数值分析作业答案(第5章)part2
数值分析第五章答案
数值分析第五章答案【篇一：数值分析第五版计算实习题】第二章2-1程序：clear;clc;x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];n=length(y1);c=y1(:);or j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i)*df(i);enddisp(4次牛顿插值多项式);p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs;disp(三次样条函数);for i=1:4s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1];s=vpa(collect(s),5)endx2=0.2:0.08:1.08;dot=[1 2 11 12];figureezplot(p4,[0.2,1.08]);hold ony2=fnval(pp,x2);x=x2(dot);y3=eval(p4);y4=fnval(pp,x2(dot));plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co);title(4次牛顿插值及三次样条);结果如下：4次牛顿插值多项式p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x +0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下2-3（1）程序：clear;clc;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点n=length(y1);a=ones(n,2);a(:,2)=-x1;c=1;for i=1:nc=conv(c,a(i,:));endq=zeros(n,n);r=zeros(n,n+1);for i=1:n[q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk)enddw=zeros(1,n);for i=1:ndw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数endp=dw*q;syms x l8;for i=1:nl8(i)=p(n-i+1)*x^(i-1);enddisp(8次拉格朗日插值);l8=vpa(collect((sum(l8))),5)xi=0:64;yi=polyval(p,xi);figureplot(xi,yi,x1,y1,r*);hold ontitle(8次拉格朗日插值);结果如下：8次拉格朗日插值l8 =- 3.2806e-10*x^8 + 6.7127e-8*x^7 - 5.4292e-6*x^6 +0.00022297*x^5 - 0.0049807*x^4 + 0.060429*x^3 - 0.38141*x^2 +1.3257*x输出图如下：第五章4-1（3）程序：clc;clear;y= @(x) sqrt(x).*log(x);a=0;b=1;tol=1e-4;p=quad(y,a,b,tol);fprintf(采用自适应辛普森积分结果为： %d \n, p);结果如下：采用自适应辛普森积分结果为： -4.439756e-01第九章9-1(a)程序：clc;clear;a=1;b=2;%定义域h=0.05;%步长n=(b-a)/h;y0=1;%初值f= @(x,y) 1/x^2-y/x;%微分函数xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份 yn=zeros(1,n);%结果矩阵yn(1)=y0;%赋初值%以下根据改进欧拉公式求解for i=1:nxn=xn(i);xnn=xn(i+1);yn=yn(i);yp=yn+h*f(xn,yn);yc=yn+h*f(xnn,yp);yn=(yp+yc)/2;yn(i+1)=yn;endxn=yn;%以下根据经典四阶r-k法公式求解for i=1:nxn=xn(i);yn=yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);yn(i+1)=yn;enddisp(改进欧拉法四阶经典r-k法); disp([xn yn])结果如下：改进欧拉法四阶经典r-k法 110.998870.998850.99577 0.99780.991140.996940.985320.996340.978570.996030.971110.996060.963110.996450.95470.997230.945980.998410.9370510.92798 1.0020.91883 1.00440.90964 1.00730.90045 1.01060.89129 1.01430.88218 1.01840.87315 1.02290.86421 1.02780.85538 1.03310.84665 1.0388（b）程序：clc;clear;a=0;b=1;%定义域h=[0.1 0.025 0.01];%步长y0=1/3;%初值f= @(x,y) -50*y+50*x^2+2*x;%微分函数 xi=linspace(a,b,11);y=1/3*exp(-50*xi)+xi.^2;%准确解 ym=zeros(1,11);for j=1:3【篇二：数值分析(第五版)计算实习题第五章作业】题：lu分解法：建立m文件function h1=zhijielu(a,b)%h1各阶主子式的行列式值[n n]=size(a);ra=rank(a);if ra~=ndisp(请注意：因为a的n阶行列式h1等于零，所以a不能进行lu 分解。
《数值分析》杨大地答案(第五章)考博
5 位有效数字。
-?? ′ -?? （ 1 ）证明 : 设 ???? = ??- ?? ,则 ?? ?? = 1 + ?? 恒大于 0 ；
∵ 又 ∵ ∴
????在（ 0,1）的导数恒大于 ??0 = - 1， ??1 = 1 1 ??
0 ，∴
????在（ 0,1）单调递增。
= 0.63212 ;
??在（ 0,1）有且只有一个实根。
??
（ 5 ）迭代格式 ?? ?? +1 =
2 3
?? ??+
1
2 ?? ??
收敛于根 α=
3
3 ，此迭代格式是二阶收敛的。
5.3 方程 ?? - 9?? + 18 ?? - 6 = 0, ??? [0, + ∞) 的根为正实根，试用逐次扫描法（ 的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到 解：由上式为一元三次方程可知，方程最多存在 由于 ??? 0, + ∞ ，因此使用逐次扫描（ x f(x) 对最大根区间（ k 0 -6 1 4 2 2 0.01. 3 个解。 3 -6 4 -14 5 -16
α=
5 , 则 C 取值范围为
-
5/5 < ??< 0 ;
3 2 （ 4 ）用迭代格式 ?? ???? }是二 ?? +1 = ?? ?? - ?? ?? ?? 求解方程 ???? = ?? - x - x - 1 = 0 的根， 要使迭代序列 {?? ??
阶收敛，则 ?? =3?? 2 ?? -
1 2?? - 1 ??
-???? ∴ ?? ?? +1 = ?? , ??= 0,1, ? ，在（ 0 ， 1）区间内收敛。 -?? ′ -?? （ 3 ）设 ???? = ?? - ?? ,则 ?? ?? = 1 + ?? ，
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析课后习题答案
0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2
2 11
22
1
5 2
1
3 21来自，所以 A12
1
2 1 1
5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
数值分析第五章作业
Initial-Value Problems for Ordinary DifferentialEquationsWang Xueliang(200800090152)May28,2011AbstractIn this chapter,we reviewed three popular methods for solving initial-value problems for ordinary differential equations,Runge-Kutta method-s,Predictor-corrector Method and StiffDifferential Equations.We intro-duced their algorithm descriptions,related mathematical deductions andapplications to practical problems respectively.Moreover,a brief discus-sion of their efficiencies are presented at last.1INTRODUCTIONIn this chapter we have considered methods to approximate the solutions to initial-value problems for ordinary differential equations.We began with a dis-cussion of the most elementary numerical technique,Euler’s method.This pro-cedure is not sufficiently accurate to be of use in applications,but it illustrates the general behavior of the more powerful techniques,without accompanying al-gebraic difficulties.The Taylor methods were then considered as generalizations of Euler’s methods.They of the need to determine extensive partial derivatives of the defining function of differential equation.The Runge-Kutta formulas sim-plified the Taylor methods,while not significantly increasing the error.To this point we had considered only one-step methods,techniques that use only data at the most recently computed point.Multistep methods are discussed in Section5.6where Explicit methods of Adams-Bashforth type and implicit methods of Adams-Moulton type were con-sidered.These culminate in predictor-corrector methods,which use an explicit method,such as an Adams-Bashforth,to predict the solution and then apply a corresponding implicit method,like an Adams-Moulton,to correct the approxi-mation.Section5.9illustrate how these techniques can be used to solve higher-order initial-value problems and systems of initial-value problems.The more accurate adaptive methods are based on the relatively uncom-plicated one-step and multistep techniques.In particular,we saw in Section5.5 that the Runge-Kutta-Fehlderg method is an one-step procedure that seeks to1select mesh spacing to keep the local error of the approximation under con-trol.The Variable Step-Size Predictor-Corrector method presented in Section 5.7is based on the four step Adams-Bashforth method and three-step Adams-Moulton method.It also changes the step size to keep the local error within a given tolerance.The Extrapolation method discussed in Section5.8is based on a modification of the Midpoint method and incorporates extrapolation to maintain a desired accuracy of approximation.Thefinal topic in the chapter concerned the difficulty that is inherent in the approximation of the solution to a stiffequation,a differential equation whose exact solution contains a portion of the form exp−λt,whereλis a positive con-stant.Special caution must be taken with problems of this type,or results can be overwhelmed by roundofferror.Methods of the Runge-Kutta-Fehlberg type are generally sufficient for non-stiffproblems when moderate accuracy is required.The extrapolation procedures are recommended for nonstiffproblems where high accuracy is required.Extensions of the Implicit Trapezoidal method to variable-order and variable step-size im-plicit Adams-type methods are used for stiffinitial-value problems.22Runge-Kutta MethodRunge-Kutta methods have the high-order local truncation error of the Taylor methods while eliminating the need to compute and evaluate the derivatives of f(t,y).The most common Runge-Kutta method in use is of order four and,in difference-equation form,is given by the followingω0=αk1=hf(t i,ωi),k2=hf(t i+h/2,ωi+1/2k1)k3=hf(t i+h/2,ω+1/2h2)k4=hf(t i+1,ωi+k3)ωi+1=ωi+1/6(k1+2k2+2k3+k4),foreachi=0,···,N−1.This method has local truncation error O(h4),provided the solution yet) hasfive continuous derivatives.Runge-Kutta methods also can used for mth-order system offirst-order initial-value problems has the formdu1=f1(t,u1,···,u m),du2dt=f2(t,u1,···,u m),...du mdt=f m(t,u1,···,u m),for a≤t≤b,with the initial conditionsu1(a)=α1,u2(a)=α2,···,u m=αm.The object is tofind m functions u1,u2,···,u m that satisfy each of the differential equations together with all the initial conditionsThefirst step in deriving a Runge-Kutta method is to determine values for α1,a1andβ1with the property that a1f(t+α1,y+β1)approximatesT(2)(t,y)=f(t,y)+h/2f (t,y),with error no greater than O(h2),the local truncation error for the Taylor method of order two.Sincef (t,y)=d fdt(t,y)=∂f∂t(t,y)+∂f∂y(t,y)y (t)andy (t)=f(t,y),3this impliesT(2)(t,y)=f(t,y)+h/2∂f∂t(t,y)+h/2∂f∂y(t,y)f(t,y),(1)Expanding f(t+α1,y+β1)in its Taylor polynomial of degree one about (t,y)givesa1f(t+α1,y+β1)=a1f(t,y)+a1α1∂f∂t(t,y)+a1β1∂f∂y(t,y)+a1R1(t+α1,y+β1),(2)Matching the coefficients of f and its derivatives in Eqs.(1)and(2)gives thethree equationsf(t,y):a1=1;∂f∂t(t,y):a1α1=h/2;∂f∂t(t,y):α1β1=h/2f(t,y).The parameters a1,α1andβ1are uniquely determined to bea1=1,α1=h/2,andβ1=h/2f(t,y);soT(2)(t,y)=f(t+h/2,y+h/2f(t,y))−R1(t+h/2,y+h/2f(t,y)), The difference-equation method resulting from replacing T(2)(t,y)in Tay-lor’s method of order two by f(t+(h/2),y+h/2f(t,y))is a specific Runge-Kutta method known as the Midpoint method.ω0=α,ωi+1=ωi+hf(t i+h/2,ωi+h/2f(t i,ωi)),foreachi=0.1,···,N−1.The most common Runge-Kutta method in use is of order four and,in difference-equation form,has been given in1.1of this report.Runge-Kutta method can be promoted to Higher-Order Equations and Sys-tems of Differential Equations as follows:Let an integer N>0be chosen and set h=(b−a)/N.Partition the interval [a,b]into N subintervals with the mesh pointst j=a+jh,foreachj=0.···,NUse the notationωij,for each j=o,···,N and i=i,···,m,to denote an approximation to u i(t j).That is,ωij approximates the ith solution u i(t j)of mth-order system at the jth mesh point t j.For the initial conditions:ω1,0=α1,ω2,0=α2,···,ωm,0=αm.4Suppose that the valuesω1,j,ω2,j,···,ωm,j have been computed.We obtainω1,j+1,ω2,j+1,···,ωm,j+1,byfirst calculatingk1,i=hf i(t j,ω1,j,ω2,j,···,ωm,j),foreachi=1,2,···,m;k2,i=hf i(t j+h/2,ω1,j+1/2k1,1,ω2,j+1/2k1,2,···,ωm,j+1/2k1,m),foreachi=1,2,···,m;k3,i=hf i(t j+h/2,ω1,j+1/2k2,1,ω2,j+1/2k2,2,···,ωm,j+1/2k2,m),foreachi=1,2,···,m;k4,i=hf i(t j+h/2,ω1,j+1/2k3,1,ω2,j+1/2k3,2,···,ωm,j+1/2k3,m),foreachi=1,2,···,m;andthen ωi,j+1=ωi,j+i/6(k1,i+2k2,i+3k3,i+4k4,i),Algotithm Runge-Kutta Method(Order Four)To approximate the solution of the initial-value problemy =f(t,y),a≤t≤b,y(a)=α,at(N+1equally spaced numbers in the interval[a,b];INPUT endpoints;integer N;initial conditionαOUTPUT approximationωto y at the(N+1)values of tStep1Set h=(b−a)/N;t=a;ω=α;OUTPUT(t,ω).Step2For i=1,2,···,N do step3−5.Step3Set K1=hf(t,ω);K2=hf(t+h/2,ω+K1/2);K3=hf(t+h/2,ω+K2/2);K4=hf(t+h,ω+K3);Step4Setω=ω+(K1+2K2+2K3+K4)/6;t=a+ihStep5OUTPUT(t,ω)Step6STOP.Algorithm Runge-Kutta Method for System of Differential Equa-tionsINPUT endpoints a,b;number of equations m;integer N;initial conditionsα1,···,αm.OUTPUT approximationsωj to u j(t)at the(N+1)values of tStep1Set h=(b−a)/N;t=a;Step2For j=1,2,···,m setω=αj.Step3OUTPUT(t,ω1,ω2,···,ωm.)Step4For i=1,2,···,N do Steps5−11Step5For j=1,···,m setk1,j=hf j(t,ω1,ω2,···,ωm).5Step6For j=1,···,m setk2,j=hf j(t+h/2,ω1+1/2k1,1,ω2+1/2k1,2,···,ωm+1/2k1,m).Step7For j=1,···,m setk3,j=hf j(t+h/2,ω1+1/2k2,1,ω2+1/2k2,2,···,ωm+1/2k2,m).Step8For j=1,···,m setk4,j=hf j(t+h/2,ω1+1/2k3,1,ω2+1/2k3,2,···,ωm+1/2k3,m).Step9For j=1,2,···,m setωj=ωj+(K1,j+2K2,j+2K3,j+K4,j)/6;Step10Set t=a+ih.Step11OUTPUT(t,ω1,ω2,···,ωm)Step12STOP.MATLAB Runge-Kutta(Order Four)Listing1:Runge-Kutta(Order Four)1syms(’F’,’OK’,’A’,’B’,’ALPHA’,’N’,’FLAG’,’NAME’,’OUP’);2syms(’H’,’T’,’W’,’I’,’K1’,’K2’,’K3’,’K4’,’t’,’d’);3TRUE=1;4FALSE=0;5fprintf(1,’This is the Runge-Kutta Order Four Method.\n’);6fprintf(1,’Input the function F(t,y) in terms of t and y\n’);7fprintf(1,’For example: y-t^2+1 \n’);8s=input(’ ’);9F=inline(s,’t’,’y’);10OK=FALSE;11while OK==FALSE12fprintf(1,’Input left and right endpoints on separate lines.\n’);13A=input(’ ’);14B=input(’ ’);15if A>=B16fprintf(1,’Left endpoint must be less than right endpoint\n’);17else18OK=TRUE;19end;20end;21fprintf(1,’Input the initial condition\n’);22ALPHA=input(’ ’);23OK=FALSE;24while OK==FALSE25fprintf(1,’Input a positive integer for the number of subintervals\n’);626N=input(’ ’);27if N<=028fprintf(1,’Number must be a positive integer\n’);29else30OK=TRUE;31end;32end;33if OK==TRUE34fprintf(1,’Choice of output method:\n’);35fprintf(1,’1. Output to screen\n’);36fprintf(1,’2. Output to text file\n’);37fprintf(1,’Please enter 1 or 2\n’);38FLAG=input(’ ’);39if FLAG==240fprintf(1,’Input the file name in the form - drive:\\name.ext\n’); 41fprintf(1,’For example A:\\OUTPUT.DTA\n’);42NAME=input(’ ’,’s’);43OUP=fopen(NAME,’wt’);44else45OUP=1;46end;47fprintf(OUP,’RUNGE-KUTTA FOURTH ORDER METHOD\n\n’);48fprintf(OUP,’ t w\n\n’);49%STEP150H=(B-A)/N;51T=A;52W=ALPHA;53fprintf(OUP,’%5.3f %11.7f\n’,T,W);54%STEP255for I=1:N56%STEP357%use K1,K2,K3,K4for K(1),K(2),K(3),K(4)RESP.58K1=H*F(T,W);59K2=H*F(T+H/2.0,W+K1/2.0);60K3=H*F(T+H/2.0,W+K2/2.0);61K4=H*F(T+H,W+K3);62%STEP463%compute W(I)64W=W+(K1+2.0*(K2+K3)+K4)/6.0;65%compute T(I)66T=A+I*H;67%STEP568fprintf(OUP,’%5.3f %11.7f\n’,T,W);69end;70%STEP671if OUP~=1772fclose(OUP);73fprintf(1,’Output file %s created successfully. \n’,NAME);74end;75end;MATLAB Runge-Kutta Method for Systems of Differential Equa-tionsListing2:Runge-Kutta1syms(’OK’,’M’,’I’,’A’,’B’,’ALPHA’,’N’,’FLAG’);2syms(’NAME’,’OUP’,’H’,’T’,’J’,’W’,’L’,’K’,’ss’);3syms(’K1’,’K2’,’K3’,’K4’,’Z’,’kk’);4TRUE=1;5FALSE=0;6fprintf(1,’This is the Runge-Kutta Method for Systems of m equations\n’); 7fprintf(1,’This program uses the file F.m. If the number of equations\n’8fprintf(1,’exceeds 7, then F.m must be changed.\n’);9OK=FALSE;10while OK==FALSE11fprintf(1,’Input the number of equations\n’);12M=input(’ ’);13if M<=0|M>714fprintf(1,’Number must be a positive integer < 8\n’);15else16OK=TRUE;17end;18end;19ss=cell(M,1);20for I=1:M21fprintf(1,’Input the function F_(%d) in terms of t and y1 ... y%d\n’,I,M 22fprintf(1,’For example: y1-t^2+1 \n’);23kk=input(’ ’);24ss{I}=kk;25end;26OK=FALSE;27while OK==FALSE28fprintf(1,’Input left and right endpoints on separate lines.\n’);29A=input(’ ’);30B=input(’ ’);31if A>=B32fprintf(1,’Left endpoint must be less than right endpoint\n’);33else34OK=TRUE;35end;36end;37ALPHA=zeros(1,M);838for I=1:M39fprintf(1,’Input the initial condition alpha(%d)\n’,I);40ALPHA(I)=input(’ ’);41end;42OK=FALSE;43while OK==FALSE44fprintf(1,’Input a positive integer for the number of subintervals\n’); 45N=input(’ ’);46if N<=047fprintf(1,’Number must be a positive integer\n’);48else49OK=TRUE;50end;51end;52if OK==TRUE53fprintf(1,’Choice of output method:\n’);54fprintf(1,’1. Output to screen\n’);55fprintf(1,’2. Output to text file\n’);56fprintf(1,’Please enter 1 or 2\n’);57FLAG=input(’ ’);58if FLAG==259fprintf(1,’Input the file name in the form - drive:\\name.ext\n’);60fprintf(1,’For example A:\\OUTPUT.DTA\n’);61NAME=input(’ ’,’s’);62OUP=fopen(NAME,’wt’);63else64OUP=1;65end;66fprintf(OUP,’RUNGE-KUTTA METHOD FOR SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS\n\n 67fprintf(OUP,’ T’);68for I=1:M69fprintf(OUP,’ W%d’,I);70end;71%STEP172W=zeros(1,M);73V=zeros(1,M+1);74K1=zeros(1,M);75K2=zeros(1,M);76K3=zeros(1,M);77K4=zeros(1,M);78H=(B-A)/N;79T=A;80%STEP281for J=1:M82W(J)=ALPHA(J);83end;984%STEP385fprintf(OUP,’\n%5.3f’,T);86for I=1:M87fprintf(OUP,’ %11.8f’,W(I));88end;89fprintf(OUP,’\n’);90%STEP491for L=1:N92%STEP593V(1)=T;94for J=2:M+195V(J)=W(J-1);96end;97for J=1:M98Z=H*F(J,M,V,ss);99K1(J)=Z;100end;101%STEP6102V(1)=T+H/2;103for J=2:M+1104V(J)=W(J-1)+K1(J-1)/2;105end;106for J=1:M107Z=H*F(J,M,V,ss);108K2(J)=Z;109end;110%STEP7111for J=2:M+1112V(J)=W(J-1)+K2(J-1)/2;113end;114for J=1:M115Z=H*F(J,M,V,ss);116K3(J)=Z;117end;118%STEP8119V(1)=T+H;120for J=2:M+1121V(J)=W(J-1)+K3(J-1);122end;123for J=1:M124Z=H*F(J,M,V,ss);125K4(J)=Z;126end;127%STEP9128for J=1:M129W(J)=W(J)+(K1(J)+2.0*K2(J)+2.0*K3(J)+K4(J))/6.0;10130end;131%STEP10132T=A+L*H;133%STEP11134fprintf(OUP,’%5.3f’,T);135for I=1:M136fprintf(OUP,’ %11.8f’,W(I));137end;138fprintf(OUP,’\n’);139end;140%STEP12141if OUP~=1142fclose(OUP);143fprintf(1,’Output file %s created successfully \n’,NAME); 144end;145end;EXAMPLE1Using the Runge-Kutta method of order four to obtain ap-proximations to the solution of the initial-value problemy =y−t2+1,0≤t≤2,y(0)=0.5,with h=0.2,N=10,andt i=0.2i.the result ist i y i=y(t i)ω0.00.50000000.50000000.20.82929860.82929330.4 1.2140877 1.21407620.6 1.6489406 1.64892200.8 2.1272295 2.12720271.02.6408491 2.64082271.2 3.1799415 3.17989421.4 3.7324000 3.73234011.6 4.2834838 4.28340951.8 4.8151763 4.81508572.0 5.3054720 5.3053630EXAMPLE2Consider the second-order initial-value problemy =−2y +2y=exp2t sin t,for0≤t≤1,withy(0)=−0.4,y (0)=−0.6Let u1(t)=y(t)andu2(t)=y (t).This transforms the equation into the systemu 1(t)=u2(t),u 2(t)=exp2t sin t−2u1(t)+2u2(t),11with the initial conditionsu1(0)=−0.4,u2(0)=−0.6.The result ist jω1,jω2,j0.0-0.40000000-0.600000000.1-0.46173334-0.631631240.2-0.52555988-0.640148950.3-0.58860144-0.613663810.4-0.64661231-0.536582030.5-0.69356666-0.388738100.6-0.72115190-0.144380870.7-0.718152950.228997020.8-0.669711330.771991800.9-0.55644290 1.53478151.0-0.353398862.57876633Predictor-corrector MethodMethods using the approximation at more than one previous mesh point to determine the approximation at the next point are called multistep methods. The equationsω0=α,ω1=α1,ω2=α2,ω3=α3,ωi+1=ωi+(h/24)[55f(t i,ωi)−59f(t i−1,ωi−1)+37f(t i−2,ωi−2)−9f(t i−3,ωi−3)], for each i=3,4,···,N−1,define an explicit four-step method known as the fourth-order Adams-Bashforth technique.The equationsω0=α,ω1=α1,ω2=α2,ω3=α3,ωi+1=ωi+(h/24)[9f(t i+1,ωi+1)+19f(t i,ωi)−5f(t i−1,ωi−1)+f(t i−2,ωi−2)], for each i=2,3,···,N−1,define an implicit three-step method known as the fourth-order Adams-Moulton technique.The combination of an explicit and implicit technique is called a predictor-corrector method.The explicit method predicts an approximation,and the implicit method corrects this prediction.Thefirst step is to calculate the starting valuesω0,ω1,ω2,andω3for the four-step explicit Adams-Bashforth method.To do this,we use a fourth-order one-step method,the RungeKutta method of order four.The next step is tocalculate an approximation,ω(0)4to y(t4)using the explicit Adams-Bashforthmethod as predictor:ω(0)4=ω3+(h/24)[55f(t3,ω3)−59f(t2,ω2)+37f(t1,ω1)−9f(t0,ω0)].12This approximation is improved by insertingω(0)4in the right side of the three-step implicit Adams-Moulton method and using that method as a corrector. This givesω(1) 4=ω3+(h/24)[9f(t4,ω(0)4)+19f(t3,ω3)−5f(t2,ω2)+f(t1,ω1)],The only new function evaluation required in this procedure is f(t4,ω(0)4)inthe corrector equation;all the other values of f have been calculated for earlierapproximations.The valueω(1)4is then used as the approximation to y(t4),andthe technique of using the Adams-Bashforth method as a predictor and theAdams-Moulton method as a corrector is repeated tofindω(0)5andω(1)5,theinitial andfinal approximations to y(t5),etc.Improved approximations to y(t i+1)could be obtained by iterating the Adams-Moulton formulaω(k+1) i+1=ωi+(h/24)[9f(t i+1,ω(k)i+1)+19f(t i,ωi)−5f(t i−1,ωi−1)+f(t i−2,ωi−2)],However,ω(k+1)i+1converges to the approximation given by the implicit for-mula rather than to the solution y(t i+1),and it is usually more efficient to use a reduction in the step size if improved accuracy is needed.Adams Fourth-Order Predictor-CorrectorTo approximate the solution of the initial-value problemy =f(t,y),a≤t≤b,y(a)=α,at(N+1)equally spaced numbers in the interval[a,b]:INPUT endpoints a,b;integer N;initial conditionα.OUTPUT approximationωto y at the(N+1)values of tStep1Set h=(b−a)/N;t0=a;ω0=α;OUTPUT(t0,ω0).Step2For i=1,2,3do Steps3−5.Step3Set K1=hf(t i−1,ωi−1);K2=hf(t i−1+h/2,ωi−1+K1/2);K3=hf(t i−1+h/2,ωi−1+K2/2);K4=hf(t i−1+h,ωi−1+K3);Step4Setωi−1=ωi−1+(K1+2K2+2K3+K4)/6;t i=a+ihStep5OUTPUT(t i,ωi)Step6For i=4,···,N do Steps7−10.Step7Set t=a+ih;ω=ω3+h[55f(t3,ω3)−59f(t2,ω2)+37f(t1,ω1)−9f(t0,ω0)]/24;ω=ω3+h[9f(t,ω)+19f(t3,ω3)−5f(t2,ω2)+f(t1,ω1)]/24.Step8OUTPUT(t,ω)13Step9For j=0,1,2sett j=t j+1;ωj=ωj+1.Step10Set t3=t;ωj=ωj+1.Step11STOP.MATLAB Adams Fourth-Order Predictor-CorrectorListing3:Predictor-Corrector1syms(’F’,’OK’,’A’,’B’,’ALPHA’,’N’,’FLAG’,’NAME’,’OUP’);2syms(’H’,’T’,’W’,’I’,’K1’,’K2’,’K3’,’K4’,’T0’,’W0’,’J’); 3syms(’t’,’y’,’s’,’Part1’,’Part2’);4TRUE=1;5FALSE=0;6T=zeros(1,4);7W=zeros(1,4);8fprintf(1,’This is Adams-Bashforth Predictor Corrector Method\n’); 9fprintf(1,’Input the function F(t,y) in terms of t and y\n’);10fprintf(1,’For example: y-t^2+1 \n’);11s=input(’ ’);12F=inline(s,’t’,’y’);13OK=FALSE;14while OK==FALSE15fprintf(1,’Input left and right endpoints on separate lines.\n’); 16A=input(’ ’);17B=input(’ ’);18if A>=B19fprintf(1,’Left endpoint must be less than right endpoint\n’);20else21OK=TRUE;22end;23end;24fprintf(1,’Input the initial condition\n’);25ALPHA=input(’ ’);26OK=FALSE;27while OK==FALSE28fprintf(1,’Input an integer > 3 for the number of subintervals\n’); 29N=input(’ ’);30if N<=331fprintf(1,’Number must be at least 4.\n’);32else33OK=TRUE;34end;35end;1436if OK==TRUE37fprintf(1,’Choice of output method:\n’);38fprintf(1,’1. Output to screen\n’);39fprintf(1,’2. Output to text file\n’);40fprintf(1,’Please enter 1 or 2\n’);41FLAG=input(’ ’);42if FLAG==243fprintf(1,’Input the file name in the form - drive:\\name.ext\n’);44fprintf(1,’For example A:\\OUTPUT.DTA\n’);45NAME=input(’ ’,’s’);46OUP=fopen(NAME,’wt’);47else48OUP=1;49end;50fprintf(OUP,’ADAMS-BASHFORTH FOURTH ORDER PREDICTOR CORRECTOR METHOD\n\n 51fprintf(OUP,’ t w\n’);52%STEP153H=(B-A)/N;54T(1)=A;55W(1)=ALPHA;56fprintf(OUP,’%5.3f %11.7f\n’,T(1),W(1));57%STEP258for I=1:359%STEP3AND460%compute starting values using Runge-Kutta method61T(I+1)=T(I)+H;62K1=H*F(T(I),W(I));63K2=H*F(T(I)+0.5*H,W(I)+0.5*K1);64K3=H*F(T(I)+0.5*H,W(I)+0.5*K2);65K4=H*F(T(I+1),W(I)+K3);66W(I+1)=W(I)+(K1+2.0*(K2+K3)+K4)/6.0;67%STEP568fprintf(OUP,’%5.3f %11.7f\n’,T(I+1),W(I+1));69end;70%STEP671for I=4:N72%STEP773%T0,W0will be used in place of t,w resp.74T0=A+I*H;75%predict W(I)76Part1=55.0*F(T(4),W(4))-59.0*F(T(3),W(3))+37.0*F(T(2),W(2));77Part2=-9.0*F(T(1),W(1));78W0=W(4)+H*(Part1+Part2)/24.0;79%correct W(I)80Part1=9.0*F(T0,W0)+19.0*F(T(4),W(4))-5.0*F(T(3),W(3))+F(T(2),W(2));81W0=W(4)+H*(Part1)/24.0;1582%STEP883fprintf(OUP,’%5.3f %11.7f\n’,T0,W0);84%STEP985%prepare for next iteration86for J=1:387T(J)=T(J+1);88W(J)=W(J+1);89end;90%STEP1091T(4)=T0;92W(4)=W0;93end;94end;95%STEP1196if OUP~=197fclose(OUP);98fprintf(1,’Output file %s created successfully \n’,NAME); 99end;EXAMPLE1Using the Adams Fourth-Order Predictor-Corrector to obtain approximations to the solution of the initial-value problemy =y−t2+1,0≤t≤2,y(0)=0.5,with N=10.the result is:t i y i=y(t i)ωi0.00.50000000.50000000.20.82929860.82929330.4 1.2140877 1.21407620.6 1.6489406 1.64892200.8 2.1272295 2.12720271.02.6408491 2.64082861.2 3.1799415 3.17990261.4 3.7324000 3.73235051.6 4.2834838 4.28342081.8 4.8151763 4.81509642.0 5.3054720 5.3053707EXAMPLE2Use the Predictor-corrector Method to approximate the so-lutions to the following initial-value problems,Compare the results to the actualvalues.y =y/t−(y/t)2,1≤t≤2,y(1)=1The result is:16t jωi1.0 1.00000001.10.99515911.20.98121461.30.95892711.40.92893991.50.89180371.60.84799591.70.79793391.80.74198621.90.68048012.00.61370834StiffDifferential EquationsStiffdifferential equations are characterized as those whose exact solution has a term of the form exp−ct,where c is a large positive constant.This is usually only a part of the solution,called the transient solution.The more important portion of the solution is called the steady-state solution.The transient portion of a stiffequation will rapidly decay to zero as increases,but since the nth derivative of this term has magnitude c n exp−ct,the derivative does not decay as quickly.Fortunately,stiffequations generally can be predicted from the physical problem from which the equation is derived and,with care,the error can be kept under control.The manner in which this is done is considered in this section.The Implicit Trapezoidal method,given byω0=α,ωj+1=ωj+(h/2)[f(t j+1,ωj+1)+f tj ,ωj],0≤j≤N−1,is an A-stable method[2]and is the only A-stable multistep method.Al-though the Trapezoidal method does not give accurate approximations for large step sizes,its error will not grow exponentially.The techniques commonly used for stiffsystems are implicit multistep meth-ods.Generally,ωi+1is obtained by solving a nonlinear equation or nonlinear sys-tem iteratively,often by Newton’s method.Consider,for example,the Implicit Trapezoidal methodωj+1=ωj+(h/2)[f(t j+1,ωj+1)+f tj ,ωj],Having computed t j,t j+1andωj,we need to determineωj+1,the solution to F(ω)=ω−ωj−(h/2)[f(t j+1,ω)+f(t j,ωj)]=0.(3)To approximate this solution,selectω(0)j+1usually asωj,and generateω(k)j+117by applying Newton’s method to Eq.(3)ω(k) j+1=ω(k−1)j+1−F(ω(k−1)j+1)F (ω(k)j+1)=ω(k−1)j+1−ω(k−1)j+1−ωj−(h/2)[f(t j,ωj)+f(tj+1,ω(k−1)j+1)]1−(h/2)f y(t j+1,ω(k−1)j+1)until|ω(k)j+1−ω(k−1)j+1|is sufficiently small.This is the procedure that is usedin Algorithm2.3.2.Normally only three or four iterations per step are required Algorithm Trapezoidal with Newton IterationTo approximate the solution of the initial-value problemy =f(t,y),fora≤t≤b,withy(a)=αat(N+1)equally spaced numbers in the interval[a,b]:INPUT endpoints a,b;integer N;initial conditionα;tolerance TOL;maxi-mum number of iterations M at any one step.OUTPUT approximationωto y at the(N+1)values of t or a message of failure.Step1Set h=(b−a)/N;t=aω=α;OUTPUT(t,ω).Step2For i=1,2,···,N do Steps3−7Step3Set k1=ω+(h/2)f(t,ω);ω0=k1;j=1;F LAG=0.Step4While F LAG=0do Steps5−6.Step5Setω=ω0−ω0−(h/2)f(t+h,ω0)−k11−(h/2)f y(t+h,ω0)Step6If|ω−ω0|<T OL then set F LAG=1else set j=j+1;ω0=ω;if j>M then OUTPUT(’The maximum number of iterations exceeded’);STOP.Step7Set t=a+ih;OUTPUT(t,ω)Step8STOP.MATLAB StiffDifferential EquationsListing4:Composite Simpson1syms(’F’,’FYP’,’OK’,’A’,’B’,’ALPHA’,’N’,’TOL’,’M’);2syms(’FLAG’,’NAME’,’OUP’,’W’,’T’,’H’,’I’,’XK1’,’W0’);183syms(’J’,’IFLAG’,’y’,’t’);4TRUE=1;5FALSE=0;6fprintf(1,’This is the Implicit Trapezoidal Method.\n’);7fprintf(1,’Input the function F(t,y) in terms of t and y\n’);8fprintf(1,’For example: y^2-y*t^2+1 \n’);9s=input(’ ’);10F=inline(s,’t’,’y’);11fprintf(1,’Input the partial derivative of F(t,y) with respect to y \n’); 12fprintf(1,’in terms of t and y.\n’);13fprintf(1,’for example: 2*y-t^2 \n’);14s=input(’ ’);15FYP=inline(s,’t’,’y’);16OK=FALSE;17while OK==FALSE18fprintf(1,’Input left and right endpoints on separate lines.\n’);19A=input(’ ’);20B=input(’ ’);21if A>=B22fprintf(1,’Left endpoint must be less than right endpoint.\n’);23else24OK=TRUE;25end;26end;27fprintf(1,’Input the initial condition.\n’);28ALPHA=input(’ ’);29OK=FALSE;30while OK==FALSE31fprintf(1,’Input a positive integer for the number of subintervals.\n’); 32N=input(’ ’);33if N<=034fprintf(1,’Number must be a postiive integer.\n’);35else36OK=TRUE;37end;38end;39OK=FALSE;40while OK==FALSE41fprintf(1,’Input tolerance.\n’);42TOL=input(’ ’);43if TOL<=044fprintf(1,’Tolerance must be positive.\n’);45else46OK=TRUE;47end;48end;1949OK=FALSE;50while OK==FALSE51fprintf(1,’Input maximum number of iterations.\n’);52M=input(’ ’);53if M>054OK=TRUE;55else56fprintf(1,’Number of iterations must be positive.\n’);57end;58end;59if OK==TRUE60fprintf(1,’Choice of output method:\n’);61fprintf(1,’1. Output to screen\n’);62fprintf(1,’2. Output to text file\n’);63fprintf(1,’Please enter 1 or 2\n’);64FLAG=input(’ ’);65if FLAG==266fprintf(1,’Input the file name in the form - drive:\\name.ext\n’);67fprintf(1,’For example A:\\OUTPUT.DTA\n’);68NAME=input(’ ’,’s’);69OUP=fopen(NAME,’wt’);70else71OUP=1;72end;73fprintf(OUP,’IMPLICIT TRAPEZOIDAL METHOD USING NEWTONS METHOD\n\n’); 74fprintf(OUP,’ t w #iter\n’);75%STEP176W=ALPHA;77T=A;78H=(B-A)/N;79fprintf(OUP,’%5.3f %11.8f 0\n’,T,W);80I=1;81OK=TRUE;82%STEP283while I<=N&OK==TRUE84%STEP385XK1=W+0.5*H*F(T,W);86W0=XK1;87J=1;88IFLAG=0;89%STEP490while IFLAG==0&OK==TRUE91%STEP592W=W0-(W0-XK1-0.5*H*F(T+H,W0))/(1-0.5*H*FYP(T+H,W0));93%STEP694if abs(W-W0)<TOL2095IFLAG=1;96%STEP797T=A+I*H;98fprintf(OUP,’%5.3f %11.8f %3d\n’,T,W,J);99I=I+1;100else101J=J+1;102W0=W;103if J>M104OK=FALSE;105end;106end;107end;108end;109if OK==FALSE110fprintf(OUP,’Maximum Number of Iterations Exceeded\n’); 111end;112%STEP8113if OUP~=1114fclose(OUP);115fprintf(1,’Output file %s created successfully \n’,NAME); 116end;117end;EXAMPLE1The stiffinitial-value problemy =5exp5t(y−t)2+1,0≤t≤1,y(0)=−1The result is:tωiter0.0-1.0000000000.2-0.1414968540.40.2748613950.60.5539828450.80.7830719761.00.993772557EXAMPLE2Using the Trapezoidal Algorithm solve the following stiffinitial-value problemsy =−20(y−t2)+2t,0≤t≤1,y(0)=1/3,with h=0.1The result is:21。
数值分析第五章实习题答案
数值分析第五章实习题答案数值分析第五章实习题答案数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
在数值分析的学习过程中，实习题是非常重要的一部分，通过实习题的练习，可以帮助我们巩固所学的知识，并且提高我们的解题能力。
本文将为大家提供数值分析第五章实习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一题：求下列方程的一个正根，并用二分法和牛顿法分别计算根的近似值。
方程：x^3 - 3x + 1 = 0解答：首先，我们可以通过绘制函数图像来初步估计方程的根的范围。
根据图像，我们可以大致确定根在区间[0, 2]之间。
接下来，我们使用二分法来计算根的近似值。
根据二分法的原理，我们将区间[0, 2]等分为两部分，然后判断根在哪一部分。
不断重复这个过程，直到找到根的近似值。
具体计算过程如下：- 将区间[0, 2]等分为两部分，得到中点x = 1。
- 计算方程在x = 1处的函数值f(1) = -1。
- 根据函数值的正负性，我们可以确定根在区间[1, 2]之间。
- 将区间[1, 2]等分为两部分，得到中点x = 1.5。
- 计算方程在x = 1.5处的函数值f(1.5) = 1.375。
- 根据函数值的正负性，我们可以确定根在区间[1, 1.5]之间。
- 重复以上步骤，直到找到根的近似值。
最终得到根的近似值为x ≈ 1.365。
接下来，我们使用牛顿法来计算根的近似值。
牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近根的位置来计算根的近似值。
具体计算过程如下：- 选择初始近似值x0 = 1。
- 计算方程在x = 1处的函数值f(1) = -1。
- 计算方程在x = 1处的导数值f'(1) = 4。
- 利用牛顿法的迭代公式x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)，我们可以得到x1 ≈ 1.333。
- 重复以上步骤，直到找到根的近似值。
最终得到根的近似值为x ≈ 1.365。
通过二分法和牛顿法，我们分别得到了方程x^3 - 3x + 1 = 0的一个正根的近似值为x ≈ 1.365。
电子科技大学-数值分析答案-钟尔杰
| x n +1 − 7 |=
而xn具有n位有效数，故
所以
| x n +1 − 7 |≤
由此得xn+1的误差限
1 2 7
| x n − 7 |2 ≤
1 × × 10 2− 2 n 2 7 4
1
| x n +1 − 7 |≤
1 × 10 1− 2 n 2
故，xn+1是 7 的具有 2n位有效数字的近似值。 三、问题 1．假定 a0，b0是非负实数且a0≠b0，按如下递推公式
∑ [ai ∑ b j ]
i =1 j =1
n，仍为( n + 2 ) ( n – 1) / 2。 ，算法输出 11 试构造一个算法，对输入的数据 x0，x1，x2，……，xn，以及x（均为实数） 为 ( x –x0) ( x –x1) ( x –x2)……( x –xn) 的计算结果。 解 算法如下： 第一步：输入x；x0，x1，x2，……，xn，M Å (x – x0 )；k Å 0； 第二步：M Å M×(x – x0 )；k Å k+1； 第三步：判断，若 k ≤ n，则转第二步；否则输出 M，结束。 12 利用级数公式
4
π 1 dx = arctan 1 = 可以计算出无理数π 的值。将定积分表示为积分和 2 4 1+ x
R
H
∫
1
0
xn dx ( n = 1，2，…，20) 的递推 5+ x
关系，并研究递推算法的数值稳定性。 6．计算两个多项式Pn(x)和Qm(x)的乘积多项式Tn+m(x)的方法称为向量的卷积方法。设
第一章 习题解答与问题
一、习题解答 1 设 x>0，x 的相对误差限为 δ，求 ln x 的误差。 解：设 x的准确值为x*，则有 ( | x – x* | /|x*| ) ≤ δ 所以 e(ln x)=| ln x – ln x* | =| x – x* | ×| (ln x)’|x=ξ·≈ ( | x – x* | / | x*| ) ≤ δ 另解： e(ln x)=| ln x – ln x* | =| ln (x / x*) | = | ln (( x – x* + x*)/ x*) | = | ln (( x – x* )/ x* + 1) |≤( | x – x* | /|x*| ) ≤ δ 2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限 ε( x ) 和 ε( y ) 。 解：| e(x) | = |e(– 2.18)|≤ 0.005，| e(y) | = |e( 2.1200)|≤ 0.00005，所以 ε( x )=0.005， ε( y ) = 0.00005。 3 下近似值的绝对误差限都是 0.005，问各近似值有几位有效数字 x1=1.38，x2= –0.0312，x3= 0.00086 解：根据有效数字定义，绝对误差限不超过末位数半个单位。由题设知，x1，x2， x3有效 数末位数均为小数点后第二位。故x1具有三位有效数字，x2具有一位有效数字，x3具有零位 有效数字。 4 已知近似数 x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| er(x) | ≤ 5 × 10– 2 。 5 设 y0 = 28，按递推公式 yn = yn-1 –
应用数值分析（第四版）课后习题答案第5章
第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。
(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。
(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。
解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。
(2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表：于是可得插值多项式：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+-代入可得215135(.).N =。
(3)用事后误差估计的方法可得误差为1501511751350656304.(.)(..).R -=-=-◆ 2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()ni i l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nk i i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。
证明：①由Lagrange 插值多项式的误差表达式101()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行插值，其误差为0，亦即0()()ni ii f x l x f==∑精确成立，亦即1()ni i l x ==∑。
李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a的情况，这时消去法无法进行；即kkk时主元素0和舍入增长a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散，最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性齐次性三角不等式x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，精品.资料WORD格式.分享||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
数值分析第二版(丁丽娟)答案
7 10922.5000 23483.0000 23483.5000
8 43690.5000 80827.0000 80827.5000
21.000000000000000 17.000000000000000 16.238095238095237 16.058823529411764 16.014662756598241 16.003663003663004 16.000915583226515
3、 用规范化幂法求
按模最大的特征值和对应的特征向量，取初值
。当特征值有3位小数稳定时停止。
4、 用反幂法求矩阵
练习五
，迭代7次。
的最接近于6 的特征值和对应的特征向量，取初值
例1 令
求
的一次插值多项式，并估计插值误差。
例2 已知函数
的如下函数值表，
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f (x)
1.00
16.007498295841852 16.002385008517887
16.002177786576915 16.00069286350589
则开根号得 4.000114446266071 4.000272214059553 4.000086607000640
，对应的特征向量为
，
第五章答案
2. 解： 正则方程组为
38.000
19.5000
18.199999999999999 16.636363636363637
16.578947368421051 16.179487179487179
16.120879120879120 16.038251366120218
数值分析第五版第5章习题答案
第5章
）矩阵行列式的值很小。
）矩阵的范数小。
）矩阵的范数大。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
答：错误，
∞
•可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
答：错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）|| A ||1 = || A T||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。
答：正确。
A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
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数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：642111111111122221120-=-==x x x x x x A37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
(完整版)数值分析课后习题答案
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
(完整版)数值分析部分课后答案第二版朱晓临
数值分析第二版 朱晓临第一章 习题3.324.045≈324.0 60.0876≈60.090.00035167≈0.0003517 2.00043≈2.000 6.①**x x x-≤51441111111010100.005%222a a -+--⨯=⨯⨯≤⨯=（1≤1a ≤9） 故它的相对误差限为0.005%②∵*12120....100....10n n n n x a a a a a a =±⨯=⨯＜()10.110na +⨯相对误差限＝0.03%***3311*n n n x x x x x x----=⨯⨯⨯⨯⨯⨯＜0.03%0.(a +1)10=0.3(0.a +1)10＜0.510 ∴至少有3位有效数字。
7.6*1), 1.4,0.004096A A =≈=则1.4≈时，⑴()610.005232781≈⑵(330.008-≈⑶()310.0051252613≈+⑷991-≈所以利用第三个得到的计算结果的绝对误差最小。
8.由函数的绝对误差公式：***(())'()()e f x f x e x ≈ ① 令2**2*(),()(),100f x x f x x x ===cm由题目得，*(())1e f x =，**'()2f x x = ②把②代入①，得： 1≈**2()x e x ⋅ 1≈*2100()e x ⨯⋅ *()e x 0.005cm ≈边长的测量误差不超过0.005cm 时，才能使其面积的误差不超过12cm 。
11.**()ln ,()ln f x x f x x ==令则由公式***(())'()()e f x f x e x ≈，得： ***1(())0.510e f x x x l x≈-<⨯- 又***()r x x x xε-≤， 由此可知，*()0.510l r x ε-=⨯所以*x 的相对误差限为0.510l -⨯，有l 位有效数字。
数值分析第5版课后答案
数值分析第5版课后答案本文是数值分析第5版课后答案。
以下是每章节课后习题的答案。
第一章：导论和误差分析1.什么是数值分析？数值分析是利用数学模型和离散数值计算方法进行科学计算的一门学科。
它通过建立数学描述、离散化、数值求解等步骤求解各种科学计算问题。
2.什么是误差？误差是实际值与理论值之间的差异。
误差分为绝对误差和相对误差。
3.什么是有效数字？有效数字是指一个数值中有效的数字位数，不包括前导0和末尾0。
第二章：计算机算术1.什么是机器数？机器数是计算机内部表示的数字。
它是由位组成的2进制数，可以表示整数和实数。
2.什么是补码？补码是表示负整数的一种方法。
它是将一个数反码后加1得到的数，也就是一个数与其相反数的和，是一种用来解决计算机计算负数的方法。
3.什么是浮点数？浮点数是一种可以表示任意大小的实数的计算机数据类型。
它由两部分组成：指数和尾数。
指数表示数的大小，尾数表示数的精度。
第三章：方程的解法1.什么是二分法？二分法是一种求解连续函数零点的方法。
它需要先确定一个区间，然后在该区间中搜索函数值为0的点。
2.什么是牛顿迭代法？牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法。
它利用函数的一阶导数和二阶导数近似表示函数，并利用初始值和迭代公式得到近似解。
3.什么是割线法？割线法是一种求解非线性方程的方法。
它是利用函数两点连线的斜率逼近函数的零点，并利用初始值和迭代公式得到近似解。
第四章：插值和逼近1.什么是插值？插值是利用已知数据点得到一个函数，使这个函数通过这些点。
2.什么是拉格朗日插值？拉格朗日插值是一种插值方法。
它利用数据点和插值点的函数值，通过拉格朗日插值公式得到通过插值点的函数。
3.什么是样条插值？样条插值是一种插值方法。
它是通过多项式连接各个区间，并满足一定条件得到一个光滑的函数。
第五章：数值积分1.什么是数值积分？数值积分是用数值计算方法来近似计算定积分的方法。
2.什么是梯形公式？梯形公式是数值积分的一种方法。
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
《数值分析》第五章答案
习题51．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。
(1) 左矩形公式：⎰-≈ba ab a f dx x f ))(()((2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f ba-≈⎰(3) 中矩形公式：⎰-+≈baa b ba f dx x f ))(2()( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f baba -=≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=--ba ba ba ba dx a f x f dx a f dx x f ab a f dx x f ))()(()()())(()(),()(21)()()()(2ηηξf a b dx a x f dx a x f ba b a'-=-'=-'=⎰⎰),(,b a ∈ηξ(2) )()(b f x f ≈，⎰⎰-=≈b abaa b a f dx b f dx x f ))(()()(⎰⎰⎰⎰-=-≈--b a b a b a ba dxb f x f dx b f dx x f a b b f dx x f )]()([)()())(()()()(21)()()()(2ηηξf a b dx b x f dx b x f ba ba'--=-'=-'=⎰⎰，),(,b a ∈ηξ(3) 法1 )2()(ba f x f +≈ ， ⎰⎰-+=+≈baba ab ba f dxb a f dx x f ))(2()2()(⎰-+-baa b b a f dx x f ))(2()(⎰⎰+-=b a b a dx b a f dx x f )2()( dx b a f x f b a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)2()( dx b a x f b a x ba fb a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-''++-+'=2)2)((21)2)(2(ξdx b a x f dx b a x b a f ba b a 2)2()(21)2()2(⎰⎰+-''++-+'=η 3))((241a b f -''=η 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析课后习题及答案
数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。
若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。
[解]由，可知，，余项为，故。
2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有，从而。
5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。
第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。
又，，，故法方程为，解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。
，。
又，，，故法方程为，解得。
故直线运动为。
补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。
应用最小二乘原理，求R使得达到最小。
对求导得到：。
令，得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。
[解]令，求x使得达到最小。
对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。
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.证明：
(1).如果A 是对称正定矩阵，则1-A 也是对称正定矩阵
(2).如果A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成L L A T =，其中L 是具有正对角元的下三角矩阵。
证明：
(1).因A 是对称正定矩阵，故其特征值i λ皆大于0，因此1-A 的特征值1
-i λ也皆大于0。
因此1
-i λ也皆大于0，故A 是可逆的。
又
111)()(---==A A A T T
则1-A 也是对称正定矩阵。
(2).由A 是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解
U L A ~
=。
又
022211111
12
22
11111DU u u u u u u u u u U n n nn =⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡=
其中D 为对角矩阵，0U 为上三角矩阵，于是
0~
~DU L U L A ==
由A 的对称性，得
~
T
T T
L D U A A ==
由分解的唯一性得
~
L U T =
从而
~~
T
L D L A =
由A 的对称正定性，如果设),,2,1(n i D i =表示A 的各阶顺序主子式，则有
011>=D d ，01
>=
-i i
i D D d ，n i ,,3,2 =
故
2
12
1
2
12
121D
D d d d d d d d d d D n n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
因此
T T
T
LL D L D L L D D L A ===)(21~
2
1~
~2
121~
，
其中2
1~
D L L =为对角元素为正的下三角矩阵。
.用列主元消去法解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=-+-=+-6
1531815331232
1321321x x x x x x x x x 并求出系数矩阵A 的行列式(即A det )的值。
解
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−→−⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−-
=-=↔113/110053/7101513
186
76/3118/176/7053/7101513
186111153312151318)(323
2
18
1
21312
1m b A m m r r
所以解为33=x ，22=x ，11=x ，66det -=A 。
.用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=2100012100012100012100012A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00001b 。
解 设A 有分解
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------11
1
111111211211
211211243
2
154321
ββββααααα， 由公式
⎪⎩⎪
⎨⎧===+===-4
,3,2,,5,4,3,2,,
,111111i c i b c b i i i
i i i i βααβαβαα 其中)5,,2,1( =i b i ，)4,,2,1( =i c i 分别是系数矩阵的主对角元素及其下边和上边的次对角线元素。
具体计算，可得
21=α，232=α，343=α，454=α，5
6
5=α，
211-=β，322-=β，433-=β，5
44-=β。
由
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡----00001561
451341231254321y y y y y ，
得211=
y ，312=y ，413=y ，514=y ，6
1
5=y ；再由
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡--
-
-61514131211541
4
31
3
2121154321x x x x x ， 得615=
x ，314=x ，213=x ，322=x ，6
5
1=x 。
.下述矩阵能否分解为LU (其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵)若能分解，那么分解是否唯一
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=764142321A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133122111B ，⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=461561552621C 。
解 A 中02=∆，故不能分解。
但由于010det ≠-=A ，所以若交换A 的第1行与第3行，则可以分解且分解是唯一的。
在B 中，032=∆=∆，故不能分解。
但B 可以分解为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33320010011113121u l B ，
其中32l ，33u 为任意常数，且U 奇异，故分解不唯一。
对于C ，)3,2,1(0=≠∆i i ，故C 可以分解且分解唯一。
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=131621136121C 。
.求证：(1).∞∞
≤≤x n x x
1；(2).F F A A A n
≤≤21。
证明 (1).由定义知
∞=∞
=≤≤=≤≤∞
==≤=≤=∑∑∑x n x
x x x x x
n
i n i i n
i n i i i n
i 1
1
11
11max max
故∞∞
≤≤x n x x
1。
(2).由范数定义，有
∑∑∑∑∑=======+++==+++≤=n
i F
n
j ij n
i in
n
i i n
i i T
T n T T T A a a a a A A tr A A A A A A A A A 1212
1
2
1
22
1
21
21max 2
2)()
()()()( λλλλ
又
221max 2
21)]()()([1)(F T n T T T A n
A A A A A A n A A A =+++≥=λλλλ
所以F F A A A n
≤≤21。
.设n
n R
P ⨯∈且非奇异，又x 设为n
R 上一向量范数，定义
Px x P =
试证明P x 是n
R 上向量的一种范数。
证明 只需证明P x 满足向量范数的三个条件。
(1).因P 非奇异，故对任意0≠x ，有0≠Px ，故0≥=Px x
P
，当且仅当0=x 时，
有0==Px x
P。
(2).对任意R ∈α，有
P P x Px x P x αααα===。
(3).对任意n
R y x ∈,，有
P P P y x Py Px Py Px y x P y x +=+≤+=+=+)(，故P x 是n R 上的向量
范数。
.设A 为对称正定矩阵，定义()2
1,x Ax x A
=，试证明P x 是n R 上向量的一种范数。
证明 只需证明A x 满足向量范数的三个条件。
(1).因A 正定对称，故当0=x ， ()0,2
1==x Ax x
A
；而当0≠x 时，
()0,2
1>=x Ax x
A。
(2).对任意R ∈α，有
()A T T A x Ax x x A x x x A x ααααααα====()()(,2
1。
(3).因A 正定，故有分解T
LL A =，因而
2
2
12
1
))()(()()(x L x L x L x LL x Ax x x
T T T T T
T T A
====
对任意n
R y x ∈,，由2•的三角不等式有
2
2
2
2
2
2
)(T T
T T T T T A
L L y L x L y L x L y x L y
x +=+≤+=+=+，
故A x 是n
R 上的向量范数。