部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图

部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图
上次我用尺规作图已将120°角三等分了，下面我用一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的部分特殊角和任意角三等分尺规作图来验证角三等分确实有解。

一. 用尺规作图将30°角三等分（一）
以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为D,连接OD,在弧上作OD=DE,连接OE,∠EOD=60°,作∠COE=∠EOA=∠AOH=∠HOB=∠BOD=∠DOK=15°,∠AOB=∠α=30°,将∠α=30°角三等分。

连接CK交OA线上G点，连接BG並延长交OC线上P点，连接AP交CK线上F点，连接BC交OH线上H1点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、AH1、 AB、AC,ABGC为菱形，H1G=AH1=H1B,则∠H1BG=∠H1GB=1/2∠α=15°,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2∠α=5°，证明省略，∠AOm=∠mON=∠NOB=1/3∠α=1/3∠AOB=∠a1Ga3=10°,即将30°角三等分。

该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。

图号和页号是3-1-15 , 15。

应该注意的是如果∠α大于或等于60°时，必须将大于或等于60°的角缩小偶数倍的角小于60°后才能进行角三等分。

如果60°≤∠α＜120°时，∠α缩小两倍，如果120°≤∠α＜240°时，∠α缩小四倍。

值得注意的是角的所在区域相同，角的尺规作图方式也应相同。

∠α缩小偶数倍的角已被分成三等分的角扩大同样偶数倍后的角才是∠α被分成三等分的角，∠α是否需要缩小和缩小多少偶数倍可用圆的半径来确定。

一. 用尺规作图将60°角三等分（二）
以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为A,连接OA ,在弧上作AB=OA,连接OB, ∠AOB=∠A1OA4=60°=∠α,∠α应该缩小两倍方可以进行角三等分。

作∠CO A=∠AOE=∠EOH=∠HOD=∠DOB=∠BOK=15°=1/4∠α,将∠AOB=∠α=60°角三等分。

连接CK交OE线上G点，连接DG並延长交OC线上P点，连接EP交CK 线上F点，连接CD交OH线上H1点，连接DF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、EH1、 ED、EC, CEDG为菱形，H1G=H1E=H1D, ∠H1DG=∠H1GD=1/4∠α=15°,则∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=∠a4Ga6=1/3×1/2×1/2∠α=5°,证明省略，∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=1/3∠A1OA4=1/3∠AOB=∠a1Ga6=1/3∠α=20°.即把∠α=60°角三等分。

该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。

图号和页号是3-2-1 ，61。

一. 用尺规作图将120°角三等分（三）
用尺规作图将120°角三等分上次已作过了，这里就不重复了。

二. 用尺规作图将任意角三等分（一）
∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α角三等分，以∠α角顶点O为圆心，以任意长为半径画弧交∠α两边分别是A点和B点，即∠α=∠AOB=∠A1OA4。

用半径OA来确定∠α是否需要缩小和应该缩小多少偶数倍，而120°＜∠α＜240°，∠α应该缩小四倍。

所以该角三等分尺规作图方式与120°角三等分尺规作图方式相同，只是角的大小之别。

作∠AOE=∠EOC=∠Com=∠moH=∠HON=∠NOD=∠DOK=∠KOB=1/8∠α=1/8∠AOB，将∠AOB=∠α角三等分。

连接EK交Om线上G点，连接NG並延长交OE线上P点，连接Pm交EK线上F点，连接NE交OH线上H1点，连接NF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、mH1、 mE、mN, mNGE为菱形，H1G=H1m=H1N,∠H1NG= ∠H1GN=1/8∠α,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2×1/4∠α，证明省略，则∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=∠a2Ga5=1/3∠AOB=1/3∠A1OA4 =1/3∠α,即将∠α角三等分。

该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。

图号和页号是3-4-51 ，171。

二. 用尺规作图将任意角三等分（二）
∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α角三等分，以∠α角顶点O为圆心，以任意长为半径画弧交∠α两边分别是A点和B点，即∠α=∠AOB=∠A1OA4。

用半径OA来确定∠α是否需要缩小和应该缩小多少偶数倍，而60°＜∠α＜120°，∠α应该缩小两倍。

所以该角三等分尺规作图方式与60°角三等分尺规作图方式相同，只是角的大小之别。

作∠CO A=∠AOE=∠EOH=∠HOD=∠DOB=∠BOK=1/4∠α,将∠AOB=∠α角三等分。

连接CK交OE线上G点，连接DG並延长交OC线上P点，连接EP 交CK线上F点，连接CD交OH线上H1点，连接DF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、EH1、 ED、EC, CEDG为菱形，H1G=H1E=H1D, ∠H1DG=∠H1GD=1/4∠α,则∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=∠a4Ga6=1/3×1/2×1/2∠α,证明省略，∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=1/3∠A1OA4=1/3∠AOB=∠a1Ga6=1/3∠α.即把∠α角三等分。

该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。

图号和页号是3-2-27 ，87。

二.用尺规作图将任意角三等分（三）
∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α角三等分，以∠α角顶点O为圆心，以任意长为半径画弧交∠α两边分别是A点和B点，即∠α=∠AOB，用半径OA来确定∠α是否需要缩小和应该缩小多少偶数倍，而∠α＜60°，不需要缩小。

所以该角三等分尺规作图方式与30°角三等分尺规作图方式相同，只是角的大小之别。

作∠COE=∠EOA=∠AOH=∠HOB=∠BOD=∠DOK=1/2∠AOB=1/2∠α,将∠α=∠AOB角三等分。

连接CK交OA线上G点，连接BG並延长交OC线上P点，连接AP交CK线上F 点，连接BC交OH线上H1点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、AH1、 AB、AC, ABGC为菱形，H1G=AH1=H1B,则∠H1BG=∠H1GB=1/2∠α=1/2∠AOB,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2∠α，证明省略，∠AOm=∠mON=∠NOB=1/3∠α=1/3∠AOB=∠a1Ga3,即将∠α角三等分。

该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。

图号和页号是3-1-24 , 24。

以上3个特殊角（含上次120°角）和3个任意角都被数学界判为角三等分无解，我不仅能把这六个角用尺规作图分成三等分，而且我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法已证明了用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行角三等分和剖析角三等分及解尺规作图达4150多次，装订成册40本，验证了角三等分确实有解，角三等分无解的结论也阻碍了角的其他等分的解决，推翻这个错误结论势在必行，让角任意等分和任意正多边形都得到解决。

给中国人争气！希望广大读者亲自动手用不带刻度的直尺、圆规和铅笔按照上述尺规作图方式对30°角、60°角，120°角和任意画一个或多个角进行角三等分尺规作图，用尺规作图时一定要精确，只有精确的尺规作图才能获得理想的结果。

由于这里证明省略可用一般仪器来验证这些角三等分后是否正确？如果验证后被分成三等分的角确实是正确的话，请读者给我宣传一下角三等分确实有解，让角三等分无解的结论彻底破灭吧！让角三等分和剖析角三等分及解等角尺规等分法早日被数学界认可，为中国人争气！
2011 . 3. 10 . 和平
角三等分和剖析角三等分及解将陆续发表。