数轴、相反数、绝对值(讲义及答案)

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【衔接课精选讲义】新初一第2讲 认识数轴、绝对值与相反数(苏科版【含答案】)

【衔接课精选讲义】新初一第2讲 认识数轴、绝对值与相反数(苏科版【含答案】)

课程类型:新授课—衔接课年级:新初一学科:数学课程主题第2讲:认识数轴、绝对值与相反数【要点梳理】1、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.注意:(1)定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据需要“规定”的.通常,习惯取向右为正方向.(2)长度单位与单位长度是不同的,单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段,而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等.2、数轴的画法(1)画一条直线(通常画成水平位置);(2)在这条直线上取一点作为原点,这点表示0;(3)规定直线上向右为正方向,画上箭头;(4)再选取适当的长度,从原点向右每隔一个单位长度取一点,依次标上1,2,3,…从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次标上-1,-2,-3,…注意:(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取.(2)确定单位长度时根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点.3、数轴与有理数的关系任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不都表示有理数,还可以表示其他数例如无理数,比如 .注意:(1)一般地,数轴上原点右边的点表示正数,左边的点表示负数;反过来也对,即正数用数轴上原点右边的点表示,负数用原点左边的点表示,零用原点表示.(2)一般地,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.【典型例题】1、(2021七上·海安期末)比-4.3大的负整数有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 无数个2、(2021七上·江阴期末)下列算式中,运算结果为负数的是()A. B. C. D.3、(2020七上·溧阳期中)已知两个有理数、,如果 0且a+b 0,那么()A. 0, 0B. 0, 0C. 、同号D. 、异号,且负数的绝对值较大4、在数轴上,位于﹣3和3之间的点有()A. 7个B. 5个C. 4个D. 无数个5、在﹣4,0,﹣1,3这四个数中,最小的数是()A. ﹣4B. 2C. -1D. 36、数轴是一条()A. 直线B. 射线C. 线段D. 不能确定7、下面画的数轴正确的是()A. B. C. D.【同步演练】1、下列一组数:1,4,0,-,﹣3在数轴上表示的点中,不在原点右边的点的个数为()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、如图所示,根据有理数a,b,c在数轴上的位置,下列关系正确的是()A. b>a>0>cB. a<b<0<cC. b<a<0<cD. a<b<c<03、如图,数轴上的点P、O、Q、R、S表示某城市一条大街上的五个公交车站点,有一辆公交车距P站点3km,距Q站点0.7km,则这辆公交车的位置在()A.P站点与O站点之间B. O站点与Q站点之间C. Q站点与R站点之间D. R站点与S站点之间4、若有理数m在数轴上对应的点为M,且满足|m|>1且m<0,则下列数轴表示正确的是()A. B.C. D.要点2:认识相反数【要点梳理】1、定义:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数.特别地,0的相反数是0.注意:(1)“只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同.(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,不能漏掉.(3)相反数是成对出现的,单独一个数不能说是相反数.(4)求一个数的相反数,只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质:(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁,且与原点的距离相等(这两个点关于原点对称).(2)互为相反数的两数和为0.3、多重符号的化简多重符号的化简,由数字前面“-”号的个数来确定,若有偶数个时,化简结果为正,如-{-[-(-4)]}=4 ;若有奇数个时,化简结果为负,如-{+[-(-4)]}=-4 .注意:(1)在一个数的前面添上一个“+”,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5.(2)在一个数的前面添上一个“-”,就成为原数的相反数.如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3.【典型例题】1、(2021七下·苏州开学考)2021的相反数是()A. -2021B.C. 2021D.2、(2020七上·高新期中)下列各对数中,互为相反数的是()A. -(-3)与B. 与-0.25C. -(+3)与+(-3)D. +(-0.1)与-(- )3、如果a与﹣3互为相反数,那么a等于()A. B. - C. 3 D. -34、下列结论正确的有()①任何数都不等于它的相反数;②符号相反的数互为相反数;③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等;④若有理数a,b互为相反数,那么a+b=0;⑤若有理数a,b互为相反数,则它们一定异号。

《相反数与绝对值》 讲义

《相反数与绝对值》 讲义

《相反数与绝对值》讲义一、相反数在数学的世界里,相反数是一个非常基础但又十分重要的概念。

那什么是相反数呢?简单来说,相反数就是绝对值相等,符号相反的两个数。

比如 5 和-5 就是一对相反数,再比如-2 和 2 也是相反数。

为了更准确地理解相反数,我们需要知道以下几个要点:1、相反数的特性(1)互为相反数的两个数之和为 0。

例如,3 的相反数是-3,3 +(-3) = 0。

(2)0 的相反数是 0 本身。

这是因为 0 既不是正数也不是负数,它是一个特殊的存在。

2、相反数的表示方法一个数 a 的相反数可以表示为 a。

所以,如果给定一个数 x,那么它的相反数就是 x 。

3、相反数在数轴上的表现在数轴上,互为相反数的两个数位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。

比如 4 和-4,它们到原点的距离都是 4 个单位长度。

4、相反数的实际应用相反数在解决实际问题中也有很多用处。

比如,在温度的表示中,零上 5 摄氏度和零下 5 摄氏度就是一对相反数;在盈利和亏损的计算中,盈利 100 元与亏损 100 元也是相反数。

二、绝对值说完相反数,我们再来看看绝对值。

绝对值的定义是:一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

例如,数字 7 在数轴上对应的点到原点的距离是 7 ,所以 7 的绝对值是 7 ,记作|7| = 7 ;-7 在数轴上对应的点到原点的距离同样是7 ,所以-7 的绝对值也是 7 ,记作|-7 |= 7 。

接下来,我们详细了解一下绝对值的一些重要性质和特点:1、绝对值的非负性绝对值总是非负的,即对于任何实数 a ,都有| a |≥ 0 。

2、正数和 0 的绝对值正数的绝对值是它本身。

比如,| 5 |= 5 。

0 的绝对值是 0 ,即| 0 |= 0 。

3、负数的绝对值负数的绝对值是它的相反数。

例如,|-8 |= 8 。

4、绝对值的运算(1)两个数的和的绝对值与这两个数绝对值的和之间的关系:| a + b |≤ | a |+| b |,当且仅当 a 、 b 同号或者至少有一个为 0 时,等号成立。

小升初数学衔接暑假班系列讲义第三讲:数轴、相反数和绝对值

小升初数学衔接暑假班系列讲义第三讲:数轴、相反数和绝对值
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三、解答题
. - 0.8
11.画出数轴,在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”把各数连接起来. -3, 0, 3,5, -5
2014
12.一个点在数轴上表示的数是 -5,这个点先向左边移动 3 个单位,然后再向右边移动 6 个单位,这时它
表示的数是多少呢?如果按上面的移动规律,最后得到的点表示的数是
知识点 1:相反数的意义
定义
代数意义
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,特别地,
0 的相反数是 0.
数轴上,到原点的距离相等的点表示的数互为相反数.
几何意义
一对相反数在数轴上的对应点分别位于原点两侧,且关于原点对称.
原点的对称点是它本身.
注1
1. 相反数必须成对出现,不能单独存在.
2. 定义中的“只有”指除符号以外,两个数完全相同,应与“只要符号不同”区分开,与具有相反意
义的量区分开.
3. 互为相反数的两个数的和为零,即若 a 与 b 互为相反数,则 a b 0 ;
反之,若 a b 0 ,则 a 与 b 互为相反数.
知识点 2:相反数的求法 求法 求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“
- ”号即可.
注2
1. 一般地,数 a 的相反数是.因为字母 a 可以表示任意一个数, a 可以为正数、 0、负数,也可以是任
的相反数; -(-7) 的相反数是
(2) 若 5 与 2 互为相反数,则

(3) 如果 a= -13 ,那么=
;如果 a= 5.4 ,那么=
(4) 如果= -6 ,那么 x=
;如果= 9,那么 x=
(5) a 的相反数是
;的相反数是


. .

数轴、相反数、绝对值(北师版)(含答案)

数轴、相反数、绝对值(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1:有理数有几种分类,分别是什么?问题2:数轴的定义是什么?数轴的作用有哪些?问题3:什么是相反数,怎么找一个数或一个式子的相反数?问题4:什么是绝对值,绝对值法则是什么?问题5:(1)如果数a的绝对值等于a,那么a可能是正数吗?可能是0吗?可能是负数吗?(2)如果数a的绝对值大于a,那么a可能是正数吗?可能是0吗?可能是负数吗?(3)一个数的绝对值可能小于它本身吗?数轴、相反数、绝对值(北师版)一、单选题(共18道,每道5分)1.如果收入50元记作+50元,那么支出30元记作( )A.+30元B.-30元C.+80元D.-80元答案:B解题思路:正数和负数表示相反意义的量,收入和支出是相反意义的量,所以如果收入50元记作+50元,那么支出30元记作-30元.故选B.试题难度:三颗星知识点:正数和负数的意义2.有如下一些数:-3,-3.14,-(-20),0,+6.8,,,其中负数有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:负数3.下列说法正确的是( )A.正有理数和负有理数统称为有理数B.正分数、0、负分数统称为分数C.小数3.14不是分数D.整数和分数统称为有理数答案:D解题思路:选项A:正有理数、负有理数和0统称为有理数,0既不是正有理数也不是负有理数,错误;选项B:正分数、负分数统称为分数,0是整数不是分数,错误;选项C:3.14是有限小数,可以写成分数的形式,错误;选项D:整数和分数统称为有理数,正确.故选D.试题难度:三颗星知识点:有理数及其分类4.下列说法正确的是( )A.正整数和负整数统称整数B.0既不是正数,也不是负数C.0是最小的有理数D.有理数就是正有理数和负有理数答案:B解题思路:选项A:正整数、0和负整数统称为整数,A选项错误;选项B:0既不是正数,也不是负数,正确选项C:所有的负有理数都比0小,所以0不是最小的有理数,错误;选项D:有理数包括正有理数、0和负有理数,错误.故选B.试题难度:三颗星知识点:有理数及其分类5.5的相反数是( )A. B.C.+5D.-5答案:D解题思路:只有符号不同的两个数互为相反数,因此5的相反数是-5.故选D.试题难度:三颗星知识点:相反数6.下列各数中,是正数的是( )A. B.-3的相反数C. D.-3的相反数的相反数答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:相反数7.如图,在数轴上点A表示的数可能是( )A.1.5B.-1.5C.-2.4D.2.4答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:数轴的作用——表示数8.已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则下列选项错误的是( )A.a<0<bB.b>-aC.-a>0D.-b>a答案:D解题思路:试题难度:三颗星知识点:利用数轴比较大小9.已知有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则a,-b,,从大到小的顺序为( )A. B.C. D.答案:D解题思路:试题难度:三颗星知识点:利用数轴比较大小10.如图,如果数轴上A,B两点之间的距离是8,那么点B表示的数是( )A.5B.-5C.3D.-3答案:D解题思路:试题难度:三颗星知识点:数轴的作用——表示距离11.下列各对数中,互为相反数的是( )A. B.C. D.答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:绝对值法则12.若,则( )A.2mB.0C.-2mD.m答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:绝对值法则13.数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为( )A.6或-6B.6C.-6D.3或-3答案:A解题思路:试题难度:三颗星知识点:数轴的作用——表示距离14.若,则a=( )A.4B.-4C.±4D.±2答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:绝对值的定义15.若,则( )A.0B.xC.-xD.以上答案都不对答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:绝对值法则16.是一个( )A.正数B.非正数C.非负数D.负数答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:绝对值法则17.若,则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:绝对值法则18.已知学校、图书馆和小明家依次坐落在一条东西走向的大街上,学校在图书馆西边20米处,小明家位于图书馆东边70米处,小明从图书馆沿街向东走了30米,接着又向东走了-40米,此时小明的位置在( )A.图书馆B.小明家C.学校西10米处D.学校东10米处答案:D解题思路:试题难度:三颗星知识点:数轴的作用——表示数。

沪科版七年级数学上第一章《有理数》第2节《数轴、相反数和绝对值》例题与讲解

沪科版七年级数学上第一章《有理数》第2节《数轴、相反数和绝对值》例题与讲解

1.2数轴、相反数和绝对值1.数轴(1)数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.如图所示.(2)数轴的概念包涵的意思①数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;②数轴有三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;③原点位置的选定,单位长度大小的确定都是根据实际而定的.一般取向右的方向为正方向.(3)数轴的画法:要正确迅速地画出数轴,可按以下步骤进行:①“画”就是先画一条水平的直线;②“取”就是在直线上选取一点表示原点(原点表示的数是0);③“选”就是选择向右的方向为正方向(用箭头表示),那么相反的方向,即从原点向左为负方向,然后选取适当的长度作为单位长度,用细短线在直线上画出;④“标”就是从原点向右,依次标出1,2,3,…;从原点向左,依次标出-1,-2,-3,….画数轴的步骤可简单归纳为“一画、二取、三选、四标”.解技巧确定数轴的单位长度画数轴时根据实际问题的需要可选取不同的距离作为单位长度,同一数轴上的单位长度必须一致.【例1】观察下列图形,数轴画得正确的是______.解析:判断一条直线是否为一数轴,关键看这条直线是否具有原点、正方向和单位长度这三要素.A没有原点,B没有正方向,C的单位长度不一致,E中负方向上所标注的数字顺序错误,只有D满足条件.答案:D辨误区画数轴常见的错误画数轴常出现的错误:(1)没有方向;(2)没有原点;(3)单位长度不一致;(4)标出的数值排列错误.2.有理数与数轴上的点之间的关系(1)数对应点:任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示.(2)在数轴上,正数和负数分别位于原点的两侧,所有正数对应的点都在数轴上原点的右侧,所有负数对应的点都在数轴上原点的左侧,与正数对称.(3)找出数轴上的点对应的有理数的步骤是:①确定点与原点的位置关系(左负右正);②确定点与原点的距离.辨误区有理数与数轴上的点的对应关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但不能说数轴上所有的点都表示有理数,因为数轴上除了表示所有的有理数的点之外,还有表示所有的无理数的点(以后会学习).【例2-1】指出数轴上A,B,C,D,E,F各点分别表示什么数?分析:先确定已知点的位置是在原点的左边还是右边,再确定点对应的数值,特别是B ,E 两点,要看准它们所表示的数在哪两个数之间.解:A 表示4;B 表示2.5;C 表示1;D 表示0;E 表示-1.5;F 表示-3.【例2-2】把下列各数在数轴上表示出来:32,-5,0,3.6,-3,-12,-112.分析:第一步,画出数轴(按三要素);第二步,把这些数在数轴上的对应点找出来;0在原点,容易找到对应点.正数在原点的右边,所以32,3.6在原点的右边,且分别距原点32个单位长度、3.6个单位长度.负数在原点的左边,所以-5,-3,-12,-112在原点的左边,且分别距原点5个单位长度、3个单位长度、12个单位长度、112个单位长度.解:解技巧确定数在数轴上的对应点(1)确定有理数在数轴上的对应点,要先根据正负确定该点在原点的哪一边,然后再确定距原点多少个单位长度;(2)一般情况下,原数轴上的表示单位长度的数要标在数轴的下方,而要表示的数应标在数轴的上方.3.相反数(1)相反数的定义只有符号不同的两个数互为相反数,这就是说,其中一个是另一个的相反数,特别规定:0的相反数是0.辨误区相反数的意义①“0的相反数是0”是相反数定义的一部分,千万不能漏掉;②“只有符号不同”指的是除符号不同以外,其他完全相同,不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数,例如:-2和+3符号不同,但它们不互为相反数.(2)相反数的几何意义两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧,与原点的距离相等.如:+3和-3,+4.4和-4.4互为相反数,在数轴上的位置如图所示:(3)相反数的表示方法一般地,数a 的相反数是-a ,这里a 表示任意一个数,它可以是正数、负数或者零.析规律相反数的表示方法在任意一个数前面添上“-”号,所得的数是原数的相反数,在一个数的前面添上一个“+”号,仍是原数.【例3】填空题:(1)-5的相反数是__________;(2)-(-6)的相反数__________;(3)__________的相反数是0.7;(4)18与__________互为相反数;(5)若a =13,则-a =__________.解析:根据相反数的意义求出各数的相反数.(1)-5的相反数为5;(2)-(-6)表示-6的相反数,即-(-6)=6,所以求-(-6)的相反数就是求6的相反数;(3)-0.7的相反数是0.7;(4)18与-18互为相反数;(5)-a 表示a 的相反数,即求13的相反数,所以-a =-13.答案:(1)5(2)-6(3)-0.7(4)-18(5)-134.绝对值(1)绝对值的概念在数轴上,表示数a 的点到原点的距离,叫做数a 的绝对值,记作|a |.表示数0的点即原点,到原点的距离是0,故|0|=0.(2)一个数的绝对值与这个数的关系①一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.②绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样,也是一种运算,绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值).注意:既可以说0的绝对值是它本身,也可以说0的绝对值是它的相反数.故绝对值是它本身的数是正数和0;绝对值是它的相反数的数是负数和0.③互为相反数的两个数的绝对值相等;绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数.谈重点绝对值的意义绝对值是初中代数中的重要概念,从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大,离原点的距离越近,绝对值越小.由于距离总是正数或零,则有理数的绝对值不可能是负数.也就是说,任何一个有理数的绝对值都是非负数,即a 取任意有理数,都有|a |≥0,所以绝对值最小的数是0.【例4-1】下列说法正确的是().A .|-5|表示-5的绝对值,等于-5B .负数的绝对值等于它本身C .-4距离原点4个单位长度,所以-4的绝对值是4D .绝对值等于它本身的数有两个,是0和1解析:绝对值是一个距离,不能为负数,故选项A 错误;负数的绝对值等于它的相反数,故选项B 错误;一个数的绝对值是它在数轴上对应点与原点的距离,C 正确;正数的绝对值都等于它本身,故选项D 错误.答案:C【例4-2】回答问题:(1)绝对值是3的数有几个?各是什么?(2)绝对值是0的数有几个?各是什么?(3)绝对值是-2的数是否存在?若存在,请写出来.分析:本题要正确理解绝对值的概念,尤其要理解绝对值的几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.(1)表示到原点距离等于3的点对应的数有几个,显然,表示数3和-3的点到原点的距离都等于3,所以绝对值等于3的数有两个,它们互为相反数.(2)到原点的距离为0的点只有原点本身,它对应的数是0.(3)任意有理数的绝对值都是非负数,故不存在绝对值是-2的数.一般地,一个有理数的绝对值只有一个,但是绝对值为一个正数的有理数都有两个,它们互为相反数,没有绝对值为负数的有理数.解:(1)绝对值是3的数有两个,它们分别是3和-3.(2)绝对值是0的数只有一个,它是0.(3)绝对值是-2的数不存在.5.数轴上两点间的距离与点表示的数之间的关系(1)数轴使数和直线上的点建立了对应关系,它揭示了数和形的内在联系.正是这种联系,使得数轴上两点之间的距离与所表示的数之间存在密切关系.(2)数轴上表示数a 的点与原点之间的距离:当a 为一个正数时,它与原点的距离是a 个单位长度,当a 是负数时,它与原点的距离是|a |个单位长度;当a 是0时,距离为0.(3)注意:到某一点距离等于a (a 是正数)的点有两个,在原点的左右两侧各一个.解技巧确定数轴上两点间的距离解决此类问题的最好方法是画出数轴,并表示出所求的数,再求两点间的距离.【例5-1】如图,A ,B 两点在数轴上,点A 对应的数为2,若线段AB 的长为3,求点B 对应的数是多少?分析:由于点A 对应的数为2,说明它到原点的距离为2,又线段AB 的长为3,则点B 对应的数就很容易确定了.解:因为点A 对应的数为2,又线段AB 的长为3,所以点B 到原点的长为1.又因为点B 在原点的左边,所以点B 对应的数为-1.【例5-2】已知数轴上A ,B 表示的数互为相反数,并且A ,B 两点间的距离为6个单位长度,求A ,B 两点表示的数(A 在B 的左边).分析:互为相反数的数,位于原点的两侧,且到原点的距离相等,根据A ,B 的距离为6个单位长度,即可求出A ,B 两点表示的数.解:由点A ,B 表示的数互为相反数,且A ,B 两点间的距离为6,可知点A ,B 在原点的两侧,到原点距离都为3,又A 在B 的左边,所以A 点表示-3,B 点表示3.6.运用相反数化简符号(1)理解:①在任意-个数前面添上“-”号,新的数就是原数的相反数.如:+5的相反数表示为-(+5),而5的相反数就是-5,所以-(+5)=-5.因此运用相反数可以进行符号化简.(2)分类:简单的符号化简共有3种情况:①-(+a )=-a ;②+(-a )=-a ;③-(-a )=a .(3)延伸:①-[-(-a )]=-a ;-[+(-a )]=a 等.②-0=0,表示0的相反数是0.多重符号的结果是由“-”号的个数决定的,与“+”号无关,据此可以对带有多重符号的数进行化简.化简时“+”号的个数不影响结果,可省去;而“-”号的个数是偶数个时也可全部省去,奇数个时,结果保留一个“-”号即可.【例6-1】填空:(1)__________;(2),那么x =__________.解析:(1)∵127,因此此题实际上是求127的相反数,∴-127;(2)是已知x 的相反数求原数x 的问题,∵-x =+(-80.5)=-80.5,∴x =80.5.答案:(1)-127(2)80.5【例6-2】化简下列各符号:(1)-[-(-2)];(2)+{-[-(+5)]};(3)-{-{-…-(-6)…}}(共n 个负号).分析:化简的法则是:结果的符号与负号的个数有关,有偶数个负号时,结果为正;有奇数个负号时,结果为负.解:(1)-2;(2)5;(3)当n 为偶数时,为6;当n 为奇数时,为-6.7.绝对值的化简和计算化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性,解题时看清楚“-”号在绝对值符号的里面还是外面.如果“-”号在绝对值符号的里面,化简时把“-”号去掉;如果“-”号在绝对值符号的外面,化简时不能把“-”号去掉.解技巧准确化简绝对值符号化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数、负数或是0.【例7】化简:(1)-|-23|;(2)+|(3)|;(4)|-(-7.5)|.分析:先判断绝对值符号内数的符号,再求绝对值.解:(1)-|-23|=-23;(2)+|;(3)|=312;(4)|-(-7.5)|=7.5.8.字母表示的数的绝对值的求法应用因为用字母所表示的数既可以是正数也可以是负数,还可以是0.它具有不确定性,而求绝对值首先要考虑的就是符号,因此求字母表示的数的绝对值时,必须考虑题目中给定的条件,若有限定条件,就按限定条件求出,若没有限定条件,则要分正、负、0三种情况讨论.解技巧求字母表示的数的绝对值(1)限制型逆用求法,如:|a |=6,那么a =±6;(2)开放型分类讨论求法:如求|x |+x 的值,当x >0时,|x |=x ,所以|x |+x =x +x =2x ,当x <0时,|x |=-x ,原式=0,当x =0时,原式=0;(3)化简型求法:如:|a |=|-8|,|-a |=|-8|,|-a |=|8|都能化为|a |=|8|=8解决.【例8-1】已知a =-5,|a |=|b |,则b 的值等于().A .+5B .-5C .0D .±5解析:因为a =-5,所以|a |=5.所以|b |=5.所以b =±5.注:本题常见的思维误区是由|a |=|b |推出a =b ,错选B.事实上,由|a |=|b |,可得b =±a ,所以b =a 或b =-a ,即b =5或b =-5.答案:D【例8-2】下面推理正确的是().A .若|m |=|n |,则m =nB .若|m |=n ,则m =nC .若|m |=-n ,则m =nD .若m =n ,则|m |=|n |解析:A 中若|m |=|n |,则m =±n ;B 中若|m |=n (n 一定是非负数),则m =±n ,例如|±2|=2,此时m =±2,n =2,显然m =±n ;C 中若|m |=-n ,则m =n 或m =-n ,例如|±3|=-(-3)(n 一定是非正数),此时m =±3,n =-3,所以m =±n .答案:D 9.利用数轴解决生活中的实际问题本节知识常与运动问题结合在一起,利用数形结合将运动问题解决.这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一.数轴是一种数学工具,它使数和数轴上的点建立了对应关系,运用数轴可以直观表示点的移动,正确找出数在数轴上的对应点,会由数轴上的点的位置确定对应的数,是解决这类问题的关键.解题时,通常根据题意正确地画出数轴,在选取长度单位时,要根据题目中的实际情况来确定,再在数轴上表示点的移动过程,用箭头和竖线来表示.【例9】超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,超市在书店西边20米处,玩具店位于书店东边50米处.小明从书店出来沿街向东走了50米,接着又向东走了-80米,此时小明的位置在何处?在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置以及小明最后的位置.分析:书店处于超市和玩具店之间,且书店与玩具店之间的距离是50米,书店与超市之间的距离是20米,这样可以画出数轴,即可表示出小明最后的位置.解决点的移动问题,可画出数轴,在数轴上表示点的移动,关键是确定原点,最后的点相对于原点来说,若在原点的右侧,表示的是正数,若在原点的左侧,则表示的是负数.解:根据题意可以画出如图所示的数轴,小明位于超市西边10米处.10.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要,反过来又可以运用它解决一些实际问题.利用绝对值求距离路程问题中,当出现用“+”、“-”号表示带方向的路程,求最后实际路程时,实际上是求绝对值的和.方法:①求各个数的绝对值;②求所有数的绝对值的和;③写出答案.【例10】一天上午,出租车司机小王在东西走向的中山路上营运,如果规定向东为正,向西为负,出租车的行车里程如下(单位:千米):+15,-3,+12,-11,-13,+3,-12,-18,请问小王将最后一位乘客送到目的地时,共行驶了多少千米?分析:本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用,有理数中的“+”和“-”在本题中表示的是方向,而它们的绝对值是小王在营运中所行驶的路程,因此求共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和.解:|+15|+|-3|+|+12|+|-11|+|-13|+|+3|+|-12|+|-18|=15+3+12+11+13+3+12+18=87(千米).答:小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米.。

湘教版数学七年级上册1.2数轴、相反数与绝对值(含答案)

湘教版数学七年级上册1.2数轴、相反数与绝对值(含答案)

初中数学试卷1.2数轴、相反数与绝对值专题一绝对值的非负性1.小明、小亮、小花、小倩四人是一个学习小组的同学,下面是该小组学习有理数的绝对值时进行的小组讨论:小明说:“﹣a的绝对值是它的相反数a”;小亮说:“如果有理数a的绝对值是它本身,那么a一定是正数”;小花说:“如果a为有理数,那么﹣|a|一定是负数”;小倩说:“你们说得都不对”.你认为这四位同学中谁说错了?谁说对了?错的该怎样改正?2.若a、b、c都是有理数,且|a﹣1|+|b+2|+|c﹣4|=0,求a+|b|+c的值.3.探究题(1)比较下列各式的大小:|﹣2|+|3| |﹣2+3|;|﹣3|+|﹣5| |(﹣3)+(﹣5)|;|0|+|﹣5| |0+(﹣5)|;…(2)通过(1)的比较,请你分析,归纳出当a,b为有理数时,|a|+|b|与|a+b|的大小关系.(3)根据(2)中你得出的结论,求当|x|+5=|x﹣5|时,求x的取值范围.专题二数轴、相反数与绝对值的“大融合”4.已知有理数a与b互为相反数,有理数c到原点的距离为1,有理数d为绝对值最小的数,求式子2013(a+b)+c+2013d的值.5.如图,数轴上标出了7个点,相邻两点之间的距离都相等,已知点A表示﹣4,点G 表示8.(1)点B表示的有理数是,表示原点的是点是.(2)图中的数轴上另有点M到点A,点G距离之和为13,则这样的点M表示的有理数是.(3)若将原点取在点D,则点C表示的有理数是,此时点B与点表示的有理数互为相反数.6.一个有理数x在数轴上对应的点为A,将A点向左移动3个单位长度,再向左移动2个单位长度,得到点B,点B所对应的数和点A对应的数的绝对值相等,求点A的对应的数x是多少?【知识要点】1.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.2.如果两个数只有符号不同,那么其中的一个数叫作另一个数的相反数.0的相反数是0.3.一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点与原点的距离.正数的绝对值是它的本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.互为相反数的两个数的绝对值相等.一般地,如果a表示一个数,则:(1)当a(2)当a=0(3)当a a和-a中非负数的那一个.【温馨提示】(针对易错)1.画数轴时必须具备三要素:原点、正方向和单位长度.2.任何一个数都有相反数,两个互为相反数的绝对值相等.3.一个数的绝对值是一个非负数,在求一个数的绝对值时,不能只是去掉绝对值符号,一定要考虑绝对值符号内的式子表示的数是正数还是负数.【方法技巧】1.求一个数的相反数,在这个数的前面加上负号即可.2.求一个数的绝对值时,先分清这个数是正数、0还是负数,再按照相应的情况“对号入座”,即去掉绝对值后是否添上负号.3.几个非负数之和等于零,其中每一个数都等于零.参考答案1.解:小明、小亮、小花都说错了.只有小倩是对的.小明说错了,因为﹣a的绝对值应该分情况进行讨论,小亮说错了,因为﹣a的绝对值等于本身的数除了正数还有0;小花说错了,因为﹣|﹣a|不一定是负数,还可能是0,即﹣|﹣a|≤0.故小倩是对的.2.解:因为|a﹣1|+|b+2|+|c﹣4|=0,所以|a﹣1|=0,|b+2|=0,|c﹣4|=0,所以a=1,b=﹣2,c=4,所以a+|b|+c=1+2+4=7.3.解:(1)因为|﹣2|+|3|=5,|﹣2+3|=1,所以|﹣2|+|3|>|﹣2+3|.因为|﹣3|+|﹣5|=8,|(﹣3)+(﹣5)|=8,所以|﹣3|+|﹣5|=|(﹣3)+(﹣5)|.因为|0|+|﹣5|=5,|0+(﹣5)|=5,所以|0|+|﹣5|=|0+(﹣5)|.故答案为>,=,=.(2)根据(1)中规律可得出:|a|+|b|≥|a+b|.(3)因为|﹣5|=5,所以|x|+5=|x|+|﹣5|=|x+(﹣5)|=|x﹣5|.所以x<0.即当|x|+5=|x﹣5|时,x<0.4.解:因为有理数a与b互为相反数,所以a+b=0.因为有理数c到原点的距离为1,所以c=1 或c=-1.因为有理数d为绝对值最小的数,所以d=0.所以当c=1时,原式=2013×0+1+0=1;当c=-1时,原式=2013×0+(-1)+0=-1.所以原式的值为1或-1.5.(1) ﹣2,C;(2) ﹣4.5或8.5;(3) ﹣2;F 【解析】(1)因为数轴上标出了7个点,相邻两点之间的距离都相等,已知点A表示﹣4,点G表示8,所以AG=|8+4|=12,所以相邻两点之间的距离==2,所以点B表示的有理数是﹣4+2=﹣2,点C表示的有理数﹣2+2=0.故答案为﹣2,C;(2)设点M表示的有理数是m,则|m+4|+|m﹣8|=13,所以m=﹣4.5或m=8.5.故答案为﹣4.5或8.5;(3)若将原点取在点D,因为每两点之间距离为2,所以点C表示的有理数是﹣2.因为点B与点F在原点D的两侧且到原点的距离相等,所以此时点B与点F表示的有理数互为相反数.6.解:由题意得:点A对应的数为x,则点B所对应的数x﹣3﹣2=x﹣5,又点B所对应的数和点A对应的数的绝对值相等,|x|=|x﹣5|,所以x=2.5.。

绝对值和相反数讲义

绝对值和相反数讲义

第2 讲绝对值和相反数相反数1、定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

特别地,0的相反数是0.2、相反数的性质:若a,b互为相反数,则a+b=0;反之,若a+b=0,则a,b互为相反数注意点:①相反数是成对出现的,不能单独存在;单独的一个数不能说是相反数②要把“相反数”与“相反意义的量”区分开来,“相反数”不仅要求数的符号相反,而且要求符号后面的数相同③求一个数的相反数只需要在这个数前面加上一个负号就可以;绝对值内容符号表示定义一般地。

数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值数a的绝对值记做|a|,读作a的绝对值绝对值的代数意义一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0绝对值的代数意义用式子可表示为:或绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远;绝对值越大,离原点的距离越近,绝对值越小如图所示,在数轴上表示-4的点与原点的距离是4,即-4的绝对值4,记做|-4|=4;在数轴上表示3的点与原点的距离是3,即3的绝对值是3,记做|3|=3;表示0的点与原点的距离是0,即|0|=0重点:相反数和绝对值的表示方法No. 2DateTimeName难点:数轴的几何意义表示,在数轴上分析绝对值和相反数性质一、选择题1.一个数的相反数是非负数,则这个数一定是( ). A .正数 B .负数 C .非正数 D .非负数 2.在①+(+1)与-(-1);②-(+1)与+(-1);③+(+1)与-(+1);④+(-1)与-(-1)中,互为相反数的是( ). A . ①② B . ②③ C . ③④ D . ②④ 3.满足|x|=-x 的数有( ).A .1个B .2个C .3个D .无数个 4.已知1|3|a=-,则a 的值是( ). A .3 B .-3 C .13 D .13+或13- 5.a 、b 为有理数,且a >0、b <0,|b|>a ,则a 、b 、-a 、-b 的大小顺序是( ).A .b <-a <a <-bB .-a <b <a <-bC .-b <a <-a <bD .-a <a <-b <b6.下列推理:①若a =b ,则|a|=|b|;②若|a|=|b|,则a =b ;③若a≠b ,则|a|≠|b|;④若|a|≠|b|,则a≠b .其中正确的个数为( ). A .4个 B .3个 C .2个 D .1个二、填空题7.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.8.已知x 与y 互为相反数,y 与z 互为相反数,又2z =,则z x y -+= . 9.如果,则的取值范围是10. 绝对值不大于11的整数有 个. 11. 式子|2x-1|+2取最小值时,x 等于 . 12.若1aa=-,则a 0;若a a ≥,则a . 三、解答题13.已知a 和b 互为相反数,m 与n 互为倒数,(2)c =-+,求22mna b c++的值.14.正式的足球比赛对所用足球的质量都有严格的规定,标准质量为400克.下面是5个足球的质量检测结果(超过规定质量的克数记为正数,不足规定质量的克数记为负数):-25,+10,-20,+30,+15. (1)写出每个足球的质量;(2)请指出哪个足球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明.一、选择题1.下列说法中,正确的个数为( ).①对于任何有理数m ,都有m 2>0; ②对于任何有理数m ,都有m 2=(-m)2; ③对于任何有理数m 、n(m≠n),都有(m -n)2>0; ④对于任何有理数m ,都有m 3=(-m)3. A .1 B .2C .3D .02. 已知(-ab)·(-ab)·(-ab)>0,则( ).( )A .ab <0B .ab >0C .a >0,b <0D .a <0,b <0 3.设234a =-⨯,2(34)b =-⨯,2(34)c =-⨯,则a 、b 、c 的大小关系为( ). A .a <c <b B .c <a <b C .c <b <a D .a <b <c4.计算:31+1=4,32+1=10,33+1=28,34+1=82,35+1=244,…,归纳计算结果中的个位数字的规律,猜测200931+的个位数字是( ).A .0B .2C .4D .85.现规定一种新的运算“*”,a*b =a b ,如3*2=32=9,则1*32等于( ). A .18 B .8 C .16 D .326.“全民行动,共同节约”,我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电,一年可节约电1 300 000 000度,这个数用科学记数法表示,正确的是( ). A .1.30×109B . 1.3×109C . 0.13×1010D . 1.3×10107.计算2223113(2)32⎛⎫⎛⎫-⨯---÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是( ).A .-33B .-31C .31D .33二、填空题8. 对于大于或等于2的自然数n 的平方进行如下“分裂”,分裂成n 个连续奇数的和,则自然数82的分裂数中最大的数是________________.9.为改善学生的营养状况,中央财政从2011年秋季学期起,为试点地区在校生提供营养膳食补助,一年所需资金约为160亿元,用科学记数法表示为 . 10.若()2120a b ++-=,则()22003a b a++= .11.当x= 时,()241x --有最大值是 .12.如果有理数m 、n 满足0m ≠,且20m n +=,则2n m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.13. 瑞士中学教师巴尔米成功地从光谱数据9162536,,,,5122132中得到巴尔米公式,从而打开了光谱奥妙的大门,请你按这种规律写出第7个数据是 ,第n 个数据是 .1.阅读下面的材料:点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为∣AB∣,当A、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1-1-1,∣AB∣=∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣;当A、B两点都不在原点时:①如图1-1-2,点A、B都在原点的右边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣;②如图1-1-3,点A、B都在原点的左边:∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-(-a)=∣a-b∣;③如图1-1-4,点A、B在原点的两边:∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+(-b)=∣a-b∣,综上,数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣.回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________;②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________,如果∣AB∣=2,那么x 为__________.③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时,相应的x的取值范围是______________.1、2、3、年月日三、解答题14.计算:(1)19812(16)44⎛⎫-÷--÷-⎪⎝⎭(2)5115124(3)3521⎛⎫--+÷-⨯-⎪⎝⎭(3)233131(2)2422⎛⎫⎛⎫-⨯+-÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)(4)25221(1)31(2)33⎡⎤⎛⎫---⨯--÷-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦15.用简便方法计算:(1)317315606060 5212777⎛⎫⎛⎫--⨯⨯-⨯+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)2211131 1115 342163⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯---⨯⨯-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16.水葫芦是一种水生漂浮植物,有着惊人的繁殖能力.据报道,现已造成某些流域河道堵塞,水质污染等严重后果.据研究表明:适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的,关键是科学管理和转化利用.若在适宜的条件下,1株水葫芦每5天就能繁殖1株(不考虑植株死亡、被打捞等其他因素).(1)假设江面上现有1株水葫芦,填写下表:第几天 5 10 15 …50 …5n总株数 2 4 ……(2)假定某流域内水葫芦维持在33万株以内对水质净化有益.若现有10株水葫芦,请你尝试利用计算器进行估算探究,照上述生长速度,多少天时水葫芦约有33万?此后就必须开始定期打捞处理水葫芦.(要求写出必需的尝试、估算!)。

七年级数学上册-数轴、相反数与绝对值压轴题十四种模型全攻略(解析版)

七年级数学上册-数轴、相反数与绝对值压轴题十四种模型全攻略(解析版)

专题02数轴、相反数与绝对值压轴题十四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一数轴的三要素及其画法】 (1)【考点二用数轴上的点表示有理数】 (3)【考点三数轴上两点之间的距离】 (4)【考点四根据点在数轴的位置判断式子的正负】 (5)【考点五数轴上的动点问题】 (7)【考点六求一个数的相反数】 (8)【考点七化简多重符号】 (9)【考点八判断是否互为相反数】 (10)【考点九利用相反数的性质,求参数的值】 (11)【考点十绝对值的意义】 (12)【考点十一化简绝对值】 (13)【考点十二绝对值非负性的应用】 (15)【考点十三利用绝对值比较负有理数的大小】 (16)【考点十四求解绝对值方程】 (17)【过关检测】 (20)【典型例题】【考点一数轴的三要素及其画法】例题:(2023·全国·七年级假期作业)以下是四位同学画的数轴,其中正确的是()A.B.C.D.【答案】D【分析】根据数轴的三要素:原点,单位长度和正方向,进行判断即可.【详解】解:∵数轴要有三要素:单位长度,原点,正方向,并且数轴上表示的数从左到右增大,∴四个选项中只有选项D符合题意,故选:D.【点睛】本题考查数轴的定义.熟练掌握数轴的三要素:原点,单位长度和正方向,是解题的关键.【变式训练】1.(2023·江苏·七年级假期作业)在下列选项中数轴画法正确的是()A.B.C.D.【答案】C【分析】分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一,即可解答题目.【详解】解:A.各单位长度之间的距离不统一,故此选项错误,不符合题意;B.数轴为直线,可以无限延伸,故此选项错误,不符合题意;C.规定了原点、单位长度、正方向,故此选项正确,符合题意;D.没有规定正方向,故此选项错误,不符合题意;故选:C.【点睛】本题主要考查了数轴,熟练掌握数轴是一条规定了正方向、原点、单位长度的直线是解题的关键.2.(2023秋·吉林延边·七年级统考期末)下面是四位同学画的数轴,其中正确的是()A.B.C.D.【答案】C【分析】根据数轴的三要素:原点,正方向,单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确.【详解】解:A、没有原点,故此选项错误,不符合题意;B、单位长度不统一,故此选项错误,不符合题意;C、符合数轴的概念,故此选项正确,符合题意.D、没有正方向,故此选项错误,不符合题意;故选:C.【点睛】本题主要考查了数轴的概念:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.特别注意数轴的三要素缺一不可.【考点二用数轴上的点表示有理数】12 1.514-<-<<由数轴可得12 1.5142-<-<<.【变式训练】由数轴可得:1310 2.52-<-<<<.【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系,任何一个有理数都可以用数轴上的点表示,在数轴上,原______<______<______<______.按从小到大的顺序排列为:1212 3.5 2-<-<<.1【考点三数轴上两点之间的距离】【变式训练】1.(2023·江苏·七年级假期作业)数轴上数5-和14-的两点间的距离是______,与5-相距9个单位的点是______.【答案】94和14-【分析】直接根据数轴作答即可.【详解】数轴上数5-和14-的两点间的距离是()5149---=,与5-相距9个单位的点是594-+=和5914--=-,故答案为:9;4和14-.【点睛】此题考查数轴上两点之间的距离的求法,两点间的距离=右边的点表示的数-左边的点表示的数;或者两点间的距离=两数差的绝对值.2.(2023秋·河南洛阳·七年级统考期末)点A 、B 、C 在同一条数轴上,其中点A 、B 表示的数分别为4-、1,若2BC =,则AC 等于______.【答案】3或7/7或3【分析】根据题意求出AB ,分点C 在点B 的右侧和点C 在点B 的左侧两种情况计算.【详解】∵点A 、B 表示的数分别为4-、1,∴5AB =,第一种情况:点C 在AB 外,如图,527AC =+=;第二种情况:点C 在AB 内,如图,523AC =-=;故答案为:3或7.【点睛】本题考查了数轴的知识,灵活运用分情况讨论思想,掌握在数轴上表示两点之间的距离是解题的关键.【考点四根据点在数轴的位置判断式子的正负】例题:(2023·陕西咸阳·统考二模)如图,数轴上A B 、两点所表示的数分别为a b ,,则a b +______0.(填“>”“=”或“<”)【答案】<【分析】根据数轴先判断出a b ,的大小,再根据有理数的加法法则计算即可解决问题.【详解】解:根据数轴可得:1b <-,01a <<,∴+<,a b故答案为:<.【点睛】本题主要考查了实数与数轴的对应关系,数轴上的数右边的数总是大于左边的数,以及有理数的加法法则.【变式训练】【答案】<>【考点五数轴上的动点问题】【变式训练】1.(2023·江苏·七年级假期作业)点A表示数轴上的一个点,将点A向右移动3个单位,再向左移动5个单位,终点恰好是原点,则点A表示的数是_______.【答案】2【分析】由原点向右移动5个单位,再向左移动3个单位,即可得出点A的坐标.+-=.【详解】解:0532故点A表示的数是2.故答案为:2.【点睛】此题考查数轴,掌握点在数轴上平移的规律和对应的数的大小变化是解决问题的关键.2.(2023秋·广东佛山·七年级校考期末)如图,圆的周长为4个单位长度,在该圆的4等分点处分别标上0,1,2,3,先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示1-的点重合,再将圆沿着数轴向右滚动,则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合.【答案】0【分析】圆周上的0点与1-重合,滚动到2023,圆滚动了2024个单位长度,用2024除以4,余数即为重合点.【详解】解:圆周上的0点与1-重合,+=,202312024÷=,20244506圆滚动了506周到2023,圆周上的0与数轴上的2023重合,故答案为:0.【点睛】本题考查了数轴,找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键.【考点六求一个数的相反数】【考点七化简多重符号】【考点八判断是否互为相反数】【考点九利用相反数的性质,求参数的值】例题:(2023·浙江·七年级假期作业)已知23x +与5-互为相反数,则x 等于______.【答案】1【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列式计算即可.【详解】∵23x +与5-互为相反数,∴()2350x ++-=解得1x =.故答案为:1.【点睛】本题考查了相反数的性质,熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键.【变式训练】1.(2023秋·湖南湘西·七年级统考期末)已知4a +与2互为相反数,那么=a ___________.【答案】6-【分析】根据相反数的定义求解即可.【详解】解:∵4a +与2互为相反数,∴420a ++=,∴6a =-,故答案为:6-.【点睛】本题主要考查了相反数的定义,熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键.2.(2023秋·全国·七年级专题练习)若a 、b 互为相反数,则a +b +2的值为______.【答案】2【分析】根据相反数的定义:只有符号不同的两个数,互为相反数,可知0a b +=,将其代入即可求得结果.【详解】解:∵a 、b 互为相反数,∴0a b +=,∴2022a b ++=+=,故答案为:2.【点睛】本题主要考查的是相反数的定义,整体进行代入求值是本题的主要思路.【考点十绝对值的意义】A .aB .bA.点A与点B之间【考点十一化简绝对值】++--化简:a a b b c【答案】22b c+(1)填空:A ,B 之间的距离为______【考点十二绝对值非负性的应用】【考点十三利用绝对值比较负有理数的大小】【考点十四求解绝对值方程】【过关检测】一、选择题1.(2023·河南信阳·校考三模)5=3-()A.53B.53-C.53±D.35【答案】A【分析】根据绝对值的性质即可得.【详解】解:∵50 3-<,∴55 33 -=,故选:A.【点睛】本题考查了绝对值,熟练掌握绝对值的性质是解题关键.注意,负数的绝对值等于它的相反数,正数和0的绝对值都等于它本身.2.(2023春·海南海口·九年级海口市义龙中学校考阶段练习)实数4-的相反数是()A.4B.4-C.14D.14-【答案】A【分析】根据相反数的定义作出选择即可.【详解】解:实数4-的相反数是4,故选:A.【点睛】本题考查了相反数的定义,熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答本题的关键.3.(2023·江苏·七年级假期作业)下列图形表示数轴正确的是()A.B.C.D.【答案】B【分析】根据数轴的三要素原点、单位长度、正方向,来进行判断即可.【详解】解:A.从左向右的点所表示的数是依次增大,故A错误;B.符合数轴的三要素,故B正确;A .0a b +=B .0a b -=【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判定式子的符号,解题的关键在于能够熟练掌握数轴与数轴上点的关系.二、填空题【答案】0【分析】点B在数轴上表示的数为点【详解】解:根据题意可得:---【答案】2b a c【点睛】本题主要考查的是数轴,熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.三、解答题(1)求a b c a b c++=_______(1)观察数轴,填空:。

有理数基本概念(相反数、倒数、绝对值).讲义学生版

有理数基本概念(相反数、倒数、绝对值).讲义学生版

内容 基本要求略高要求较高要求有理数 理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴能用数轴上的点表示有理数;知道实数与数轴上的点的对应关系 会借助数轴比较有理数的大小相反数 会用有理数表示具有相反意义的量,借助数轴理解相反数的意义,会求实数的相反数掌握相反数的性质绝对值借助数轴理解绝对值的意义,会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题板块一、正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展,小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量,收入300元和支出200元,向东50米和向西30米,零上6C ︒和零下4C ︒等等,它们不但意义相反,而且表示一定的数量,怎么表示它们呢?我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的量规定为负的,这样就产生了正数和负数.正数:像3、1、0.33+等的数,叫做正数.在小学学过的数,除0外都是正数.正数都大于0. 负数:像1-、 3.12-、175-、2008-等在正数前加上“-”(读作负)号的数,叫做负数.负数都小于0. 0既不是正数,也不是负数.一个数字前面的“+”,“-”号叫做它的符号.正数前面的“+”可以省略,注意3与3+表示是同一个正数.例题精讲中考要求有理数基本概念及运算用正、负数表示相反意义的量:如果正数表示某种意义,那么负数表示它的相反的意义,反之亦然.譬如:用正数表示向南,那么向北3km可以用负数表示为3km-.“相反意义的量”包括两个方面的含意:一是相反意义;二是相反意义的基础上要有量. 有理数:按定义整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注:⑴正数和零统称为非负数;⑵负数和零统称为非正数;⑶正整数和零统称为非负整数;⑷负整数和零统称为非正整数.【例1】⑴如果收入2000元,可以记作2000+元,那么支出5000元,记为.⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米,则海拔高度为600-米表示.⑶某地区5月平均温度为20C︒,记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+,0,1.4+,3-,4.7-,那么这5项记录表示的实际温度分别是.⑷向南走200-米,表示.【巩固】珠穆朗玛峰海拔高度为8848米,吐鲁番盆地海拔高度为155-米,则海平面为【例2】下列说法正确的是()A.a-一定是负数B.一个数不是正数就是负数C.0-是负数D.在正数前面加“-”号,就成了负数【巩固】下列个数中:1330.70125---,,,,,中负分数有个;负整数有个;自然数有个【例3】检查篮球的质量,把超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,检查的结果如下表:最接近标准质量的是_______号篮球;质量最大的篮球比质量最小的篮球重_______克.【巩固】 若a -是负数,则a【例4】 ⑴在下列各数:(2)--,2(2)--,2--,2(2)-,2(2)--中,负数的个数为 个.⑵①10a -;②21a --;③a -;④2(1)a -+一定是负数的是 (填序号).【巩固】 ⑴下列说法正确的是( )A .a -表示负有理数B .一个数的绝对值一定不是负数C .两个数的和一定大于每个加数D .绝对值相等的两个有理数相等 ⑵两数相加,其和小于其中一个加数而大于另一个加数,那么( ) A .这两个加数的符号都是正的 B .这两个加数的符号都是负的 C .这两个加数的符号不能相同 D .这两个加数的符号不能确定板块二、倒数【例5】 ⑴(2010朝阳二模)6的倒数是( )A .6-B .16± C .61- D .61⑵(2010东城二模)5-的倒数是( )A .-5B .5C .15-D . 15⑶(2010房山二模)4-的倒数是( )A. 4B. -4C. 14-D. 14⑷ (2010宣武二模)7-的倒数为( )A.7B.17C.17- D.7- ⑸ (2010顺义二模)5的倒数是( )A .5-B .15C D .5 ⑹(2010西城二模)2010-的倒数是( )A. 2010B. 20101-C. 20101D. -2010 【巩固】 有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则20022003a b += 【巩固】 若0a b +=,c 和d 互为倒数,m 的绝对值为2,求代数式2a bm cd a b c++-+-的值【例6】 在一列数123...a a a ,,中,已知112a =-,从第二个数起,每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”⑴ 求234a a a ,,的值⑵ 根据以上计算结果,求202007a a ,的值板块三 数轴数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.注意:⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素,三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念,前者指所取度量单位的长度,后者指所取度量单位的名称,即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段,这条线段可长可短,按实际情况来规定,同一数轴上的单位长度一旦确定,则不能再改变. ⑶数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的直线;②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点: ③确定向右的方向为正方向,用箭头表示;④选取适当的长度作单位长度,用细短线画出,并对应标注各数,同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例:有理数与数轴的关系:一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数. 注意:数轴上的点不都代表有理数,如π. 利用数轴比较有理数的大小:数轴上右边的数总大于左边的数.因此,正数总大于零,负数总小于零,正数大于负数.【例7】 数轴上有一点A 它表示的有理数是3-,将点A 向左移动3个单位得到点B ,再向右移动8个单位,得到点C ,则点B 表示的数是 ,点C 表示的数是 .【巩固】 如右图所示,数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ,那么以下结论正确的是( )MA .0m <,0n <,m n >B .0m <,0n >,m n >C .0m >,0n >,m n <D .0m <,0n >,m n <【例8】 数a b c d ,,,所对应的点A B C D ,,,在数轴上的位置如图所示,那么a c +与b d +的大小关系为( )A.a c b d +<+B.a c b d +=+C.a c b d +>+D.不确定的【巩固】 如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A B C D ,,,对应的数分别为整数a b c d ,,,,并且29b a -=,那么数轴的原点对应点为( )A .A 点B .B 点C .C 点D .D 点【巩固】在数轴上,下面说法中不正确的是( ).A.两个正数,小的离原点B.两个有理数,大数对应的点在右边C.两个负数,较大的数对应的点离原点近D.两个有理数,大的离原点较远【例9】⑴数轴上点A对应的数为3-,那么与A相距1个长度的点B所对应的数是_________.⑵数轴上的点A、B分别表示数3-和2,点C是A、B的中点,则点C所表示的数是_________.⑶一个点从数轴的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,则终点表示的数是_________.【巩固】数轴上有一点到原点的距离是5.5,那么这个点表示的数是_________.【巩固】数轴上的一个点表示一个数,当这个点表示的是整数时,我们称它是整数点.如果有一条数轴的单位长度是1厘米时,有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点?【巩固】已知数轴上有A B,之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么点B所对应的,两点,A B数为【例10】一辆货车从超市出发,向东走了3km到达小彬家,继续向前走了1.5km到达小颖家,然后向西走了9.5km到达小明家,最后回到超市⑴以超市为原点,向东作为正方向,用1个单位长度表示1km,在数轴上表示出小明,小彬,小颖家的位置⑵小明家距离小彬家多远?⑶货车一共行驶了多少千米?【例11】初一(4)班在一次联欢活动中,把全班分成5个队参加活动,游戏结束后,5个队的得分如下:A队:-50分;B队:150分;C队:-300分;D队:0分;E队:100分.⑴将5个队按由低分到高分的顺序排序;⑵把每个队的得分标在数轴上,并将代表该队的字母标上;⑶从数轴上看A队与B队相差多少分?C队与E队呢?【巩固】在数轴上,点A和点B都在与154-对应的点上,若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动,点B以每秒2个单位长度的速度向左运动,则7秒之后,点A和点B所处的位置对应的数是什么?这时线段AB的长度是多少?【例12】在数轴上任取一条长度为119999的线段,则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为【巩固】数轴上表示整数的点称为整点。

2024年苏科版七年级数学上册 2.3 绝对值与相反数(课件)

2024年苏科版七年级数学上册 2.3 绝对值与相反数(课件)
解题秘方:求一个数的绝对值,就是求一个数对 应的点到原点的距离.
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解:如图2.3-1所示.
知1-练
因为-3 对应的点到原点的距离是3,所以|-3|=3 ; 因为2 对应的点到原点的距离是2,所以|2|=2 ; 因为-14对应的点到原点的距离是14,所以|- 14|=14.
感悟新知
知1-练
方法点拨 求一个数的绝对值的方法:
(2)求一个字母或一个式子的相反数时,也只需在这
个字母或式子的整体前面加上“-”号.
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知识点 3 绝对值的代数意义
知3-讲
1. 性质 正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相 反数;0 的绝对值是0 . 也可以表示为:当a>0 时,|a|=a;当a<0 时,|a|=- a;当a=0 时,|a|=0 .
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知1-讲
3. 特别提醒 一个数对应的点离原点越近,它的绝对值越小,离原
点越远,它的绝对值越大,所以没有绝对值最大的数,只 有绝对值最小的数.
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知1-讲
特别提醒 由于绝对值是两点间的距离,所以任意一个
数的绝对值都是非负数.
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知1-练
例 1 在数轴上表示下列各数:-3,2,-14,并求出各数 的绝对值.
(2)若a=-b,则a与b互为相反数.
3. 相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面
加上“-”号,即a的相反数是-a,其实质是改变这个
数的符号.
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知2-练
例 4 分别写出下列各数的相反数. -3,2,4.5,0,-613,a,a-b. 解题秘方:紧扣相反数的求法,直接写出各个数 的相反数.
也是一种运算,绝对值运算的本质就是要把带有绝对值 符号的数化为不带绝对值符号的数(即去掉绝对值符号).

人教版2020七年级数学上册数轴、相反数、绝对值讲义(新版)新人教版

人教版2020七年级数学上册数轴、相反数、绝对值讲义(新版)新人教版

数轴、相反数、绝对值(讲义)➢ 课前预习1. 为了表示相反意义的量,我们可以把其中一个量规定为正的, 用正数来表示,而把与这个量意义相反的量规定为负的,用负数来表示.请根据上述内容回答问题:(1)如果规定向东为正,那么向东走 5 m 可记作+5 m,向西走 8 m可记作m.(2)一种袋装食品标准净重为 200 g,质监工作人员为了了解该种食品每袋的净重与标准的误差,把食品净重 205 g 记为+5 g,那么食品净重 197 g 就记为g.2. 正数可分为正整数和正分数,那么负数也可以分为负整数和负分数.比如:-2,-5 等都是负整数,而-1.5, 数.请将下列各数进行分类:1 都是负分 23 3,-2.5,3.14, ,-9,100,02其中属于整数的有:;其中属于分数的有:;其中属于正数的有:;其中属于负数的有:.3. 如图,点 A 表示小明的家,动物园在小明家西边 500 米,书店在小明家东边 500 米,车站在书店东边 200 米,小明从动物园出发向东走 1000 米,到达;动物园和书店到小明家的距离都是米;小明从家出发,走了 500 米,可以到达 ; 动 物 园 和 车 站 之间的距离为米.B 动物园ACD家书店 车站1➢ 知识点睛1.与2. 有理数的分类:统称为有理数.有理数有理数3. 非正数:非正整数:;非负数: ;非负整数:4. 数轴的定义:规定了、、叫做数轴.任何一个都可以用数轴上的一个点来表示.画数轴时注意以下几点: ①三要素; ②直线; ③数字和点的位置.. . 的一条画数轴:5. 数轴的作用:、、.6. 利用数轴比较大小:数轴上两个点表示的数,越往右数越,越往左数越,右边的总比左边的.正数0,负数0,正数负数.7. 相反数的定义:地,的两个数,互为相反数.特别 .互为相反数的两个数,和为 0.8. 绝对值的定义:在上,一个数所对应的点与原点的叫做这个数的绝对值.9. 绝对值法则:正数的绝对值是;;.字母表示: a 请尝试写出下列式子的相反数:a 的相反数是 a 的相反数是 a b 的相反数是; ; .事实上:绝对值是它本身的数是;绝对值是它的相反数的数是.2➢ 精讲精练1. 若上升 5 m 记作+5 m,则 8 m 表示表示支出 10 元,那么+50 元表示;如果 10 元 ;如果零上 5℃记作+5℃,那么零下 2℃记作;太平洋中的马里亚纳海沟深达 11 034 m,可记作海拔 11 034 m(即低于海平面 11 034m),则比海平面高 50 m 的地方,它的高度记作海拔 , 比 海 平 面 低30 m 的地方,它的高度记作海拔.2. 有四包真空小包装火腿,每包以标准克数(450 克)为基数, 超过的克数记作正数,不足的克数记作负数,以下数据是记录结果,其中表示实际克数最接近标准克数的是( ) A.+2B. 3 C.+3D.+43. 某超市出售的三种品牌的洗衣液袋上分别标有净重为(800±2) g,(800±3) g,(800±5) g 的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差( )A.10 gB.8 gC.7 gD.5 g4. 把下列各数填入它所在的集合里:2,7, 2 ,0,2 015,0.618,3.14, 1.732, 5,+3 3①正数集合:{…}②负数集合:{…}③整数集合:{…}④非正数集合:{…}⑤非负整数集合:{…}⑥有理数集合:{…}5. 在数轴上表示下列各数:0, 3.5,11 , 1,+3, 2 2 ,并23比较它们的大小.36. a,b 为有理数,在数轴上的位置如图所示,则下列关于 a,b,0 三者之间的大小关系,正确的是()a0bA.0<a<bB.a<0<bC.b<0<aD.a<b<07. 在数轴上大于 4.12 的负整数有.8. 到原点的距离等于 3 的数是.9. 数轴上表示 2 和 101 的两个点分别为 A,B,则 A,B 两点间的距离是.10. 在数轴上,点 M 表示的数是 2,将它先向右移 4.5 个单位, 再向左移 5 个单位到达点 N,则点 N 表示的数是.11. 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上, 文具店在书店西边 20 米处,玩具店位于书店东边 100 米处, 小明从书店沿街向东走了 40 米,接着又向东走了 60 米,此时小明的位置在()A.玩具店B.文具店C.文具店西边 40 米D.玩具店东边 60 米12. 已知数轴上点 A 与原点的距离为 2,则点 A 对应的有理数是,点 B 与点 A 之间的距离为 3,则点 B 对应的有理数是.13. 下列各组数中,互为相反数的是()A.0.4 与 0.41 C. ( 8) 与 8 14. 下列化简不正确的是(B.3.8 与 2.9D. ( 3) 与 ( 3) )A. ( 4.9)4.9B. ( 4.9)4.9C.( 4.9)4.915. 下列各数中,属于正数的是(A. ( 2)C. ( a)D. 4.9 )( 4.9)B. 3 的相反数D. 3 的相反数的相反数16. a,b 是有理数,它们在数轴上的对应点的位置如图所示,把a, a,b, b 按照从小到大的顺序排列正确的是()A. baabC. b aaba0B. baD. b bbba aa417. 有理数的绝对值一定是()A.正数B.整数C.正数或零D.非正数18. 下列说法正确的是()A.一个数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数,则这个数一定是负数19. 填空:3.5 =; 1= 2;5=;若 x<0,则 x,x;若 m<n,则 m n.20. 下列各数中: 2, 1 , 3 , 0 ,2 , ( 2),2,3是正数的有.21. 若 xx ,则 x 的取值范围是( )A. x 22. 若 a1B. x 0C.x≥03 ,则 a=;若 3 a ,则 a=D.x≤0 ;若 a 2 ,a<0,则 a=.23. 若 a b ,b=7, 则 a=;若 a b ,b=7,a≠b, 则 a=.24. 填空:(1)11 =;3(2) 4.2 4.2 == _;(3) 35= + = ;(4) 22 =||=;(5) 3 6.2 = × = _;2 (6)14=÷ = × =.335【参考答案】➢ 课前预习1. (1)-8.(2)-3.2. 其中属于整数的有:3,-9,100,0;其中属于分数的有:-2.5,3.14, 其中属于正数的有:3,3.14,100;3 ; 2其中属于负数的有:-2.5, 3 ,-9. 23. 书店,500,动物园或书店,1 200.➢ 知识点睛1. 整数、分数正整数 整数 0正有理数 正整数2. 有理数 负整数正分数分数负分数 正分数 有理数 0负整数 负有理数 负分数3. 负数和 0;正数和 0;负整数和 0;正整数和 0 4. 原点、单位长度、正方向、直线; 有理数.5. 表示数比较大小表示距离6. 大,小;大;大于,小于,大于7. 符号不同.0 的相反数为 0.8. 数轴,距离9. 它本身;负数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是 0a (a 0)a 0 (a 0) a (a 0)右侧框内答案框 2:图略框 3:-a,a,-a+b框 4:正数和 0,负数和 06➢ 精讲精练1. 下降 8 m 收入 50 元-2℃ +50 m -30 m2. A3. A4. ①7,2 015,0.618,3.14,+3; ②-2,2 ,-1.732,-5 3③-2,7,0,2 015,-5,+3; ④-2,2 ,0,-1.732,-5 3⑤7,0,2 015,+3;⑥-2,7,2 ,0,2 015,0.618,3.14,-1.732,-5,+3 35. 11223 31 0 图略; 26. B 7. -4,-3,-2,-18. ±39. 99 10. -2.511. B 12. ±2;-5,1,-1,513. C14. D15. B16. C17. C18. C19. 3.51-5-x -x2120., 3 ,-(-2)3-m +n21. D22. ±3 3-223. ±7 -724. (1) 11 ; (2)4.2 3(4)2 2 0;(5)3(6) 2 14 3323 3 144.2 0; (3)3 6.2 18.6; 1 7.5 8;7。

沪科版-数学-七年级上册--基本方法-数轴、相反数和绝对值

沪科版-数学-七年级上册--基本方法-数轴、相反数和绝对值

1.2数轴、相反数和绝对值5.数轴上两点间的距离与点表示的数之间的关系(1)数轴使数和直线上的点建立了对应关系,它揭示了数和形的内在联系.正是这种联系,使得数轴上两点之间的距离与所表示的数之间存在密切关系.(2)数轴上表示数a的点与原点之间的距离:当a为一个正数时,它与原点的距离是a个单位长度,当a是负数时,它与原点的距离是|a|个单位长度;当a 是0时,距离为0.(3)注意:到某一点距离等于a(a是正数)的点有两个,在原点的左右两侧各一个.解技巧确定数轴上两点间的距离解决此类问题的最好方法是画出数轴,并表示出所求的数,再求两点间的距离.【例5-1】如图,A,B两点在数轴上,点A对应的数为2,若线段AB的长为3,求点B对应的数是多少?分析:由于点A对应的数为2,说明它到原点的距离为2,又线段AB的长为3,则点B对应的数就很容易确定了.解:因为点A对应的数为2,又线段AB的长为3,所以点B到原点的长为1.又因为点B在原点的左边,所以点B对应的数为-1.【例5-2】已知数轴上A,B表示的数互为相反数,并且A,B两点间的距离为6个单位长度,求A,B两点表示的数(A在B的左边).分析:互为相反数的数,位于原点的两侧,且到原点的距离相等,根据A,B的距离为6个单位长度,即可求出A,B两点表示的数.解:由点A,B表示的数互为相反数,且A,B两点间的距离为6,可知点A,B在原点的两侧,到原点距离都为3,又A在B的左边,所以A点表示-3,B 点表示3.6.运用相反数化简符号(1)理解:①在任意-个数前面添上“-”号,新的数就是原数的相反数.如:+5的相反数表示为-(+5),而5的相反数就是-5,所以-(+5)=-5.因此运用相反数可以进行符号化简.(2)分类:简单的符号化简共有3种情况:①-(+a )=-a ;②+(-a )=-a ;③-(-a )=a .(3)延伸:①-=-a ;-=a 等.②-0=0,表示0的相反数是0.多重符号的结果是由“-”号的个数决定的,与“+”号无关,据此可以对带有多重符号的数进行化简.化简时“+”号的个数不影响结果,可省去;而“-”号的个数是偶数个时也可全部省去,奇数个时,结果保留一个“-”号即可.【例6-1】 填空:(1)-⎝ ⎛⎭⎪⎫-127的相反数是__________; (2)如果-x =+(-80.5),那么x =__________.解析:(1)∵-⎝ ⎛⎭⎪⎫-127=127,因此此题实际上是求127的相反数,∴-⎝ ⎛⎭⎪⎫-127的相反数是-127;(2)是已知x 的相反数求原数x 的问题,∵-x =+(-80.5)=-80.5,∴x =80.5.答案:(1)-127 (2)80.5【例6-2】 化简下列各符号:(1)-;(2)+{-};(3)-{-{-…-(-6)…}}(共n 个负号).分析:化简的法则是:结果的符号与负号的个数有关,有偶数个负号时,结果为正;有奇数个负号时,结果为负.解:(1)-2;(2)5;(3)当n 为偶数时,为6;当n 为奇数时,为-6.7.绝对值的化简和计算化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性,解题时看清楚“-”号在绝对值符号的里面还是外面.如果“-”号在绝对值符号的里面,化简时把“-”号去掉;如果“-”号在绝对值符号的外面,化简时不能把“-”号去掉.解技巧 准确化简绝对值符号化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数、负数或是0.【例7】 化简:(1)-⎪⎪⎪⎪⎪⎪-23; (2)+|-24|;(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎝ ⎛⎭⎪⎫+312; (4)|-(-7.5)|.分析:先判断绝对值符号内数的符号,再求绝对值.解:(1)-⎪⎪⎪⎪⎪⎪-23=-23; (2)+|-24|=24;(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎝ ⎛⎭⎪⎫+312=312; (4)|-(-7.5)|=7.5.8.字母表示的数的绝对值的求法应用因为用字母所表示的数既可以是正数也可以是负数,还可以是0.它具有不确定性,而求绝对值首先要考虑的就是符号,因此求字母表示的数的绝对值时,必须考虑题目中给定的条件,若有限定条件,就按限定条件求出,若没有限定条件,则要分正、负、0三种情况讨论.解技巧 求字母表示的数的绝对值(1)限制型逆用求法,如:|a |=6,那么a =±6;(2)开放型分类讨论求法:如求|x |+x 的值,当x >0时,|x |=x ,所以|x |+x =x +x =2x ,当x <0时,|x |=-x ,原式=0,当x =0时,原式=0;(3)化简型求法:如:|a |=|-8|,|-a |=|-8|,|-a |=|8|都能化为|a |=|8|=8解决.【例8-1】已知a=-5,|a|=|b|,则b的值等于().A.+5B.-5C.0 D.±5解析:因为a=-5,所以|a|=5.所以|b|=5.所以b=±5.注:本题常见的思维误区是由|a|=|b|推出a=b,错选 B.事实上,由|a|=|b|,可得b=±a,所以b=a或b=-a,即b=5或b=-5.答案:D【例8-2】下面推理正确的是().A.若|m|=|n|,则m=nB.若|m|=n,则m=nC.若|m|=-n,则m=nD.若m=n,则|m|=|n|解析:A中若|m|=|n|,则m=±n;B中若|m|=n(n一定是非负数),则m=±n,例如|±2|=2,此时m=±2,n=2,显然m=±n;C中若|m|=-n,则m=n 或m=-n,例如|±3|=-(-3)(n一定是非正数),此时m=±3,n=-3,所以m =±n.答案:D9.利用数轴解决生活中的实际问题本节知识常与运动问题结合在一起,利用数形结合将运动问题解决.这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一.数轴是一种数学工具,它使数和数轴上的点建立了对应关系,运用数轴可以直观表示点的移动,正确找出数在数轴上的对应点,会由数轴上的点的位置确定对应的数,是解决这类问题的关键.解题时,通常根据题意正确地画出数轴,在选取长度单位时,要根据题目中的实际情况来确定,再在数轴上表示点的移动过程,用箭头和竖线来表示.【例9】超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,超市在书店西边20米处,玩具店位于书店东边50米处.小明从书店出来沿街向东走了50米,接着又向东走了-80米,此时小明的位置在何处?在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置以及小明最后的位置.分析:书店处于超市和玩具店之间,且书店与玩具店之间的距离是50米,书店与超市之间的距离是20米,这样可以画出数轴,即可表示出小明最后的位置.解决点的移动问题,可画出数轴,在数轴上表示点的移动,关键是确定原点,最后的点相对于原点来说,若在原点的右侧,表示的是正数,若在原点的左侧,则表示的是负数.解:根据题意可以画出如图所示的数轴,小明位于超市西边10米处.10.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要,反过来又可以运用它解决一些实际问题.利用绝对值求距离路程问题中,当出现用“+”、“-”号表示带方向的路程,求最后实际路程时,实际上是求绝对值的和.方法:①求各个数的绝对值;②求所有数的绝对值的和;③写出答案.【例10】一天上午,出租车司机小王在东西走向的中山路上营运,如果规定向东为正,向西为负,出租车的行车里程如下(单位:千米):+15,-3,+12,-11,-13,+3,-12,-18,请问小王将最后一位乘客送到目的地时,共行驶了多少千米?分析:本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用,有理数中的“+”和“-”在本题中表示的是方向,而它们的绝对值是小王在营运中所行驶的路程,因此求共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和.解:|+15|+|-3|+|+12|+|-11|+|-13|+|+3|+|-12|+|-18|=15+3+12+11+13+3+12+18=87(千米).答:小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米.。

数轴相反数和绝对值课件

数轴相反数和绝对值课件
定位系统
在GPS定位系统中,绝对值被用来确定物体的精确位置。通过比较信号的到达 时间和信号传播速度,可以得到物体与卫星之间的距离,进而确定物体的绝对 位置。
绝对值在数学解题中的应用
简化计算
在数学中,绝对值可以用于简化计算。例如,在求解方程式时,绝对值可以确保 求解结果是实数,避免出现负数的平方根等复杂情况。
05
习题与答案解析
习题及答案一
总结词
理解相反数和绝对值的概念
详细描述
本题主要考察学生对相反数和绝对值概念的理解。根据题意,一个数的相反数就是在这个数前面加上一个负号, 而一个数的绝对值就是它本身。学生需要判断每个选项中的数是否满足题目要求。
习题及答案一
习题
$-3$的相反数和$-3$的绝对值分别是什 么?
数轴相反数和绝对值 课件
目 录
• 数轴与相反数 • 绝对值的意义与计算 • 数轴上点的表示与比较 • 绝对值的应用举例 • 习题与答案解析
01
数轴与相反数
数轴的定义与作用
数轴的定义
数轴是一种几何图形,它以原点 为中心,将数轴分为正半轴和负 半轴,正半轴上的点表示正数, 负半轴上的点表示负数。
数轴的作用
确定原点
选择一个点作为原点,通常选择0点。
选定单位长度
选择一个单位长度,通常选择1个单位长度。
标示数值
在数轴上标示出点的数值。
数轴上两点间的距离
定义两点间的距离
数轴上任意两点间的距离等于两点所 表示的数值之差的绝对值。
距离公式
两点间距离 = |x2 - x1|,其中x2和x1 分别表示两点的数值。
VS
答案
$-3$的相反数是$3$,$-3$的绝对值也 是$3$。

《相反数与绝对值》 讲义

《相反数与绝对值》 讲义

《相反数与绝对值》讲义一、引入在数学的广袤世界里,相反数和绝对值是两个非常基础且重要的概念。

它们就像是数学大厦的基石,为我们解决各种数学问题提供了关键的工具和思路。

想象一下,你站在数轴上,向左走和向右走是完全相反的方向,这就有点像相反数的概念。

而无论你在数轴上的哪个位置,距离原点的长度始终是确定的,这就是绝对值。

二、相反数的定义与性质(一)定义相反数指的是绝对值相等,正负号相反的两个数。

比如说,5 和-5 就是一对相反数。

再比如,-2 的相反数是 2。

(二)性质1、互为相反数的两个数之和为 0 。

这是一个非常重要的性质,比如 3 和-3 相加,结果就是 0 。

2、 0 的相反数还是 0 。

因为 0 既不是正数也不是负数,它是唯一的一个相反数等于自身的数。

三、如何求一个数的相反数要想求出一个数的相反数,其实很简单。

对于正数,只需要在它前面加上一个负号就可以得到它的相反数。

比如,7 的相反数就是-7 。

对于负数,把负号去掉就得到它的相反数。

例如,-11 的相反数就是 11 。

对于 0 ,如前面所说,它的相反数还是 0 。

四、相反数在实际生活中的应用相反数的概念在实际生活中也有不少应用。

比如,在温度计量中,如果今天的最高气温是 5℃,而最低气温是-5℃,这里的 5 和-5 就是一对相反数,它们反映了温度在零上和零下的相反情况。

再比如,在财务记账中,收入和支出可以用正负数来表示,收入100 元可以记为+100 元,支出 50 元就可以记为-50 元,那么+50 元和-50 元也是一对相反数,分别代表着相反的财务流向。

五、绝对值的定义与性质(一)定义绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

用符号“||”来表示。

例如,|5| = 5 ,|-5| = 5 。

(二)性质1、绝对值具有非负性,即任何数的绝对值都大于等于 0 。

2、互为相反数的两个数的绝对值相等。

六、如何求一个数的绝对值求一个数的绝对值,需要分情况讨论。

绝对值应用 (讲义及答案)

绝对值应用 (讲义及答案)

绝对值应用(讲义)➢ 课前预习1. a 的相反数是_______,a b -的相反数是_______,a b c -+的相反数是________;若0a b c -+<,则a b c -+=________.2. 已知0a c <<,0ab >,b c a <<,在下图数轴上标出b ,c 的大致位置.3. 当a >0时,a =____,a a =____;当a <0时,a =____,a a=____. ➢ 知识点睛1. 去绝对值:①看_____,定_____;②依法则,留_____;③去括号,合并.2. 分类讨论:①_____________________________________________;②_____________________________________________.3. 绝对值的几何意义:a b -表示在数轴上数a 与数b 对应点之间的距离.➢ 精讲精练1. 小明得到了一个如图所示的数轴草图,他想知道一些式子的符号,请你帮他完成.a -____0,ab +____0,a b -____0,b a -____0.(填“>”、“<”或“=”) a2. 设有理数a ,b ,c 在数轴上的对应点如图所示,则b -a ____0,a +c _____0.化简2b a c a c a -+-+-=____________.3. 设有理数a ,b 在数轴上的对应点如图所示,化简1a b a b b +---+-.01ab4. 已知0a c <<,0ab >,b c a >>,化简b a b c a b c -++-++.5. 已知0c a <<,0ab <,a c b >>,化简a a c b c b a -+----.6. 已知0a b +<,化简13a b a b +----.7. 若15x -=,1y =,则x y -的值为__________________.8. 若24x +=,3y =,则x y +的值为_________________.9. 若4a =,2b =,且a b a b +=+,则a b -的值是多少?10. 若42x -=,15y -=,且x y y x -=-,则x y +的值是多少?11. 若ab ≠0,则a b a b +的值为______________.12. 若abc ≠0,则cc b b a a ++的值为_______________. 13. 有理数0a >,0b >,0a b c ++=,设 abcx b c a c a b =+++++,则3202000x x -+的值为________.14. 阅读下列材料,回答提出的问题:我们知道:一个数a 的绝对值可以表示成a ,它是一个非负数,a 在数轴上的含义是:表示a 这个数的点到原点的距离(距离,当然不可能是负数),这样就把a 与数轴上的点建立了一种联系(这正是绝对值的几何意义),比如说2的几何意义就是:数轴上表示2这个数的点到原点的距离,它是2 ,所以说22=,2-表示-2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离.它也是2,所以说22-=,严格来说,在数轴上,一个数a 在数轴上所对应的点到原点(原点对应的数为0)的距离应该表示为0a -,但平时我们都写成a .(1)若给定3x =,要找这样的x ,请按照上面材料中的说法,解释它的几何意义并找出对应的x ;(2)实际上,对于数轴上任意两个数1x ,2x 之间的距离我们也可以表示为12x x -;反过来,12x x -这个绝对值的几何意义就是:数轴上表示1x ,2x 这两个数的点之间的距离,你能结合上面的叙述,解释523-=的几何意义吗?请按你的理解说明:527+=呢?(3)若20191x -=,请直接写出x 的值.15. 已知x 为有理数,则12x x -+-的最小值为______.210-216. 已知x 为有理数,则23x x ++-的最小值为______.17. 已知x 为有理数,则123x x x -+-+-的最小值为______.18. 已知x 为有理数,若123x x -+-=,则x =________.【参考答案】➢课前预习1.-a,-a+b,-a+b-c,-a+b-c.2.图略;3.a,1;-a,-1.➢知识点睛1.①整体,正负;②括号.2.①画树状图,分类;②根据限制条件筛选.➢精讲精练1.>,<,<,>2.<,<,b-b-3.14.b-5.a-6.2-7.3或5或78.1或3或5或99.2或610.8或1211.2-或0或212.1-或1或3-或313.201914.(1)在数轴上,数x对应的点到原点的距离为3,x为3或3-;-=的几何意义:数轴上表示5的点到表示2的点的距离为3,(2)523527+=的几何意义:数轴上表示5的点到表示2-的点的距离为7;(3)2018或2020.15.116.517.218.0或3。

专题1.2 数轴、绝对值和相反数(含解析)(沪科版)

专题1.2   数轴、绝对值和相反数(含解析)(沪科版)

专题1.2 数轴、绝对值和相反数一、单选题(共6小题)1.﹣的倒数的绝对值是()A.﹣2020 B.C.2020 D.﹣2.一个数的相反数是﹣2020,则这个数是()A.2020 B.﹣2020 C.D.3.在数轴上,点A,B在原点O的两侧,分别表示数a和3,将点A向左平移1个单位长度,得到点C.若OC=OB,则a的值为()A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.24.在数轴上,点A、B在原点O的异侧,分别表示有理数a、5,将点A向左平移4个单位长度,得到点C,若CO=BO,则a的值为()A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.35.如图,点A、B、C、O在数轴上表示的数分别为a、b、c、0,且OA+OB=OC,则下列结论中:其中正确的有()①abc>0.②a(b+c)=0③a﹣c=b.④++=﹣1,A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④6.如图,数轴上的点O和点A分别表示0和10,点P是线段OA上一动点.点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次,B是线段OA的中点,设点P运动时间为t秒(t不超过10秒).若点P在运动过程中,当PB=2时,则运动时间t的值为()A.秒或秒B.秒或秒秒或秒C.3秒或7秒D.3秒或秒或7秒或秒二、填空题(共8小题)7.|﹣|的相反数是﹣,|﹣|的倒数是.8.计算:(﹣2019)°+|﹣1|﹣()﹣1=.9.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则|c﹣b|+|a|=﹣﹣.10.实数m、n在数轴上的位置如图所示,化简|n﹣m|﹣m的结果为﹣.11.已知实数x,y,z满足关系式(x﹣4)2,则代数式(5x+3y﹣3z)2019的末位数字是.12.已知|x|=3,|y|=2,且|x﹣y|=y﹣x,则x﹣y=﹣﹣.13.在数轴上点A对应的数为﹣2,点B是数轴上的一个动点,当动点B到原点的距离与到点A的距离之和为6时,则点B对应的数为﹣.14.已知点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且|a+2|+(b﹣1)2=0,A、B之间的距离记作|AB|,定义:|AB|=|a﹣b|.①线段AB的长|AB|=3;②设点P在数轴上对应的数为x,当|P A|﹣|PB|=2时,x=0.5;③若点P在A的左侧,M、N分别是P A、PB的中点,当P在A的左侧移动时|PM|+|PN|的值不变;④在③的条件下,|PN|﹣|PM|的值不变以上①②③④结论中正确的是(填上所有正确结论的序号)三、解答题(共6小题)15.计算:(1);(2)(a+2b+c)(a﹣2b+c)﹣2ac.16.已知|a﹣2|+(b+)2=0,求3ab2﹣3[ab2﹣2(ab﹣ab2)+2ab]的值.17.计算:18.化简求值:7a2b+2(2a2b﹣3ab2)﹣3(4a2b﹣ab2),其中a,b满足|a+2|+(b﹣)2=0.19.已知忠华家、桂枝家、文兴家及学校在一条南北向的大街旁.一天,放学后他们三人从学校出发,先向南走250米达到桂枝家(记为点A),然后再向南走250米到文兴家(记为点B),从文兴家向北走1000米到达忠华家(记为点C).(1)以学校为原点,以向北方向为正方向,用1个单位长度表示实际距离250米画出一条数轴,在数轴上用字母表示出忠华家、桂枝家、文兴家的位置.(2)忠华家在学校的哪个方向,到学校的距离是多少米?(3)如果以向南方向为正方向建立数轴,对确定忠华家相对于学校的位置有影响吗?说明理由.20.数轴上点A表示的数为10,点M,N分别以每秒a个单位长度,每秒人b个单位长度的速度沿数轴运动,a,b满足|a﹣5|+(b﹣6)2=0.(1)请真接与出a=,b=;(2)如图1,点M从A出发沿数轴向左运动,到达原点后立即返回向右运动:同时点N从原点0出发沿数轴向左运动,运动时间为1,点P为线段ON的中点若MP=MA,求t的值;(3)如图2,若点M从原点向右运动,同时点N从原点向左运动,运动时间为t时M运动到点A的右侧,若此时以M,N,O,A为端点的所有线段的长度和为142,求此时点M对应的数.专题1.2 数轴、绝对值和相反数参考答案一、单选题(共6小题)1.【分析】直接利用倒数以及绝对值的性质分别分析得出答案.【解答】解:﹣的倒数为:﹣2020,﹣2020的绝对值是:2020.故选:C.【点评】此题主要考查了倒数和绝对值,正确掌握相关定义是解题关键.【知识点】倒数、绝对值2.【分析】直接利用相反数的定义得出答案.【解答】解:∵一个数的相反数是﹣2020,∴这个数是:2020.故选:A.【点评】此题主要考查了相反数,正确把握相反数的定义是解题关键.【知识点】相反数3.【分析】先用含a的式子表示出点C,根据CO=BO列出方程,求解即可.【解答】解:由题意知:A点表示的数为a,B点表示的数为3,C点表示的数为a﹣1.因为CO=BO,所以|a﹣1|=3,解得a=﹣2或4∵a<0,∴a=﹣2.故选:B.【点评】本题考查了数轴和绝对值方程的解法,用含a的式子表示出点C,是解决本题的关键.【知识点】数轴4.【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为﹣5,据此可得a=﹣5+4=﹣1.【解答】解:∵点C在原点的左侧,且CO=BO,∴点C表示的数为﹣5,∴a=﹣5+4=﹣1.故选:A.【点评】本题考查的是数轴,熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.【知识点】数轴5.【分析】根据图示,可得c<a<0,b>0,|a|+|b|=|c|,据此逐项判定即可.【解答】解:∵c<a<0,b>0,∴abc>0,∴选项①符合题意.∵c<a<0,b>0,|a|+|b|=|c|,∴b+c<0,∴a(b+c)>0,∴选项②不符合题意.∵c<a<0,b>0,|a|+|b|=|c|,∴﹣a+b=﹣c,∴a﹣c=b,∴选项③符合题意.∵++=﹣1+1﹣1=﹣1,∴选项④符合题意.∴正确的有①③④.故选:A.【点评】考查了数轴的特征和应用,以及绝对值的含义和求法,要熟练掌握.【知识点】数轴、绝对值6.【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论,根据PB=2列方程,求解即可.【解答】解:①当0≤t≤5时,动点P所表示的数是2t,∵PB=2,∴|2t﹣5|=2,∴2t﹣5=﹣2,或2t﹣5=2,解得t=或t=;②当5≤t≤10时,动点P所表示的数是20﹣2t,∵PB=2,∴|20﹣2t﹣5|=2,∴20﹣2t﹣5=2,或20﹣2t﹣5=﹣2,解得t=或t=.综上所述,运动时间t的值为秒或秒秒或秒.故选:B.【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系,根据P点位置的不同正确进行分类讨论,进而列出方程是解题的关键.【知识点】一元一次方程的应用、数轴二、填空题(共8小题)7.【分析】直接利用绝对值、相反数和倒数的定义分别分析得出答案.【解答】解:|﹣|=的相反数是:﹣,|﹣|=的倒数是:.故答案为:﹣,.【点评】此题主要考查了绝对值、相反数和倒数的定义,正确掌握相关定义是解题关键.【知识点】绝对值、相反数、倒数8.【分析】根据零指数幂的意义以及负整数的意义即可求出答案.【解答】解:原式=1+1﹣2=0,故答案为:0【点评】本题考查实数运算,解题的关键是熟练运用零指数幂的意义以及负整数幂的意义,本题属于基础题型.【知识点】绝对值、有理数的减法、负整数指数幂9.【分析】由图可知a、b、c的取值范围为a<0,0<c<b,则所求式子即可化简.【解答】解:由图可知:a<0,0<c<b,∴|c﹣b|+|a|=b﹣c﹣a,故答案为b﹣c﹣a.【点评】本题考查数轴和绝对值的运算;熟练掌握数轴上表示的点的特点,能够根据数的范围去掉绝对值符号进行运算是解题的关键.【知识点】数轴、绝对值10.【分析】由数轴可得﹣1<n<0<1<m,根据数的范围去掉绝对值符号运算即可.【解答】解:由数轴可得﹣1<n<0<1<m,∴|n﹣m|﹣m=m﹣n﹣m=﹣n,故答案为﹣n.【点评】本题考查数轴和绝对值;熟练掌握数轴上点的特点,能够准确进行绝对值运算是解题的关键.. 【知识点】绝对值、实数与数轴11.【分析】由非负数的性质得x﹣4=0,x+y﹣z=0,再代入求得5x+3y﹣3z的值,得出(5x+3y﹣3z)2019的末位数字.【解答】解:∵(x﹣4)2+|x+y﹣z|=0,∴x﹣4=0,x+y﹣z=0,∴x=4,y﹣z=﹣4,∴5x+3y﹣3z=5×4+3×(﹣4)=8,∵81=8,82=64,83=512,84=4096,85=32768…,末位数字是8、4、2、6、8、4、2、6、8、…依次循环,2019÷4=504…3,∴82019的末尾数字为2.故答案为:2.【点评】本题考查了非负数的性质,解决本题的关键是熟记非负数的性质.【知识点】非负数的性质:绝对值、非负数的性质:偶次方、尾数特征12.【分析】根据绝对值的意义得到y=2,x=﹣3或y=﹣2,y=﹣3,然后计算x﹣y的值.【解答】解:∵|x|=3,|y|=2,∴x=±3,y=±2,∵|x﹣y|=y﹣x≥0,∴y=2,x=﹣3或y=﹣2,y=﹣3,∴当x=﹣3,y=2时,x﹣y=﹣3﹣2=﹣5;当x=﹣3,y=﹣2时,x﹣y=﹣3﹣(﹣2)=﹣1,即x﹣y的值为﹣1或﹣5.故答案为﹣1或﹣5.【点评】本题考查了代数式的求值:求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值.也考查了绝对值的意义.【知识点】绝对值、代数式求值13.【分析】分情况分别求出AB、OB,利用方程求解即可.【解答】解:设点B表示的数为b,①当点B在点A的左侧时,则有﹣2﹣b﹣b=6,解得,b=﹣4,②当点B在OA之间时,AB+AO=2≠6,因此此时不存在,③当点B在原点的右侧时,则有b+2+b=6,解得,b=2,故答案为:﹣4或2.【点评】考查数轴表示数的意义,掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键.【知识点】数轴14.【分析】①根据非负数的和为0,各项都为0;②应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能,确定当|P A|﹣|PB|=2时P的位置解题;③④利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出.【解答】解:①∵|a+2|+(b﹣1)2=0,∴a+2=0,b﹣1=0,∴a=﹣2,b=1,∴点A在数轴上对应的数为﹣2,点B对应的数为1,且AB=1﹣(﹣2)=3,故①正确;②设点P在数轴上对应的数为x,当|P A|﹣|PB|=2时,P在A、B之间,∴x﹣(﹣2)﹣(1﹣x)=2,x=0.5,故②正确;③设点P在数轴上对应的数为x,∵|PM|+|PN|=|PB|+|P A|=(|PB|+|P A|)=(1﹣x﹣x﹣2)=﹣,∴③不正确,④|PN|﹣|PM|的值不变,值为;∵|PN|﹣|PM|=|PB|﹣|P A|=(|PB|﹣|P A|)=|AB|=,∴|PN|﹣|PM|=,∴④正确.故答案为:①②④.【点评】本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性,在今后解决类似的问题时,要防止漏解.利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.【知识点】非负数的性质:偶次方、非负数的性质:绝对值、数轴三、解答题(共6小题)15.【分析】(1)分别根据幂的定义,负整数指数幂的运算法则,绝对值的定义以及任何非0数的0次幂等于1计算即可;(2)根据平方差公式和完全平方公式化简即可.【解答】解:(1)原式=﹣1+4﹣3+1=1(2)原式=(a+c)2﹣(2b)2﹣2ac=a2+2ac+c2﹣4b2﹣2ac=a2﹣4b2+c2.【点评】本题主要考查了有理数的混合运算、完全平方公式和平方差公式的应用,熟记公式是解答本题的关键.【知识点】零指数幂、负整数指数幂、完全平方公式、绝对值、平方差公式16.【分析】首先去括号,然后再合并同类项,化简后,再代入a、b的值可得答案.【解答】解:原式=3ab2﹣3ab2+6(ab﹣ab2)﹣6ab=6ab﹣6ab2﹣6ab=﹣6ab2,∵|a﹣2|+(b+)2=0,∴a=2,b=﹣,∴原式=﹣6×2×=﹣3.【点评】此题主要考查了整式的加减,正确合并同类项是解题关键.【知识点】整式的加减—化简求值、非负数的性质:绝对值、非负数的性质:偶次方17.【分析】根据有理数的乘方可得,原式=﹣4×(﹣)﹣8﹣=.【解答】解:原式=﹣4×(﹣)﹣8﹣==8.【点评】本题考查有理数的运算;熟练掌握有理数的乘方、乘法运算是解题的关键.【知识点】有理数的乘方、绝对值、有理数的乘法18.【分析】原式去括号合并得到最简结果,利用非负数的性质求出a与b的值,代入计算即可求出值.【解答】解:原式=7a2b+4a2b﹣6ab2﹣12a2b+3ab2=﹣a2b﹣3ab2,∵|a+2|+(b﹣)2=0,∴a+2=0,b﹣=0,即a=﹣2,b=,当a=﹣2,b=时,原式=﹣(﹣2)2×﹣3×(﹣2)×()2=﹣2+=﹣.【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值,以及非负数的性质,熟练掌握运算法则是解本题的关键.【知识点】整式的加减—化简求值、非负数的性质:偶次方、非负数的性质:绝对值19.【分析】(1)根据题意,确定原点、正方向和单位长度,借助数轴确定桂枝、文兴、忠华家的位置;(2)根据(1)中数轴,得出忠华家在学校的位置和距离;(3)重新画数轴,得出忠华家在学校的位置和距离.【解答】解:(1)因为学校是原点,向北方向为正方向,用1个单位长度表示250米.从学校出发南行250米到达桂枝家,所以点A在﹣1处,从A向南行250米到达文兴家,所以点B在﹣2处,从B向北行1000米到忠华家,所以点C在2处.(2)点C是2,所以忠华家在学校的北面,到学校的距离是500米;(3)如果以向南方向为正方向建立数轴,确定忠华家相对于学校的位置没有影响,如果以向南方向为正方向建立数轴,数轴如下:点C是﹣2,所以忠华家在学校的北面,到学校的距离是500米.【点评】本题主要考查了数轴,数形结合是解决此类问题的好办法.【知识点】数轴、正数和负数20.【分析】(1)根据非负数的性质解答;(2)分三种情况解答:①点M未到达O时(0<t≤2时),NP=OP=3t,AM=5t,OM=10﹣5t;②点M到达O返回时当(2<t≤4时),OM=5t﹣10,AM=20﹣5t;③点M到达O返回时,即t>4时,不成立;(3)分两种情况解答:当M在OA之间、当M在A右侧,根据两点间的距离公式列出方程并解答.【解答】解:(1)∵|a﹣5|+(b﹣6)2=0.∴a﹣5=0,b﹣6=0∴a=5,b=6故答案为:5,6.(2)①点M未到达O时(0<t≤2时),NP=OP=3t,AM=5t,OM=10﹣5t,即3t+10﹣5t=5t,解得t=;②点M到达O返回时当(2<t≤4时),OM=5t﹣10,AM=20﹣5t,即3t+5t﹣10=20﹣5t,解得t=;③点M到达O返回时,即t>4时,不成立;(3)①依题意,当M在OA之间时,NO+OM+AM+MN+OA+AN=6t+20+11t+10+6t=142,解得t=4>2,不符合题意,舍去;②当M在A右侧时,NO+OA+AM+AN+OM+MN=6t+5t+11t+10+6t+5t=142,解得t=4,点M对应的数为20.答:此时点M对应的数为20.【点评】本题考查学生对数轴相关知识的掌握情况及利用一元一次解决实际问题的能力.本题涉及数轴即路程为题,清楚各个点之间距离的表示方式是解题的关键.另外要注意路程相等的几种情况.【知识点】数轴、一元一次方程的应用、非负数的性质:绝对值、非负数的性质:偶次方。

七年级上第02讲 有理数、数轴、相反数、绝对值 讲义+练习

七年级上第02讲 有理数、数轴、相反数、绝对值 讲义+练习
②a≤0,<═>|a|=﹣a(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
3.绝对值的性质(1)任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即:
⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0<═>|a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
3.掌握绝对值的概念,有理数大小比较法则;学会绝对值的计算,会比较两个或多个有理数的大小;体验数学的概念、法则来自于实际生活,渗透数形结合和分类思想.
教学重点
1.让理解数轴.相反数.绝对值的概念;
2.着重理解绝对值的几何意义,并能利用其解决相关问题;
教学难点
让学生体会数轴的价值,初步理解数形结合,有助于学生完成从小学学习方式向中学学习方式的过渡
1.绝对值的几何定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。
2.绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身;⑵一个负数的绝对值是它的相反数;⑶0的绝对值是0。
可用字母表示为:①如果a>0,那么|a|=a;②如果a<0,那么|a|=﹣a;③如果a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:a≥0,<═>|a|=a(非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)
【教学建议】

《绝对值》 讲义

《绝对值》 讲义

《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学中,绝对值是一个非常重要的概念。

绝对值指的是一个数在数轴上所对应点到原点的距离,用“||”来表示。

例如,数字 5 的绝对值是 5,记作|5| = 5;数字-5 的绝对值也是5,记作|-5| = 5。

从几何意义上来说,绝对值就是一个数到原点 0 的距离。

距离是没有方向的,所以绝对值一定是非负的。

二、绝对值的性质1、非负性绝对值的结果总是非负的,即对于任意实数 a,有|a| ≥ 0。

2、互为相反数的两个数的绝对值相等如果 a 和 a 互为相反数,那么|a| =|a|。

3、若|a| = a,则a ≥ 0;若|a| = a,则a ≤ 0这意味着当绝对值符号内的数为非负数时,去掉绝对值符号后,数不变;当绝对值符号内的数为负数时,去掉绝对值符号后,要在数前加上负号。

三、绝对值的计算1、正数的绝对值是它本身例如,|7| = 72、负数的绝对值是它的相反数例如,|-8| = 83、 0 的绝对值是 0即|0| = 04、多个数的运算当计算包含绝对值的式子时,需要先根据绝对值的性质去掉绝对值符号,再进行运算。

例如,计算|3 5|,先计算 3 5 =-2,因为-2 是负数,所以|3 5| =|-2| = 2。

四、绝对值方程1、形如|x| = a (a ≥ 0)的方程当a ≥ 0 时,方程|x| = a 的解为 x = ±a。

例如,|x| = 5,那么 x = 5 或 x =-5。

2、形如|ax + b| = c (c ≥ 0)的方程先将方程变形为 ax + b = ±c,然后分别解这两个方程。

例如,|2x 1| = 3,可变形为 2x 1 = 3 或 2x 1 =-3,分别解得x = 2 或 x =-1。

五、绝对值不等式1、形如|x| < a (a > 0)的不等式其解集为 a < x < a。

例如,|x| < 3,解集为-3 < x < 3。

2、形如|x| > a (a > 0)的不等式其解集为 x < a 或 x > a。

有理数(数轴、相反数、绝对值)

有理数(数轴、相反数、绝对值)

知识点:一、有理数:注:⑴正数和零统称为非负数;⑵负数和零统称为非正数; ⑶正整数和零统称为非负整数; ⑷负整数和零统称为非正整数.例题:【例1】 ⑴如果收入2000元,可以记作2000+元,那么支出5000元,记为 .⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米,则海拔高度为600-米表示 .⑶某地区5月平均温度为20C ︒,记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+,0,1.4+,3-, 4.7-,那么这5项记录表示的实际温度是 .⑷向南走200-米,表示 .【例2】 ⑴在下列各数:(2)--,2(2)--,2--,2(2)-,2(2)--中,负数的个数为 个.⑵①10a -;②21a --;③a -;④2(1)a -+一定是负数的是 (填序号).练习题:1、下列说法正确的是( )A .a -一定是负数B .一个数不是正数就是负数C .0-是负数D .在正数前面加“-”号,就成了负数2、下列说法正确的是( )A 、一个数不是正数就是负数B 、整数又叫自然数C 、正整数又叫自然数D 、整数与分数统称为有理数 3、下列说法正确的是()A 、0是正整数B 、0是正数C 、0是整数D 、0既不是奇数又不是偶数 4、下列说法正确的是( )A .a -表示负有理数B .一个数的绝对值一定不是负数C .两个数的和一定大于每个加数D .绝对值相等的两个有理数相等二、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素,三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念,前者指所取度量单位的长度,后者指所取度量单位的名称,即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段,这条线段可长可短,按实际情况来规定,同一数轴上的单位长度一旦确定,则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线;②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点:③确定向右的方向为正方向,用箭头表示;④选取适当的长度作单位长度,用细短线画出,并对应标注各数,同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例:错例原因无原点没有正方向单位长度不统一无原点没有单位长度有理数与数轴的关系:一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.注意:数轴上的点不都代表有理数,如 .例题:m 0 nM ND C B A0DC BA 【例3】如右图所示,数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n , 那么以下结论正确的是( )A .0m <,0n <,m n >B .0m <,0n >,m n >C .0m >,0n >,m n <D .0m <,0n >,m n <【例4】数a b c d ,,,所对应的点A B C D ,,,在数轴上的位置如图所示,那么a c +与b d +的大小关系为( )A.a c b d +<+B.a c b d +=+C.a c b d +>+D.不确定的【例5】在数轴上任取一条长度为119999的线段,则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 练习题:1、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A B C D ,,,对应的数分别为整数a b c d ,,,,并且29b a -=,那么数轴的原点对应点为( ) A .A 点 B .B 点 C .C 点 D .D 点2、数轴上有一点到原点的距离是5.5,那么这个点表示的数_________3、已知数轴上有A B ,两点,A B ,之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,那么点B 所对应的数为4、轴上表示整数的点称为整点。

绝对值和相反数(提高)讲义

绝对值和相反数(提高)讲义

第2 讲绝对值和相反数1.能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小;借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值.2.体会转化、归纳等思想;掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题.考点1 相反意义的量No. 2 Date Time Name题型一 绝对值(非负数),平方(非负数)的综合应用1、已知│x │=3,│y │=7,而xy<0,则x+y 的值是_________2、若==-+-x y x ,则0)32(22,=y 。

3、已知|1|a +与|4|b -互为相反数,求ba 的值. 4 若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数,求yx yx -+2的值 5. 若|x-y+3|+()22013y x -+=0,则yx x2-= .题型二 相反数、倒数、整数的综合应用1、已知a 、b 互为相反数,c 、d 互为负倒数(即1cd =-),x 是最小的正整数。

试求220082008()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值2. .若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数, m 在数轴上的对应点到原点的距离为1,则m cd cb a b a +++++ 的值是 .3. 若a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数,2=m ,=-+⨯+23)(m ab bad c 4. 已知a 与b 互为倒数,c 与d 互为相反数,且3=x ,求x d c ab 23+--的值.题型三 有理数与裂项结合反思说明:一般地,多个分数相加减,如果分子相同,分母是两个整数的积,且每个分母中因数差相同,可以用裂项相消法求值。

①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k=-++ ③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④ 1111()(1)(1)211n n n n =--+-+1.若0)2(12=-+-ab a ,计算代数式:)2001(20011)2)(2(1)1)(1(11++++++++++bababaab)(=_________________.2.已知02a1b=-+-,求()()()()()()2006200612211111+++⋅⋅⋅+++++++bababaab的值3.若,0)2(12=-+-xyx求:+++++++)2)(2(1)1)(1(11yxyxxy……1(2008)(2008)x y+++的值。

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3. 如图,点 A 表示小明的家,动物园在小明家西边 500 米,书店在小明家东边 500 米 , 车 站 在 书 店 东 边 200 米 , 小 明 从 动 物 园 出 发 向 东 走 1 000 米 , 到 达 _________;动物园和书店到小明家的距离都是_______米;小明从家出发,走了 500 米,可以到达_________________;动物园和车站之间的距离为__________ 米.
字母表示:
a
事实上: 绝对值是它本身的数是 _________; 绝对值是它的相反数的数是 ___________.
2
➢ 精讲精练
1. 若上升 5 m 记作+5 m,则8 m 表示__________;如果10 元表示支出 10 元,那么
பைடு நூலகம்
+50 元表示_____________;如果零上 5℃记作+5℃,那么零下 2℃记作
数,不足的克数记作负数,以下数据是记录结果,其中表示实际克数最接近标准
克数的是( )
A.+2
B.3
C.+3
D.+4
3. 某超市出售的三种品牌的洗衣液袋上分别标有净重为(800±2) g,(800±3) g,(800±5) g
的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差( )
A.10 g
B.8 g
C.7 g
5. 在数轴上表示下列各数:0,3.5,1 1 ,1,+3, 2 2 ,并比较它们的大小.
2
3
3
6. a,b 为有理数,在数轴上的位置如图所示,则下列关于 a,b,0 三者之间的大小 关系,正确的是( )
a0
b
A.0<a<b
B.a<0<b
2. 正数可分为正整数和正分数,那么负数也可以分为负整数和负分数.比如:-2,5 等都是负整数,而-1.5, 1 都是负分数.请将下列各数进行分类: 2 3,-2.5,3.14, 3 ,-9,100,0 2 其中属于整数的有:__________________________________; 其中属于分数的有:__________________________________; 其中属于正数的有:__________________________________; 其中属于负数的有:__________________________________.
③整数集合:{___________________________________…}
④非正数集合:{_________________________________…}
⑤非负整数集合:{_______________________________…}
⑥有理数集合:{_________________________________…}
_______
_______
_______
画数轴时注意以下几点: ①三要素; ②直线; ③数字和点的位置.
3. 非正数:_________________;非负数:________________. 画数轴: 非正整数:_______________;非负整数:______________.
特别地,____________________.
a b 的相反数是________.
互为相反数的两个数,和为 0.
8. 绝对值的定义:在________上,一个数所对应的点与原点的__________叫做这个
数的绝对值.
9. 绝对值法则:
正数的绝对值是_________;___________________________; ___________________________.
___________;太平洋中的马里亚纳海沟深达 11 034 m,可记作海拔11 034 m
(即低于海平面 11 034 m),则比海平面高 50 m 的地方,它的高度记作海拔
___________,比海平面低 30 m 的地方,它的高度记作海拔___________.
2. 有四包真空小包装火腿,每包以标准克数(450 克)为基数,超过的克数记作正
4. 数轴的定义:规定了_______、________、_________的一条__________叫做数
轴.
任何一个______都可以用数轴上的一个点来表示.
5. 数轴的作用:__________________、___________________、 ___________________________.
数轴、相反数、绝对值(讲义)
➢ 课前预习
1. 为了表示相反意义的量,我们可以把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而 把与这个量意义相反的量规定为负的,用负数来表示.请根据上述内容回答问 题: (1)如果规定向东为正,那么向东走 5 m 可记作+5 m,向 西走 8 m 可记作_____m. (2)一种袋装食品标准净重为 200 g,质监工作人员为了了解 该种食品每袋的净重与标准的误差,把食品净重 205 g 记为 +5 g,那么食品净重 197 g 就记为_____g.
D.5 g
4. 把下列各数填入它所在的集合里:
2,7, 2 ,0,2 015,0.618,3.14,1.732,5,+3 3
①正数集合:{___________________________________…}
②负数集合:{___________________________________…}
B
A
CD
动物园

书店 车站
1
➢ 知识点睛
1. _______与_______统称为有理数. 2. 有理数的分类:
_______
_______
_______
有理数
_______
_______
_______ _______
_______
_______
_______
有理数
_______
6. 利用数轴比较大小:数轴上两个点表示的数,越往右数越____,越往左数越
_____,右边的总比左边的______.正数_____0,负数_______0,正数________负
数.
请尝试写出下列式子的相反数:
a 的相反数是________;
7. 相反数的定义:__________________的两个数,互为相反数. a 的相反数是________;
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