 文化程度 婚否 工资
A

BC
D
张三 男 28 大学
李四 男 50 硕士
李晓芬 女 18 高中
EF 是 400 是 1400 否 300
这其实就是关系型数据库的一个数据表。 n元关系是关系数据模型的核心，而关系数据模型 是关系型数据库的基础。
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集合与图论 2 关系的性质
定义1 X上的二元关系R称为自反的，如果x X, xRx。
在这个定义中，要求X的每个元素x，都有xRx， 即(x, x) R。
设IX是X上的恒等关系，即：IX={(x, x) x X}。 显然：R是自反的，当且仅当IXR。
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集合与图论 关系的性质：自反
例1：IX是X上的自反关系，但IX的任一真子集 RIX不是X上的自反关系。
例2：实数集上的“小于或等于”关系“≤”是不 是自反的？小于关系“<”是不是自反的？
{(y, x) (x, y) R} 称为R的逆关系，简称R的逆，记为R-1。
显然：R-1是B到A的二元关系。 8
集合与图论
关系实例
例1：整除关系
设Z为整数集，Z上的整除关系记为。m, n Z, mn 当且仅当 m能除尽n。
例2：整数集Z上的模n同余关系
设n为任一给定的自然数。对任意两个整数m, k， 如果m和k被n除，所得余数相等，则称m与k为模n同 余，并记为：m k (mod n)
例4： 设
1、A为某单位职工“姓名”的集合；
2、B为“性别”之集合，B={男，女}；
3、C为职工年龄集合 C={1,2,...,100};
4、D表示“文化程度”；
D={小学,初中,高中,大学,硕士,博士}；
5、E是“婚否”集合，E={是，否}；
6、F表示月工资，F=[0,20000]。
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集合与图论 二元关系到n元关系的推广