空气动力学基础第五章边界层理论及其近似
边界层理论
1.边界层理论概述 (1)1.1 边界层理论的形成与发展 (1)1.1.1 边界层理论的提出 (1)1.1边界层理论存在的问题 (2)1.2 边界层理论的发展 (2)2边界层理论的引入 (3)3 边界层基础理论 (4)3.1 边界层理论的概念 (4)3.2 边界层的主要特征 (6)3.3边界层分离 (7)3.4 层流边界层和紊流边界层 (9)3.5 边界层厚度 (10)3.5.1 排挤厚度 (11)3.5.2 动量损失厚度 (11)3.5.2 能量损失厚度 (12)4 边界层理论的应用 (14)4.1 边界层理论在低比转速离心泵叶片设计中的应用 (14)4.2 边界层理论在高超声速飞行器气动热工程算法中的应用 (14)4.3 基于边界层理论的叶轮的仿真 (15)参考文献 (17)1.边界层理论概述1.1 边界层理论的形成与发展1.1.1 边界层理论的提出经典的流体力学是在水利建设、造船、外弹道等技术的推动下发展起来的，它的中心问题是要阐明物体在流体中运动时所受的阻力。
虽然很早人们就知道，当粘性小的流体（像水、空气等）在运动，特别是速度较高时，粘性直接对阻力的贡献是不大的。
但是，以无粘性假设为基础的经典流体力学，在阐述这个问题时，却得出了与事实不符的“D'Alembert之谜”。
在19世纪末叶，从不连续的运动出发，Kirchhoff，Helmholtz，Rayleigh等人的尝试也都失败了。
经典流体力学在阻力问题上失败的原因，在于忽视了流体的粘性这一重要因素。
诚然，在速度较高、粘性小的情况下，对一般物体来说，粘性阻力仅占一小部分；然而阻力存在的根源却是粘性。
一般，根据来源的不同，阻力可分为两类：粘性阻力和压差阻力。
粘性阻力是由于作用在表面切向的应力而形成的，它的大小取决于粘性系数和表面积；压差阻力是由于物体前后的压差而引起的，它的大小则取决于物体的截面积和压力的损耗。
当理想流体流过物体时，它能沿物体表面滑过（物体是平滑的）；这样，压力从前缘驻点的极大值，沿物体表面连续变化，到了尾部驻点便又恢复到原来的数值。
边界层理论PPT课件
第四节 平板绕流摩擦阻力计算
所以，总阻力
S LB yx
y0
1 2
C
f
2
0
LB
0.664 03B2L
另一方面，由边界层积分方程的解，也可以计算 出层流平面绕流摩擦阻力，
即由
和 x
0
3 2
y
1 2
y
3
4.64 x 4.64 x
0
Rex
可得到
x 3 1
yx y0
y y0 2 0
x
y
y
y
Y
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
y方向动量传输方程
注：x
t
x
x
x
y
x
y
z
z
z
X
1
p x
2x
x2
2 x
y 2
2z
z 2
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第二节 方程）
平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分
考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质
量力对流动产生的影响较小，则有方程组
m l
m x x
m x
d dx
l
dy x
0
x
BC面在边界层之外，流体沿x方向的速度近似等于υ0，故此由BC面流入 的动量在x方向的分量Ml
M l
m l0
0
d dx
l
dy
x
x
0
4）AD面没有质量流入、流出，但有动量通量存在，其值为τ0，故此由
AD面在单位时间内传给流体的粘性动量为τ0Δx。
2! 2 5! 4 8!
8 11!
n1
空气动力学基础第五章边界层理论及其近似资料
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。 以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界 层厚度为 。 惯性力：
FJ m dV U L2 LU 2 dt t
dV U A L2 dy
粘性力：
F
由惯性力与粘性力同量级得到
F FJ
LU 2
U
L2
L
1 Re
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.1、边界层近似及其特征
由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。 （4）边界层各种厚度定义 （a）边界层排移厚度 在边界层内，理想流体的质量流量为
mi e ue dy
u v 0 x y
ue u u u ue 2u u v ue 2 t x y t x y
在定常流动情况下，有
u v 0 x y
ue u u 2u u v ue 2 x y x y
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
v v v 1 p 2 v 2 v u v fy 2 2 t x y y x y 2 ue2 ue2 ue2 ue ue ue 2 3/ 2 L2 L Re L Re L Re L Re L Re
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl的边界层概念，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途 径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是： （1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的 流动区域（粘流区）。 （2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论 处理。 （3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流 区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运 动。 2、边界层的特征 （1）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主 流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称 为边界层名义厚度。
第五章 边界层理论
1Transport Phenomena, Xu Jian, 2009第五章边界层理论边界层概念 边界层方程 边界层分离2Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念在上述层流动量传递的若干实例的分析中，(1)形状简单；(2)引入了假设：管道无限长、忽略进口段影响。
实际问题要复杂得多。
边界层理论，粘滞力对动量传递影响的一般理论，是粘性流体力学的基础，也与热量传递过程和质量传递过程有着密切的关系。
3Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一的流场，划分成两个区域，边界层和外流区；其流体流动（沿流动方向和沿与流动方向垂直的方向）有不同的特点。
边界层：流体速度分布明显受到固体壁面影响的区域。
边界层的形成：¾壁面处流体的“不滑脱”no-slip ¾流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ¾U ＝0Æ0.99 U 04Transport Phenomena, Xu Jian, 20095Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念流过一物体壁面的流体分成两部分¾边界层，粘性流体，不能忽略粘滞力¾外流区，理想流体，可以忽略粘滞力6Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层理论的要点边界层厚度δ的变化¾前缘处，δ＝0¾x ↑, δ↑；沿壁面的法向将有更多的流体被阻滞¾δ<<x边界层内，δ<<x （距离很小）；0Æ0.99 U 0（速度变化大）¾速度梯度很大，剪切力很大¾流体速度减慢Æ惯性力<<层外，惯性力与粘性力数量级相当7Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层流动的转变x<x c (临界距离)层流边界层 过渡区 湍流边界层转变判据：¾临界值：5×105；¾特征长度：距前缘的距离；¾特征速度：来流速度0Re xU ρμ=8Transport Phenomena, Xu Jian, 2009圆管进口段效应靠近管壁部分：边界层，速度减慢；厚度不断增大，进口段长度之后，汇交在管中心处；充分发展段的流动状态取决于交汇处边界层的流动状态；进口段的中心部分：无粘性流动区，速度均匀，区域不断缩小，在边界层汇交时消失；沿程速度不断增大Î压降增大（附加压降）；9Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2 边界层方程普兰德边界层方程：量级比较 边界层积分动量方程：动量衡算沿平壁层流边界层的计算：动量积分方程的应用10Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程2222222211x x x x xy y y y y x y u u u u P u u x y x x y u u u u P u u x y y x y μρρμρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠讨论不可压缩流体在平板壁面上的稳态二维层流2222221x x x x Du u u u PDt x x y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠2222221y y y yDu u u uPDtyx y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠不可压缩流体的Navier-Stocks 方程不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，方程简化为：y0x u u x y∂∂+=∂∂连续性方程：11Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程普兰德首先发现可以通过比较数量级简化方程：¾Re 较大时，边界层的厚度δ<<x¾边界层内的惯性力和粘性力数量级相当 标准数量级：¾x 为距离的标准数量级，记为x=O(1)¾u 0为速度的标准数量级，记为u 0=O(1)¾边界层厚度δ的数量级记为δ= O(δ)，远远小于O(1) 其他物理量的数量级：¾u x 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)¾y 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)12Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级(1)(1)(1)x x u u O O x x O ∂Δ≈==∂Δ()222(1)(1)(1)(1)x x u u O O x O O x ∂Δ≈==∂Δyx u u x y ∂∂+=∂∂(1)x u O x∂=∂+(1)y u O y∂=∂()y u O δ=(1)1()()x x u u O O y y O δδ∂Δ≈==∂Δ()22222(1)1()()x x u u O O y O y δδ∂Δ≈==∂Δ22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠数量级(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δ13Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δInertial Force=Viscous Force:2()O μδρ=1(1)PO xρ∂≤∂22221y yy yx y u u u u P u u x y y xy μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)()δ×()(1)δ×()δ1()δ2()δ()δ≤()δ(1)14Transport Phenomena, Xu Jian, 2009普兰德边界层方程2210x x xxy yx u u u dP u u x ydx y u u x yμρρ∂∂∂+=−+∂∂∂∂∂+=∂∂000x y x y u u y u u ====∞=时，时，普兰德边界层方程B.C.通过数量级比较得到的简化方程：应用条件：不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，而且Re 比较大15Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.2 边界层积分动量方程卡门避开使用N-S 方程，直接对边界层进行衡算x 方向质量衡算：¾左侧进入：¾右侧流出：¾上部外流区进入yxz dxdy 1个单位距离δlyu 0, ρμlx u dy ρ∫()00ll x xu dy u dy dxxρρ∂+∂∫∫()lx u dy dxxρ∂∂∫()()2220000000u (-u )ll l l x x x xlx x u dy u dy dx u dy u dy dxx xdx u u dyx ρρρρρ∂∂+−−∂∂∂=∂∫∫∫∫∫x 向净动量变化率：不可压缩流体沿平板壁面的稳态二维流动16Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程作用于控制体的x 向外力¾壁面剪切力：¾作用在左右侧面的压力差：1s dx τ−⋅⋅1Pdx l x∂−⋅⋅∂00(u )l x x s Pu u dy l x xρτ∂∂−=+∂∂∫0[,]x y l u u δ∈=00(u )x x sP u u dy x xδρδτ∂∂−=+∂∂∫只考虑x 方向的流动00(u )x x s d dPu u dy dx dxδρδτ−=+∫边界层内外压力近似相等00(u )x x sd u u dy dx δρτ−=∫卡门边界层积分动量方程17Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程可以求出边界层厚度、流体阻力、曳力系数等；方程有u x ，τw ，δ三个变量，需要补充u x =f 1(y)，τw =f 2(δ)的关系；需要预先假定一个速度分布方程才能求解，故只能算是一种近似的方法。
第五章 边界层理论
A2 0.332
x
v0
是平板流动边界层微 分方程解的最终结论。
5.0
5 .0
5.3. 边界层内积分方程
1.边界层积分方程的建立
M x ux dy
0 2 Wx uxux dy ux dy 0 0 l l
l
M x x
d l x u x dy u dy 0 0 x dx
速度的0.99处到固体壁面间的距离定义为边界层的厚度。
层流 底层
5.1. 边界层理论的基本概念
2 边界层的形成与特点：
① 形成：
流体流过平板，与平板紧临的流体受平板阻力而与平
板相对静止，边界层其余内各层流体自上而下依次受到 下层流体的粘性力作用而速度逐渐减小，这样就产生了 速度梯度较大的边界层。
5.1. 边界层理论的基本概念
d u0 u x u x dy 0 0 dx 3 ux 3 y 1 y u 2 2 0 u x y 0 0 a0 u x y u 0 2 3 u u a by cy dy y u0 b 3 u0 x y x y 0 2 y u x 2 b 2cy 3dy 2 0 u0 y y ux d y 0 3 2 y 0 2 y 2u x 2c 6dy y 0 2c 0 2 c0 y y 0
长度L,宽度B的平板总阻力
积分方程的解
4.64 x
v0 4.64 1 Re x
3
S
B
0
L
0
y 0
dxdz
3 0.646 v0 LB
边界层理论
0
eue dy eue
其中， ue 为边界层外缘速 度。由于粘性的存在，实 际流体通过的质量流量为
0
u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。上述两部 份流量之差是
0
( eu e u)dy
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这就是设想各点皆以外流速度流动时比实际流量多
位流区
边界层
流动分为三个区域：1. 边界层：N－S化简为边界层方程 2. 尾迹区：N－S方程 3. 位流区：理想流方程
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 2. 平壁面上边界层方程 根据Prandtl边界层概念，通过量级比较，可对N-S方程 组进行简化，得到边界层近似方程。对于二维不可压缩流动 ，连续方程和N-S方程为：
个典型的例子。 那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物
体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学 发展的难题。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 直到1904年流体力学大师德国学者 L.Prandtl 通
过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在
靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相 差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无 法忽略。 Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄 层称为边界层（Boundary layer）。
第5章下
边界层理论及其近似
5.1、边界层近似及其特征 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3、平板层流边界层的相似解 5.4、边界层动量积分方程 5.5、边界层的分离现象
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系 的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表 示为: 惯性力:
空气动力学基础第五章边界层理论及其近似解读
u v 0 x y
ue u u u ue 2u u v ue 2 t x y t x y
在定常流动情况下，有
u v 0 x y
ue u u 2u u v ue 2 x y x y
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
0 1 p y
这说明，在高Re数情况下，在边界层内压力沿法向是不变的。
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等。也就是， p与y无关，仅是x和t的函数。即
p pe ( x, t )
忽略质量力，Prandtl边界层方程变为
u v 0 x y
0
1 1
0
u dy e ue
这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的。因 此，称其为排移厚度。 （b）边界层动量损失厚度 在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想流体通过的动量为
K i u e udy
0
由于粘性的存在，实际流体通过的动量为
v v v 1 p 2v 2v u v fy 2 2 t x y y x y
选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定：
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl的边界层概念，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途 径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是： （1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的 流动区域（粘流区）。 （2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论 处理。 （3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流 区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运 动。 2、边界层的特征 （1）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主 流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称 为边界层名义厚度。
第五章边界层理论
Y方向
按边界层概念: 边界层以外势流区的速度u∞不变,所以也不存在压力梯度 进一步简化：
H.布拉修斯对上述方程组进行了解析,引入流函数ψ(x,y),将 偏微分方程组化为可以解的常微分方程：
通常规定：u=0.99 u∞的位置为边界层的外边界线
5.2 平面层流边界层微分方程
以不可压稳态层流边界层为例： 1.微分方程建立与简化：
控制方程（二维，不可压，稳态，层流，不考虑质量力）
v x vy 0 x y
连续性方程
N-S方程
2v x 2v x v x v x 1 p vx vy 2 2 X方向 x y x x y
1.328 C f 1.328 0 L Re L
x 4.64 Re x
其中：Re L
不可压层流平板绕流摩擦阻力系数:
0 L
v
其总阻力：S
Cf 2
2 0 LB 其中L为平板长度，B为平
板宽度。
1. 平板紊（湍）流中速度分布与边界层厚度关系:
x y 17 ( ) 0
将流函数带入上面的方程组 并认为层流边界层内沿x轴各截面的速度分布图象相似 vx y F( ) v 又依
x
1 Re
则
x Re
y
y x Re
5.3 不同条件下边界层厚度与摩擦阻力系数
1. 平板层流中速度分布与边界层厚度关系:
x 3 y 1 y 3 ( ) ( ) 0 2 2
第五章 边界层理论
王连登 liandeng@ 13506970553
边界层
dp = 0则整个流场压力处处相等。 dx 边界层微分方程虽然是在平壁的情况下导出的，但对曲率不太大的
dU e = ，， 0 dx
曲线壁面仍然适用。此时，x轴沿壁面方向，y轴沿壁面法线方向。
§8—3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程
由卡门在1921年提出。
推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界 层微分方程的数量级比较可看出)，所以只考虑x方向 的动量变化，不引入y方向的流速υ。
+ = 0 ，u~1， 并且边界层内，由u≥υ，故认为或由连续方程 ∂x ∂y υ~△ ∵x~1并且我们认为u~1，而y~△，必然是υ~△，这样才能满足连续方 1 ∆ 程，∂ u ∂ υ + =1 + =0 ，1 ∆ 。 ∂x ∂y dy ∆y = lim 注意：导数又称为微商，例如 dx ∆x→0 ∆x ，类似地在进行数量级比较 时，我们可以写成 ∂ u ~ 1 ，即 ∂y 是1的数量级。
1 ∂p ∂υ ∂υ ∂ 2υ ∂ 2υ u +υ =− + v( 2 + 2 ) ∂x ∂y ∂x ∂y ρ ∂y ∆ ∆ ∆ ∆ 1 ∆ ∆2 2 1 ∆ 1 ∆
∂u ∂u ∂ 2u 1 ∂p +v =− +ν u ∂x ∂y ∂y 2 ρ ∂x
∂p =0 ∂y
∂u ∂ υ + =0 ∂x ∂ y
方程第二项积分的物理意义为：
∫
δ
0
ρu (U e − u )dy 表示了因粘性影响而产生的流体动量的减少量。
ρδ 2 ⋅1⋅U e 2 = ρ ∫ u (U e − u )dy
0
令
δ
δ2 =
1 Ue
17589第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象
第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象5.1 边界层理论的要点5.1.1 问题的提出前述，Re∝惯性力/粘性力当Re<1时，惯性力<<粘性力，可用“爬流”模型，略去惯性力项，N-S方程==>爬流方程（stokes近似），解决一些实际问题（沉降、润滑、渗流等），获得比较满意的结果。
但工程流动问题，绝大多数的Re很大。
这时，是否可以完全略去粘性力，使Navier-Stokes方程==>Euler方程（理想流体）。
但是，这样的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬（paradox）——在流体中作等速运动的物体不受阻力”。
究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体学家普兰德（Prandtl）提出了著名的边界层理论（大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固——流边界的极薄流层中，惯性力≈粘性力），才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
后人把Prandtl 提出的流动边界层概念，推广到流动系统的传热边界层和传质边界层，从而确定传热、传质的速率以及了解有关的影响因素。
还有人研究了边界层中的化学反应，解决了一些实际问题。
因此，边界层理论被认为是近代流体力学的奠基石。
5.1.2 流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。
（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。
所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。
按理想流体处理，Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），u x＝0.99u∞，δ——流动边界层厚度，δ＝δ(x)。
第5章-边界层理论基础PPT课件
虽然对Re很小的流动，惯性力可以忽略， 但对于Re很大的流动，粘性力却不能忽略， 否则会带来很大的误差，这是何故？
如水和空气，其粘度都很小，在处理其高
速流动时，如果忽略粘性力的影响，就会
导致与实际不符的错误结果。这个矛盾在
普兰德(Plandt)提出边界层学说之后，才获
得令人满意的解答。 -
-
20
卡门边界层方程即适用于层流，也适用 于湍流。
例：流体沿平板壁面流动时层流边界层 的计算，主要目标是边界层厚度和曳力 子数的计算
大量观察和测量得知ux与y的关系与抛 物线近似，因此可假设：
uxabycy2dy3 a,b,c,d 待定
边界条件：
-
21
y 0处ux 0 a 0
dux dy
-
5
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内
部也会发生变化，在边界层厚度较小处，
其内部流动为层流，该区域称为层流边
界层，当其厚度达到其临界厚度δc或临
界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过
渡区转变为湍流，此后的边界层称为湍
流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄
的一层流体内，仍然维持层流，称为层
流内层。
-
6
临界距离xc的长度与壁面前缘的形状、粗 糙度、流体性质和流速大小有关。壁面愈 粗糙xc愈短。
-
10
但实际中流速ux接近u0到一定程度时，便 可赋予其有应用价值的边界层厚度定义：
(1)
取ux达到u0的99％时的y值，即
ux u0
0 .9 9
处，y的值即为边界层厚度。
(2)可假设一个表示边界层内速度分布的
公式，如抛物线方程，计算当ux达到
u0时的y值，即为边界层厚度。
第五章边界层理论解读
第三节
以二维绕平面 流动为例来导出边 界层积分方程，如 固5-2所示。 首先对控制体 （单元体）做动量平 衡计算（在计算过程 中取垂直于纸面 z 方 向为单位长度）：
边界层内积分方程
1）流体从AB面单位时间流入的动量记为 Mx 。由 图5-2知，从 AB 面单位时间流入的质量为
(5-10) 2）流体从 CD 面单位时间流出的动量记为 Mx+∆x： 从 CD 面单位时间流出的质量为
（3）湍流区：随着进流尺寸的进一步增加，使得Rex ＞ 3×106，这时边界层内流动形态已进入湍流状态，边界 层的厚度随进流长度的增加而迅速增加。
应当注意，无论是对过渡区还是湍流区，边界层 最靠近壁面的一层始终做层流流动，这一层称为层流 底层，这主要是因为在最靠近壁面处壁面的作用使该 层流体所受的粘性力永远大于惯性力所致。这里要特 别说明的是，边界层与层流底层是两个不同的概念。 层流底层是根据有无脉动现象来划分，而边界层则是 根据有无速度梯度来划分的。因此，边界层内的流动 既可以为层流，也可以为湍流。
(5-14)
由动量守恒可得结
本章重点叙述了边界层的概念、特点，建立了边界 层的微分方程、积分方程，并介绍了求解方法。对平板 绕流摩擦阻力的计算也进行了简要介绍。实际上，边界 层理论是在数值模拟技术没有发展起来之前，人们为了 运用流体流动的控制方程去解决工程实际问题的一部分 重要工作。尽管现在数值模拟技术已经能够处理某些真 三维实际流体的运动规律，但是通过边界层理论的学习， 仍然可以领略前人在处理实际流体流动问题上的输妙简 化与抽象思考，这是科学方法最突出的特征，这是精确 的数值模拟所不能替代的。
（1）层流区：流体统流进入平板后，当进流长度不是 很长，x＜xc(xc为对应Rex＝2×105的进流深度)，这时 Rex ＜ 2×105，边界层内部为层流流动，这一个区域称 为层流区。
边界层理论
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内部也会发生变化。在边界层形成 初期，边界层厚度较小，其内部流动为层流，该区域称为层流边界层。当其 厚度达到其临界厚度δc或临界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过渡区转变 为湍流，此后的边界层称为湍流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄的一层 流体内，仍然维持层流，称为层流内层。
边界层理论
主要内容
前言 边界层的形成 平板层流边界层 圆管内的边界层 边界层的分离
前言 在本世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体
运动时不考虑黏性，运用数学工具分析流体的运动规律。另一个是不用数 学理论而完全建立在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中 许多重要问题，但其结果常受实验条件限制。
这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现象持续了 150多年，直到本世纪初普朗特提出了边界层理论为止。由于边界层理论 具有广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体动力学 的一个重要领域。今天主要介绍边界层的基本概念及研究方法。
路德维奇.普朗特（Ludwig Prandtl） 1875年2月4日出生于德国的弗莱辛
1953年8月15日卒于哥廷根 现代力学的奠基人之一，普朗特的开创性工作，将 19世纪末期的水力学和水动力学研究统一起来，被 称为“现代流体力学之父”。除了在流体力学中的 研究工作，还培养了很多著名科学家，对我国流体 力学研究做出奠基工作的陆士嘉教授也曾是普朗特 的学生。
第一节 边界层的形成
一般认为:
边界层中的流动状态
边界层理论
边界层方程组
边界层方程组
不可压缩流体在大雷诺数的层流情况下绕过平滑壁面的情况。在此考虑二维定常不可压缩流动。规定沿物体 壁面的方向为x轴，垂直于壁面的方向为y轴。由于边界层厚度δ比物面特征尺寸L小得多，因此对二维的忽略重 力的纳维－斯托克斯方程逐项进行数量级分析，在忽略数量级小的各项后，可近似认为边界层垂直方向的压力不 变，从而得到层流边界层方程组为：
发展
1907年，布拉修斯成功地应用边界层理论计算在流体中运动物体的摩擦阻力。1921年，卡门和波耳豪森提 出了边界层动能积分方程，以计算边界层问题，这个方程经霍尔斯坦-博伦（1940）和瓦茨进行简化和改进，到 现在还被广泛应用。另外边界层动能积分方程和热能积分方程分别由莱本森和弗兰克尔提出。这三个边界层的近 似计算方法使边界层理论在工程界中很快地推广开来。1925年，普朗特提出的混合长度理论和1930年卡门提出的 相似性理论，将边界层理论推广到紊流边界层、射流和物体后的尾迹流中去。从层流向紊流的转捩现象是流体动 力学中的基本现象。早在19世纪末，雷诺就首先对转捩现象进行了研究。1914年，普朗特做了著名的圆球实验， 正确地指出：边界层中的流动可以是层流的，也可以是紊流的，还指出边界层分离的问题，因此计算阻力的问题 是受这种转捩支配的。从层流向紊流的转捩过程的理论研究，是以雷诺的假设为基础的，即承认紊流是由于层流 边界层产生不稳定性的结果。1921年，普朗特开始进行转捩的理论研究，1929年获得成功。当时托尔明从理论上 算出零冲角平板转捩的临界雷诺数，后被别人所进行非常仔细的实验所证实。稳定性理论能够考虑到对转捩有影 响的压强梯度、抽吸、马赫数和传热等许多因素。这个理论已得到很多重要的应用，如设计阻力非常小的层流翼 型。
第五章边界层理论解读
式(5-1)中的第一式为连续性方程；第二式为x方向 的动量传输方程，可简化为
(5-2) 式(5-1)中的第三式为 y 方向的动量传输方程，因为 边界层厚度δ 很小，除 1/ρ(∂p/∂y)项外，其它各项与 x 方 向上的动量传输方程相比可略而不计，可简化为 (5-3)
因为∂p/∂y=0．故x方向动量中 ∂p/∂x 可以写为全微 分dp/dx。应用上述方程组去求解边界层内流动问题时， 特别是式中 ∂p/∂x 成为全微分后，其值可由主流区的运 动方程求得。对主流区同一 y 值，不同 x 值的伯努利 方程可写为 (5-4)
4）AD 面上的动量 由于 AD 是固体表面，无流体 通过 AD 流入或流出，即质量通量为零，但由粘性力决 定的粘性动量通量是存在的，其量值为 τ0 ，所以在控 制体内由 AD 面单位时间传给流体的粘性动量为 τ0∆x。 沿 x 方向一般来说可能还会存在着压力梯度，所以 作用在 AB 面与 CD 面上的压力差而施加给控制体的冲 量为 (5-13) 由讨论边界层微分方程时我们知道 ∂p/∂y=0，所以：
而靠近固体壁面的一个薄层——称为流动边界层， 在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用， 但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程 简化后再去求解。
这种对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内 理想流体的流动问题和靠近壁面的边界层内的流动问题。
第一节
边界层理论的基本概念
一、边界层的定义
（3）湍流区：随着进流尺寸的进一步增加，使得Rex ＞ 3×106，这时边界层内流动形态已进入湍流状态，边界 层的厚度随进流长度的增加而迅速增加。
应当注意，无论是对过渡区还是湍流区，边界层 最靠近壁面的一层始终做层流流动，这一层称为层流 底层，这主要是因为在最靠近壁面处壁面的作用使该 层流体所受的粘性力永远大于惯性力所致。这里要特 别说明的是，边界层与层流底层是两个不同的概念。 层流底层是根据有无脉动现象来划分，而边界层则是 根据有无速度梯度来划分的。因此，边界层内的流动 既可以为层流，也可以为湍流。
边界层理论
4.64 x
v0
4.64
x Rex
小结
一、本课的基本要求
1．掌握边界层概念及分类。 2．了解边界层微分方程的建立及求解方法。 3．了解边界层积分方程的建立及求解方法。
二、本课的重点、难点
重点：边界层概念。 难点：边界层方程的建立及求解。
l 0
vx
dy
x
AD面上的动量
τwΔx
M l
qml v0
v0
d dx
l 0
vxdyx
代入动量平衡关系
d
dx
l 0
(
v0
vx
)vx
dy
w
l l
0 0
在δ~l区域vx=v0
d
dx
(v0
0
vx )vxdy
w
称冯·卡门边界层动量积分方程。层流、紊流边界层均适用。
因由控制体导出，积分解法又称近似积分解法。
5.1 边界层概念
3．管内流动时的边界层
汇合前
层流边界层 层流 紊流边界层 紊流
L 100 d L 25 ~ 40 d
汇合后：充分发展了的管流，速度分布不变。
紊流：紊流核心区+层流底层
5.2 边界层微分方程
1．微分方程的建立
建立方法 元体分析法
连续性方程 简化
vx vy 0 x y
紊流边界 层：流体 惯性力起 主导作用
5.1 边界层概念
边界层内流动的判别标准
Rex
u0 x
u0 x
Rexc 2105
Rex<2t;Rex<3106 Rex>3106
过渡区 紊流边界层
边界层以外的区域为主流区，速度梯度为零，无黏性力作用。因
边界层理论及其近似
z
v x
u y
u y
o
5/67
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚
度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在 x 方向的长度为 L
，边界层厚度为 。
惯性力：
FJ
m dV dt
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
dV dy
u
L t
ue ,
v u,
v
t
L / ue
L ue,
v ue
1 Re
（3）压强与外流速度的平方成正比
p ue2
将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到
19/67
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
N-S方程组各项量级比较:
u v 0 x y
ue ue 1 ue L L L
两项为同一量级
（b）边界层动量损失厚度
在边界层内，实际流体通过的动量为：
u2dy
0
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动量为：
ue udy
0
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：
eue22 ueu uudy
陆士嘉
16/67
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
1. 边界层流动图画 粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结
为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复 杂，对很多实际问题不能不作一些近似简化假设，为此考察空 气流过翼型的物理图画：
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5.1、边界层近似及其特征
（2）边界层的有涡性 粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当 流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的 连续分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度 为
u y u x u x o z x y y
ds ( MM " ) 2 ( M " M ' ) 2
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
在x处，设曲壁的曲率半径为R(x)，有 则
MM " ( R y )d R y dx , M" M' M ' N ' MN dy R
ds2 ( MM " ) 2 ( M " M ' ) 2 R y 2 2 2 2 dx dy ( H1dx) ( H 2 dy) R Ry H1 , H2 1 R
综上所述，边界层基本特性可归纳为
L 1 Re v 1 ue Re p p e ( x, t ) x y
p 0 y
2、曲壁面上的边界层方程 在实际流动中所遇到的物面常是弯曲的，因此推导曲壁面上的边界层 方程具有重要意义。在推导中，使用曲壁面上的边界层坐标系。其中 ，x轴贴着壁面，y轴垂直于壁面。在边界层内任取一点M，其坐标 x=ON y=NM M’为M的邻点，MM’的弧长为ds
u u u 1 p 2u u v 2 t x y x y
0 1 p y
边界条件：
y 0 u 0 v 0 y u ue
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
在边界层外边界线上，可按照理想流体势流方程确定压强。即
ue u 1 pe ue e t x x
0 1 p y
这说明，在高Re数情况下，在边界层内压力沿法向是不变的。
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等。也就是， p与y无关，仅是x和t的函数。即
p pe ( x, t )
忽略质量力，Prandtl边界层方程变为
u v 0 x y
v v v 1 p 2v 2v u v fy 2 2 t x y y x y
选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定：
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
1、平壁面上边界层方程 根据Prandtl边界层概念，通过量级比较，可对N-S方程组进行简化 ，得到边界层近似方程。对于二维不可压缩流动，N-S方程为
u v 0 x y
u u u 1 p 2u 2u u v fx 2 2 t x y x x y
u v 0 x y
ue u u u ue 2u u v ue 2 t x y t x y
在定常流动情况下，有
u v 0 x y
ue u u 2u u v ue 2 x y x y
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
0
其中，ue为边界层外缘速度。由于粘性的存在，实际流体通过的质量 流量为
me udy
0
上述两项之差表示粘性存在而损失的流量，这部分流量被排挤到主流 场中，相当于主流区增加了一层流体。
5.1、边界层近似及其特征
主流区所增加的厚度为
eue1 eue u dy
1 2 1 ue eue 3 ue2u u 3 dy 2 20
u u 2 1 2 dy 3 e ue ue 0
上述各种厚度的计算公式，对于不可压缩流体而言，变为:
u 1 1 dy u e 0
2 ue Re L Re
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
在高Re数情况下，忽略小量得到
u v 0 x y
u u u 1 p 2u u v fx 2 t x y x y
0 fy 1 p y
忽略质量力，由第三个方程得到
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl的边界层概念，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途 径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是： （1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的 流动区域（粘流区）。 （2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论 处理。 （3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流 区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运 动。 2、边界层的特征 （1）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主 流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称 为边界层名义厚度。
（c）边界层能量损失厚度 在边界层内，在质量流量不变的条件下，以外流速度（理想流体）通 过的动能为
1 2 Ei ue udy 2 0
由于粘性的存在，实际流体通过的动能为
1 2 Ee u udy 2 0
5.1、边界层近似及其特征
上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失用主流流 速ue（理想流体）折算的动能损失厚度为:
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。 以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界 层厚度为 。 惯性力：
FJ m dV U L2 LU 2 dt t
dV U A L2 dy
K e u 2 dy
0
5.1、边界层近似及其特征
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失用外流流 速ue（理想流体）折算的动量损失厚度为
u 2 ueu uu dy
2 e e 0
u u 1 dy 2 e ue ue 0
2
u u 1 dy u ue 0 e
u u2 3 1 2 dy ue u e 0
5.1、边界层近似及其特征
（5）几点说明 （a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外 边界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被 流体所通过的，允许流体穿过边界线流动。在边界层内流线是向外偏 的。
第5章
边界层理论及其近似
5.1、边界层近似及其特征 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3、平板层流边界层的相似解 5.4、边界层动量积分方程 5.5、边界层的分离现象
5.1、边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 业已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体力学家） 是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根据量级分 析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为: 惯性力： U dV FJ m L3 0 L2U 02 dt t 粘性力：
L 1 1 1 , L, , , x L y x y Re
（2）法向速度远远小于纵向速度。
v
t
L / ue
L
ue ,
v 1 L , u ue , v u ue t Re
（3）边界层内的压强与外流速度的平方成正比。
对于不可压缩流体，二维流动的涡量输运方程为
2 z 2 z d z z x 2 y 2 dt
上式表明，由于粘性的影响，物面上的涡量一方面沿垂直流线方向扩 散，另一方面，涡量沿主流方向迁移，并随之而逐渐衰减。涡量的扩 散速度与粘性有关，涡量的迁移速度取决于流动速度。
2 p ue
将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
N-S方程组与各项量级比较:
u v 0 x y ue L ue 1 u e Re Re Re ue L L
u u u 1 p 2u 2u u v fx 2 2 t x y x x y 2 2 ue2 ue2 u e ue ue2 ue ue ue ue 2 2 L L L LRe L Re L / Re L
（b）边界层各种厚度的定义式，即适用于层流，也适用于湍流。 （c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关。但各厚度的大 小依次是:
边界层厚度>边界层排移厚度>边界层动量损失厚度
Ludwig Prandtl介绍
普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善 于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己 对 物理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说 出量的大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。” 普朗特指导过81名博士生，著名学者Blasius、Von Karman是其学生 之一。我国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生 （女，1911–1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学 生。
v v v 1 p 2 v 2 v u v fy 2 2 t x y y x y 2 ue2 ue2 ue2 ue ue ue 2 2 3/ 2 L L Re L Re L Re L Re L Re
粘性力：
F
由惯性力与粘性力同量级得到
F FJ