统计学变异指标
统计学第六章
N
i
X
N
第 i 个单位 的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、 520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。
解：
X
N
440 480 520 600 750 2790 558 元 5 5
i
A D
X X
（二）变量与算术平均数计算的方差小于变量与任何其他常 数的方差 （三）两个独立随机变量和的方差，等于这两个随机变量方 差的和 2 2 2
( x y ) x y
（四）变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的 平方 2 2 2
y a bx, y b x
第二节 全距、分位差和平均差 一、全距 指所研究的数据中，最大值与最小值之差， 又称极差。
R X max X min
最大变量值或最 高组上限或开口 组假定上限 最小变量值或最 低组下限或开口 组假定下限
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为 440元、480元、520元、600元、750元，则
4. 反映了中间50%数据的离散程度;
5. 不受极端值的影响;
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 甲城市 回答类别 户数 (户) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24 108 93 45 30 累计频数 24 132 225 270 300 —
解：设非常不满意为 1,不满意为2, 一般为 3, 满意为 4, 非常满 意为5 。 已知
一、离中趋势的涵义 指总体中各单位标志值背离 离中趋势 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综 合指标，也称为标志变动度
统计学平均指标与标志变异指标
1 1 2
d Mo
上限公式：
Mo
U Mo
2 1 2
d Mo
第23页/共51页
（二）中位数（Me） ※ 中位数是将数列中的标志值按大小顺序
排列，处于中间位置的那个标志值。 ※ 中位数把全部标志值分成两个部分，即两端
的标志值个数相等 ※ 中位数不受极端值的影响 ※ 当数列中出现极大标志值或极小标志值时，
极差是总体各单位标志值中最大值与最小 值 之差，也称全距，用来表示标志值的变动范围。
其计算公式为： R＝最大值－最小值
第31页/共51页
（二）分位差 分位差是对极差指标的一种改进，就是从
变量数列中剔除了一部分极端值之后重新计算 的类似于极差的指标。
常用的分位差有： 四分位差、十分位差、百分位差等。
bx a
22 x
即有：
3、如果两xy个变量x2 和独y2 立，它x2们y的代x2数和 y2的标准
差 就等于两个变量方差之和的方根，它们代数
第38页/共51页
4、在总体分组的条件下，变量的总方差可以分解为 组内方差平均数与组间方差两部分，即有：
2 2 2
组内方差——反映组内部标志值对组平均数的方 差 组间方差——反映组平均数对总平均数的方差 总方差——表示总体第各39页标/共志51页值对总平均数的方差
（三）标准差和方差的数学性质
1、标准差和方差具有“平移不变”的特性。
若a 为任意常数，则变y量 x a
的
标准
差和
方差与原
xa
变量相x，同，x2即a有:
2 x
第37页/共51页
2、将原变量x乘以一个任意常数b，则新变量y bx
的标准差和方差分别为原来的 b
统计学基础平均指标和变异指标
统计学基础平均指标和变异指标平均指标和变异指标是统计学中常用的两种指标，用于描述数据分布的中心趋势和离散程度。
在统计分析中，这两个指标的应用非常广泛。
1.平均指标：平均指标是用来表示数据分布的中心位置的指标，常见的平均指标有平均数、中位数和众数。
-平均数：平均数是指一组数据之和除以数据个数，表示了数据的平均水平。
平均数的计算方法是将所有数据相加，然后除以数据个数。
例如，对于一组数据：2，3，5，7，10，平均数的计算方式为(2+3+5+7+10)/5=5.4-中位数：中位数是将数据按照大小顺序排列后位于中间位置的数值，它划分了数据的中间位置。
如果数据个数为奇数，则中位数为排序后的中间值；如果数据个数为偶数，则中位数为排序后中间两个值的平均值。
中位数对于数据的极端值不敏感，适用于数据有异常值的情况，能够更好地表示数据的中心位置。
例如，对于一组奇数个数据：1，3，5，7，9，中位数为5；对于一组偶数个数据：2，4，6，8，中位数为(4+6)/2=5-众数：众数是一组数据中出现次数最多的数值，表示了数据中的高频值。
一个数据集可以有一个或多个众数。
如果一个数据集没有重复值，那么它没有众数。
例如，对于一组数据：1，2，3，4，4，4，5，众数为42.变异指标：变异指标是用来度量数据分布的离散程度，可以用来描述数据的稳定性和可变性。
常见的变异指标有极差、方差和标准差。
-极差：极差是一组数据的最大值和最小值之间的差异，表示了数据的全距。
极差越大，数据的离散程度越大；极差越小，数据的离散程度越小。
例如，对于一组数据：2，3，5，7，10，极差为(10-2)=8-方差：方差是一组数据与其平均数之间偏离程度的平均值的统计量，表示了数据分布的离散程度。
方差的计算公式是每个数值与平均数之差的平方之和除以数据个数。
例如，对于一组数据：2，3，5，7，10，平均数为5.4，方差的计算方式为[(2-5.4)^2+(3-5.4)^2+(5-5.4)^2+(7-5.4)^2+(10-5.4)^2]/5≈7.04-标准差：标准差是方差的平方根，是一个衡量数据分布离散程度的指标。
统计学第五章(变异指标)
峰态及其度量
峰态定义
峰态是指数据分布的尖峭程度或扁平程度。在统计学中，峰态通常通过峰态系数 来度量。
峰态系数
峰态系数是描述数据分布峰态程度的一个统计量，通常表示为K。当K=3时，分 布呈正态分布，峰度适中；当K>3时，分布呈尖峰分布，即比正态分布更尖峭； 当K<3时，分布呈平峰分布，即比正态分布更扁平。
方差
要点一
定义
方差是在概率论和统计方差衡量随机 变量或一组数据时离散程度的度量， 用来度量随机变量和其数学期望（即 均值）之间的偏离程度。
要点二
计算公式
方差s^2=[(x1-x)^2+(x2x)^2+......(xn-x)^2]/n（x为平均数）。
要点三
性质
方差越大，说明随机变量取值越离散； 方差刻画了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度；若X的取值比较集 中，则方差D(X)较小，若X的取值比较 分散，则方差D(X)较大；因此，D （X）是刻画X取值分散程度的一个 量，它是衡量取值分散程度的一个尺 度。
变异系数的计算
01
注意事项
02
当数据集包含极端值时，变异系数可能会受到影响。
03
对于非正态分布的数据，变异系数的解释需谨慎。
变异系数的应用
比较不同数据集的离散程度
通过比较不同数据集的变异系数，可以评估它们 的相对波动程度。
在质量控制中的应用
通过计算产品质量的变异系数，计学第五章变异指
目
CONTENCT
录
• 变异指标概述 • 变异系数 • 极差、四分位差与平均差 • 标准差与方差 • 偏态与峰态的度量 • 变异指标在统计分析中的应用
01
变异指标概述
统计学中标志变异指标分析
结果表明：乙组工人日产零件平均数 的代表性比甲组高。
【例】
某班统计学考试分数资料如下
按成绩 组中 分组 值x 60以下 55
60-70 65
70-80 75
80-90 85 90以上 95 合 计 —
人数 f(人)
总成 绩xf
(xx)2f
• 缺点：容易受两极端值影响，带有较大 的偶然性，而对于两个极端值之间标志 值的分散状况没有反映，因而不能准确 描述出数据的分散程度，只是测定标志 变异指标的粗略方法，不能全面反映总 体各单位标志的变异程度。
补充：四分位差
• 把一个变量数列分成四等份，形成三 个分割点Q1 、 Q2 、 Q3，这三个分割 点的数值就称为四分位数，Q2 也是中 位数，四分位差为： Q.D.= Q3 － Q1
• 数四分位差Q.D.数值越大，说明中位 数Me的代表性愈差，反之，则说明中 位数Me的代表性愈好。
（二） 平均差（Ａ·Ｄ）
平均差：是总体中各单位标志值与 其算术平均数之间绝对离差的算术 平均数。它能综合反映总体标志值 的变异程度。
A
D
Σ|x x| n
AD
Σ|xx|f
Σf
【例】：
有两个生产小组，每组都是5名工人， 某天日产量的件数如下：
离中趋势：指远离中心值的程度。
变异指标反映离中趋势：
离散程度不同就意味着变量在平均数 周围分布的密集程度不同，从而同样的平 均数对于两个总体具有不同的代表性。
【例】 A组：65、68、72、75分
B组：34、51、95、100分 A组的总成绩：280分，平均成绩70分 B组的总成绩：280分，平均成绩70分
统计学变异指标ppt课件
乙 丙 丁戊 520 600 700 850 平均奖金
标志值（变量值） = 626（元）
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的
程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
数据1： 1、 2、 3、 4、 5 数据2： 10、20、 30、40、50
显然,这两组数据的差别程度相同，而它们水平不同或平 均数不同，这时就不能用绝对指标（标准差）比 较它们的差异程度大小。
这时就要计算离散系数指标来比较它们之间的差别程度 大小。
变异系数
如果两个数列平均水平不同，或两个数列标志值 的计量单位不同时，要比较其数列的变动度（即比较 其数列平均数的代表性大小），怎么办？
V
X
100﹪
在实际工作中运用最为广泛的是标准差系数指标。
注意：标准差与标准差系数的不同应用条件：
在比较两个不同数列（总体）标志变异程度大小 （或说明其平均数代表性大小）时，当其平均水平相 同时，可直接计算标准差进行比较；当其平均水平不 相同（或其计量单位不同）时，需消除平均水平不同 或计量单位不同的影响，计算标准差系数进行比较。
—
-39
X 85 2 X 85 2 f 10 10
9
90
4
76
1
50
0
0
1
27
4
56
9
72
—
371
σ
X A d
2
f
f
X A d
f 2 d
f
371 39 2 d 14.85(公斤) 165 164
统计学变异指标
优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分
布的数列具有特殊优点。
缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶 然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。
全距的作用
1、经常应用于生产过程的质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ控制；
2、用于比较不同总体数值的均衡性或 平均数的代表性；
在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平 均数代表性大小，这时： 全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的 代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性 较差；反之，则相反。
的平均考分。 （2）试问A、B两门课程平均
xA
65 70 75 80 85
375
xB
68 70 76 80 81
375 70 70
●
xC
79 85 90 95 100
449 75 76
●
甲 乙 丙 丁 戊
合 计
考分哪个更有代表性？
（3）试问A、C 两门课程平均 考分更有代表性？ 例如， 80 80 85 81
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的 程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
平均数
表 学生
序号
各课程考分（分）
（1）试计算A、B、C三门课程
2
【例2】根据未经分组的资料
xA xB
xA x A
-10
-5 0 5 10 —
表
学生 课程（分） 平均数离差 离差平方 平均数离差 离差平方 序号 2 2
( xA x A)
描述变异程度的统计学指标
描述变异程度的统计学指标《描述变异程度的统计学指标》概述：描述变异程度的统计学指标是用于衡量数据集内部差异的一组统计量。
这些指标帮助我们了解数据的分散程度，用以描述数据的变异程度及其稳定性。
本文将介绍几种常见的用于描述变异程度的统计学指标。
1. 平均数（Mean）：平均数是最常用的描述变异程度的指标之一。
计算方式是将所有数据值相加，然后除以数据的个数。
平均数能够提供数据集的集中趋势，但在面对异常值时容易受到干扰。
2. 方差（Variance）：方差是衡量数据集内部差异的另一个重要指标。
方差计算时首先求出每个数据值与平均数之差的平方，并将这些差值的平均数作为方差值。
方差值越大，表示数据集内部的差异程度越大。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，它衡量数据集内部差异的一种常用指标。
标准差值越大，表示数据集内部的差异越大。
与方差相比，标准差更易于理解，并且在数据分析中更常用。
4. 极差（Range）：极差是变异程度的一种简单度量，它是数据集中最大值与最小值之间的差异。
极差提供了数据集取值范围的信息，但它忽略了数据值的分布情况。
5. 百分位数（Percentiles）：百分位数是描述变异程度的有用工具，它将数据集分成100个等分。
例如，第50百分位数（中位数）将数据集划分为两个等分，分别包含50%的数据。
分析不同百分位数之间的差异可以提供关于数据分布的更详细信息。
6. 四分位数（Quartiles）：四分位数是将数据集划分为四等分的百分位数，其提供了数据集分布的更多信息。
第一四分位数将数据集划分为四个等分中的第一个，包含25%的数据，第三四分位数划分为四个等分中的第三个，包含75%的数据。
四分位数可以用来检测数据集中的异常值。
结论：描述变异程度的统计学指标提供了深入了解数据集内部差异程度的方法。
通过求取平均数、方差、标准差、极差、百分位数和四分位数等指标，我们可以更好地理解数据的变异程度及其稳定性。
医学统计学(课件)变异程度
根据群体数据估计变异程度并制定参考值范围
参考值范围
根据群体数据可以制定参考值范 围，以指导临床医生对患者的病 情进行评估和治疗。
群体差异
在制定参考值范围时，需要考虑 不同人群之间的差异，以确保参 考值范围的适用性。
数据来源和质量
数据的来源和质量对变异程度的 估计也有重要影响。因此，在制 定参考值范围时，需要选择可靠 的数据来源，并采用正确的统计 方法进行数据分析。
01
病情严重程度
02
治疗效果
03
患者个体差异
根据患者的病情严重程度，可以估计 治疗过程中病情波动的幅度，从而评 估变异程度。
根据临床经验，可以了解不同治疗方 案对患者的治疗效果，通过比较不同 方案的疗效差异，评估变异程度。
考虑到患者个体差异对治疗反应的影 响，医生在制定治疗方案时需要充分 考虑患者个体的特征，以制定更为精 确的治疗方案。
计算方法为：先计算每个观察值的差的平方 ，然后求平均值，最后取平方根。
方差
方差是指一组观察值的平均值与每个观察值的差的平 方的平均数。它用于衡量一组数据的离散程度，即数 据分布的宽度。
计算方法为：先计算每个观察值的差的平方，然后求 平均值。
04
CATALOGUE
内在变异程度与个体差异
内在变异来源
样本量对变异程度的评估
通过评估样本中的变异程度，可以推断总体中的变异程 度，从而确定样本量是否足够代表总体。
样本量估算方法
根据变异程度估算样本量
根据已知的变异程度来估算所需的样本量。例如，在 临床试验中，根据疾病的标准差来计算所需的样本量 。
利用公式估算样本量
使用公式或统计软件来估算样本量，考虑了其他与样 本量相关的因素，如预期效应大小、检验水准等。
《统计学》第三章--统计指标
常住单位是在一国经济领土上具有经济利益中
心的机构单位。
机构单位是国民经济统计的基本经济单位，它 是能以自己的名义拥有资产、发生负债、从事经济 活动并与其它实体进行交易的经济实体。
“非常住单位”——也称为“国外” 。
经济领土是由一国政府控制的地理领土组成。 我国的经济领土—— 包括我国大陆的领地、领海、领空和位于国际水 域而我国具有捕捞和海底开采管辖权的大陆架、我 国住外使馆、领馆用地， 不包括位于我国领土范围内的外国使馆、领馆用 地及国际组织用地。
保险密度=保费/人口数 金融相关度（率）=金融资产总量/GNP
每万人口医院病床数
年份
每万人口医院病床数（张/万人）
2001 2002 2003 2004 2007
23.9 23.2 23.4 24.0 26.3
强度相对数的特点
相对数是惟一有单位（且为复名数）的相对数 （有的也用无名数形式）；
分子分母一般可以互换，故有正指标与逆指标之 分。
4.40 31.20 27.90 63.10
66.40
10.60
7.90 28.10 26.80 61.20
65.10
33.80 29.50 65.50
69.60
2.60 14.50
1.60 10.20
23.20 28.40
20.60 29.80
74.30 57.10
77.80 60.00
2.比例相对数——比例（结构性的比例）
•货币化程度=用货币支付的商品和劳务总量 / 全部商品和劳务总量
国家和地区
中国 日本 韩国
新加坡
美国 俄罗斯联邦
按三次产业分就业人员构成
第一产业
第二产业
简要说明标志变异指标的概念和作用(一)
简要说明标志变异指标的概念和作用(一)标志变异指标的概念和作用概念标志变异指标是指用来度量某个变量在不同群体或时间点之间的差异程度的指标。
它可以衡量一组数据的离散程度，反映了这组数据的分散情况。
在统计学和数据分析中，标志变异指标被广泛应用于描述和比较不同群体或时间序列之间的差异性。
作用标志变异指标在数据分析和决策制定中起着重要的作用。
它可以帮助我们： 1. 了解数据的离散程度：通过标志变异指标，我们可以判断数据的分散情况，进而了解数据的离散程度。
例如，在财务分析中，标志变异指标可以用来揭示不同公司的经营状况差异，帮助投资者评估风险水平和盈利能力。
2. 比较不同群体的差异：通过比较不同群体的标志变异指标，我们可以评估不同群体之间的差异程度。
例如，在教育研究中，标志变异指标可以用来比较不同学校的学生成绩表现，帮助教育决策者找出差异明显的学校，进一步分析其原因并制定相应的改进措施。
3. 监测时间序列的波动：通过监测时间序列数据的标志变异指标，我们可以分析数据的波动情况，帮助预测未来的发展趋势。
例如，在经济分析中，标志变异指标可以用来监测经济指标的波动，预测经济的增长或衰退。
常用的标志变异指标常用的标志变异指标包括： - 方差（variance）：方差是一种衡量数据分散程度的指标，用于度量各个观察值与平均值之间的差异。
方差越大，表示数据的离散程度越大。
- 标准差（standard deviation）：标准差是方差的平方根，也是一种常用的衡量数据离散程度的指标。
标准差越大，表示数据的离散程度越大。
- 变异系数（coefficient of variation）：变异系数是标准差与均值之比，用于衡量数据离散程度相对于均值的相对程度。
变异系数越大，表示数据相对于均值的离散程度越大。
- 百分位数（percentile）：百分位数是统计学中常用的衡量数据分布情况的指标，表示有多少观察值小于该值。
常用的百分位数包括中位数（50%分位数）和四分位数（25%和75%分位数）等。
第五章 平均指标和变异指标 《统计学原理》PPT课件
第一节 平均指标的概念和作用
一、平均指标的概念 平均指标，是同类社会经济现象总体内 各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件 下数量差异抽象化的代表性水平指标，其数值 表现为平均数。
二、平均指标的作用 (一)利用平均指标，可以了解总体次数分布的集
(二)利用平均指标，可以对若干同类现象在不同 单位、地区间进行比较研究
G
f 1 f 2 f 3 fn X1 f 1 • X 2 f 2 • X 3 f 3 • X n fn
f
Xf
［公式5—8］
第五节 众数和中位数
一、众数
在观察某一总体时，最常遇到的标志值，在 统计上称为众数。
下限公式:
M0
L
( f0
( f0 f 1 ) f 1) ( f0
•i f 1 )
X1 X 2 X 3
Xn
m
1 X
［公式5—6］
[例5-4]某农产品收购部门,某月购进三批 同种产品,每批产品的价格及收购金额见表 5-3,求三批产品的价格.
［例 5-4］
第一批 第二批 第三批
合计
价格X(元/千 克) 50 55 60
_
收购金额 m(元) 11000 27500 18000
56500
(三)利用平均指标，可以研究某一总体某种数值 的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和 趋势
二、平均指标的作用 (四)利用平均指标，可以分析现象之间的 依存关系 (五)平均指标可作为某些科学预测、决策 和某些推算的依据
第二节 算术平均数
一、算术平均数的基本形式
算术平均数
总体标志总量 总体单位总数
［公式5—1］
例如,某公司某月的工资总额为744万元,工 人总数为2000人,则该公司工人的月平均工 资为:
统计学第四章 综合指标
3、计划完成百分数的计算
A、计划数为绝对数。
绝对数的计划完成百分数 实际绝对水平 100% 计划绝对水平
某工业企业总产值资料如下表：
车 名
间 称
总产值（万元） 计划Hale Waihona Puke 实际数计划完成百分数 （%）
（甲）
甲 乙 丙
（1）
50 110 140
（2）
80 100 140
（3）=（2）/（1）
160.00 90.91 100.00
时期指标与时点指标的联系：
1、二者都属于总量指标。 2、二者通常是相互影响的。
总量指标的计算
总量指标的单位一般有: 实物量单位 价值量单位 劳动量单位
1. 实物单位是根据事物的自然属性和特点采用的计 量单位。 实物单位的分类： ①自然单位：它是按照研究现象的自然状况来计量其 数量的一种计量单位。 ②度量衡单位：它是按照同意的度量衡制度的规定来 计量客观事物数量的一种计量单位。 ③双重单位和复合单位：是指在需要同时采用两个或 两个以上单位来计量事物时采用的单位。 ④标准实物单位：按照统一折算的标准来度量被研究 现象数量的一种计量单位。
相对指标在统计分析中的作用：
• 相对指标为人们深入认识事物发展的质 量与状况提供客观的依据，社会经济现 象总是相互联系、相互制约的关系。 • 计算相对指标可以使不能直接对比的现 象找到可以对比的基础，进行有效的分 析。
二、相对指标的种类及计算方法：
1、结构相对指标： • 定义：是在资料分组的基础上，以总体 总量作为比较标准，求出各组总量占总 体总量的比重，来反映总体内部组成情 况的综合指标。
合
计
300
320
106.67
要求：计算各车间和全厂总产值的计划完成百分数。
标志变异指标
2、平均差的计算
（1）由未分组资料计算平均差
A.D. x x n （2）由分组资料计算平均差
1-10
A.D.
xx
f
f
标志变异指标
【例3.21】设某公司职工工资资料，如表所示：
组中值x（元）
750 1250 1750 2250 2750 3500 4500
合计
200名职工工资分配数列
职工人数f（人）
标志变异指标
第一步：确定第一四分位数、第三四分位数的位置。
第一四分位数的位置=
n 1 4
第三四分位数的位置=
3(n 1) 4
第二步：查找对应位置上的标志值，找到的标志值即为第一四分
位数和第三四分位数。
第三步：计算四分位差。
【例3.18】有一组有序的数列：65、68、71、72、75、75、76、 78、80、82、84、85、86、88、90，计算四分位差。
2、偏度的计算
V3 3
其中：
V3
(x
n
x )3
1-15
标志变异指标
【例3.24】根据50名学生的年龄资料计算偏度如表3.16所示
按年龄分组 x （岁）
18 19 20 21 22 合计
计算偏度。
人数 f （人）
5 8 24 9 4
50
由50名学生的年龄资料计算偏度
(x x)2
3.9204 0.9604 0.0004 1.0404 4.0804
是指在四分位数中，第三四分位数与第一四分位数之差。 2、什么是四分位数
在一组标志值由小到大排列的数列中，将该数列等分成四个 部分，处在分界点上的标志值称为四分位数，其中：第一个分界 点上的标志值称为第一四分位数；第二个分界点上的标志值称为 第二四分位数；第三个分界点上的标志值称为第三四分位数。 3、四分位差的计算 （11）-4由未分组资料计算四分位差
统计学 第六章 平均指标和标志变异指标概论
哪名运动员的发挥更稳定?
最会的比赛结果是: 中国运动员郭文珺凭借决赛的稳定发挥，以总成绩492.3环 夺得金牌; 预赛排在第1名的俄罗斯运动员纳塔利娅·帕杰 林娜以总成绩498.1环获得银牌; 预赛排在第4名的格鲁吉 亚运动员妮诺·萨卢克瓦泽以总成绩487.4环的成绩获得铜 牌; 而预赛排在第3名的蒙古运动员卓格巴德拉赫·蒙赫珠 勒仅以479.6环的成绩名列第8名
学习目标
● 理解平均指标的意义和作用 ● 掌握数值平均数的计算方法 ● 掌握位置平均数含义﹑适用范围及计算 ● 能运用标志变异指标进行平均数 代表性的对比分析
学习重点
1、平均数和强度相对数的区别；算数平均数的特点 2、数值平均数的计算 3、众数的定义、计算及特点 4、中位数的定义、计算及特点 5、四分位数的确定 6、能运用标志变异指标进行平均数代表性的对比分析
x x1 x2 x3 xn x
n
n
四、加权算术平均数
例2 某车间20名工人加工某种零件资料：
按日产量分 工人数（人）f 日产总量 xf 组（件）x
14
2
28
求平均日产量？
15
4
60
16
8
128
平均日产量 319 20
17
5
85
16件
18
1
18
合计
20
319
Байду номын сангаас
四、加权算术平均数
1、根据单项数列计算加权算术平均数
计算公式：
n
x
x1 f1 x2
f2 x3 f3 xn
n
fn
xi
i1 n
fi
fi
fi
i1
i1
反映指标变异程度的指数
反映指标变异程度的指数【摘要】本文旨在探讨反映指标变异程度的指数，包括方差、标准差、离散系数、变异系数和范围。
方差是衡量数据离散程度的指标，标准差是方差的平方根，离散系数是标准差与平均值之比，变异系数则是标准差与均值的比值乘以100。
范围是最大值与最小值的差异度。
这些指数可帮助我们更准确地了解数据的分布和变异程度，从而做出更有针对性的分析和决策。
通过本文的探讨，读者将能够全面了解这些指数的概念、计算方法及其在实际应用中的重要性。
【关键词】引言、方差、标准差、离散系数、变异系数、范围、结论。
1. 引言1.1 引言变异程度是指一组数据在数值上的差异程度，反映了数据的波动情况。
在统计学中，我们通常使用一些指数来衡量数据的变异程度，从而更好地理解数据的特征和规律。
本文将介绍几种常用的反映指标变异程度的指数，包括方差、标准差、离散系数、变异系数和范围。
这些指数可以帮助我们对数据集的分布和波动情况有更全面的认识，从而为数据分析和决策提供依据。
在本文中，我们将分别介绍这些指数的定义、计算方法和应用场景，帮助读者更好地理解这些概念并在实际分析中加以运用。
通过本文的阐述，读者将能够更加深入地了解数据的变异情况，并能够利用这些指数来进行数据分析和判断。
数据的变异程度对于科学研究、商业决策和政府政策制定都具有重要意义，希望本文能够为读者提供一些帮助和启发。
2. 正文2.1 方差方差是统计学中一种用来度量一组数据离散程度的统计指标。
它是各个数据与其平均值之差的平方和的平均值。
在实际应用中，方差可以帮助我们了解数据集的散布情况，即数据的分布是否分散或集中在平均值附近。
方差的计算公式为：\[ Var(X) = \frac{ \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} {n} \]\( X_i \) 代表第i 个数据点，\( \bar{X}\) 代表数据的平均值，n 表示数据点的个数。
方差的计算过程中，首先计算每个数据点与平均值的差值，然后将这些差值平方并求和，最后除以数据点的个数即可得到方差的值。
统计学第四章_平均指标和变异指标
=
f
=
A
x
nA
=
x
n
简单算均数是加权 算均数的一个特例
cyz
14
※关于加权算术平均数的几点说明
⑶权数作用的实质，不在于各组次数多少，
而在于各组次数占总次数的比重即权重系数 的大小。因此，加权算术平均数可采用权重 系数作权数。 x f x f xn f n x1 f1 x2 f 2 xn f n 公式： x = 1 1 2 2 = n
x = x n
cyz
=
20+21+22+24+25 5
= 22.4（件）
9
3.加权算术平均数(资料已分组）!
每人日产零件 数（件）Ｘ 16 17 工人数（人） ｆ 12 20 权重系数 f/∑f 0.12 0.20
18 19
20
30 23
15
0.30 0.23
0.15
合计
cyz
100
1.00
21
代表水平，反映数据分布的集中趋势。
一是根据各项数据来计算的平均指标，它能够概括反映所
有各项数据的平均水平，这种平均指标称为数值平均数。 二是把总体中处于特殊位置上的数据看做平均数，这种平 均值称为位置平均数。 数值平均数：算术平均数、调和平均数、几何平均数 位置平均数：众数、中位数
cyz
5
二.平均数的种类及计算
志总量，可用基本公式。
cyz 8
2.简单算术平均数(资料未分组）
若所给资料是总体各单位的标志值，则先将
各标志值简单相加得出标志总量，再除以标 志值的个数，求得平均数。 x1 x2 ... xn x 公式： x= = n n
医学统计学(课件)变异程度
（三）决定取单侧范围还是双侧范围值
有些指标如白细胞数过高或过低均属异常，故其参 考值范围需要分别确定下限和上限，称作双侧。有些 指标如24小时尿糖含量仅在过高、肺活量仅在过低时 为异常，只需确定其上限或下限，称作单侧参考值范 围。
异常 正常 单侧下限
正常 异常 单侧上限
异常
正常
异常
双侧下限 双侧上限
单（侧a)下白细限胞--数-过参低考值异范常围 单(侧b)上24小限时--尿-过糖高参考异值常范围双侧-(-c-过)肺高活、量参过考低值均范异围 常
（四）选择适当的百分范围
参考值的百分范围应根据资料的性质和研究目的选择， 它与诊断阈值有确定的关系。百分范围的不同将导致不同 的假阳性率和假阴性率。
图3-6 正常人和病人数据分布重叠
3.8 4.2 4.6
f (X )1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5 5.4 5.8 X
0 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 X
图3-1 某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布示意图
f (X ) ( fi / n) / Xi
f (X)
1
e
(
X 2 2
)
2
2
R甲 186 142 44(mmHg) R乙 166 159 7 (mmHg)
该法简单明了、容易使用，如用于说明传染病、食物中毒 等的最短、最长潜伏期等；缺点是结果不稳定。
（二）四分位数间距 (Quartile)
Q P75 P25
如由上一章例2.4 算出，50岁～60岁正常女性血清甘油三脂
指标的各种疾病及干扰因素，将这些人排除在外。例如在 制定血清谷－丙转氨酶活性正常值时，选取正常人的条件 为肝、肾、心、脑、肌肉等无器质性疾患，近期无特殊用 药史等。同时可能需要考虑性别、年龄、民族、地理位置 等因素。样本含量一般要较大，如n>120。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极差
指所研究的数据中，最大值与
最小值之差，又称全距。
R X m ax X m in
最大变量值或最 最小变量值或最
高组上限或开口 低组下限或开口
组假定上限
组假定下限
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别 为440元、480元、520元、600元、750
元R，则X max X min 750 440 310 元
解：X 250 208 950 20 1045900 522.95元
2000
2000
m
Xi X f
A D i1
f
250 522.95 208 950 522.95 20
2000
277893.6 138.95元
2000
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
平均差的特点
i 1
440 5582 750 5582
n
5
60080 109.62元
5
即该售货小组销售额的标准差为109.62元。 （比较：其销售额的平均差为93.6元）
标准差的计算公式
⑵ 加权标准差——适用于分组资料
m
2
xi x fi
i 1
m
fi
i 1
第 i 组的变量 第ii 组变量值 算术平均
优点:能综合反映全部单位标志值的实 际差异程度.
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与 算术平均数离差的正负值问题，不便于 作数学处理和参与统计分析运算。
标准差
是各个数据与其算术平均数的 离差平方的算术平均数的开平 方根，用 来表示；标准差的平 方又叫作方差，用 来表2 示。
计算公式：
⑴ 简单标准差——适用于未分组资料
值或组中值 出现的次数
数
【例B】计算下表中某公司职工月工资的标准差。
月工资（元） 组中值（元）X 职工人数（人）f
300以下
250
208
300～400
350
314
400～500
450
382
500～600
550
456
600～700
650
305
700～800
750
237
800～900
850
78
900以上
n
2
xi x
i 1
n
第 i 个单位
的变量值
变量值 总个数
算术平均 数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分 别为440元、480元、520元、600元、750元， 求该售货小组销售额的标准差。
解：x 440 480 520 600 750 2790 558元
5
5
n
2
xi x
n
5
468 93.6元
5
即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。
平均差的计算公式
⑵ 加权平均差——适用于分组资料
m
A D
x1 x f1 xm x fm f1 fm
i 1
xi x
m
fi
fi
i 1
第 i 组的变量 第ii 组变量值 总体算术
值或组中值 出现的次数 平均数
【例B】某季度某工业公司18个工 业企业产值计划完成情况如下：
计划完成程度 组中值 企业数
（﹪）
（﹪） （个）
90以下
85
2
90～100
95
3
100～110
105
10
110以上
115
3
解： 计算R 合该计公X 司max该季X度—m计in 划 完111成80程度10的 全距90。10 120 80 40﹪
极差的特点
优点:直观、计算方法简单、运用 方便 缺点:受极端数值的影响，不能全 面反映所有标志值差异大小及分布 状况，准确程度差
平均差 是各个数据与其算术平均数的离差 绝对值的算术平均数，用A.D表示
计算公式：
⑴ 简单平均差——适用于未分组资料
N
A D x1 x xn x i1 xi x
n
n
第 i 个单位 总体单 算术平均
的变量值 位总数
数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额 分别为440元、480元、520元、600元、750 元，求该售货小组销售额的平均差。
解：
x 440 480 520 600 750 2790 558元
5
5
n
A D i1 xi x 440 558 750 558
标准差的特点
能综合反映全部单位标志值的实际差异 程度；
用平方的方法消除各标志值与算术平均 数离差的正负值问题，可方便地用于数 学处理和统计分析运算。
由同一资料计算的标准差的结果一般要略大于平均差。
标准差的简捷计算
【例B】计算下表中某公司职工月工资的平均差。
月工资（元） 组中值（元） 职工人数（人）
300以下
250 X
208 f
300～400
350
314
400～500
450
382
500～600
550
456
600～700
650
305
700～800
750
237
800～900
850
78
900以上950源自20合计—2000
变异指标值越大，平均指标的代表性 越小；反之，平均指标的代表性越大
20 集中趋势弱、 15 离中趋势强
10 5 0
x 164cm 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174
150 集中趋势强、 100 离中趋势弱
50
0
x 164cm
152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 174
本节基本结构
变异指标
极差
平均差
标准差 变异系数
第五节 变异指标的计算与应用
某班三名同学三门课程的成绩如下： 单位：分
课 程
语文 数学 英语 总成绩 平均成绩
学生
甲 60 65 70 195
65
乙 65 65 65 195
65
丙 55 65 75 195
65
请比较三名同学学习成绩的差异。
变异指标
反映一组变量值差异程度的 综合指标。
950
20
合计
—
2000
解：
x 250 208 950 20 1045900 522.95元
2000
2000
250 522.952 208 950 522.952 20
2000
56386595.01 167.9元
2000
即该公司职工月工资的标准差为167.9元。 （比较：其工资的平均差为138.95元）
一、变异指标的作用
衡量平均指标代表性的大小； 反映社会经济活动过程的均衡程度与稳 定程度； 是进行抽样推断等统计分析的基本指标。
变异指标的种类
测定标志变异度的绝对量指标 （与原变量值名数相同）
极差 平均差 标准差
测定标志变异度的相对量指标
（表现为无名数）
平均差
标准差
系数
系数
二、变异指标的计算与应用