用DFT进行频谱分析及其误差问题研究

.目录1. 引言 (1)2. 利用 DFT 对有限长序列进行谱分析 (1)2.1谱分析原理 (1)2.2 实验结果及分析 (2)3. 利用 DFT 对周期序列进行谱分析 (2)3.1 谱分析原理 (2)3.2 实验结果及分析 (3)4. 利用 DFT 对连续时间非周期信号进行谱分析 (4)4.1 谱分析原理 (4)4.2 实验结果及分析 (5)5. 利用 DFS 对连续时间周期信号进行谱分析 (5)5.1 谱分析原理 (5)5.2实验结果及分析 (6)6. 利用DFT进行谱分析的误差问题及其参数选择 (7)6.1谱分析的误差分析 (7)6.2谱分析的近似性问题 (7)6.3谱分析的参数选择 (8)7. 利用DFT进行谱分析的误差仿真 (9)7.1混叠效应仿真 (9)7.2栅栏效应仿真 (9)7.3频谱泄露效应仿真 (10)8. 结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (16)1 引言随着信息时代和数字世界的到来，数字信号处理己成为当今一门极其重要的学科和技术领域，数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。

任意一个信号都具有时域与频域特性，信号的频谱完全代表了信号，因而研究信号的频谱就等于研究信号本身。

通常从频域角度对信号进行分析与处理，容易对信号的特性获得深入的了解。

因此，信号的频谱分析是数字信号处理技术中的一种较为重要的工具。

[1]众所周知，傅里叶变换和Z变换是信号处理中常用的重要数学变换。

对于有限长序列，还有一种更加重要的数学变换即离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）。

DFT[2]之所以重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使得数字处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大加大了数字信号处理的灵活性。

信号的频谱分析的实质，就是通过信号的傅立叶变换(FT)来分析信号的频谱结构，信号的FT 可以借助于DFT用计算机仿真方法实现。

一般地，信号按时间是否连续可分为连续时间信号和离散时间信号，按周期性可分为周期信号和非周期信号，在时域内信号可分为4 大类：离散非周期信号(有限长序列)、离散周期信号(周期序列)、连续非周期信号(一般模拟信号)、连续周期信号。

2 利用DFT 对有限长序列进行谱分析2.1谱分析原理假设x(n)为长度为L 的有限长序列，其FT和N 点DFT分别为∑-=-=1) ()(Lnn jj enxeXωω(1)∑-=-=12 )()(NnknNjenxk X π（k=0，1…，-1）(2)对比式(1)，(2)可得，k j e X k X N 2| )(=)( πωω=，即)(k X 是在区间[0，π2]上对)(ωj e X 的N 点等间隔采样。

因此序列的FT 可以通过DFT 近似得到。

对于有限长序列，可知其FT 是周期为π2的连续谱，其DFT 是在区间[0，π2]上对其FT 进行N 点等间隔采样得到的离散谱。

因此对于不同的变换长度 N ，同一个序列的DFT 也不同。

随着N 的增大，其DFT 的包络越来越接近FT ，对其频谱分析也越精确。

需要注意的是在选择DFT 的参数时，应满足 N≥L .[1]2.2 实验结果及分析)(4n R 长度为8，前4个单位为1的有限长序列，对序列)(4n R 进行频谱分析，绘制出其幅频特性曲线。

其谱分析可以通过直接计算其N 点DFT 来近似。

使用matlab 仿真[3]的程序和结果如下。

图 1(a)和(b)分别为R (n)的8点和64点DFT ，是离散谱线。

（a ）)(4n R 的8点DFT 频谱 （b ）)(4n R 的64点DFT 频谱图1 )(4n R 的DFT 频谱由仿真结果可知，比较图1（a ）、(b)随着DFT 点数N 的增加，其包络越来越接近序列的FT ，即由离散频谱转换为连续谱。

在对有限长序列进行谱分析时，通过适当选取DFT 的长度，达到用DFT 进行谱分析的目的，尤其需要注意的是第k(0≤k ≤N - 1)条离散谱线对应的 FT 的频率为k Nπ2。

3 利用 DFT 对周期序列进行谱分析3.1 谱分析原理设)(~n x N 为周期为N 的周期序列，对于周期序列的频谱分析可分 3 步进行： （1）截取其一个周期对应的主值序列)(n x N ，对主值序列进行 N 点 DFT 得到其离散谱)(k x N ，即DFT[)(n x N ] =)(k x N =∑-=-102)(N n kn N j n en x π ，k=0，1，…，N-1。

（2）由周期序列的离散傅里叶级数(DFS)及其主值序列的DFT 之间的对应关系，可得周期序列DFS 对应的)(~n x N 是)(k x N 以 N 为周期进行周期延拓得到的，即 ∑∞-∞=+=i N N lN k X n X )()(~。

（3）对比周期序列的FT 和DFS 之间的关系式)(ωj e X =)2()(~2N k X k N k N πωδπ-∑∞-∞=，得 周期序列N X ~对应的的频谱)(ωj e X 。

由于)(~k X N 是以N 为周期的离散谱，所以周期序列的 FT 是以π2为周期的离散谱，每个周期有N 条谱线，第k 条谱线( k 次谐波分量)位于k Nπω2=处，FT 的幅度与离散傅立叶级数)(~k X N 成正比。

3.2 实验结果及分析（a ）X(n)的周期序列 (b) X(n) 的DFT 频谱图2 X(n)周期序列及其DFT 频谱此次仿真中采用的周期序列X(n)是以单位长度为4的序列以16为周期进行延拓得到的，见图2。

对周期序列X(n)的频谱分析，分3步进行：（1）截取主值序列X(n)；（2）由周期序列的 DFS 和主值序列的DFT 之间的关系，可以得到周期序列的DFS )(~8k X是X(n)以16为周期进行周期延拓得到的；（3）对比周期序列的FT 和DFS 之间的关系式)(ωj e X =)2()(~2k Nk X k N k N πωδπ-∑∞-∞=，可 得周期序列)(~8k x 的频谱结构(见图2)。

需要注意的是FT 频谱结构与DFS 结构相同，不同的是FT 幅度谱的大小为DFS 离散谱幅度的N π2，第k 条谱线对应的频率k Nπω2=。

4 利用 DFT 对连续时间非周期信号进行谱分析4.1 谱分析原理DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，可用计算机直接计算，而连续信号的傅立叶分析显然不便于直接用计算机进行计算。

因此对连续信号的谱分析，可通过对连续信号时域进行采样，应用DFT 进行近似谱分析[1]。

连续时间非周期信号)(t x a 的傅立叶变换对为dt e t x j X t j a a Ω-⎰∞-∞=Ω)()( (3) ΩΩ∞-∞=Ω-⎰d e j X t x t j a a )(21)(π (4) 为便于计算机处理，需要在时域对)(t x a 进行截断、采样处理，同样在频域上也需要对)(Ωj x a 离散化。

具体过程如下：(1) 在时域内对)(t x a 进行采样、截断处理：首先将)(t x a 以T 为间隔进行采样得到采样序列)(nT x a ，然后将采样序列截断成从 t=0 开始长度为0T 的有限长序列，包含 N 个采样值，则公式(3)变为∑-=Ω-=Ω10)()(N n mT j a e nT x T j X (5)由于时域采样的采样周期为T ，由时域采样定理，频域产生以T f s S /22ππ==Ω为周期的周期延拓。

如果)(t x a 是带限信号，则采样信号的频谱不会产生混叠，频谱周期为T S /2π=Ω，取其中的一个周期的FT ，相应的式(5)变为ΩΩΩ≈Ω⎰d e j X nT x mt j a S a )(021)(π (6) (2) 在频域的一个周期s Ω内对)(Ωj X a 进行频域采样，取 N 个样点，每个样点的间隔为0Ω，即0Ω=ΩN s 。

则公式(5)，(6)分别为)]([)()()(2101000n x TDFT e nT x T enT x T jk X kn N j N N nT jk N N a ==≈Ω--=Ω--=∑∑π (7)kn N j N N a nT jk N k a e jk X e jk X nT x πππ210000100)(2)(21)(0∑∑-=Ω--=ΩΩ=ΩΩ≈ )]([1)(2021000Ω=ΩΩ=--=∑jk X IDFI Te jk X N a kn N j N N a ππ (8) 重写式(7)，(8)如下：0|)()(0Ω=ΩΩ=Ωk a a j X jk X (9))]([1|)()(0Ω≈==jk X IDFT Tt X n x nT t a a (10) 式(9)，(10)就是由DFT 求连续非周期信号的傅立叶变换的采样值的近似计算公式。

（a ） )(t x a 采样序列波形 （b ）)(t x a 的DFT 频谱图3 )(t x a 采样序列波形及其频谱4.2 实验结果及分析此次仿真中中用到的连续信号为)()sin()(0t u t Ae t x at a Ω=- ，其中 128.444=A ， π250=a ，)2500π=Ω ，截取连续信号时间区间为[0， 0.055 s]，对)(t x a s T S 001.0=为采样间隔进行采样得到的采样序列波形见图3，对采样序列进行谱分析的结果见图5。

需要注意的是，在选取连续信号的采样间隔S T 时，应满足采样定理，即,21h S f T ≤，h f 为信号频谱的最高频率，所以选取的采样间隔应尽可能小一些。

5 利用 DFS 对连续时间周期信号进行谱分析5.1 谱分析原理对于周期为0T 的连续信号)(t x ，其频谱可以用周期信号的傅立叶级数对来表示，即dt e t x T T jk X t jk a 0)(01)(000Ω-⎰=Ω （11） t jk k e jk X t x 0)()(0Ω∞-∞=∑Ω≈（12）将连续周期信号的傅立叶级数与序列的离散傅立叶级数(DFS)联系起来，需进行如下变换。

在时域一个周期T0内对信号)(t x 进行 N 点采样，采样间隔为T ，则式(11)变为∑∑∑-=-Ω--=Ω--===≈Ω1021001000)(1)()(1)(00N k kn N j nT jk N n nT jk N n e n x N e nT x T T T e nT x T jk X π (13)对式(12)进行时域采样和频域截断，使它成为有限长序列，如果截断长度刚好等于一个周期(时域采样造成的频域周期延拓的一个周期)，则式(12)变为∑∑∑-=-=Ω-=Ω⋅=Ω=Ω≈10202100100)(1)()()(0N k kn N j nk N j N k nT jk N k e jk X N N e jk X ejk x nT x ππ (14) 对比DFT 和DFS 的定义，式(12)，(13)可表示为)]([1)()(0n x DFS Njk X k X ≈Ω= (15) )]([|)()(k X NIDFS t x nT x nT t ≈== (16)式(15)，(17)就是用DFS(DFT)来计算连续周期信号傅立叶级数对的近似公式。