上海交通大学矩阵理论试卷张跃辉

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八、证明题(6 分)
设A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g(λ)使 得g(A) = 0。
8
附
录
上海交通大学 2009-2010 学年第一学期《矩阵理论》试卷
姓名
学号
矩阵理论分班号
成绩
本试卷共四道大题, 总分 100 分. 其中 A∗ 表示矩阵 A 的共轭转置.
A
与
B
的最小多项式分别为
(x
−
1)2(x
−
2)
与
(x
−
1)(x
−
2)2,
则矩
阵
A A−B 0B
的最小多项式为 (
)
(A)(x−1)2(x−2)
(B)(x−1)(x−2)2
(C)(x−1)2(x−2)2
(D)(x−1)3(x−2)3
4. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, ρ(A) 是其谱半径, || • || 是一种矩阵范数, 则必有 ( )
(3) 设 σ 是 V 的一个等距变换, σ(e1) = e1 + e2. 求 σ((x, y)T )? 这样的等距变换唯一吗?


100
13. 设 A = 1 0 1 .
010
(1) 求 A 的 Jordan 标准形 J(不必计算变换矩阵 P ); (2) 设 n ≥ 3, 计算 An − An−2 与 A2 − E; (3) 求 ∫0t(E − A−2)eAsds.
1
二. 填空题(每空 3 分, 共 15 分)
设二维线性空间V 的线性变换T1 : V → V 与T2 : V → V 在基α1, α2下的矩阵分别为
()
A=
1 2
0 1
,
()
B=
1 2
0 0
.
1、T1, T2的乘积T1T2 : V → V 在基α1, α2下的矩阵为
.
2、dim R(T1)=
.
3、R(T1) ∩ N (T2)的一个基为
.
4、若常数k使得k(A + B)为幂收敛矩阵，则k应该满足的条件是
.
()
5、
A B
0 B
的Jordan标准型为
.
2
三.计算题(12 分)
向量空间R2×2中的内积通常定义为
∑2 ∑2
(A, B) =
aij bij ,
i=1 j=1
(A = (aij)2×2, B = (bij)2×2.)
()
()
选取A1 =
一. 单项选择题 (每题 3 分, 共 15 分)
1. 设有 R3 上的两个子空间
U
=
{(x, y, z)T
∈
R3 | x + y
+z
=
0}, W
=
{(x, y, z)T
∈
R3 | x
=
y
=
z −2
}.
则 dim (U + W ) − dim U =( )
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
2. 设 U, W 是欧氏空间 V 的两个子空间. 给出下列四个等式:
.
0 0 et
10. 设 A 是秩为 r ≥ 1 的 n 阶正交投影矩阵, B = E − cos A, 则 B 的特征多项式
为
.
三. 计算题 (每题 15 分, 共 60 分)
11. 设 V = R[x]n 是次数小于 n 的全体实系数多项式构成的实线性空间. 定义 V 上的线 性变换 σ 如下:
一．（本题 15 分）
设 U 是 R4 中向量 u1 (1, 2,3, 6)T ， u2 (4, 1,3, 6)T ， u3 (5,1, 6,12)T 生成的子空间， W 是 R4 中向量 w1 (1, 1,1,1)T ， w2 (2, 1, 4,5)T 生成的子空间，分别求U W 与U W 的维数与一组基。
二．（本题 15 分）
设V {a cos bsin,其中a,b为任意实数}是实二维线性空间。对任意 f , g V ,定义：
(f
, g)

f
(0)g(0)
f
(
)g(
) 。证明：(
f
, g)是V
上的内积，并求 h( )
3cos(
7) 4sin(
9) 的长度。
14. 设 A ∈ Cn×n 的秩为 r > 0, A 的奇异值分解为 A = U diag(σ1, ..., σr, 0, ..., 0)V ∗, 其
中 σ1 > · ·(· > σr), U = (u1, · · · , un), V = (v1, · · · , vn) 是两个酉矩阵, ui, vi ∈ Cn, 1 ≤ i ≤ n. 设
3、求下列微分方程组的解 dx = Ax, xd(t0) = x0,
1
x0 = 1 .
1
4
五.计算题(10 分)
(
设A ∈ Cm×n的秩为r，A的奇异值分解为A = U DV ∗, D =
Λ O
求矩阵 B = (A A) 的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广义逆B+.
(B) Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；
(C) 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算k · x = x0，k是实数, x0 是某一取定向量.
(D) 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；
3.线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( ) (A) 保持向量的长度不变; (B) 将标准正交基变为标准正交基；
∑n
(A) |λi| = |σi|
i=1
i=1
∑n (C)
|λi|2
=
∑n
|aij |2
i=1
i,j=1
∑n (B)
|λi|2
=
∑n
|σi|2
i=1
i=1
∑n (D)
|σi|2
=
∑n
|aij |2
i=1
i,j=1
二. 填空题 (每题 3 分, 共 15 分)
6. 设 (x, y, z)T ∈ R3, σ((x, y, z)T ) = (2x − y, 2x)T , 则 σ 关于标准基 - 标准基的矩阵
σ : f (x) → xf (x) − f (x), ∀ f (x) ∈ V.
(1) 求 σ 的特征值与特征向量; (2) 求 σ 的核空间 Ker(σ) 与像空间 Im(σ) 的各一组基; (3) 判断 V = Ker(σ) ⊕ Im(σ) 是否成立? 说明理由.
12. 设 V = R2 是实线性空间, (x, y)T ∈ V , e1 = (1, 0)T , e2 = (0, 1)T . (1) 求 V 上的一个内积 (•, •) 使得向量组 e1, e1 + e2 是一组标准正交基; (2) 在该内积下, 计算 e2 与 e1 − e2 的长度;
1 0
1 0
, A2 =
0 1
1 1
，构造子空间W = [A1, A2]。
1、求W ⊥的一组基； 2、利用已知的W 和W ⊥求R2×2的一个标准正交基。
3
四.计算题(18 分)
已知


20 0
A = 0 3 −1 ,
01 1
1、求矩阵A的Jordan标准型J和可逆矩阵P 使得A相似于J；
2、计算矩阵eA；
上海交通大学工程硕士《矩阵理论》考试试卷 （ A 卷 ）
考试时间：2010.6.20 09:00—11:00 院系_________班级________学号___________姓名___________得分______ 注意：本试卷共 6 页，答案须写在此 6 页纸上。要求字迹清楚。
(C) 保 持 任 意 两 个 向 量 的 夹 角 不 变 ； 阵.
(D) 在 任 意 标 准 正 交 基 下 的 矩 阵 为 正 交 矩
4.设A是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( ) (A) A与对角矩阵相似； (B) A的特征值只可能是1或者0；
(C) sin (A) = sin (1) A;
22
三．（本题 15 分）
1 1 4
设
A


0
2
0

，求
A1000。
0 3 3
四．（本题 10 分） 设 A 是 n 正阶方阵，若满足 A*=-A，则称 A 为反 Hermite 阵。证明：反 Hermite 阵的特征值为零或纯虚数。
五．（本题 15 分）
设四阶方阵 A 的特征为 1，-1，0，0，求 eA ， sin A 。
为
.
(
)( ) ( )
7. 线性方程组
11 00
x1 x2
=
b1 b2
的最小范数的最小二乘解为
.


2 −1 2
8 , 则正交变换 x → Ax 的旋转轴上的单位向量为
.
−1 2 2
31
et tet tet
9. 设 A 为 3 阶矩阵, eAt = 0 et 0 , 则矩阵 λE − A 的初等因子为
(D) 幂级数 ∑∞ Ak = (E − A)−1.
k=0
5.设V1, V2是V 的两个线性子空间，则与命题“V1 + V2的任意元素的分解式唯一”不等价 的命题是( )
(A) V1 ∩ V2 = {0};
(B) dim (V1 + V2) = dimV1 + dim V2;
(C) V1 + V2的零元素的分解式唯一. (D) [V1 ∪ V2] = V ；