山西省忻州一中2019-2020学年高一下学期期中考试试题 数学【含答案】
2020学年山西省高一下学期期中数学试题(解析版)
2020学年山西省高一下学期期中数学试题一、单选题1．与角520︒终边相同的角是（ ） A ．520-︒ B ．160-︒C ．160︒D ．700︒【答案】C【解析】先写出角520︒终边相同的角的集合,再对k 赋值,进而判断选项即可. 【详解】与角520︒终边相同的角的集合为{}520360,k k Z αα=︒+⋅︒∈,当1k=-时,160α=︒,故选:C 【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题.2．已知tan 2α=，则2222sin cos sin cos αααα+=-（ ）. A ．5- B ．35-C ．35D ．53【答案】D【解析】分子分母同除以2cos α即可. 【详解】222222sin cos tan 1415sin cos tan 1413αααααα+++===---. 故选：D. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生等价变形的能力，是一道基础题. 3．若1cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A ．B ．12-C D ．12【答案】B【解析】化简得到1sin 2α=，根据()sin sin ααπ+=-得到答案.【详解】1cos sin 22παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，()1sin sin 2παα+=-=-.故选：B . 【点睛】本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于诱导公式的理解应用.4．已知平面向量a r ，b r 满足15a b ⋅=r r ，()3,4b =r ，则a r 在b r方向上的投影为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】a r 在b r方向上的投影为cos a b a bθ⋅⋅=r rr r ,进而求解即可.【详解】设a r 与b r 的夹角为θ,则a r 在b r方向上的投影为cos 3a b a b a a a b b θ⋅⋅⋅=⋅===r r r rr r r r r ,故选:C 【点睛】本题考查向量的投影,考查数量积的应用,考查坐标法求向量的模. 5．已知扇形的圆心角为60︒，面积为6π，则该扇形的周长为（ ） A ．23π+B ．13π+C ．213π+ D ．223π+ 【答案】A【解析】通过面积计算得到1r =，再计算周长得到答案. 【详解】22112236S r r ππα==⨯=，故1r =，周长为：223r r πα+=+.故选：A . 【点睛】本题考查了扇形的面积和周长，计算扇形半径是解题的关键.6．在ABC ∆中，14AD AB =u u u r u u u r，//DE BC ，且与边AC 相交于点E ，ABC ∆的中线AM与DE 相交于点N ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则MN =u u u u r（ ）A ．()38a b -+r rB ．()38a b --r rC ．()34a b -+r rD ．()34a b --r r【答案】A【解析】由题,画出图形,可知14AN AM =u u u r u u u u r ,则34MN AM =-u u u u r u u u ur ,即可求解.【详解】 由题,如图所示,因为14AD AB =u u u r u u u r,//DE BC ,所以14AN AM =u u u r u u u u r ,因为()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r ,所以()()33134428MN AM a b a b =-=-⨯+=-+u u u u r u u u u r r r r r ,故选:A 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查数形结合思想. 7．已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（ ）A ．5665-B ．1665-C ．3365D ．6365【答案】D【解析】计算得到4cos 5α=，()12sin 13αβ+=，再根据()sin sin βαβα=+-展开得到答案. 【详解】α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，故4cos 5α=，()12sin 13αβ+=.()()()63sin sin sin cos cos sin 65βαβααβααβα=+-=+-+=.故选：D . 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.8．函数()2sin cos f x x x =+的部分图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】确定函数为偶函数排除AC ，根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >排除B 得到答案.【详解】()2sin cos f x x x =+，则()()2sin cos f x x x f x -=+=，函数为偶函数，排除AC .当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >排除B . 故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的综合应用能力. 9．下列关于函数212sin 6y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的说法正确的是（ ） A ．最小正周期是2πB ．在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 D ．图象关于直线12x π=成轴对称【答案】B【解析】化简得到()cos 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，再计算周期，单调性，对称得到答案. 【详解】()212sin cos 263y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数周期为22T ππ==，故A 错误；当4,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数单调递减，故B 正确； 当3x π=时，23x ππ+=，故,03π⎛⎫⎪⎝⎭不是对称中心，故C 错误； 当12x π=时，232x ππ+=，故12x π=不是对称轴，故D 错误；故选：B . 【点睛】本题考查了三角函数性质，意在考查学生对于三角函数性质的应用. 10．已知02πα<<，2πβπ<<，若tan α，tan β是方程2320x x +-=的两个实数根，则αβ+=（ ） A ．4πB ．34π C ．54π D ．74π 【答案】B 【解析】计算322ππαβ<+<，()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--，得到答案. 【详解】02πα<<，2πβπ<<，故322ππαβ<+<. tan α，tan β是方程2320x x +-=的两个实数根，则tan tan 3αβ+=-，tan tan 2αβ+=-，故()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--.故34αβπ+=. 故选：B . 【点睛】本题考查了和差公式求角度，意在考查学生的计算能力.11．若点,16A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,62B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,16C π⎛⎫ ⎪⎝⎭中只有一个点在函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上，为了得到函数()cos2y x x R =∈的图象，只需把曲线()f x 上所有的点（ ）A ．向左平行移动6π个单位长度 B ．向右平行移动6π个单位长度 C ．向左平行移动3π个单位长度 D ．向右平行移动3π个单位长度 【答案】A【解析】依次带入三个点计算得到3πϕ=-，再通过平移法则得到答案.【详解】 当,16A π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上时，即cos 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2,3πϕππ+=+∈k k Z ，即22,3k k Z πϕπ=+∈，不满足2πϕ<； 当3,62B π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上时，即3cos 632f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无解； 当,16C π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上时，即cos 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-+∈，当0k =时满足条件，故3πϕ=-.()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移6π个单位得到()cos2y x x R =∈的图像.故选：A . 【点睛】本题考查了根据函数过点求参数，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.12．已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别为CD ，BC 上的点，若13EA EB ⋅=u u u r u u u r，13FA FD ⋅=u u u r u u u r，则EF u u u r 的最小值是（ ）A ．1BCD ．【答案】B【解析】如图所示，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，计算得到1a =或3a =，1b =或3b =，再计算()()22244EF a b =-+-u u u r 得到答案.【详解】 如图所示，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，设(),4Ea ，()4,Fb ，[],0,4a b ∈.故()()2,44,441613EA EB a a a a ⋅=--⋅--=-+=u u u r u u u r ，故2430a a -+=，故1a =或3a =. ()()24,4,441613FA FD b b b b ⋅=--⋅--=-+=u u u r u u u r，故2430b b -+=，故1b =或3b =. ()()22244EF a b =-+-u u u r ，当3,3a b ==时，EF u u u r有最小值为2.故选：B .【点睛】本题考查了向量模的计算，建立直角坐标系是解题的关键.二、填空题13．已知向量()2,2a =-r ，(),1b x =r ，若a b ⊥r r，则x =______.【答案】1【解析】由a b ⊥r r 可得0a b ⋅=r r ,进而求解即可【详解】由题意知a b ⊥r r ,所以0a b⋅=r r ,即220x -+=,解得1x =,故答案为:1 【点睛】本题考查由向量垂直求参数,属于基础题 14．函数tan 3y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是________.【答案】1,6xx k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】函数定义域满足32x k ππππ+≠+，计算得到答案.【详解】函数tan 3y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域满足：32x k ππππ+≠+，即1,6x k k Z ≠+∈. 故答案为：1,6xx k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的定义域，意在考查学生对于函数定义域的理解和掌握.15．已知平面向量,a b r r 满足4a =r ，,a b r r的夹角为120︒，且()()23261a b a b -⋅+=r r r r ，则b =r________.【答案】3 【解析】化简得到()()2232648361a b a b b b -⋅+=+-=r r r r r r ，解得答案.【详解】()()222232443648361a b a b a a b b b b -⋅+=-⋅-=+-=r r r r r r r r r r ，解得3b =r 或13b =-r （舍去）.故答案为：3. 【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力. 16．已知函数()2cos cos2f x x x =+，则()f x 的最大值是________.【答案】3 【解析】化简得到()22cos 2cos 1f x x x =+-，设[]cos ,1,1x t t =∈-，得到213222y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】()22cos cos22cos 2cos 1f x x x x x =+=+-，设[]cos ,1,1x t t =∈-则2213221222y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，故当1t =，即cos 1x =时，函数有最大值为3.故答案为：3. 【点睛】本题考查了三角函数的最值计算，换元[]cos ,1,1x t t =∈-是解题的关键.三、解答题 17．求值：（1）sin 25sin 215sin 245cos35-︒︒︒︒；（2）5tantan41251tan12πππ+-.【答案】（1）12；（2）【解析】（1）直接利用诱导公式和和差公式化简得到答案. （2）直接利用和差公式的逆运算得到答案. 【详解】 （1）sin 25sin 215sin 245cos35sin 25sin 35cos 25cos 351cos602︒︒︒︒=-︒︒+︒︒=︒=-. （2）55tantantan tan52412412tan tan 5541231tan 1tan tan12412ππππππππππ++⎛⎫==+== ⎪⎝⎭--⋅【点睛】本题考查了诱导公式，和差公式，意在考查学生的计算能力. 18．在四边形ABCD 中，已知()0,0A，()4,0B ，()3,2C ，()1,2D .（1）判断四边形ABCD 的形状； （2）求向量AC u u u r 与BD u u u r夹角的余弦值.【答案】（1）等腰梯形；（2）513- 【解析】（1）计算得到12AB DC =u u u r u u u r，且AD BC ==u u u r u u u r ，得到答案.（2）()3,2AC =u u u r，()3,2BD =-u u u r ，利用夹角公式计算得到答案.【详解】（1）()4,0AB =u u u r ，()2,0DC =u u u r ，故12AB DC =u u u r u u u r ，()1,2AD =u u u r ，()1,2BC =-u u u r，故AD BC ==u u u r u u u r ，故四边形ABCD 为等腰梯形.（2）()3,2AC =u u u r ，()3,2BD =-u u u r ，故5cos ,13AC BD AC BD AC BD⋅==-⋅u u u r u u u ru u u r uu u r u u ur u u u r . 【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，向量夹角，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．已知函数()2sin cos f x x x =. （1）判断函数()f x 的奇偶性和周期性；（2）当[]0,x π∈时，若()1f x =，求x 的取值集合.【答案】（1）奇函数，周期为2π的周期函数；（2）3,44ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】（1）分别判断函数的奇偶性和周期性得到答案. （2）讨论0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦两种情况，分别计算得到答案. 【详解】 （1）()2sin cos fx x x =，则()()()()2sin cos f x x x f x -=--=-，函数为奇函数；()()()()22sin 2cos 22sin cos f x x x x x f x πππ+=++==，函数周期为2π.（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2sin cos sin 21f x x x x ===，故22x π=，4x π=. 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()2sin cos sin 21f x x x x ==-=，故322x π=，34x π=. 综上所述：4x π=或34x π=，即3,44x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性和周期性，根据函数值求x ，意在考查学生的综合应用能力. 20．在等腰直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点E 为BC 的中点，2AD DB =u u u r u u u r ，设ACa =u u u rr，AB b =u u u r r .（1）用a r ，b r 表示DE u u u r ；（2）在AC 边上是否存在点F ，使得DF EF ^，若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）1126DE a b =-uu u r r r （2）不存在点F 使得DF EF ^.见解析 【解析】（1）由1132DE DB BE AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,即可求解； （2）以边AC 所在的直线为x 轴,AC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系, 设2AB =,则22AC =,可得到,,,,A B C D E 的坐标,设(),0F x ,若DF EF ^,则0DF EF ⋅=u u u r u u u r ,进而求解即可.【详解】解:（1）1132DE DB BE AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()11113226b a b a b =+-=-r r r r r . （2）不存在,如图,以边AC 所在的直线为x 轴,AC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,设2AB =,则22AC =,()2,0A -,(2B ,)2,0C , 因为2AD DB =u u u r u u u r ,所以222D ⎛ ⎝⎭,22E ⎝⎭,设(),0F x ,2,2x ⎡∈-⎣,所以222,33DF x ⎛=+- ⎝⎭u u u r ,2222EF x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r , 因为DF EF ^,所以0DF EF ⋅=u u u r u u u r ,即2220323x x ⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 化简得26220x x +=,因为2480∆=-<,所以方程无解,故不存在点F 使得DF EF ^. 【点睛】本题考查平面向量分解定理的应用,考查利用数量积判断垂直关系,考查运算能力.21．自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化，变化由线为sin y x ω=.根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置（平衡位置），已知小英的生日是2003年3月20日（每年按365天计算）.（1）请写出小英的体力、情绪和智力节律曲线的函数；（2）试判断小英在2019年4月22日三种节律各处于什么阶段，当日小英是否适合参加某项体育竞技比赛？【答案】（1）体力节律函数为：()12sin ,023y x x π=>；情绪节律函数为：()2sin ,014y x x π=>；节律函数为：()32sin ,033y x x π=>；（2）处于体力节律高潮期，情绪节律低潮期，和智力节律临界日，适合参加体育竞技比赛【解析】（1）根据三角函数周期直接得到答案.（2）求得5874x =，代入函数分别计算得到答案.【详解】（1）小英的体力节律周期为23，故223πω=，故223πω=，故函数为：()12sin,023y x x π=>；同理可得情绪节律函数为：()2sin ,014y x x π=>；智力节律函数为：()32sin ,033y x x π=>. （2）时间共有：3651612225874⨯++=.当5874x =时，1218sin 5874sin 02323y ππ=⨯=>；211sin 5874sin 0147y ππ⎛⎫=⨯=< ⎪⎝⎭； 32sin 5874sin 0033y π=⨯==. 故处于体力节律高潮期，情绪节律低潮期，和智力节律临界日，适合参加体育竞技比赛.【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.22．已知向量()sin ,cos a m x x =r ，()sin ,sin b x m x =r ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b r r ，1tan 4x =，求实数m 的值；（2）记()f x a b =⋅r r ，若()12f x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）-2或2.（2）)1⎡+∞⎣ 【解析】（1）由//a b r r可得22sin sin cos 0m x x x -=,进而求解即可； （2）由()f x a b =⋅r r 可得()sin 2242m f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得sin 242x π⎛⎤⎛⎫-∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,若()12f x ≥-恒成立,则()min 12f x ≥-,再分类讨论0m ≥与0m <的情况,进而求解即可.【详解】解:（1）因为//a b r r ,所以22sin sin cos 0m x x x -=,即()2sin sin cos 0x m x x -=, 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 0x >,故2sin cos 0m x x -=, 当0m =时,显然不成立,故0m ≠,所以211tan 4x m ==, 解得2m =-或2,所以实数m 的值为2-或2（2）()2sin sin cos f x m x m x x =+1cos 2sin 2sin 222242x x m m x π-⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以32,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以sin 2,142x π⎛⎤⎛⎫-∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦, 因为()12f x ≥-恒成立,所以()min 12f x ≥-, 当0m ≥时,()0f x ≥,显然成立；当0m <时,())min 1=2m f x ,所以)1122m +≥-,解得1m ≥所以10m ≤<,综上可得,实数m的取值范围是)1⎡+∞⎣ 【点睛】 本题考查共线向量的坐标表示,考查向量的数量积的应用,考查三角函数的最值的应用,考查不等式的恒成立问题.。
2019-2020学年 山西省忻州市第一中学北校 高一下学期4月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年山西省忻州市第一中学北校高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．下列角α位于第三象限的是（ ） A ．3α= B ．23πα=C ．210α=-︒D ．3α=-【答案】D【解析】根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择. 【详解】第三象限的角度范围是32,2,2k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 对A ：18033172απ⎛⎫==⨯︒≈︒ ⎪⎝⎭，是第二象限的角，故不满足题意； 对B ：23πα=是第二象限的角度，故不满足题意； 对C ：210α=-︒是第二象限的角度，故不满足题意； 对D ：18033172απ⎛⎫=-=-⨯︒≈-︒ ⎪⎝⎭，是第三象限的角度，满足题意. 故选：D. 【点睛】本题考查角度范围的判断，属基础题. 2．若2παπ<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由角在第二象限知，余弦小于零，正弦大于零，因此对点来说横坐标小于零纵坐标大于零，故可以确定点位于第二象限 【详解】2απ<<πQcos <0sin 0αα∴>，∴点Q 在第二象限. 故选:B .【点睛】本题考查三角函数值的符号,难度容易. 3．下列说法正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a b ≠r r，则a b ≠r rC ．若a b r r ＝，则//a b r rD ．若a b ≠r r ，则a b ≠r r【答案】D【解析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项. 【详解】对于A ，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A 错误；对于B ，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当a b ≠r r时可能a b r r ＝，所以B 错误；对于C ，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当a b r r ＝时a r 和b r不一定平行，所以C 错误；对于D ，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若a b ≠r r ，则a b ≠r r成立，所以D 正确.综上可知，D 为正确选项， 故选：D 【点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题. 4．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当[0,)x ∈+∞时，()2020x f x =，若()10.32(ln 3),0.2,3a f e b f c f -⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．<b a c <B ．<c b a <C ．<b c a <D ．<c a b <【答案】C【解析】根据()f x 是定义在R 上的偶函数，结合指数函数与对数函数的图像与性质化简,a c ，即可由[0,)x ∈+∞时，函数()f x 的单调性比较大小. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数所以1233322c f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由对数的运算及对数函数的图像与性质可知ln31ln32e =+> 由指数函数的图像与性质可知0.300.21<< 因而0.300.ln 2332e <<< 当[0,)x ∈+∞时，()2020x f x =为递增函数所以()10.320.2(ln 3)3f f f e -⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即<b c a < 故选：C 【点睛】本题考查了偶函数的图像与性质，指数函数与对数函数图像与性质应用，中间值法比较大小，属于基础题.5．已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0， ω＞0，0ϕ＜≤2π)的图象如下，则点(,)P ωϕ的坐标是( )A ．(13，6π) B ．(13，3π) C ．(3π，6π) D ．(3π，3π) 【答案】C【解析】由函数f （x ）的部分图象求得A 、T 、ω和φ的值即可． 【详解】由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，A ＝2，T ＝2×（4﹣1）＝6，∴ω23T ππ==， 又x ＝1时，y ＝2，∴3π+φ2π=+2k π，k ∈Z ； ∴φ6π=+2k π，k ∈Z ；又0＜φ2π≤，∴φ6π=，∴点P （3π，6π）．故选C ． 【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.6．平面上有三点A ，B ，C ，设m AB BC =+u r u u u r u u u r ，n AB BC =-r u u u r u u u r ，若m u r 与n r的长度恰好相等，则有( )A ．,,ABC 三点必在同一直线上 B ．ABC ∆必为等腰三角形且B Ð为顶角 C ．ABC ∆必为直角三角形且90B ∠=︒D ．ABC ∆必为等腰直角三角形 【答案】C【解析】根据向量的模相等及向量表示形式，平方后化简即可得0AB BC ⋅=u u u r u u u r，即可判断选项. 【详解】m AB BC =+u r u u u r u u u r ，n AB BC =-r u u u r u u u r ，若m u r 与n r的长度恰好相等即m n =u r r所以AB BC AB BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r两边同时平方，展开可得222222AB AB BC BC AB AB BC BC +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r即0AB BC ⋅=u u u r u u u r所以ABC ∆必为直角三角形且90B ∠=︒ 故选：C【点睛】本题考查了平面向量模的求法，平面向量数量积的定义，属于基础题.7．执行如图的程序框图，依次输入123451719202123x x x x x =====，，，，，则输出的S 值及其意义分别是（ ）A ．4S =，即5个数据的方差为4B ．4S =，即5个数据的标准差为4C ．20S =，即5个数据的方差为20D ．20S =，即5个数据的标准差为20 【答案】A【解析】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可． 【详解】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，∵15x =（17+19+20+21+23）＝20， ∴由方差的公式得S ＝15[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4． 故选：A ． 【点睛】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8．设函数sin()0,,22y x ππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，且其图象关于直线12x π=对称，则在下面结论中正确的个数是（ ）①图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；⑤由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍. A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据最小正周期及对称轴，可求得函数解析式，由正弦函数的图象与性质即可判断选项. 【详解】因为函数sin()0,,22y x ππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π， 则22πωπ==，所以sin(2)y x ϕ=+ 函数图象关于直线12x π=对称，则2,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈则,3k k Z πϕπ=+∈因为,22ππϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以当0k =时得3πϕ=，即sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由正弦函数的图像与性质可知，对称中心为2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈ 当1k =时，,3x π=所以对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，故②正确，①错误； 由正弦函数的图像与性质可知，当222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z 时，函数单增， 解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，单调递增区间为5,,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦因为5,,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆51212,,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以④正确，③错误； 因为最小正周期为π，若()()120f x f x ==，可得12x x -必是2π的整数倍，所以⑤错误.综上可知，正确的为②④， 故选：C 【点睛】本题考查了函数解析式的求法，正弦函数图象与性质的综合应用，属于基础题. 9．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，我们把1x叫做α的正割，记作sec α；把1y 叫做α的余割，记作csc α. 则22sec csc 33ππ÷= （ ）A 3B ．3C 3D ．3【答案】B【解析】分析：由题意结合新定义的知识整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合新定义的知识可得：1sec tan 1csc yx x xyαα===， 则2233sec csc ππ÷2tan 33π==-本题选择B 选项.点睛：本题主要考查三角函数的定义，三角函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知5sin()cos(2)sin 2()3cos()cos 2f ππαπαααππαα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭，则253f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12-B ．12C． D【答案】B【解析】由已知利用诱导公式化简，代入即可求得. 【详解】()()5sin()cos(2)sin sin cos cos 2()cos 3cos sin cos()cos 2cos c 252513332os f f ππαπαααααααπααπααπππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪--⎛ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎫--- ⎪⎝⎭∴⎭Q 故选：B . 【点睛】本题考查诱导公式的运用，三角函数求值，难度较易.11．平行四边形ABCD 中，若点,M N 满足BM MC =u u u u v u u u u v ，2DN NC =u u u v u u u v，设MN AB AD λμ=+u u u u v u u u v u u u v，则λμ-=（ ）A ．56B ．56-C ．16D ．16-【答案】B【解析】画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =u u u vu u uv ，在AB 上取点F ，使得23AF AB =u u u v u u u v，由图中几何关系可得到()11122223MN FD FA AD AB AD ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，即可求出,λμ的值，进而可以得到答案． 【详解】画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =u u u v u u u v，在AB 上取点F ，使得23 AF AB=u u u v u uu v，则()11112112222332MN BE FD FA AD AB AD AB ADu u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v⎛⎫===+=-+=-+⎪⎝⎭，故13λ=-，12μ=，则56λμ-=-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平行四边形的性质，属于中档题．12．已知函数()()22,12ln1,1xxf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若()()()223F x f x af x=-+的零点个数为4个时，实数a的取值范围为（）A．2657,333⎛⎤⎛⎫⎥ ⎪⎝∞⎦+⎭⎝U B．6373⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．53,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．()265233,⎛⎤+∞⎥⎝⎦U【答案】A【解析】作出函数()f x的大致图象，令()f x t=，由图可知，当0t<时，()f x t=无解，当0t=时，()f x t=有一解，当01t<≤，或2t>时，()f x t=有两解，当12t<≤时，()f x t=有3解，由题意可得223t at-+=有两不相等的非零实根，设为1t，()212t t t<，则1201t t<<≤或122t t<<或101t<≤,22t>，再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论．【详解】解：作出函数()f x的大致图象得，令()f x t =，由图可知， 当0t <时，()f x t =无解， 当0t =时，()f x t =有一解，当01t <≤，或2t >时，()f x t =有两解， 当12t <≤时，()f x t =有3解， ∵函数()()()223F xf x af x =-+有4个零点， ∴2203t at -+=有两不相等的非零实根，设为1t ，()212t t t <， 则1201t t <<≤或122t t <<或101t <≤,22t >， 令()223g t t at =-+，()3002g =>，①当1201t t <<≤时，由图可知()100120g a ⎧≥⎪⎪<<⎨⎪∆>⎪⎩，即22103012803a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪->⎪⎩2653a <≤；②当122t t <<时，由图可知()2022ga⎧>⎪⎪>⎨⎪∆>⎪⎩，即2242032283aaa⎧-+≥⎪⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，无解；③当101t<≤，22t>时，由图可知()()1020gg⎧≤⎪<⎨⎪∆>⎩，即221032420383aaa⎧-+≤⎪⎪⎪-+<⎨⎪⎪->⎪⎩，解得73a>，综上：2657,,33a⎛⎤⎛⎫∈⋃+∞⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，故选：A．【点睛】本题主要考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于难题．二、填空题13．向量,a brr在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量,a b rr为邻边的平行四边形的面积是_________.【答案】3【解析】将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积.根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：则()()2,1,1,2a b ==r r，故4,?555a b cos a b a b⋅===⨯r r r rr r. 又两向量的夹角为锐角，故3,?5sin a b =r r ，则该平行四边形的面积为3,?5535S a b sin a b ==⨯⨯=r rr r . 故答案为：3. 【点睛】本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题. 14．函数的定义域为________.【答案】【解析】解不等式即可得定义域.【详解】解:要使函数有意义,则必有,即.结合正弦曲线或单位圆,如图所示,可知当时,.(1) (2) 故函数的定义域为.故答案为:.本题考查函数定义域，是基础题.15．已知函数()2()log 28a f x x ax =-+在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.【答案】()[)0,12,3⋃【解析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数单调性与对数定义域要求，分类讨论01a <<与1a >两种情况，即可求得a 的取值范围. 【详解】函数()2()log 28a f x x ax =-+，所以0a >且1a ≠， 令()228t x a a =-+-，则()log a f t t =当01a <<时，因为函数()log a f t t =在()0,∞+内单调递减，而函数()f x 在区间[1,2]上是减函数，由复合函数单调性的性质可知，()228t x a a =-+-在区间[1,2]上是增函数，由二次函数对称轴及单调性可得1a <.且满足对数函数定义域要求，即()11280t a =-+>，解得92a <，所以由以上可得01a <<； 当1a >时，因为函数()log a f t t =在()0,∞+内单调递增，而函数()f x 在区间[1,2]上是减函数，由复合函数单调性的性质可知，()228t x a a =-+-在区间[1,2]上是减函数，由二次函数对称轴及单调性可得2a ≥.且满足对数函数定义域要求，即()24480t a =-+>，解得3a <，所以由以上可得23a ≤<.综上可知，a 的取值范围为()[)0,12,3⋃. 故答案为：()[)0,12,3⋃. 【点睛】本题考查了复合函数单调性性质应用，对数函数定义域要求，二次函数的对称性及单调性，分类讨论思想的综合应用，属于中档题. 16．若1cos sin 4x y +=，则2sin sin x y -的取值范围是_____. 【答案】9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据等式，结合三角函数的值域，可求得3cos 14x -≤≤.由同角三角函数式化简所求整式，即可由二次函数性质求得值域. 【详解】因为1cos sin 4x y += 则1sin cos 4y x =- 因为1sin 1y -≤≤所以11cos 141cos 1x x ⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得3cos 14x -≤≤ 所以由同角三角函数关系式，并代入1sin cos 4y x =-化简可得 2sin sin x y -211cos cos 4x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭221cos 1x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，3cos 14x -≤≤所以当3cos 4x =-时，2sin sin x y -取得最小值为916-；当1cos 2x =时，2sin sin x y -取得最大值为1； 综上可知，2sin sin x y -的取值范围为9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了三角函数的值域应用，二次型余弦函数的值域求法，同角三角函数关系式的应用，属于基础题.三、解答题17．已知sin 2cos 0θθ-=.（1）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ、cos θ及tan θ的值；（2）求21cos 2sin cos θθθ+的值. 【答案】(1)255cos si tan 255n =θθθ==，，;(2)1 . 【解析】（1）根据同角三角函数关系求解出sin θ、cos θ及tan θ的值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简，即可求出. 【详解】（1）sin 2cos 0tan 2θθθ-=∴=Q 又因为22sin cos 1θθ+=，25cos =021,πθθ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭Qs 525cos .in =θθ∴=， (2) 222221sin +cos tan +141==1cos 2sin cos cos 2sin cos 12tan 14θθθθθθθθθθ+==++++ 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用,难度较易. 18．如图，已知ABC ∆中，D 为BC 的中点，12AE EC =，AD BE ，交于点F ，设AC a =u u u r r ，AD b =u u u r r．（1）用,a b r r 分别表示向量AB u u u r ，EB u u u r；（2）若AF t AD =u u u r u u u r，求实数t 的值．【答案】（1）2AB b a =-u u r r u r ，423EB a b -+=u u u r rr ；（2）12t =．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用,a b r r 分别表示向量AB u u u r ，EB u u u r；（2）用,a b r r 分别表示向量FB u u u r ，EB u u ur ，由平面向量共线基本定理，即可求得t 的值.【详解】（1）由题意，D 为BC 的中点，12AE EC =，可得13AE AC =u u u r u u u r ，AC a =u u u r r ，AD b =u u u r r ．∵2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，∴2AB b a =-u u r r u r， ∴–EB AB AE =u u u r u u u r u u u r123b a a =--r r r423a b =-+rr（2）∵AD A tb F t ==u u u u r u u r r， ∴–FB AB AF =u u u r u u u r u u u r()2a t b =-+-r r∵423EB a b -+=u u u r r r ，FB u u u r ，EB u u u r 共线，由平面向量共线基本定理可知满足12423t --=-，解得12t =． 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题. 19．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．()1根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；()2用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[)105,115中的概率．【答案】（1）123.6（2）23【解析】⑴用频率分布直方图中的每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果；⑵首先可通过分层抽样确定6人中在[)95105，分数段以及[)105115，分数段中的人数，然后分别写出所有的基本事件以及满足题意中“两名同学数学成绩均在[)105115，中”的基本事件，最后两者相除，即可得出结果． 【详解】⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：()101000.0041100.0201200.0281300.0321400.016123.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有()100.004100.025012⨯+⨯⨯=人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[)95105，有1人，用a 表示， 分数在[)105115，中的有5人，用1b 、2b 、3b 、4b 、5b 表示， 则基本事件有()1,a b 、()2,a b 、()3,a b 、()4,a b 、()5,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共15个，满足条件的基本事件为()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共10个，所以这两名同学分数均在[)105115，中的概率为102153P ==． 【点睛】本题考查了频率分布直方图以及古典概型的相关性质，解决本题的关键是对频率分布直方图的理解以及对古典概型概率的计算公式的使用，考查推理能力，是简单题．20．已知函数()62f x sin x ⎛⎫- ⎝π=-⎪⎭，将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移6π个单位，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式； （2）求函数()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()26g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1，12-. 【解析】（1）根据函数图像平移伸缩变换，即可求得函数()g x 的解析式； （2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质，即可求得函数()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的的最大值和最小值. 【详解】（1）函数()6sin 2f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π，将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移6π个单位，再向上平移2个单位，可得()sin 22266g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简得()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）∵122x ππ≤≤，可得72366x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 当6x π=时，函数()g x 有最大值1； 当2x π=时，函数()g x 有最小值12-【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换及应用，正弦函数图像与性质的应用，属于基础题. 21．已知函数()Asin()A 0,0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式|()|1f x m -≤有解，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()2sin(2)3f x x π=+;(2) 03m ≤≤【解析】（1）利用函数的图像得A ，T ，可求出ω得值，代入点(,0)6π-可得函数()y f x =的解析式；（2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，可得()f x 得取值范围，将|()|1f x m -≤化简列出不等式组可得实数m 的取值范围. 【详解】解：(1)由函数图像可得：2A =,41264T πππ=+=,T π=, 由2T ππω==，0>ω，可得=2ω，所以()2sin(2)f x x ϕ=+(||2ϕπ<), 代入点(,0)6π-，可得02sin[2()]6πϕ=⨯-+，可得3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+；(2) 当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, []()1,2f x ∈,由不等式|()|1f x m -≤有解，可得1()1f x m -≤-≤，1()1m f x m -+≤≤+，由[]()1,2f x ∈，可得1112m m +≥⎧⎨-+≤⎩，可得03m ≤≤， 实数m 的取值范围为：03m ≤≤. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.22．已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤<【解析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围． 【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件； 若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，第 21 页 共 21 页 对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-， 不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。
山西省忻州市第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
山西省忻州市第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题〔含解析〕一、选择题1.一场考试需要2小时 , 在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为〔 〕 A.3π B. 3π-C.23π D. 23π-【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16, 且按顺时针转所形成的角为负角 , 综合以上即可得到此题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时 , 转过的角度为2π , 按顺时针转所形成的角为负角 , 所以经过2小时 , 时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 应选 : B【点睛】此题主要考查正负角的定义以及弧度制 , 属于基础题. 2.已知角α的终边经过点P 〔﹣3 , 1〕 , 那么cos 2α＝〔 〕 A.35B. 35-C.45D. 45-【答案】C 【解析】 分析】根据三角函数定义得到3cos 10α=-, 再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】∵角α的终边经过点P 〔﹣3 , 1〕 , ∴cos α()22331031-==--+ ,那么cos 2α＝2cos 2α﹣1＝2910⨯-145= , 应选 : C .【点睛】此题考查了三角函数定义 , 二倍角公式 , 意在考查学生的计算能力. 3.cos70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为〔 〕A. 32-B.32C. 12-D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式化简到角是锐角 , 再用正弦和差角公式求解. 【详解】由已知得()()()cos 9020sin 9040cos 18020sin 40︒︒︒︒︒+---=sin 20cos 40cos 20sin 3sin .24060︒︒︒︒︒+== 应选B.【点睛】此题考查三角函数的诱导公式和正弦和差角公式.4.已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),那么向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0 , 化简得到a b =﹣2 , 再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0 , 即()2·20a a b += 即ab =﹣2∴向量b 在向量a 方向上的投影为·22a b a -==﹣1 , 应选B ．【点睛】此题主要考查向量投影的定义及求解的方法 , 公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式． 5.0>ω函数()sin sin22xxf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增 , 那么ω的范围是 A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (]0,2D. [)2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】先化简函数的解析式 , 再利用正弦函数的图像和性质分析得到ω的不等式组 , 解之即得解.【详解】由题得111()=sincos sin x 222f x wx wx w = , 所以函数的最小正周期为2T wπ=,因为函数()sin sin 22x xf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增 ,所以24w 324w4ππππ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩ , 又w ＞0 ,所以302w <≤. 应选B【点睛】此题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.已知向量(1,0)a = , (1,3)b = , 那么与2a b -共线的单位向量为( )A. 13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. 13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C. 3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D. 13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或13,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得 , ()2=1-3a b -，设与2a b -共线的单位向量为(),x y , 利用向量共线和单位向量模为1 , 列式求出,x y 即可得出答案.【详解】因为(1,0)a = , (1,3)b = , 那么()22,0a = ,所以()2=1-3a b -， , 设与2a b -共线的单位向量为(),x y ,那么22301x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩ , 解得1232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -共线的单位向量为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或13,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. 应选 : D.【点睛】此题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 7.已知()0,απ∈ , 3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ , 那么cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕A.2425B. 2425-C.725D. 725-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭求得2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭.再由诱导公式求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.根据角的取值范围,舍去不合要求的解即可. 【详解】因为3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭由余弦二倍角公式可得22237cos 212sin 1233525ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以27sin 2cos 26325ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由同角三角函数关系式可得224cos 21sin 26625ππαα⎛⎫⎛⎫+=±-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为()0,απ∈ 那么4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,而3sin 035πα⎛⎫+=> ⎪⎝⎭所以,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 那么,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以22,233ππαπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32,3262ππππα⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即32,662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又因为7sin 20625πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭,所以32,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故cos 206πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以24cos 2625πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 应选:B【点睛】此题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.8.已知1e , 2e 分别为直角坐标系xOy 的,x y 轴正上方上单位向量 , 1243AC e e =- ,1268BD e e =+ , 那么平行四边形ABCD 的面积为〔 〕A. 25B. 50C. 75D. 100【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积定义可证明AC BD ⊥ , 可知行四边形ABCD 对角线互相垂直 , 结合平面向量模的求法可得,AC BD , 即可求得平行四边形ABCD 的面积.【详解】由题意可知1e , 2e 分别为直角坐标系xOy 的,x y 轴正上方上单位向量 ,1243AC e e =- , 1268BD e e =+ ,那么()()221212112243682414240AC BD e e e e e e e e ⋅=-⋅+=+⋅-= , ∴AC BD ⊥ ,那么平行四边形ABCD 对角线垂直 , ()22435AC =+-= , 226810BD =+= ,所以面积为1510252⨯⨯=. 应选 : A.【点睛】此题主要考查平面向量的运算与几何意义 , 平面向量数量积的运算 , 属于基础题. 9.设42ππx ≤≤ , 那么1sin 21sin 2x x ++-=〔 〕 A. 2sin x B. 2cos xC. 2sin x -D. 2cos x -【答案】A 【解析】 【分析】由x 的范围 , 和三角函数线得sin cos x x > , 将1sin 21sin 2x x ++-化简 , 得答案. 【详解】因为42ππx ≤≤ , 由三角函数线的图像可知sin cos x x > , 那么22221sin21sin2sin cos 2sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x x x ++-=++++-()()22sin cos sin cos x x x x =++-sin cos sin cos 2sin x x x x x =++-=应选 : A【点睛】此题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简 , 还考查了判断三角函数值的大小 , 属于简单题.10.设ABC ∆中BC 边上的中线为AD , 点O 满足2AO DO =- , 那么OC =〔〕 A. 1233AB AC -+ B.2133AB AC - C.1233AB AC - D.2133AB AC -+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可． 【详解】ABC ∆中BC 边上的中线为AD , 点O 满足2AO DO =- , 如下列图 :由22AO DO OD =-= , 且D 为BC 的中点 , 所以O 为AD 的三等分点靠近点D , 且2AD AB AC =+ , ∴()2133AO AD AB AC ==+ , 又2133BO BD BA =+ , 从而2OD OB OC =+ , 即AO OB OC =+ , 所以OC AO OB AO BO =-=+=()13AB AC ++2133BD BA + =()()111123333333BC AC AB AC ABAB AC BA AB AC AB --+++=++-=. 应选 : A【点睛】此题考查向量的加减法运算 , 三角形中线的性质应用 , 平面向量基本定理的应用 , 属于中档题． 11.将函数()3sin2cos2f x x x =-向左平移6π个单位 , 得到()g x 的图象 , 那么()g x 满足〔 〕 A. 图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 , 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B. 函数最大值为2 , 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 图象关于直线6x π=对称 , 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D. 最小正周期为π , ()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简三角函数式 , 结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式 , 结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】函数()3sin2cos2f x x x =- ,那么()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位 , 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ , 由正弦函数的性质可知 , ()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈ , 解得,122k x k Z ππ=-+∈ , 所以A 、B 选项中的对称中心错误 ;对于C , ()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈ , 解得,6x k k Z ππ=+∈ , 所以图象关于直线6x π=对称 ; 当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 , 52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ , 由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ , 所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 , 所以C 正确 ; 对于D , 最小正周期为22ππ= , 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ , 由正弦函数的图象与性质可知 , 2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x = , 所以D 错误 ;综上可知 , 正确的为C , 应选 : C.【点睛】此题考查了三角函数式的化简 , 三角函数图象平移变换 , 正弦函数图象与性质的综合应用 , 属于中档题. 12.已知函数22log (1),0()4,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩, 那么函数()()1g x f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为( ) A. 4 B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】令()f x t = , 求得()1f t =的根 , 再求()f x t =的根 , 那么问题得解. 【详解】令()f x t = , 那么可得()1f t = ,当0t ≤时 , 即可得()2log 11t -= , 解得1t =- ; 当0t >时 , 即可得241t t -+= , 解得2t =3±. 那么()1f x =- , 或()2f x =3+ , 或()23f x =- 当0x ≤时 ,令()2log 11x -=- , 解得12x =, 不满足题意 ; 令()2log 123x -=+ , 解得23120x +=-≤ , 满足题意 ; 令()2log 123x -=- , 解得23120x -=-≤ , 满足题意.当0x >时 ,令241x x -+=- , 解得25x =+或25x =-(舍) ; 令2423x x -+=+ , 整理得24230x x -++= , 解得6222x -=+或6222x -=-满足题意 ; 令2423x x -+=- , 整理得2622x +=+或2622x +=-满足题意. 综上所述 , 函数零点有2323622612,1?2,?25,?2,?222+--+--+±±共计7个. 应选 : B.【点睛】此题考查函数零点的求解 , 涉及对数运算 , 属基础题. 二．填空题13.[九章算术]是中国古代的数学名著 , 其中[方田]一章给出了弧田面积的计算公式．如下列图 , 弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形 , 假设弧田的弧AB 长为4π , 弧所在的圆的半径为6 , 弧田的面积__________．【答案】1293π-【解析】【分析】先求得圆心角 , 再根据扇形面积公式 , 即可求得结果.【详解】设圆弧AB 所对圆心角的弧度为α , 由题可知64απ⨯= 解得23πα=. 故扇形AOB 的面积为1122l r π⨯⨯= , 三角形AOB 的面积为212sin 69323π⨯⨯= , 故弧田的面积为1293π-.故答案为 : 1293π-【点睛】此题考查扇形的面积公式、弧长的计算公式 , 属综合基础题.14.已知向量()()4,2,,1a b λ== , 假设a 与b 的夹角是锐角 , 那么实数λ的取值范围为______. 【答案】()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由a 与b 的夹角为锐角 , 那么0a b ⋅> , 列出不等式解出λ , 要去掉使a 与b 同向〔a 与b 的夹角为0〕的λ的取值.【详解】∵a 与b 的夹角为锐角∴0a b ⋅> , 即420λ+> , 解得12λ>-, 当2λ=时 , a 与b 同向 ,∴实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为 : ()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】此题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律 , 将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键 , 属于中档题.15.假设sin 211cos 23αα=- , ()tan 21βα-= , 那么tan αβ______．【答案】2【解析】【分析】先求出tan α , 再由()2αβαβα-=---结合两角差的正切公式可求()tan αβ-. 【详解】因为sin 211cos 23αα=- , 故22sin cos 112sin tan 3αααα==即tan 3α= , 所以()tan 3α-=-()()()()()()()tan tan 2tan tan 21tan tan 2αβααβαβααβα----=⎡---⎤=⎣⎦+-- ()312131--==+-⨯. 故答案为 : 2.【点睛】三角函数的化简求值问题 , 可以从四个角度去分析 : 〔1〕看函数名的差异 ; 〔2〕看结构的差异 ; 〔3〕看角的差异 ; 〔4〕看次数的差异．对应的方法是 : 弦切互化法、辅助角公式〔或公式的逆用〕、角的分拆与整合〔用已知的角表示未知的角〕、升幂降幂法．16.对以下命题 : 〔1〕假设向量a 与b 同向 , 且||||a b > , 那么a b > ; 〔2〕假设向量||||a b = , 那么a 与b 的长度相等且方向相同或相反 ; 〔3〕对于任意向量||||a b = , 假设a 与b 的方向相同 , 那么a b = ; 〔4〕由于0方向不确定 , 故0不与任意向量平行 ; 〔5〕向量a 与b 平行 , 那么向量a 与b 方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________【答案】1【解析】【分析】根据向量的定义以及相关概念 , 对选项进行逐一分析即可.【详解】〔1〕向量不可比拟大小 , 故〔1〕错误 ;〔2〕向量的模长相等 , 不能确定方向的关系 , 故〔2〕错误 ;〔3〕当向量模长相等 , 且方向相同时 , 那么向量相等 , 故〔3〕正确 ;〔4〕0与任意向量平行 , 故〔4〕错误 ;〔5〕假设a 与b 有一个向量是零向量 , 那么方向不确定 , 故〔5〕错误.故正确的命题个数为1. 故答案为 : 1.【点睛】此题考查向量的定义、性质和相关概念 , 属基础题.三、解答题17.已知 , 5cos 5α= , ()10sin 10αβ-= , 且α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ , 求 : 〔1〕cos(2)αβ-的值 ;〔2〕β的值.【答案】〔1〕210; 〔2〕4πβ=. 【解析】【分析】 〔1〕由同角三角函数的关系可以得出sin α与()cos αβ-的值 , 再将()()cos 2cos αβααβ⎡⎤-=+-⎣⎦根据两角和的余弦公式展开 , 根据已知代入计算即可得出此式的正确结果 ;〔2〕()2cos cos 2βααβ⎡⎤=--=⎣⎦ , 结合β的范围可得β的取值. 【详解】〔1〕因为α , 0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ , 所以,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ , 又因为()10sin 10αβ-= , 那么()310cos 10αβ-= , 而25sin 5α= ,()()()()2cos 2cos cos cos sin sin 10αβααβααβααβ⎡⎤-=+-=---=⎣⎦ , 〔2〕()()()2cos cos cos cos sin sin 2βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-=⎣⎦ , 又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 4πβ∴=. 【点睛】此题考查利用两角和与差的余弦公式求值以及给值求角的问题 , 同时也考查了同角三角函数平方关系的应用 , 在处理给值求角的问题 , 要计算出所求角的取值范围 , 考查运算求解能力 , 属于中等题.18.如下列图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设,AB a AO b ==.(1)用向量a 与b 表示向量,OC CD ;(2)假设45OE OA =,求证:C ,D ,E 三点共线. 【答案】(1)OC b a =--,5133CD a b =+;(2)证明见解析. 【解析】【分析】〔1〕根据题意 , 利用向量的加法与减法的几何意义 , 得出OC OA AC =+ , CD CB BD =+ , 即可用a 、b 表示 ;〔2〕由45OE OA = , 只需找到CD 与CE 的关系 , 即可得证. 【详解】解 : (1)∵AB a =,AO b =,∴OC OA AC b a =+=--,11151()2()33333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+. (2)证明: 45OE OA = ()413555CE OE OC b a b a b CD ∴=-=-++=+=, ∴CE 与CD 平行,又∵CE 与CD 有共同点C ,∴C , D , E 三点共线.【点睛】此题考查了平面向量的加法与减法的几何意义以及向量共线的应用问题 , 属于基础题．19.为了践行习总书记提出的〞绿水青山就是金山银山 , 坚持人与自然和谐共生〞的理念 , 我市在经济速发展同时 , 更注重城市环境卫生的治理 , 经过几年的治理 , 市容市貌焕然一新 , 为了调查市民对城区环境卫生的满意程度 , 研究人员随机抽取了1000名市民进行调查 , 并将满意程度统计成如下列图的频率分布直方图 , 其中2a b ＝．〔1〕求,a b 的值 ;〔2〕假设按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人 , 再从这5人中随机抽取2人 , 求至少有1人的分数在[50 , )60的概率．【答案】〔1〕a ＝0.030 , b ＝ 0.015．〔2〕710【解析】【分析】〔1〕由频率分布直方图列出方程组 , 由此能求出,a b ．〔2〕[)[)50,60,60,70两段频率比为0.1:0.152:3= , 按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人 , 分数在[)50,60中抽取2人 , 记为12,a a , 分数在[)60,70中抽取3人 , 记为1b , 2b , 3b , 从这5人中随机抽取2人 , 利用列举法能求出至少有1人的分数在[)50,60的概率．【详解】解 : 〔1〕由频率分布直方图得 :(0.010.0350.01)101a b ++++⨯= ,0.045a b ∴+= ,又2a b = ,解得0.030a = , 0.015b =．〔2〕[50 , 60) , [60 , 70)两段频率比为0.1:0.152:3= ,∴按照分层抽样的方式从[50 , 60) , [60 , 70)中随机抽取5人 ,分数在[50 , 60)中抽取2人 , 记为1a , 2a ,分数在[60 , 70)中抽取3人 , 记为1b , 2b , 3b ,∴从这5人中随机抽取2人的所有情况为 :1(a , 2)a , 1(a , 1)b , 1(a , 2)b , 1(a , 3)b , 2(a , 1)b , 2(a , 2)b ,2(a , 3)b , 1(b , 2)b , 1(b , 3)b , 2(b , 3)b , 共10个 ,其中 , 至少有1人的分数在[50 , 60)包含的基本领件有7个 ,∴至少有1人的分数在[50 , 60)的概率710P =． 【点睛】此题考查古典概型概率的求法 , 考查频率分布直方图、列举法、分层抽样等基础知识 , 考查运算求解能力．20.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的局部图象如下列图.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)假设对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)3122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，. 【解析】【分析】〔1〕先根据图象求出()g x 的解析式 ; 再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象 ; 〔2〕先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围 ; 再结合恒成立问题即可求解.【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫-⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=, 即()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ , 将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()g x ; (2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，, 所以当263x ππ+=-时,()f x 取最小值32-, 当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以32212m m ⎧-+<-⎪⎨⎪<+⎩, 即3122m ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，. 【点睛】此题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的局部图象求解析式 , 诱导公式 , 函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律 , 以及恒成立问题 , 属于中档题.21.已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα , 3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭. 〔1〕假设AC BC = , 求角α的值 ; 〔2〕假设1AC BC ⋅=- , 求22sin sin21tan ααα++的值. 【答案】〔1〕54π ; 〔2〕95- 【解析】【分析】〔1〕根据两向量的模相等 , 利用两点间的距离公式建立等式求得tan α的值 , 根据α的范围求得α ; 〔2〕根据向量的基本运算根据 1AC BC ⋅=- , 求得sin α和cos α的关系式 , 然后用同角和与差的关系可得到52sin cos 9αα=- , 再由化简可得22sin sin 2 2sin cos 1tan ααααα+=+ , 进而可确定答案． 【详解】〔1〕∵AC BC = , ∴()()()()22223cos 0sin ?0cos 3sin αααα-+-=-+-化简得tan 1α= , ∵3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭ , ∴54πα=． 〔2〕∵ 1AC BC ⋅=- ,∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-⋅-=- ,∴2sin cos 3αα+= , ∴52sin cos 9αα=- ,∴()22sin cos sin cos 2sin sin 25 2sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++==-++＝． 【点睛】此题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题 , 属于中档题.22.已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. 〔1〕求a 的值 :〔2〕求函数()f x 的值域 ;〔3〕当[]1,2x ∈时 , ()220x mf x +->恒成立 , 求实数m 的取值范围. 【答案】〔1〕2a =〔2〕()1,1-〔3〕(10,3)+∞ 【解析】【分析】 〔1〕利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性 , 求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立 , 分离参数m ,利用换元法 , 结合函数的单调性求解最大值 , 推出结果即可.【详解】〔1〕∵()f x 是R 上的奇函数 ,∴()()f x f x -=-即 : 242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.〔2〕222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +> ,22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+∴函数()f x 的值域为()1,1-.〔3〕由()220xmf x +-> 可得 , ()2 2xmf x >- , 21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时 , (21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤〕 , 那么有(2)(1)21t t m t t t+->=-+ , 函数21y t t=-+在1≤t ≤3上为增函数 , ∴max 210(1)3t t -+= , 103m ∴> , 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】此题主要考查了函数恒成立条件的应用 , 函数的单调性以及函数的奇偶性的应用 , 属于中档题.。
山西省忻州一中2019-2020学年高一数学下学期期中试题[带答案]
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山西省忻州一中2019-2020学年高一数学下学期期中试题注意事项：1．考生务必用0.5mm 黑色中性笔答题.2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟.一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-2．已知角α的终边经过点P (-3，1)，则cos 2α＝( ) A ．35B ．35-C ．45D ．45-3．cos70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为( ) A ．3 B 3C ．12-D ．124．已知平面向量a →，b →是非零向量，|a →|=2, a →⊥(a →+2b →)，则向量b →在向量a →方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-25．0>ω函数()sin sin 22xxf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增，则ω的范围是( ) A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞6．已知向量a →=(1,0)，b →=(1,3)，则与2a →-b →共线的单位向量为( )A ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．132⎛- ⎝⎭C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭或132⎛- ⎝⎭ 7．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-8．已知e 1→，e 2→分别为直角坐标系x O y 的x ,y 轴正上方上单位向量，AC →=4e 1→-3e 2→，BD →=6e 1→+8e 2→，则平行四边形ABCD 的面积为( )A ．25B ．50C ．75D ．1009．设42ππx ≤≤，则1sin 21sin 2x x ++-=( ) A ．2sin xB ．2cos xC ．2sin x -D ．2cos x -10．设ΔABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足AO →=-2DO →，则OC →=( ) A ．-13AB →+23AC →B ．23AB →-13AC →C ．13AB →-23AC →D ．-23AB →+13AC →11．将函数f (x )=3sin2x -cos2x 向左平移6π个单位，得到g (x )的图象，则g (x )满足( ) A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根12．已知函数f(x)=⎩⎨⎧log 2(1-x)，x ≤0-x 2+4x ，x>0，则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．9二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，弧田的面积__________．14．已知向量a →=(4,2)，b →=(λ,1)，若a →与b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______.15．若sin2α1-cos2α=13，tan(β-2α)=1，则tan(α-β)=______．16．对下列命题：（1）若向量a →与b →同向，且|a →|>|b →|，则a →>b →；（2）若向量|a →|=|b →|，则a →与b →的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量|a →|=|b →|，若a →与b →的方向相同，则a →=b →； （4）由于0→方向不确定，故0→不与任意向量平行； （5）向量a →与b →平行，则向量a →与b →方向相同或相反． 其中正确的命题的个数为________三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17．(本小题满分10分)已知，5cos 5α=，()10sin 10αβ-=，且α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求： （1）cos(2)αβ-的值；（2）β的值.18．(本小题满分12分)如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设AB →=a →，AO →=b →. (1)用向量a →与b →表示向量OC →，CD →；(2)若OE →=45OA →，求证：C ，D ，E 三点共线.19．(本小题满分12分)为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中a =2b . （1）求a ，b 的值；（2）若按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，)60的概率．20．(本小题满分12分) 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示. (1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.21．(本小题满分12分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若|AC →|=|BC →|，求角α的值；（2）若AC →•BC →=-1，求22sin sin21tan ααα++的值.22．(本小题满分12分)已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.高一数学期中考试题答案 一、选择题1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-【解析】．B2．已知角α的终边经过点P (-3，1)，则cos 2α＝( ) A ．35B ．35-C ．45D ．45-【解析】．C3．cos70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为( )A ．3B 3C ．12-D ．12【解析】．B4．已知平面向量a →，b →是非零向量，|a →|=2, a →⊥(a →+2b →)，则向量b →在向量a →方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【解析】．B5．0>ω函数()sin sin 22xxf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增，则ω的范围是( ) A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞【解析】．B6．已知向量a →=(1,0)，b →=(1,3)，则与2a →-b →共线的单位向量为( )A ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛- ⎝⎭C ．3221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,22⎛- ⎝⎭或13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】．D7．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【解析】．B8．已知e 1→，e 2→分别为直角坐标系x O y 的x ,y 轴正上方上单位向量，AC →=4e 1→-3e 2→，BD →=6e 1→+8e 2→，则平行四边形ABCD 的面积为( ) A ．25 B ．50C ．75D ．100【解析】．A 9．设42ππx ≤≤，则1sin 21sin 2x x ++-=( ) A ．2sin x B ．2cos xC ．2sin x -D ．2cos x -【解析】．A10．设ΔABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足AO →=-2DO →，则OC →=( ) A ．-13AB →+23AC →B ．23AB →-13AC →C ．13AB →-23AC →D ．-23AB →+13AC →【解析】．A11．将函数f (x )=3sin2x -cos2x 向左平移6π个单位，得到g (x )的图象，则g (x )满足( ) A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根【解析】．C12．已知函数f(x)=⎩⎨⎧log 2(1-x)，x ≤0-x 2+4x ，x>0，则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．9【解析】．B 二、填空题13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，弧田的面积__________． 【解析】12π﹣9 314．已知向量a →=(4,2)，b →=(λ,1)，若a →与b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______. 【解析】()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭15．若sin2α1-cos2α=13，tan(β-2α)=1，则tan(α-β)=______．【解析】：2 16．对下列命题：（1）若向量a →与b →同向，且|a →|>|b →|，则a →>b →；（2）若向量|a →|=|b →|，则a →与b →的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意向量|a →|=|b →|，若a →与b →的方向相同，则a →=b →； （4）由于0→方向不确定，故0→不与任意向量平行； （5）向量a →与b →平行，则向量a →与b →方向相同或相反． 其中正确的命题的个数为________ 【解析】1个 三、解答题17．已知，5cos α=，()10sin 10αβ-=，且α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求：（1）cos(2)αβ-的值；（2）β的值. 【解析】（1）因为α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因为()10sin 10αβ-=，则()310cos 10αβ-=，而5sin 5α=， ()()()()2cos 2cos cos cos sin sin 10αβααβααβααβ⎡⎤-=+-=---=⎣⎦， （2）()()()2cos cos cos cos sin sin 2βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-=⎣⎦，又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，4πβ∴=.18．如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设AB →=a →，AO →=b →. (1)用向量a →与b →表示向量OC →，CD →；(2)若OE →=45OA →，求证：C ，D ，E 三点共线.【解析】解：(1)∵AB a =u u u r r ,AO b =u u u r r ,∴OC OA AC b a =+=--u u u r u u u r u u u r r r,11151()2()33333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r.(2)证明: 45OE OA =u u u r u u u rQ()413555CE OE OC b a b a b CD ∴=-=-++=+=u u u r u u u r u u u r r r r r r u u u r ,∴CE u u u r 与CD uuu r 平行,∵CE u u u r 与CD uuu r有共同点C ,∴C ，D ，E 三点共线.19．为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中a =2b .（1）求a ，b 的值；（2）若按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，)60的概率． 【解析】解：（1）由频率分布直方图得：(0.010.0350.01)101a b ++++⨯=， 0.045a b ∴+=，又2a b =，解得0.030a =，0.015b =．（2）[50Q ，60)，[60，70)两段频率比为0.1:0.152:3=，∴按照分层抽样的方式从[50，60)，[60，70)中随机抽取5人，分数在[50，60)中抽取2人，记为1a ，2a ， 分数在[60，70)中抽取3人，记为1b ，2b ，3b ，∴从这5人中随机抽取2人的所有情况为：1(a ，2)a ，1(a ，1)b ，1(a ，2)b ，1(a ，3)b ，2(a ，1)b ，2(a ，2)b ， 2(a ，3)b ，1(b ，2)b ，1(b ，3)b ，2(b ，3)b ，共10个，其中，至少有1人的分数在[50，60)包含的基本事件有7个，∴至少有1人的分数在[50，60)的概率710P =． 20．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象; (2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【解析】(1)由图得112A ω==，,因为203π⎛⎫- ⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()g x ；(2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，,所以当263x ππ+=-时,()f x 取最小值3,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1, 因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以32212m m⎧-+<-⎪⎨⎪<+⎩,即3122m ⎛∈-- ⎝⎭，.21．已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若|AC →|=|BC →|，求角α的值；（2）若AC →•BC →=-1，求22sin sin21tan ααα++的值.【解析】（1）∵AC BC =u u u r u u u r()()()()22223cos 0sin 0cos 3sin αααα-+--+-化简得tan 1α=，∵3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴54πα=． （2）∵ 1AC BC ⋅=-u u u v u u u v，∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-⋅-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴52sin cos 9αα=-， ∴()22sin cos sin cos 2sin sin 252sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++==-++＝．22．已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-即：242422x x x x a a a aa a a a ---+-+=-++.即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+,211121x∴-<-<+，∴函数()f x 的值域为()1,1-. （3）由()220xmf x +->，可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+.当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->-，令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t +->=-+，函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞。
山西省忻州市第一中学北校2019_2020学年高一数学下学期3月月考试题含解析
山西省忻州市第一中学北校2019-2020学年高一数学下学期3月月考试题（含解析）一、选择题1.下列角α位于第三象限的是（ ） A. 3α= B. 23πα=C. 210α=-︒D. 3α=-【答案】D 【解析】 【分析】根据第三象限角度的范围，结合选项，进行分析选择. 【详解】第三象限的角度范围是32,2,2k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. 对A ：18033172απ⎛⎫==⨯︒≈︒ ⎪⎝⎭，是第二象限的角，故不满足题意； 对B ：23πα=是第二象限的角度，故不满足题意； 对C ：210α=-︒是第二象限的角度，故不满足题意； 对D ：18033172απ⎛⎫=-=-⨯︒≈-︒ ⎪⎝⎭，是第三象限的角度，满足题意. 故选：D.【点睛】本题考查角度范围的判断，属基础题. 2.若2παπ<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由角在第二象限知，余弦小于零，正弦大于零，因此对点来说横坐标小于零纵坐标大于零，故可以确定点位于第二象限 【详解】2απ<<π cos <0sin 0αα∴>，∴点Q 在第二象限. 故选:B .【点睛】本题考查三角函数值的符号,难度容易. 3.下列说法正确的是( ) A. 单位向量都相等 B. 若a b ≠，则a b ≠ C. 若a b ＝，则//a b D. 若a b ≠，则a b ≠【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项.【详解】对于A ，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A 错误；对于B ，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当a b ≠时可能a b ＝，所以B 错误；对于C ，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当a b ＝时a 和b 不一定平行，所以C 错误；对于D ，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若a b ≠，则a b ≠成立，所以D 正确.综上可知，D 为正确选项， 故选：D【点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题. 4.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当[0,)x ∈+∞时，()2020x f x =，若()10.32(ln 3),0.2,3a f e b f c f -⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. <b a c <B. <c b a <C. <b c a <D. <c a b <【答案】C 【解析】根据()f x 是定义在R 上的偶函数，结合指数函数与对数函数的图像与性质化简,a c ，即可由[0,)x ∈+∞时，函数()f x 的单调性比较大小.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数所以1233322c f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由对数的运算及对数函数的图像与性质可知ln31ln32e =+> 由指数函数的图像与性质可知0.300.21<< 因而0.300.ln 2332e <<< 当[0,)x ∈+∞时，()2020x f x =为递增函数所以()10.320.2(ln 3)3f f f e -⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即<b c a < 故选：C【点睛】本题考查了偶函数的图像与性质，指数函数与对数函数图像与性质应用，中间值法比较大小，属于基础题.5.已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0， ω＞0，0ϕ＜≤2π)的图象如下，则点(,)P ωϕ的坐标是( )A. (13，6π) B. (13，3π) C. (3π，6π) D. (3π，3π) 【答案】C【分析】由函数f （x ）的部分图象求得A 、T 、ω和φ的值即可． 【详解】由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，A ＝2，T ＝2×（4﹣1）＝6，∴ω23T ππ==， 又x ＝1时，y ＝2，∴3π+φ2π=+2k π，k ∈Z ； ∴φ6π=+2k π，k ∈Z ；又0＜φ2π≤，∴φ6π=，∴点P （3π，6π）．故选C ．【点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.6.平面上有三点A ，B ，C ，设m AB BC =+，n AB BC =-，若m 与n 的长度恰好相等，则有( )A. ,,A B C 三点必在同一直线上B. ABC ∆必为等腰三角形且B 为顶角C. ABC ∆必为直角三角形且90B ∠=︒D. ABC ∆必为等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模相等及向量表示形式，平方后化简即可得0AB BC ⋅=，即可判断选项.【详解】m AB BC =+，n AB BC =-，若m 与n 的长度恰好相等 即m n =所以AB BC AB BC +=-两边同时平方，展开可得222222AB AB BC BC AB AB BC BC +⋅+=-⋅+ 即0AB BC ⋅=所以ABC ∆必为直角三角形且90B ∠=︒ 故选：C【点睛】本题考查了平面向量模的求法，平面向量数量积的定义，属于基础题.7.执行如图的程序框图，依次输入123451719202123x x x x x =====，，，，，则输出的S 值及其意义分别是（ ）A. 4S =，即5个数据的方差为4B. 4S =，即5个数据的标准差为4C. 20S =，即5个数据的方差为20D. 20S =，即5个数据的标准差为20 【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，∵15x =（17+19+20+21+23）＝20， ∴由方差的公式得S ＝15[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4． 故选A ．【点睛】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.设函数sin()0,,22y x ππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，且其图象关于直线12x π=对称，则在下面结论中正确的个数是（ ）①图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；⑤由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍. A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据最小正周期及对称轴，可求得函数解析式，由正弦函数的图象与性质即可判断选项. 【详解】因为函数sin()0,,22y x ππωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为π，则22πωπ==，所以sin(2)y x ϕ=+ 函数图象关于直线12x π=对称，则2,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈则,3k k Z πϕπ=+∈因为,22ππϕ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以当0k =时得3πϕ=，即sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由正弦函数的图像与性质可知，对称中心为2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈ 当1k =时，,3x π=所以对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，故②正确，①错误； 由正弦函数的图像与性质可知，当222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z 时，函数单增， 解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，单调递增区间为5,,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 因为5,,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊆51212,,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以④正确，③错误； 因为最小正周期为π，若()()120f x f x ==，可得12x x -必是2π的整数倍，所以⑤错误.综上可知，正确的为②④， 故选：C【点睛】本题考查了函数解析式的求法，正弦函数图象与性质的综合应用，属于基础题. 9.如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，我们把1x叫做α的正割，记作sec α；把1y 叫做α的余割，记作csc α. 则22sec csc 33ππ÷= （ ）3 B. 33D.3【答案】B【解析】分析：由题意结合新定义的知识整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合新定义的知识可得：1sectan1cscyx xxyαα===，则2233sec cscππ÷2tan33π==-本题选择B选项.点睛：本题主要考查三角函数的定义，三角函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.已知5sin()cos(2)sin2()3cos()cos2fππαπαααππαα⎛⎫---⎪⎝⎭=⎛⎫---⎪⎝⎭，则253fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A.12- B.12C.33【答案】B【解析】【分析】由已知利用诱导公式化简，代入即可求得.【详解】()()5sin()cos(2)sin sin cos cos 2()cos 3cos sin cos()cos 2cos c 252513332os f f ππαπαααααααπααπααπππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪--⎛ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎫--- ⎪⎝⎭∴⎭ 故选：B .【点睛】本题考查诱导公式的运用，三角函数求值，难度较易.11.平行四边形ABCD 中，若点,M N 满足BM MC =，2DN NC =，设MN AB AD λμ=+，则λμ-=（ ）A.56B. 56-C.16D. 16-【答案】B 【解析】 【分析】画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =，在AB 上取点F ，使得23AF AB =，由图中几何关系可得到()11122223MN FD FA AD AB AD ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，即可求出,λμ的值，进而可以得到答案．【详解】画出平行四边形ABCD ，在CD 上取点E ，使得13DE DC =，在AB 上取点F ，使得23AF AB =，则()11112112222332MN BE FD FA AD AB AD AB AD ⎛⎫===+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故13λ=-，12μ=，则56λμ-=-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，考查了平行四边形的性质，属于中档题．12.已知函数()()22,12ln 1,1x xf x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若()()()223F x f x af x =-+的零点个数为4个时，实数a 的取值范围为（ ）A. 265,7,33⎛⎤⎛⎫⎥ ⎪ ⎝∞⎦+⎭⎝ B. 26,73⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 53,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.()265233,,⎛⎤+∞ ⎥ ⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】作出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，由图可知，当0t <时，()f x t =无解，当0t =时，()f x t =有一解，当01t <≤，或2t >时，()f x t =有两解，当12t <≤时，()f x t =有3解，由题意可得2203t at -+=有两不相等的非零实根，设为1t ，()212t t t <，则1201t t <<≤或122t t <<或101t <≤,22t >，再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论． 【详解】解：作出函数()f x 的大致图象得，令()f x t =，由图可知， 当0t <时，()f x t =无解， 当0t =时，()f x t =有一解，当01t <≤，或2t >时，()f x t =有两解，当12t <≤时，()f x t =有3解， ∵函数()()()223F xfx af x =-+有4个零点，∴2203t at -+=有两不相等的非零实根，设为1t ，()212t t t <， 则1201t t <<≤或122t t <<或101t <≤,22t >， 令()223g t t at =-+，()3002g =>，①当1201t t <<≤时，由图可知()100120g a ⎧≥⎪⎪<<⎨⎪∆>⎪⎩，即22103012803a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪->⎪⎩2653a <≤；②当122t t <<时，由图可知()20220g a ⎧>⎪⎪>⎨⎪∆>⎪⎩，即22420322803a aa ⎧-+≥⎪⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，无解；③当101t <≤，22t >时，由图可知()()1020gg⎧≤⎪<⎨⎪∆>⎩，即22103242383aaa⎧-+≤⎪⎪⎪-+<⎨⎪⎪->⎪⎩，解得73a>，综上：2657,,33a⎛⎤⎛⎫∈⋃+∞⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，故选：A．【点睛】本题主要考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于难题．二、填空题13.向量,a b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量,a b为邻边的平行四边形的面积是_________.【答案】3【解析】【分析】将向量平移至相同的起点，写出向量对应的坐标，计算向量的夹角，从而求得面积.【详解】根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示：则()()2,1,1,2a b ==，故4,?555a b cos a b a b⋅===⨯.又两向量的夹角为锐角，故3,?5sin a b =， 则该平行四边形的面积为3,?5535S a b sin a b ==⨯⨯=. 故答案为：3.【点睛】本题考查用向量解决几何问题的能力，涉及向量坐标的求解，夹角的求解，属基础题.14.函数()()2log 2sin 1f x x =+的定义域为________. 【答案】722,66x k x k k ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】 【分析】解不等式2sin 10x +>即可得定义域.【详解】解:要使函数有意义,则必有2sin 10x +>,即1sin 2x >-. 结合正弦曲线或单位圆,如图所示,可知当72266k x k ππππ-+<<+时,1sin 2x >-.(1) (2)故函数()()2log 2sin 1f x x =+的定义域为722,66x k x k k ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z . 故答案为:722,66x k x k k ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z . 【点睛】本题考查函数定义域，是基础题.15.已知函数()2()log 28a f x x ax =-+在区间[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.【答案】()[)0,12,3⋃ 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数单调性与对数定义域要求，分类讨论01a <<与1a >两种情况，即可求得a 的取值范围.【详解】函数()2()log 28a f x x ax =-+，所以0a >且1a ≠， 令()228t x a a =-+-，则()log a f t t =当01a <<时，因为函数()log a f t t =在()0,∞+内单调递减，而函数()f x 在区间[1,2]上是减函数，由复合函数单调性的性质可知，()228t x a a =-+-在区间[1,2]上是增函数， 由二次函数对称轴及单调性可得1a <.且满足对数函数定义域要求，即()11280t a =-+>，解得92a <，所以由以上可得01a <<； 当1a >时，因为函数()log a f t t =在()0,∞+内单调递增，而函数()f x 在区间[1,2]上是减函数，由复合函数单调性的性质可知，()228t x a a =-+-在区间[1,2]上是减函数， 由二次函数对称轴及单调性可得2a ≥.且满足对数函数定义域要求，即()24480t a =-+>，解得3a <，所以由以上可得23a ≤<.综上可知，a 的取值范围为()[)0,12,3⋃. 故答案为：()[)0,12,3⋃.【点睛】本题考查了复合函数单调性性质应用，对数函数定义域要求，二次函数的对称性及单调性，分类讨论思想的综合应用，属于中档题. 16.若1cos sin 4x y +=，则2sin sin x y -的取值范围是_____. 【答案】9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据等式，结合三角函数的值域，可求得3cos 14x -≤≤.由同角三角函数式化简所求整式，即可由二次函数性质求得值域. 【详解】因为1cos sin 4x y +=则1sin cos 4y x =- 因为1sin 1y -≤≤所以11cos 141cos 1x x ⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得3cos 14x -≤≤ 所以由同角三角函数关系式，并代入1sin cos 4y x =-化简可得 2sin sin x y -211cos cos 4x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭221cos 1x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，3cos 14x -≤≤所以当3cos 4x =-时，2sin sin x y -取得最小值为916-；当1cos 2x =时，2sin sin x y -取得最大值为1；综上可知，2sin sin x y -的取值范围为9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：9,116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了三角函数的值域应用，二次型余弦函数的值域求法，同角三角函数关系式的应用，属于基础题. 三、解答题17.已知sin 2cos 0θθ-=. （1）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin θ、cos θ及tan θ的值； （2）求21cos 2sin cos θθθ+的值.【答案】(1)cos si tan 2n θθθ==;(2)1 . 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系求解出sin θ、cos θ及tan θ的值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简，即可求出. 【详解】（1）sin 2cos 0tan 2θθθ-=∴=又因为22sin cos 1θθ+=，25cos =021,πθθ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭s cos in θθ∴=(2) 222221sin +cos tan +141==1cos 2sin cos cos 2sin cos 12tan 14θθθθθθθθθθ+==++++ 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用,难度较易. 18.如图，已知ABC ∆中，D 为BC 的中点，12AE EC =，AD BE ，交于点F ，设AC a =，AD b =．（1）用,a b 分别表示向量AB ，EB ； （2）若AF t AD =，求实数t 的值． 【答案】（1）2AB b a =-，423EB a b -+=；（2）12t =． 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用,a b 分别表示向量AB ，EB ； （2）用,a b 分别表示向量FB ，EB ，由平面向量共线基本定理，即可求得t 的值. 【详解】（1）由题意，D 为BC 的中点，12AE EC =，可得13AE AC =，AC a =，AD b =． ∵2AB AC AD +=， ∴2AB b a =-， ∴–EB AB AE =123b a a =--423a b =-+（2）∵AD A tb F t ==， ∴–FB AB AF =()2a t b =-+-∵423EB a b -+=，FB ，EB 共线， 由平面向量共线基本定理可知满足12423t --=-，解得12t =． 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题. 19.半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．()1根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；()2用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[)105,115中的概率．【答案】（1）123.6（2）23【解析】 【分析】⑴用频率分布直方图中的每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果；⑵首先可通过分层抽样确定6人中在[)95105，分数段以及[)105115，分数段中的人数，然后分别写出所有的基本事件以及满足题意中“两名同学数学成绩均在[)105115，中”的基本事件，最后两者相除，即可得出结果．【详解】⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：()101000.0041100.0201200.0281300.0321400.016123.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有()100.004100.025012⨯+⨯⨯=人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[)95105，有1人，用a 表示， 分数在[)105115，中的有5人，用1b 、2b 、3b 、4b 、5b 表示， 则基本事件有()1,a b 、()2,a b 、()3,a b 、()4,a b 、()5,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共15个，满足条件的基本事件为()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共10个，所以这两名同学分数均在[)105115，中的概率为102153P ==． 【点睛】本题考查了频率分布直方图以及古典概型的相关性质，解决本题的关键是对频率分布直方图的理解以及对古典概型概率的计算公式的使用，考查推理能力，是简单题． 20.已知函数()62f x sin x ⎛⎫- ⎝π=-⎪⎭，将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移6π个单位，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式； （2）求函数()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()26g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）1，12-. 【解析】 【分析】（1）根据函数图像平移伸缩变换，即可求得函数()g x 的解析式；（2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质，即可求得函数()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的的最大值和最小值.【详解】（1）函数()6sin 2f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π，将函数()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短原来的一半，再向左平移6π个单位，再向上平移2个单位，可得()sin 22266g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简得()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）∵122x ππ≤≤，可得72366x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 当6x π=时，函数()g x 有最大值1； 当2x π=时，函数()g x 有最小值12-【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换及应用，正弦函数图像与性质的应用，属于基础题.21.已知函数()Asin()A 0,0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式|()|1f x m -≤有解，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()2sin(2)3f x x π=+;(2) 03m ≤≤【解析】 【分析】（1）利用函数的图像得A ，T ，可求出ω得值，代入点(,0)6π-可得函数()y f x =的解析式； （2）当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，可得()f x 得取值范围，将|()|1f x m -≤化简列出不等式组可得实数m 的取值范围.【详解】解：(1)由函数图像可得：2A =,41264T πππ=+=,T π=, 由2T ππω==，0>ω，可得=2ω，所以()2sin(2)f x x ϕ=+(||2ϕπ<), 代入点(,0)6π-，可得02sin[2()]6πϕ=⨯-+，可得3πϕ=，故()2sin(2)3f x x π=+； (2) 当,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, []()1,2f x ∈, 由不等式|()|1f x m -≤有解，可得1()1f x m -≤-≤，1()1m f x m -+≤≤+，由[]()1,2f x ∈，可得1112m m +≥⎧⎨-+≤⎩，可得03m ≤≤， 实数m 的取值范围为：03m ≤≤.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法及利用三角函数的性质求参数，考查计算能力，转化思想.22.已知函数24,02()(2)2,2x x f x xx a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数． （1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤<【解析】【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=， 此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-， 不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。
山西省忻州市第一中学2019-2020学年高一数学下学期第四次考试题
（2）是否存在实数
a
，使得该函数在闭区间
0,
2
上的最大值为1
？若存在，求出对应
a
的值；若不
存在，试说明理由.
21．已知函数
f
x
sin x b
0, 2
2
相邻两对称轴间的距离为 2
，若将
f
x的
图象先向左平移
个单位，再向下平移 1 个单位，所得的函数 g x 为奇函数.
A．
1 4
,
1 4
6．如图，若 OA
a
B．0, ， OB
1 4 b
，
OC
c
，
C． 2,
B 是线段
1 4 AC
D．
靠近点 C
1,
1 4
的一个四等
分点，则下列等式成立的是
A．
c
2
b
1
a
B．
c
2019 级高一年级第二学期假期考试数学试题
满分:150 分 考试时间:120 分钟
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）
1． cos1050
A． 3 2
B． 3 2
1
C．
2
D． 1 2
2．已知扇形的面积为 ，扇形圆心角的弧度数是 ，则扇形的周长为
A．
B．
C．
D．
3．已知 sin cos 1 0 ，则 tan
2
像向右平移 个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数 g x 的图像．
2019-2020年高一下学期期中数学试卷含解析
（I）求sin∠BAD；
（Ⅱ）求BD，AC的长．
19．在等差数列{an}中，a1= ，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=4，q=b2S2．
（I）求an与bn；
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=an•bn，求{cn}的前n项和Tn．
A． 或 B． 或 C． D．
3．在△ABC中，若b=3，c=1，cosA= ，则a=（ ）
A． B． C．8D．12
4．等比数列{an}中，a2=9，a5=243，{an}的前4项和为（ ）
A．81B．120C．168D．192
5．不等式 ≤0的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）
二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．数列{an}的前n项和为Sn，若an= ，则S5=．
12．已知△ABC中，AB= ，BC=1，tanC= ，则AC等于．
13．若x∈（1，+∞），则y=x+ 的最小值是．
14．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=4，c=5，求sinB．
27．已知函数f（x）= x2tan2α+ xcos（α+ ），其中tanα= ，α∈（0， ）
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{an}满足a1= ，an+1=f（an），n∈N*．求证：1＜ + +…+ ＜ （n∈N*，n≥2）
山西省忻州市第一中学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题 (含解析)
C. 3 3
D.
c
2 b
1
a
36
【答案】C
【解析】
【分析】
可选定 a, c 为基底向量，将 b 表示成两基底向量相加减的形式，即可求解
OB
OA
AB
OA
3
AC
OA
3
OC OA
1
OA
3
OC
【详解】
4
4
4
4 ，即
b
1
a
3
c
4
c
4
b
1
a
4 4 ，同乘 3 可得 3 3
点，从而得到 4„ 2 5 ，再利用不等式恒成立问题求得 的范围，即可得答案. 【详解】设 t x ，则„ t„ 2 ，
所以 y sin t 在[, 2 ] 上有 4 个零点，
因为
4
, 3
，所以 4„
2
5
，
2 „ 5
所以 2
2 2 ，
2 4 „ 5 3
15„ 7
f
(
)
f
( )
2
，则 f (x) 的单调递增区间是
A.
k
3
, k
6
(k
Z)
B.
k
, k
2
(k
Z)
C.
k
6
, k
2 3
(k
Z)
D.
k
2
,
k
(k
Z
)
【答案】C
【解析】
【分析】
π 2kπ 7π 2kπ k Z
f
(
)
f
( )
先由三角函数的最值得 6
山西高一高中数学期中考试带答案解析
山西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列命题正确的是（）A．第一象限的角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限的角D．终边相同的角一定相等2.，则与（）A．互相平行B．互相垂直C．夹角为30°D．夹角为60°3.，且∥则的坐标为（）A．（－4，6）B．（4，6）C．（6，－4）或（－6，4）D．（－4，－6）或（4，6）4.sin1,cos1,tan1的大小关系是（）A．B．C．D．5.，则的值为（）A．B．－C．D．6.若为一个三角形内角，则的值域为（）A．（－1，1）B．C．D．7. D、E、F分别是三边BC、CA、AB中点，则=（）A. B.C. D.8.设不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．与B．与C．与D．和9.P是所在平面内一点，，则P点一定在（）A．内部B．在直线AC上C．在直线AB上D．在直线BC上10.下列计算正确的有（）个①②③A．0B．1C．2D．311.的最小正周期为（）A．B．C．D．212.，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.的值为___________.2.,且与夹角是锐角，则的取值范围是____________.3.若向量与不共线，，且，则与的夹角为____________.4.=___________.三、解答题1.如图：中，E是AD中点，BE∩AC=F，，求的值.2.其中，求的最小正周期及单调减区间.3.已知为锐角，且求.4.求的最大值.山西高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.下列命题正确的是（）A．第一象限的角一定不是负角B．小于90°的角一定是锐角C．钝角一定是第二象限的角D．终边相同的角一定相等【答案】C【解析】由-361°的角终边在第一象限，故选项A错误，又-361°<90°，但-361°不是锐角，故选项B错误，1°与361°终边相同，但两个角不相等，故选项D错误，故选C【考点】本题考查了终边相同的角及象限角的概念点评：熟练掌握象限角及终边相同的角的概念是求解此类问题的关键，属基础题2.，则与（）A．互相平行B．互相垂直C．夹角为30°D．夹角为60°【答案】B【解析】∵，∴，∴，故选B【考点】本题考查了数量积的坐标运算点评：熟练掌握向量及数量积的坐标运算是求解此类问题的关键，属基础题3.，且∥则的坐标为（）A．（－4，6）B．（4，6）C．（6，－4）或（－6，4）D．（－4，－6）或（4，6）【答案】D【解析】∵∥，∴设的坐标为（2m,3m），又，解得m=2或-2，，∴,的坐标为（－4，－6）或（4，6），故选D【考点】本题考查了向量的坐标运算点评：熟练掌握向量共线的坐标运算及模的运算是求解此类问题的关键，属基础题4.sin1,cos1,tan1的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0，故选 C．【考点】本题考查了三角函数线的运用点评：此类问题常常利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线的大小来比较对应的三角函数的大小．5.，则的值为（）A．B．－C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，故选B【考点】本题考查了同角函数的关系及二倍角公式点评：熟练掌握二倍角公式及同角的三角函数关系是求解此类问题的关键，属基础题6.若为一个三角形内角，则的值域为（）A．（－1，1）B．C．D．【答案】C【解析】由题意，∵，∴，∴，∴，即的值域为，故选C【考点】本题考查了三角函数的化简及值域的求法点评：熟练掌握三角函数的化简及值域的求法是求解此类问题的关键，属基础题7.D、E、F分别是三边BC、CA、AB中点，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵D、F分别是三边BC、AB中点，∴，∴，故选A 【考点】本题考查了向量的运算点评：熟练掌握向量的概念及运算是求解此类问题的关键，属基础题8.设不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．与B．与C．与D．和【答案】B【解析】∵=-2（），∴（）∥（），故与不能作为基底，故选B【考点】本题考查了基底的概念点评：熟练掌握基底的概念及共线向量的判定是求解此类问题的关键，属基础题9.P是所在平面内一点，，则P点一定在（）A．内部B．在直线AC上C．在直线AB上D．在直线BC上【答案】B【解析】∵，∴，∴点P在直线AC上，故选B【考点】本题考查了向量的运算及共线基本定理点评：熟练掌握向量的概念及向量的运算是求解此类问题的关键，属基础题10.下列计算正确的有（）个①②③A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】根据向量的运算法则可知：式子①，正确；②，正确，式子③，∴正确的由2个，故选C【考点】本题考查了向量的运算法则点评：熟练掌握数乘向量的概念及向量的运算是求解此类问题的关键，属基础题11.的最小正周期为（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】对于y=|sinx|+|cosx|，∵y＞0故函数y的最小周期与函数y2的最小正周期相同．y2=（|sinx|+|cosx|）2=1+|sin2x|，1+|sin2x|与|sin2x|的最小正周期相同，再对|sin2x|平方，得（sin2x）2=，显然cos4x的最小正周期是，故选B【考点】本题考查了三角函数最小正周期的求法．点评：解决此类问题常用方法有公式法即T=，图象法，定义法，公倍数法，对于具体问题得具体分析．求三角函数的周期，要注意函数的三角变换．尤其要注意“二化一”的应用．12.，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，∵，∴，∴，∴，∴，即的取值范围是，故选C【考点】本题考查了三角函数的化简及正切函数图象的运用点评：熟练掌握三角函数的图象和恒等变换是求解此类问题的关键，属基础题二、填空题1.的值为___________.【答案】0【解析】∵，∴，∴=0【考点】本题考查了两角和差公式的运用点评：熟练掌握两角和差公式及其变形是求解此类问题的关键，属基础题2.,且与夹角是锐角，则的取值范围是____________.【答案】【解析】由题意，＞0且，即2λ+2＞0且λ≠4，∴的取值范围是．【考点】本题考查了数量积的运用点评：此类问题转化时有一个易漏点，即忘记考虑向量同向共线时向量内积也为正，做题时要注意转化的等价．3.若向量与不共线，，且，则与的夹角为____________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴与的夹角为【考点】本题考查了数量积的运算及概念点评：熟练掌握数量积的运算及夹角公式是求解此类问题的关键，属基础题4.=___________.【答案】【解析】∵，又，∴=【考点】本题考查了三角函数的同角关系点评：熟练掌握诱导公式及同角三角函数关系是求解此类问题的关键，属基础题三、解答题1.如图：中，E是AD中点，BE∩AC=F，，求的值.【答案】【解析】设（2分）则又＝（6分）∴∴（8分）【考点】本题考查了向量的运算点评：解答此类问题的关键是掌握平面向量的运算法则及向量相等的概念，属基础题2.其中，求的最小正周期及单调减区间.【答案】最小正周期为，递减区间为【解析】（2分）（4分）∴最小正周期为（6分）递减区间为（8分）【考点】本题考查了三角函数的恒等变换及性质点评：熟练运用三角恒等变换化简三角函数、利用三角函数性质求解值域问题是解决此类问题的关键，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题3.已知为锐角，且求.【答案】【解析】∵∴即：（2分）∴（4分）∵∴（6分）∴∴（8分）∴（10分）【考点】本题考查了两角和差公式的运用点评：两角和差的三角公式是三角恒等变换的基础，要熟练掌握其实质会正反两方面的运用，利用两角和差公式化简三角函数式要把握下列两种原则（1）直接利用公式或变形公式来化简三角函数式;(2)化简不同名三角函数式时，一般利用“化弦法”，即把非正弦和非余弦函数化为正弦和余弦，以达到消元的目的。
山西高一高中数学期中考试带答案解析
山西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.=( )A．B．C．D．2.时钟经过一小时，时针转过的弧度数为（）A．rad B．rad C．rad D．rad3.已知角的终边过点,则的值为（）A．B．C．D．24.若，则在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限5.已知，且，则的值是（）A．B．C．D．6.函数y=的最小正周期是（）A．B．C．2D．47.已知，与的夹角为，则等于（）A．B．C．D．8.要得到的图像，只需要将函数的图像（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位9.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）A．1B．C．D．210.函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，，且与共线，则。
2.函数的单调减区间是3.若，若与的夹角为钝角，则的取值范围是4.设，且则的取值范围是5.函数，的最大值等于三、解答题1.已知，且为第三象限角，求及的值。
2.已知，计算的值3.在平面直角坐标系中，已知点和点，其中，若,求得值。
4.已知向量为非零向量，且（1）求证：（2）若，求与的夹角。
5.已知函数的最小正周期为，最小值为，图像过点(1)求的解析式(2)求满足且的的集合。
6.已知函数，求：（1）的最小正周期；（2）在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值。
山西高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.=( )A．B．C．D．【答案】A【解析】=，故选A。
【考点】本题主要考查三角函数诱导公式，特殊角的函数值。
点评：简单题，应用k·360°+，的诱导公式。
“函数名不变，符号看象限”。
2.时钟经过一小时，时针转过的弧度数为（）A．rad B．rad C．rad D．rad【答案】D【解析】时钟经过一小时，时针转过的角是周角的，且为负角，所以时针转过的弧度数为，故选D。
山西高一高中数学期中考试带答案解析
山西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若a是第二象限角,则p-a是 ( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2.把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变),所得解析式为y=sin(wx+j),则 ( )A．w=2,j=B．w=2,j=-C．w=,j=D．w=,j="-"3.已知sinx+cosx=且xÎ(0,p),则tanx值( )A．-B．-C．-或-D．4.下列6个命题中正确命题个数是( )(1)第一象限角是锐角(2)y=sin(-2x)的单调增区间是[],kÎZ(3)角a终边经过点(a,a)(a¹0)时,sina+cosa=(4)若y=sin(wx)的最小正周期为4p,则w=(5)若cos(a+b)=-1,则sin(2a+b)+sinb=0(6)若定义在R上函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),则y=f(x)是周期函数A．1个B．2个C．3个D．4个5.化简的结果是（）A．B．C．D．6.若，且为第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．7.有以下四种变换方式：向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度；每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动个单位长度．其中能将函数的图象变为函数的图象的是（）A．①和④B．①和③C．②和④D．②和③8.函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）A．B．C．D．9.若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．2C．D．1010.在四边形中，若，则四边形的形状一定是 ( )A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形11.若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第4个顶点的坐标不可能是（）A．（12，5）B．（-2，9）C．（3，7）D．（-4，-1）12.已知D、E、F分别是三角形ABC的边长的边BC、CA、AB的中点，且，，，则①，②，③，④中正确的等式的个数为 ( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空题1.已知A,B是圆O上两点,ÐAOB=2弧度,AB=2,则劣弧AB长度是________2.已知tanx=2,则=_____________3.已知，，且向量，不共线，若向量与向量互相垂直，则实数的值为．4.已知，，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用、表示为．三、解答题1.已知，，其中．（1）求；（2）求的值．2.已知平面内三点、、三点在一条直线上，，，，且，求实数，的值．3.已知；（1）求证：；（2）求证：．4.已知，，，点为坐标原点，点是直线上一点，求的最小值及取得最小值时的值．5.已知函数的最大值为1．（1）求常数的值；（2）求使成立的x的取值集合．6.已知的图象经过点，，当时，恒有，求实数的取值范围。
山西高一高中数学期中考试带答案解析
山西高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.全集，集合，，则集合=（）A．B．C．D．2.某市的房价（均价）经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是（）A．600元B．50﹪C．－1D．＋1．3.函数的零点所在的大致区间是（）A．B．C．D．4.设则的值为（）A．10B．11C．12D．135.给出下列四个等式：，，，，下列函数中不满足以上四个等式中的任何一个的是（）A．B．C．D．6.已知，，，则a, b, c的大小关系为（）A．B．C．D．7.已知函数在区间上为增函数,在区间上为减函数，则函数在区间上为（）A．增函数B．减函数C．先增后减D．单调性不能确定8.下列四个函数中，图像如图所示的只能是（）A．B．C．D．9.设，则的定义域为（）A．B．C．D．10.已知函数是R上的增函数，点、是其图象上的两点，那么不等式＜1的解集的补集是（）A．B．C．D．11.下列四对函数中，与是同一函数的是A．，B．，C．，D．，12.函数是定义在R上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（）A．2B．1C．0D．不能确定二、填空题1.若点在幂函数的图象上，则．2.若，则的值是．3.若奇函数与偶函数满足，则函数的最小值是________．4.已知，则的解析式为＝___________．三、解答题1.（1）用分数指数幂表示下式（a＞0,b＞0）（2）计算：2.已知函数，．（Ⅰ）在所给坐标系中同时画出函数y＝f（x）和y＝的图象；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中图象写出不等式的解集．3.设a＜，判断并用单调性定义证明函数，在上的单调性．4.已知函数（）是偶函数，且（1）求的解析式；（2）若（，）在区间上为增函数，求实数的取值范围5.已知函数（a＞1）．（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；（2）若对任意的，总有，求实数的取值范围．山西高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.全集，集合，，则集合=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．【考点】集合的补集、并集运算．2.某市的房价（均价）经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是（）A．600元B．50﹪C．－1D．＋1．【答案】C【解析】设这6年间平均每年的增长率是，则,解得=，即．【考点】函数模型的应用．3.函数的零点所在的大致区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，由零点存在定理可知，函数的零点所在的大致区间是．【考点】函数的零点．4.设则的值为（）A．10B．11C．12D．13【答案】B【解析】，故选B．【考点】函数值．5.给出下列四个等式：，，，，下列函数中不满足以上四个等式中的任何一个的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是一次函数，满足，排除A ；是指数函数满足，排除B；是对数函数满足，排除C．而D不满足其中任何一个等式；故选：D．【考点】抽象函数及其应用．6.已知，，，则a, b, c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以有，故选A．【考点】对数、指数的简单性质运算．7.已知函数在区间上为增函数,在区间上为减函数，则函数在区间上为（）A．增函数B．减函数C．先增后减D．单调性不能确定【答案】B【解析】∵函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，根据复合函数同增异减的原则，函数在递减，故选B．【考点】函数单调性的判断．【方法点睛】复合函数单调性的一般判断方法：定理设．（1）若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反；（2）若是上的增函数，则的增减性与的增减性相同．8.下列四个函数中，图像如图所示的只能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中是上单调递增函数，∴A不成立；在中，．当时，，当时，，∴的减区间是，增区间是，∴B不成立；在中，，当时，，当时，．∴的增区间是，减区间是，∴C成立；在中，是上单调递减函数，∴D不成立．故选C．【考点】1．函数的图象；2．导数在函数单调性中的应用．9.设，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，∴的定义域是，故：且，解得或，故选B．【考点】对数的运算性质．10.已知函数是R上的增函数，点、是其图象上的两点，那么不等式＜1的解集的补集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式可变形为，由于是函数图象上的两点，所以，所以等价于不等式，又函数是上的增函数，又等价于，解得，所以不等式的解集，所以其补集．故选D．【考点】函数单调性的性质．11.下列四对函数中，与是同一函数的是A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】对于A，函数（），与（或）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数（），与（）的定义域不同，所以不是同一函数；对于C，函数（），与（）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于D，函数（），与（）的定义域不同，所以不是同一函数．故选：C．【考点】函数的性质及应用．【方法点睛】判断函数相同的一般方法：判断两个函数是否相同主要用定义域和对应（映射）法则是不是一样就可以了，如果定义域和映射法则一样，那么这两个函数就相同，函数是否相同和变量的符号无关．12.函数是定义在R上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（）A．2B．1C．0D．不能确定【答案】A【解析】∵函数是定义在上的奇函数，∴，令代入可得，函数关于对称，由函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数关于对称从而有，故选A．【考点】奇偶函数图象的对称性．【思路点睛】利用奇函数的定义可把已知转化为，从而可得函数关于对称，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于对称，代入即可求出结果．二、填空题1.若点在幂函数的图象上，则．【答案】【解析】由题意令，由于图象过点，得∴故答案为：．【考点】1．幂函数的概念；2．解析式、定义域、值域．2.若，则的值是．【答案】【解析】∵，∴，则，故答案为：．【考点】对数的运算性质．3.若奇函数与偶函数满足，则函数的最小值是________．【答案】1【解析】由题意知，①，令以代替，代入得，②，∵函数分别是上的奇函数，偶函数，∴代入②得，；③，联立①③消去，解得，∴，故答案为：．【考点】1．奇偶性与单调性的综合；2．函数的最值及其几何意义．【思路点睛】由题意，以代替x，代入得到一个关于和方程，利用奇（偶）函数的定义把此方程转化为关于和另外一个方程，再联立已知方程用消元法求出，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．4.已知，则的解析式为＝___________．【答案】（）【解析】令，解得代入，得故．【考点】函数的表示方法．【方法点睛】本题考点是函数的表示方法——解析式法，求解析式的方法是换元法求解析式，此特征为先令内层函数为，再用表示出，然后代入原函数求出函数的解析式，换元法求解析式常用来求已知复合函数的表达式求外层函数表达式的题．三、解答题1.（1）用分数指数幂表示下式（a＞0,b＞0）（2）计算：【答案】（1）；（2）1【解析】（1）由内向外化根式为分数指数幂，结合有理指数幂的运算性质得答案；（2）直接利用对数的运算性质化简求值．试题解析：（1）；（2）．【考点】1根式与分数指数幂的互化及其化简运算；2．对数的运算性质．2.已知函数，．（Ⅰ）在所给坐标系中同时画出函数y＝f（x）和y＝的图象；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中图象写出不等式的解集．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）在所给坐标系中同时画出函数和的图象即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中图象直接写出不等式的解集．试题解析：（Ⅰ）．图象为：（Ⅱ）根据（Ⅰ）中图象写出不等式的解集为：．【考点】函数的性质及应用．3.设a＜，判断并用单调性定义证明函数，在上的单调性．【答案】详见解析【解析】根据函数单调性的定义即可判断函数，在上的单调性并能证明出结论．试题解析：设，则，故函数是减函数．【考点】函数单调性的判断与证明．4.已知函数（）是偶函数，且（1）求的解析式；（2）若（，）在区间上为增函数，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）根据幂函数的性质，求出，即可求函数的解析式；（2）根据复合函数单调性之间的关系，然后再利用分类讨论，即可求出结果．试题解析：（1）由条件幂函数，在上为增函数，得到解得又因为所以或又因为是偶函数当时，不满足为奇函数；当时，满足为偶函数；所以（2）由（1）知：且在区间上为增函数．令；①当时，为增函数，只需在区间上为增函数．即：②当时，为减函数，只需在区间上为减函数．即：，综上可知：的取值范围为：．【考点】1．幂函数的单调性；2．奇偶性及其应用；3．幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【方法点睛】幂函数是一种比较重要的基本初等函数，含参问题是其常见题型，归纳起来有以下三种常见求法：1．幂函数（为自变量，是常数）的定义强调形式：系数为，幂指数为常数，本题应用幂函数的定义确定出参数是解题的关键；2．解决与幂函数有关的综合问题时，应抓住突破口，此题的突破口是图象特征，只要抓住图象特征，将其转化为代数语言，就能顺利解题；3．求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键。
2019学年山西省高一下期中理科数学试卷【含答案及解析】
2019学年山西省高一下期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集，且，，则（________ ）A．_________ B．_________ C．___________D．2. 设向量，， .若，则等于（________ ）A．_________ B．_________________ C．________________ D．3. 已知，，等于（________ ）A．_________ B．________ C． ________D．4. 若，且，则的值为（________ ）A．____________________ B．_________________________ C．__________________ D．5. 函数的一条对称轴方程为，则（________ ）A． 1________________ B． _________________ C． 2 ________ D． 36. 已知向量，，对任意，恒有，则（________ ）A．______________ B．______________ C．______________ D．7. 函数的图象大致是（________ ）8. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（________ ）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．当时，方程在上有两个不相等的实数根9. 设函数，则在下面区间中函数不存在零点的是（________ ）A．_________ B．________ C．________ D．10. 如图所示程序框图中，输出（________ ）A． 45____________________________ B．________________________ C．__________________ D． 6611. 已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的概率是（________ ）A．____________________ B．________________ C．___________________ D．12. 函数的定义域为，若函数满足：（1）在上为单调函数；（2）存在区间，使得在上的值域为，则称函数为“取半函数”.若，且为“取半函数”，则的取值范围是（________ ）A．______________ B．___________ C．______________D．二、填空题13. 设定义域为上的单调函数，对于任意的，都有,则____________________ .14. 已知，函数在单调递减，则的取值范围是____________________ .15. 等于____________________ .16. 设，其中， .若对一切恒成立，则① ；② ；③ 既不是奇函数也不是偶函数；④ 的单调递增区间是；⑤存在经过点的直线与函数的图象不相交.以上结论正确的是____________________ （写出所有正确结论的编号） .三、解答题17. 已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 .（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域 .18. 已知函数（）是偶函数.（1）求的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围 .19. 某电视台举办了“中华好声音”大型歌手选修活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训.下面是根据40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”.求：从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率.20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健产品的收益与投资成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为万元和万元.（1）分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；（2）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问，怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？21. 已知函数 .（1）若且时，求的最大值和最小值；（2）当且时，方程有两个不相等的实数根，求的取值范围及的值 .22. 已知函数的最大值为1 . （1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
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山西省忻州一中2019-2020学年高一下学期期中考试试题数学一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-2．已知角α的终边经过点P (-3，1)，则cos 2α＝( ) A ．35B ．35-C ．45D ．45-3．cos70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为( )A ．3B ．32C ．12-D ．124．已知平面向量a →，b →是非零向量，|a →|=2, a →⊥(a →+2b →)，则向量b →在向量a →方向上的投影为( ) A ．1B ．-1C ．2D ．-25．0>ω函数()sin sin 22xxf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增，则ω的范围是( ) A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞6．已知向量a →=(1,0)，b →=(1,3)，则与2a →-b →共线的单位向量为( )A ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,22⎛- ⎝⎭C ．3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,22⎛- ⎝⎭或13,22⎛- ⎝⎭ 7．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-8．已知e 1→，e 2→分别为直角坐标系x O y 的x ,y 轴正上方上单位向量，AC →=4e 1→-3e 2→，BD →=6e 1→+8e 2→，则平行四边形ABCD 的面积为( ) A ．25 B ．50C ．75D ．1009．设42ππx ≤≤，则1sin 21sin 2x x ++-=( ) A ．2sin xB ．2cos xC ．2sin x -D ．2cos x -10．设ΔABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足AO →=-2DO →，则OC →=( ) A ．-13AB →+23AC →B ．23AB →-13AC →C ．13AB →-23AC →D ．-23AB →+13AC →11．将函数f (x )=3sin2x -cos2x 向左平移6π个单位，得到g (x )的图象，则g (x )满足( ) A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 12．已知函数f(x)=⎩⎨⎧log 2(1-x)，x ≤0-x 2+4x ，x>0，则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．9二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，弧田的面积__________．14．已知向量a →=(4,2)，b →=(λ,1)，若a →与b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______. 15．若sin2α1-cos2α=13，tan(β-2α)=1，则tan(α-β)=______．16．对下列命题：（1）若向量a →与b →同向，且|a →|>|b →|，则a →>b →；（2）若向量|a →|=|b →|，则a →与b →的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意向量|a →|=|b →|，若a →与b →的方向相同，则a →=b →； （4）由于0→方向不确定，故0→不与任意向量平行； （5）向量a →与b →平行，则向量a →与b →方向相同或相反． 其中正确的命题的个数为________三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17．(本小题满分10分) 已知，5cos α=，()10sin 10αβ-=，且α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求：（1）cos(2)αβ-的值； （2）β的值.18．(本小题满分12分)如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设AB →=a →，AO →=b →.(1)用向量a →与b →表示向量OC →，CD →；(2)若OE →=45OA →，求证：C ，D ，E 三点共线.19．(本小题满分12分)为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中a =2b .（1）求a ，b 的值；（2）若按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，)60的概率．20．(本小题满分12分)已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象; (2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.21．(本小题满分12分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若|AC →|=|BC →|，求角α的值；（2）若AC →•BC →=-1，求22sin sin21tan ααα++的值.22．(本小题满分12分)已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.一、选择题1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( ) A ．3π B ．3π-C ．23π D ．23π-【解析】．B2．已知角α的终边经过点P (-3，1)，则cos 2α＝( ) A ．35B ．35-C ．45D ．45-【解析】．C3．cos70sin 50cos 200sin 40︒︒︒︒-的值为( )A ．3B ．32C ．12-D ．12【解析】．B4．已知平面向量a →，b →是非零向量，|a →|=2, a →⊥(a →+2b →)，则向量b →在向量a →方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【解析】．B5．0>ω函数()sin sin 22xxf x ωπω+=在[]43ππ-,上单调递增，则ω的范围是( ) A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞【解析】．B6．已知向量a →=(1,0)，b →=(1,3)，则与2a →-b →共线的单位向量为( ) A ．13,2⎛⎝⎭B ．132⎛-⎝⎭C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭或132⎛-⎝⎭ 【解析】．D7．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【解析】．B8．已知e 1→，e 2→分别为直角坐标系x O y 的x ,y 轴正上方上单位向量，AC →=4e 1→-3e 2→，BD →=6e 1→+8e 2→，则平行四边形ABCD 的面积为( ) A ．25 B ．50C ．75D ．100【解析】．A 9．设42ππx ≤≤1sin 21sin 2x x +-=( ) A ．2sin x B ．2cos xC ．2sin x -D ．2cos x -【解析】．A10．设ΔABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足AO →=-2DO →，则OC →=( ) A ．-13AB →+23AC →B ．23AB →-13AC →C ．13AB →-23AC →D ．-23AB →+13AC →【解析】．A11．将函数f (x )=3sin2x -cos2x 向左平移6π个单位，得到g (x )的图象，则g (x )满足( ) A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根【解析】．C12．已知函数f(x)=⎩⎨⎧log 2(1-x)，x ≤0-x 2+4x ，x>0，则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．9【解析】．B 二、填空题13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，弧田的面积__________．【解析】12π﹣9 314．已知向量a →=(4,2)，b →=(λ,1)，若a →与b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______. 【解析】()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭15．若sin2α1-cos2α=13，tan(β-2α)=1，则tan(α-β)=______．【解析】：2 16．对下列命题：（1）若向量a →与b →同向，且|a →|>|b →|，则a →>b →；（2）若向量|a →|=|b →|，则a →与b →的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意向量|a →|=|b →|，若a →与b →的方向相同，则a →=b →； （4）由于0→方向不确定，故0→不与任意向量平行； （5）向量a →与b →平行，则向量a →与b →方向相同或相反． 其中正确的命题的个数为________ 【解析】1个 三、解答题17．已知，5cos α=，()10sin 10αβ-=，且α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求： （1）cos(2)αβ-的值； （2）β的值. 【解析】（1）因为α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，又因为()10sin 10αβ-=，则()310cos 10αβ-=，而25sin 5α=， ()()()()2cos 2cos cos cos sin sin 10αβααβααβααβ⎡⎤-=+-=---=⎣⎦， （2）()()()2cos cos cos cos sin sin 2βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-=⎣⎦， 又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4πβ∴=.18．如图,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点,设AB →=a →，AO →=b →.(1)用向量a →与b →表示向量OC →，CD →；(2)若OE →=45OA →，求证：C ，D ，E 三点共线.【解析】解：(1)∵AB a =,AO b =,∴OC OA AC b a =+=--,11151()2()33333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+.(2)证明: 45OE OA =()413555CE OE OC b a b a b CD ∴=-=-++=+=,∴CE 与CD 平行,∵CE 与CD 有共同点C ,∴C ，D ，E 三点共线.19．为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中a =2b .（1）求a ，b 的值；（2）若按照分层抽样的方式从[)[)50,60,60,70中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，)60的概率． 【解析】解：（1）由频率分布直方图得：(0.010.0350.01)101a b ++++⨯=， 0.045a b ∴+=，又2a b =，解得0.030a =，0.015b =．（2）[50，60)，[60，70)两段频率比为0.1:0.152:3=，∴按照分层抽样的方式从[50，60)，[60，70)中随机抽取5人，分数在[50，60)中抽取2人，记为1a ，2a ， 分数在[60，70)中抽取3人，记为1b ，2b ，3b ，∴从这5人中随机抽取2人的所有情况为：1(a ，2)a ，1(a ，1)b ，1(a ，2)b ，1(a ，3)b ，2(a ，1)b ，2(a ，2)b ， 2(a ，3)b ，1(b ，2)b ，1(b ，3)b ，2(b ，3)b ，共10个，其中，至少有1人的分数在[50，60)包含的基本事件有7个，∴至少有1人的分数在[50，60)的概率710P =． 20．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【解析】(1)由图得112A ω==，,因为203π⎛⎫- ⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()g x ；(2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，, 所以当263x ππ+=-时,()f x 取最小值3,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1, 因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立, 所以3212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即312m ⎛∈- ⎝⎭，. 21．已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭. （1）若|AC →|=|BC →|，求角α的值； （2）若AC →•BC →=-1，求22sin sin21tan ααα++的值. 【解析】（1）∵AC BC =，∴()()()()22223cos 0sin 0cos 3sin αααα-+--+- 化简得tan 1α=，∵3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴54πα=． （2）∵ 1AC BC ⋅=-，∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-⋅-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴52sin cos 9αα=-， ∴()22sin cos sin cos 2sin sin 25 2sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++==-++＝． 22．已知函数24()(0,1)2x x a a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220x mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a ---+-+=-++.即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+,211121x ∴-<-<+，∴函数()f x 的值域为()1,1-. （3）由()220x mf x +->，可得，()2 2x mf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->-，令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t +->=-+，函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞。