浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程教师用书04120225

第八节函数与方程

1．函数的零点

(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．

(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )

(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )

(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )

[答案](1)×(2)×(3)×(4)√

2．(教材改编)函数f (x )＝e x

＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

B [∵f (－1)＝1

e －3＜0，

f (0)＝1＞0，

∴f (x )在(－1,0)内有零点，

又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．] 3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x

D ．y ＝x 2

＋1

A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2

＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]

4．(2017·浙江五校联考)函数f (x )＝3x

－x 2

的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－2，－1)

D ．(－1,0)

D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－2

3

，

f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，

∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，

f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]

5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062055】

⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，

∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得1

3

＜a ＜1，

∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，1.]

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

(2)函数f (x )＝x 2

－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． (1)B (2)存在 [(1)函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－

x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：

可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． (2)法一：∵f (1)＝12

－3×1－18＝－20＜0，

f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，

∴f (1)·f (8)＜0，

又f (x )＝x 2

－3x －18，x ∈[1,8]的图象是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2

－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.

∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，

∴f (x )＝x 2

－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点．] [规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：

判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．

[变式训练1] (1)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

(2)在用二分法求方程x 2

－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．

(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 [(1)∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2

在(0，＋∞)上是增函数，

又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－1

＝ln 1－2＜0，

f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，

f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12

1＞0，

∴x 0∈(2,3)，故选C. (2)在(1,2)内取中点x 0＝3

2

，