数值分析作业答案(第5章)part2

.证明：

(1).如果A 是对称正定矩阵，则1-A 也是对称正定矩阵

(2).如果A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成L L A T =，其中L 是具有正对角元的下三角矩阵。

证明：

(1).因A 是对称正定矩阵，故其特征值i λ皆大于0，因此1-A 的特征值1

-i λ也皆大于0。因此1

-i λ也皆大于0，故A 是可逆的。又

111)()(---==A A A T T

则1-A 也是对称正定矩阵。

(2).由A 是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解

U L A ~

=。又

022211111

12

22

11111DU u u u u u u u u u U n n nn =⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡=

其中D 为对角矩阵，0U 为上三角矩阵，于是

0~

~DU L U L A ==

由A 的对称性，得

~

T

T T

L D U A A ==

由分解的唯一性得

~

L U T =

从而

~~

T

L D L A =

由A 的对称正定性，如果设),,2,1(n i D i =表示A 的各阶顺序主子式，则有

011>=D d ，01

>=

-i i

i D D d ，n i ,,3,2 =

故

2

12

1

2

12

121D

D d d d d d d d d d D n n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

因此

T T

T

LL D L D L L D D L A ===)(21~

2

1~

~2

121~

，

其中2

1~

D L L =为对角元素为正的下三角矩阵。

.用列主元消去法解线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++-=-+-=+-6

1531815331232

1321321x x x x x x x x x 并求出系数矩阵A 的行列式(即A det )的值。

解

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−-=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−-

=-=↔113/110053/7101513

186

76/3118/176/7053/7101513

186111153312151318)(323

2

18

1

21312

1m b A m m r r

所以解为33=x ，22=x ，11=x ，66det -=A 。

.用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=2100012100012100012100012A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00001b 。

解 设A 有分解

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------11

1

111111211211

211211243

2

154321

ββββααααα， 由公式

⎪⎩⎪

⎨⎧===+===-4

,3,2,,5,4,3,2,,

,111111i c i b c b i i i

i i i i βααβαβαα 其中)5,,2,1( =i b i ，)4,,2,1( =i c i 分别是系数矩阵的主对角元素及其下边和上边的次对角线元素。

具体计算，可得

21=α，232=α，343=α，454=α，5

6

5=α，

211-=β，322-=β，433-=β，5

44-=β。

由

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡----00001561

451341231254321y y y y y ，

得211=

y ，312=y ，413=y ，514=y ，6

1

5=y ；再由

⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡--

-

-61514131211541

4

31

3

2121154321x x x x x ， 得615=

x ，314=x ，213=x ，322=x ，6

5

1=x 。

.下述矩阵能否分解为LU (其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵)若能分解，那么分解是否唯一

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=764142321A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133122111B ，⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=461561552621C 。

解 A 中02=∆，故不能分解。但由于010det ≠-=A ，所以若交换A 的第1行与第3行，则可以分解且分解是唯一的。

在B 中，032=∆=∆，故不能分解。但B 可以分解为

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33320010011113121u l B ，

其中32l ，33u 为任意常数，且U 奇异，故分解不唯一。

对于C ，)3,2,1(0=≠∆i i ，故C 可以分解且分解唯一。

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=131621136121C 。