人教版八年级数学下册第二章勾股定理

八年级（下册）
第二章：三角形勾股定理
考点一：勾股定理
（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）结论：
①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

例题：
例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在△Rt ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a∶b=3∶4，c=10则△Rt ABC的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为n2-1，2n（n>1），那么它的斜边长是（）
A、2n
B、n+1
C、n2－1
D、n2+1
（3）在△Rt ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）
A.a2+b2=c2
B.a2+c2=b2
C.c2+b2=a2
D.以上都有可能
（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）
A、25
B、14
C、7
D、7或25
例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知△Rt ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则△Rt ABC的面积是（）
A、24c m2
B、36c m2
C、48c m2
D、60c m2
（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）
A、5
B、25
C、7
D、15
考点二：勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n为正整数）
（3）直角三角形的判定方法：
①如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

②有一个角是直角的三角形是直角三角形。

③两内角互余的三角形是直角三角形。

④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

例题：
（2）若三角形的三边之比为 2
• 例 1：勾股数的应用
（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（
）
A. 4，5，6
B. 2，3，4
C. 11，12，13
D. 8，15，17 （2）若线段 a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2∶3∶4 B 、3∶4∶6 C 、5∶12∶13 D 、4∶6∶7
例 2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 （1）下面的三角形中：
①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；
②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5；
④△ABC 中，三边长分别为 8，15，17．
其中是直角三角形的个数有（ ）．
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
1 :
:1 ，则这个三角形一定是（
）
2
2
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.不等边三角形
（3）已知 a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（
）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 （4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A ． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
（△5）若 ABC 的三边长 a,b,c 满足 a 2 + b 2 + c 2 + 200 = 12a +16b + 20c △，试判断 ABC 的形状。

（△6） ABC 的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且 a+b+c 是 3 的倍数，则 c 应为 ，此三角形为 。

例 3：求最大、最小角的问题
（1）若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是
度。

（2）已知三角形三边的比为 1： 3 ：2，则其最小角为。

考点三：勾股定理的应用
例 1：求长度问题
（1）在一棵树 10m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处； 另外一只爬到树顶 D 处后直
接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
D
B
C
A
例 3：最短路程问题
（1）如图 1，已知圆柱体底面圆的半径为 2
，高为 2，AB ，CD 分别是两底面的直径，AD ，BC 是母线，若一只小虫从
π A 点出发，从侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是。

（结果保留根式） （2）如图 2，有一个长、宽、高为 3 米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点 A 要爬到顶点 B ，那么这只昆虫爬行的 最短距离为 。

A
D C
A B B
（图1）（图2）
例4：航海问题
（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．
（2）（深圳）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。

该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

北
C
A
C D
60︒
A B 30︒东
D M B
（图1）（图2）
例5：网格问题
（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．3
（△2）如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为△1，则ABC是（）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()
A．25 B.12.5 C.9 D.8.5
D
A
C C
B
A C
B A B
（图1）（图2）（图3）
例6：图形问题
（1）如图1，求该四边形的面积
（2）如图2，已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为．
12C3
B
D
13
4 A
（图1）（图2）（图3）
（3）某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由
20m
30m F
+
=
.
三、课后训练： 一、填空题
1．如图(1)，在高 2 米，坡角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
C
D E
D
B
O
图(1)
A B F 第 3 题图
C
第 4 题图
A
2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为 2.5 ㎝，高为 12 ㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6 ㎝，问吸管要做 ㎝。

△3．已知：如图， ABC 中，∠C = 90°，点 O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点 D 、 E 、F 分别是垂足，且 BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点 O 到三边 AB ，AC 和 BC 的距离分别等于 cm 二、选择题
6．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A 、450a 元
B 、225a 元
C 、150a 元
D 、300a 元
A
E D
第 6 题图
7．已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 △EF ，则 ABE
的面积为（ ）
A 、6cm2
B 、8cm2
C 、10cm2
D 、12cm2
△8．在 ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则△ABC 的周长为
A ．42
B ．32
C ．42 或 32
D ．37 或 33
三、计算
1 1 1 △1、在， ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于 D,求证：。

BC
2
AC
2
CD
2
C
A
D B。