郑州轻工业学院2012—2013学年第二学期《高等数学》期末考试卷(A)

郑州轻工业学院

2012-2013学年第二学期《高等数学》期末考试试卷A

试卷号：20130619

一、填空题（每题3分，共15分）

1.积分⎰-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++11211sin dx x x . 2. 设函数22xy y x z +=，则=)1,1(dz . 3. 函数2294y x z +=在点(2,1)的梯度为 .

4. 设函数()x f 是以π2为周期的周期函数，它在[)ππ，-上的表达式为

()⎩

⎨⎧<≤<≤-=ππx x x x f 000 ，则，在π=x 处，其傅里叶级数收敛于 . 5. 函数)ln(y x z -=的定义域为 .

二、选择题（每题3分，共15分）

1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数()y x f ,在该点处存在偏导数的（ ）．

A ．充分条件；

B ．必要条件；

C ．充分必要条件；

D ．既不是必要，也不是充分条件．

2. 下列级数中，属于条件收敛的是（ ）．

A ．()()∑∞=+-111n n n n ；

B ．()∑∞=-1sin 1n n n n n π ；

C ．()∑∞=-121n n n ；

D ．()∑

∞=-11n n n

． 3. 由曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积为（ ）

A 2

B 1 C

31 D 32 4.累次积分21

0(,)x

x dx f x y dy ⎰⎰可化为（ ）

A

210(,)x x dy f x y dx ⎰⎰

B 10(,)y dy f x y dx ⎰

C 21

0(,)y y dy f x y dx ⎰⎰

D 10

(,)y f x y dx ⎰⎰ 5. 设曲线x y L =:，从点A （0,0）到点B （1,1），则积分22()L y x ds -=⎰（ ） A. 31 B. 0 C. 1 D. 3

2 三、计算题（共6小题，每题8分，）

1.求极限()

⎰→x x dt mt x 0230sin 1lim

2.计算定积分：I=

x x

x d ln 31e 1⎰-.

3. 求幂级数∑∞

=-1)1(n n n

x n 的收敛域.

4.计算积分：

dy x y e dx y y e x L x )2sin ()2cos (+-+⎰曲线()0,11:22≥=+-y y x L ，从点A （2,0）到点

B （0,0）.

5.计算二重积分：I=

⎰⎰+D y x y x d d 22 ，其中D 是由曲线122=+y x 所围成的闭区域.（三本各专业做该题）

5*.计算三重积分⎰⎰⎰Ω+v y x d 22，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围的闭

区域。（二本各专业做该题）

6.求微分方程x x y x y sin 1=+

'的通解.

四、计算曲面积分：（本题7分）

xdydz ydzdx zdxdy ∑

++⎰⎰，其中∑为由曲面22y x z +=，及1=z 所围曲面的外侧.

五、应用题（本题7分）

某公司通过电台及报刊两种方式做某种产品的推销广告.根据统计资料知：销售收入R (万元)与电台广告费x (万元)、报刊广告费y (万元)的关系为22(,)1514328210R x y x y xy x y =++---.

若提供的广告费用为2万元时，求相应的最佳广告策略.

六、求解微分方程（本题8分）

(1)求微分方程0='+''y y 的通解;

(2)求微分方程x xe y y 2='+''的通解.