中山大学东校区2005级第二学期高等数学一期末A试题

中山大学2005级东校区第二学期高等数学一

一.（每小题7分，共28分）

1. 设函数)(2),(2

y x f x

y y x z += ，其中 f 二阶可微，求

y x z x z ∂∂∂∂∂2, 。 2. 设函数k z x y y x i z y x )(3222-++= ，求 )(,F v i d grad F v i d 。 3. 设函数)0(,)

(s i n )(2

>=

⎰y dx x

y x y g y y

，求)(y g ' 。 4. 在直角坐标系下，用两种不同的次序将二重积分⎰⎰=D

dy dx y x f I ),( 化为

累次积分，其中D 是由直线x y x y x x 2,,2,1==== 所围成区域。 二.（10分）计算曲线积分0()s i n ()c o s (>---=⎰

m dy m y e dx my y e I L

x x 为常数）

，其中有向曲线L 是圆周

)0(222>=+a ax y x 从点)0,2(a A 经),(a a M 至

)0,0(O 的部分。

三.（10分）利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰+++=

S

dxdy zx dzdx yz dydz x xy I 2

222)(，其中S 是由球面 ,222x z z y --=

平面0=y 所围区域表面的外侧。

四. （每小题7分，共14分）

1. 求微分方程： dx

dy

xy y dx dy x

=+ 的通积分。 2. 求微分方程：x e y y y 23465-=+'-'' 的通解。

五. 讨论下列广义积分的敛散性：（每小题5分，共10分）

1.

x d x

x ⎰1

5

sin ， 2.

⎰∞

++⋅

1

3

2

1x

x dx 。

六. （9分） 求幂级数

∑

∞

=---2

21)

1(2)1(n n

n x n n 的收敛半径、收敛域以及和函数。

七. （7分）求函数x x f ln )(= 在2=x 处的泰勒展开式，并求出收敛域。

八. （7分）证明级数

∑

∞

=≤<1

)10(,)s i n (n p

p n

nx 在闭区间],[δπδ-上一致收敛，

但对任意固定的],[δπδ-∈x ，该级数并不绝对收敛，其中 2

0π

δ<< 。

九. （5分）设级数∑∞

=1

n n

a 收敛于S ，且

0lim =∞

→n n a n ，

证明级数∑∞

=+-1

1)(n n n a a n

也收敛于S 。