2020届山东省潍坊市高三年级模拟考试(二模)数学试题
山东省潍坊市2020届高三模拟(二模)数学试题(解析版)
山东省潍坊市2020届高三模拟（二模)数学试题一、选择题1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩(∁U B )＝（ ）A ．{1，4}B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{6，7}【答案】C【解析】集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，7}，所以∁U B ＝{1，4，5}，又A ＝{2，3，4，5}，所以A ∩(∁U B )＝{4，5}．故选：C ． 2．若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．0C ．﹣1D ．﹣2【答案】B 【解析】∵()()()()11111122a i i a i a a z i i i i +++-+===+--+，又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，∴102102a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，得﹣1＜a ＜1．∴实数a 的值可以是0．故选：B ．3．甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A ．甲是律师，乙是医生，丙是记者 B ．甲是医生，乙是记者，丙是律师 C ．甲是医生，乙是律师，丙是记者 D ．甲是记者，乙是医生，丙是律师 【答案】C【解析】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B 和D ； 由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生．故选：C .4．以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为（ ）A ．()2214x y -+= B ．()2214x y ++= C ．()2214x y ++= D ．()2214x y +-=【答案】D【解析】抛物线2:4E x y =的焦点为()0,1，准线方程为1y =-，圆与E 的准线相切，则2r，故圆方程为：()2214x y +-=.故选：D.5．设函数f （x ）为奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝e x ﹣cosx ，则不等式f （2x ﹣1）+f （x ﹣2）＞0的解集为( ) A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，13） C ．（13，+∞） D ．（1，+∞）【答案】D【解析】由题知，当x ≥0时，f （x ）＝e x ﹣cosx ，此时有()f x '＝e x +sinx ＞0，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）在区间（﹣∞，0]上也为增函数，故f （x ）在R 上为增函数.由f （2x ﹣1）+f （x ﹣2）＞0，可得f （2x ﹣1）＞﹣f （x ﹣2），而函数f （x ）为奇函数，可得到f （2x ﹣1）＞f （2﹣x ），又f （x ）在R 上为增函数，有2x ﹣1＞2﹣x ，解得x ＞1，即不等式的解集为（1，+∞）.故选：D6．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94 B ．95C ．96D ．98【答案】B【解析】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，m ∈[90,100]，则有n +（n +1）+（n +2）++（n +18）+m ＝19n +171+m ＝1520，则有19n +m ＝1349，则m ＝1349﹣19n ，所以90≤1349﹣19n ≤100，解得14565661919n ≤≤，因为年龄为整数，所以n ＝66，则m ＝1349﹣19×66＝95.故选：B 7．在四面体ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为( )A B C D 【答案】B【解析】在四面体ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为1的等边三角形，四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，设球心为O ，则O 为AD 的中点，∴AB ＝AC ＝BC ＝BD ＝CD ＝1，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，OB ＝OC ＝OD 22=，BO ⊥AD ，BO ⊥OC ， ∴BO ⊥平面ACD ，∴四面体ABCD 的体积为：V B ﹣ACD1112222332ACDS BO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．故选：B 8．已知O 为坐标原点，双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF ∥OA ，若0AB OB ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．233B ．2C ．3D ．2【答案】A【解析】如图所示，设双曲线的半焦距为c ，渐近线方程为：y ＝±b x a，则点F （c ，0），A （c ，bca ），设点B （x 0，0bx a -），∵BF ∥OA ，∴OA BF k k =，即00bx b a a x c-=-，解得：x 02c =，所以(,)22c bc B a -，∴322c bc AB a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，22c bc OB a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，又∵0AB OB ⋅=，∴2222344c b c a-+=0，即a 2＝3b 2．∵c 2＝a 2+b 2，∴a 2＝3（c 2﹣a 2），即3c 2＝4a 2，所以离心率e 233c a ==．故选：A ． 二、多选题9．我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（ ）A ．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B ．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C ．2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定D ．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰 【答案】BCD【解析】由中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于A ，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A 错误；对于B ，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B 正确； 对于C ，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C 正确；对于D ，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D 正确． 故选：BCD10．若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b a b->- B ．11b aa b -<- C ．ln()0b a -> D ．()()ccab ba> 【答案】BD【解析】由函数1y x x=-在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项A 错误； 由函数1y x x =+在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b +<+，即11b aa b -<-，故选项B 正确；由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故ln()b a -与0的大小关系不确定，故选项C 错误；由1a b <<-可知，1a b >，01b a <<，而0c >，则10c ca b b a ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确．故选：BD11．在单位圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点P （x ，y ），圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f （θ），y ＝g （θ），则下列说法正确的是（ ） A ．x ＝f （θ）是偶函数，y ＝g （θ）是奇函数 B ．x ＝f （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为增函数，y ＝g （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为减函数 C ．f （θ）+g （θ）≥1对于02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立D ．函数t ＝2f （θ）+g （2θ）的最大值为2【答案】AC【解析】由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确； ()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=++，[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈)4πθ+∈，即C 正确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0,2]θπ∈则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，3cos θ=时，函数t 取得极大值，为31333222t =⨯+⨯⨯=， 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数t 的最大值为33，即D 错误． 故选：AC ．12．如图，平面α∩平面β＝l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是（ ）A ．若AB //CD ，则MN //l B ．若M ，N 重合，则AC //lC ．若AB 与CD 相交，且AC //l ，则BD 可以与l 相交 D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行 【答案】BD【解析】若//AB CD ，则A 、B 、C 、D 四点共面γ，当<AB CD 时，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，则三条交线交于一点O ， 则l 与平面γ交于点O ，MN ∴与l 不平行，故A 错误；若M ，N 两点重合，则//AC BD ，A 、B 、C 、D 四点共面γ， 平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC BD ，得////AC BD l ，故B 正确；若AB 与CD 相交，确定平面γ，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC l ，得////AC BD l ，故C 错误；当AB ，CD 是异面直线时，如图，连接BC ，取BC 中点G ，连接MG ，NG ．则//MG AC ，AC α⊂，MG α⊂/，则//MG α，假设//MN l ，l α⊂，MN α⊂/，//MN α∴，又MNMG M =，∴平面//MNG α，同理可得，平面//MNG β，则//αβ，与平面α平面lβ=矛盾．∴假设错误，MN 不可能与l 平行，故D 正确． 故选：BD ． 三、填空题13．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F ，且12,F F 与水平夹角均为45︒，12102N F F ==，则物体的重力大小为_________N .【答案】20【解析】由题意知12||=|F +F |G .12,FF 的夹角为2π.所以2222121122||||||+2||||cos+||2G F F F F F F π=+=.所以2||200+0+200=400G =.所以||20G =. 14．已知5024sin ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则tanα＝_____． 【答案】3【解析】5sin()4πα-=，且(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，225cos()1()44sinππαα-=--=，∴2235310sin sin[()][sin()cos()]4444ππππαααα=-+=-+-=⨯=，(0,)2πα∈，∴210cos1sinαα=-=，∴sintan3cosααα==．15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．【答案】36【解析】由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；在四个位置上种植有442212AA=种方法，则由乘法原理得131236C⨯=种方法．16．已知函数()3212311lnx xf xx x x≥⎧=⎨-+⎩，，＜则x∈[﹣1，e]时，f（x）的最小值为_____；设g（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a若函数g（x）有6个零点，则实数a的取值范围是_____．【答案】﹣4 （0，14）【解析】当[1x∈，]e时，()f x lnx=，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为()110f ln==，当[1x∈-，1)时，32()231f x x x=-+，则2()660f x x x'=-=时，1x=（舍)或0，且有()f x在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减，因为()()123141f f-=--+=-<，故函数()f x在[1-，]e上的最小值为4-；令()t f x=，()0g x=即2t t a-=-，作出函数()y f x=的图象，如图所示：直线y t=与函数()y f x=的图象最多只有三个交点，所以01t<<，即说明方程2t t a-=-有两个(0,1)内的不等根，亦即函数2y t t=-在(0,1)内的图象与直线y a =-有两个交点，因为2211()24y t t t =-=--，根据2y t t =-的图象可知，104a -<<，即实数a 的取值范围为104a <<．四、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知233a A π==，，（1）若4B π=，求b ；（2）求△ABC 面积的最大值． 【解析】（1）4B π=，23,3a A π==，∴由正弦定理sin sin a bA B=，可得223sin 22sin 3a Bb A ===．（2）23,3a A π==，∴由余弦定理知222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+--=，212bc a ∴=，当且仅当b c =取“=”；ABC ∆∴面积的最大值为113sin 123322bc A =⨯= 18．已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【解析】（1）令1n =，得()1132321a b =+-=，所以11b =，令2n =，得211223(43)27a b a b +=+-⨯=，所以226a b =，又23b =，所以22a =， 设数列{}n a 的公比为q ， 则212a q a ==，所以12n n a ；（2）当2n ≥时，11122113[2(1)3]2n n n a b a b a b n ---+++=+--①又3311223(23)2n n n a b a b a b b n a +++=+-，②②–①113(23)23(25)2(21)2nn n n n a b n n n --⎡⎤=+--+-=-⎣⎦， 因为12n na ，所以21nb n =-，1n =时也成立，所以21n b n =-.111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， 所以111111[(1)()()]23352121n T n n ==-+-++--+ 111111[(1)()]23213521n n =+++-+++-+ 11(1)22121nn n =-=++. 19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB ⊥BC ，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③∠ABC 3π=． 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝2，，PD 的中点为F ．（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF //平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值．【答案】（1）存在，G 是线段AB 的中点，证明见解析；（2）详见解析 【解析】（1）在线段AB 上存在中点G ，使得AF ∥平面PCG ． 证明如下：如图所示：设PC 的中点为H ，连结FH ，因为//FH CD ，12FH CD =，//AG CD ，12AG CD =，所以//,FH AG FH AG = 所以四边形AGHF 为平行四边形， 则AF ∥GH ，又GH ⊂平面PGC ，AF ⊄平面PGC ， ∴AF ∥平面PGC ． （2）选择①AB ⊥BC ：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ， 由题意知AB ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），F （0，1，1），P （0，0，2）， ∴AF =（0，1，1），CF =（﹣2，﹣1，1）， 设平面F AC 的一个法向量为μ=（x ，y ，z ），∴020AF y z CF x y z μμ⎧⋅=+=⎨⋅=--+=⎩，取y ＝1，得μ=（﹣1，1，﹣1），平面ACD 的一个法向量为v =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ，则cosθ33v vμμ⋅==⋅， ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为33． 选择②FC 与平面ABCD 所成的角为6π： ∵P A ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结AE ，取AD 的中点M ，连结FM ，CM ， 则FM ∥P A ，且FM ＝1， ∴FM ⊥平面ABCD ，FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ，∴6FCM π∠=，在Rt △FCM 中，CM 3=又CM ＝AE ，∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2， ∴A （ 0，0，0），B （ 3，﹣1，0），C 31，0），D （0，2，0），E 3，0，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（30，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），则030m AF y z m CF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取x 3=，得m =33，3）， 平面ACD 的一个法向量为：n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， 则cosθ217m n m n⋅==⋅． ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为217． 选择③∠ABC 3π=：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，取BC 中点E ，连结AE ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝2， ∴A （ 0，0，0），B （ 3，﹣1，0），C 31，0），D （0，2，0），E 3，0，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（30，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），则030m AF y z m CF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取x 3=，得m =33，3）， 平面ACD 的法向量n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， θ则cosθ21m n m n⋅==⋅ ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为217． 20．已知函数f （x ）()1xe alnx g x x x=+=，，（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：a ＝1时，f （x ）+g （x ）﹣（12ex +）lnx ＞e ． 【解析】（1）f （x ）1x=+alnx ，（x ∈（0，+∞））． ()f x '2211a ax x x x-=-+=．当a ≤0时，()f x '＜0，函数f （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递减． a ＞0时，由()f x '0<，得10x a <<，由()f x '0>，得1x a> 所以函数()f x 在（0，1a ）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增． （2）证明：a ＝1时，要证f （x ）+g （x ）﹣（12ex +）lnx ＞e ． 即要证：21x e ex x x+-lnx ﹣e ＞0⇔e x ﹣ex +1elnx x ＞．x ∈（0，+∞）． 令F （x ）＝e x ﹣ex +1，F ′（x ）＝e x ﹣e ，当x ∈（0，1）时，F ′（x ）＜0，此时函数F （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0，此时函数F （x ）单调递增． 可得x ＝1时，函数F （x ）取得最小值，F （1）＝1． 令G （x ）elnxx =，G ′（x ）()21e lnx x-=， 当0x e <<时，()0G x '>，此时()G x 为增函数， 当x e >时。
第9讲导数第一篇(教师版)
第9讲 导数研究函数性质及不等式问题[考点分析]从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.[特训典例]题型一 导数研究函数性质例1 (2020·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1.(2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋m x (x >0)，所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2， 则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝⎛⎭⎫12m <0即可，解得0<m <12.[特训跟踪]1．(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围.【解析】①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值. 若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 2.(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值. 【解析】(1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1，f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0， ∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝－2e x sin x ≤0在⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立，∴g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， ∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 题型二 单、双变量不等式证明 例2 (2018·全国卷)已知函数()1ln f x x a x x=-+． ⑴讨论()f x 的单调性；⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【解析】（1）定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x -+'=--+=-．①若0a ≤，则()0f x '<，()f x 在()0,+∞上递减．②若240a ∆=-≤，即02a <≤时，()0f x '≤，()f x 在()0,+∞上递减．③若240a ∆=->，即2a >时，由()0f x '>，可得22a a x -<<，由()0f x '<，可得0x <<x >，所以()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递减，在22a a ⎛+ ⎪⎝⎭上递增．综上所述，当2a ≤时，()f x 在()0,+∞上递减；当2a >时，()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递减，在⎝⎭上递增．【证明】（2）法1：由（1）知，()f x 存在两个极值点，则2a >．因为1x ，2x 是()f x 的两个极值点，所以1x ，2x 满足210x ax -+=，所以12x x a +=，121x x =，不妨设1201x x <<<．()()11221212121211ln ln x a x x a x f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-- ()()()()21121212121212121212ln ln ln ln ln ln 112x x x x a x x a x x a x x x x x x x x x x x x ---+---=--+=-+---，于是()()()121212212121222ln ln ln ln 2ln 222111f x f x a x x x x x a a x x x x x x x x ----<-⇔-+<-⇔<⇔<⇔----22212ln 0x x x +-<．构造函数()12ln g x x x x=+-，1x >，由（1）知，()g x 在()1,+∞上递减，所以()()10g x g <=，不等式获证．法2：由（1）知，()f x 存在两个极值点，则2a >．因为1x ，2x 是()f x 的两个极值点，所以1x ，2x 满足210x ax -+=，不妨设1201x x <<<，则21x x -=，121x x =．()()11221212121211ln ln x a x x a x f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-- ()2111121222121212ln ln 112x x x x x x a a x x x x x x x x x x ---+=--+=---，于是()()1212222f x f x a a x x -<-⇔-<-⇔<-2ln ⇔<⇔<⎝⎭．设t =，则a =())lnt t t ϕ=-，0t >，则()110t ϕ'==->，所以()t ϕ在()0,+∞上递增，于是()()00t ϕϕ>=，命题获证．法3：仿照法1，可得()()12121212ln ln 21f x f x x x a x x x x --<-⇔<--，因为121x x =，所以121211212122ln ln ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x x x x x --<⇔⇔->⇔>--，令()0,1t =，构造函数()12ln h t t t t=+-，由（1）知，()h t 在()0,1上递减，所以()()10h t h >=，不等式获证． 例3已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()1ln 1ln f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<， 故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=， 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1211,x x a b==，由（1）可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<， 故21x e <<. 先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立.若22x <， 要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<， 故即证()()122f x f x >-，即证：()()222f x f x >-，其中212x <<. 设()()()2,12g x f x f x x =--<<，则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦， 因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=， 故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立. 设21x tx =，则1t >， 结合ln 1ln +1a b a b+=，1211,x x a b ==可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-，即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-，要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<， 即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<，令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->， 则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭， 先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+. 设()()ln 1u x x x =+-，则()1111xu x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故()()max 00u x u ==， 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=， 故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立. 综上所述，112e a b<+<.[特训跟踪]1.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）()1xf x ae ='+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增． 当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）证明：（法一）设()()231xg x f x x e x =+=-+-，则()3xg x e =-+'， 由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <，故()()max ln33ln340g x g ==-< 从而得()()20g x f x x =+<，()()()()1222125,2520f x f x f x x f x x +=-∴+=--+<，即12124x x e->-+． （法二）()()1212125,3x x f x f x x e e x +=-∴=+--，12122233x x x x e e x ∴-=+--，设()3x g x e x =-，则()3x g x e '=-，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <，故()()min ln333ln3g x g ==-．1210,0x x -<，1121233ln33ln3x x e e-∴->+-=-，3ln3ln274=<，12124x x e∴->-+．题型三 不等式恒成立和存在性问题 例4 （2020·山东高三模拟）已知函数()21()1ln ()2f x m x x m =--∈R . （1）若1m =，求证：()0f x ≥. （2）讨论函数()f x 的极值；（3）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1. 【解析】（1）1m =，()21()1ln (0)2f x x x x =-->， 211()x f x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴min ()(1)0f x f ==，故()0f x ≥.（2）由题知，0x >，211()mx f x mx x x-'=-+=，①当0m ≤时，21()0mx f x x -'=<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；②当0m >时，21()0mx f xx-'==，得x =， 当x⎛∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭上单调递增.故()f x 在x=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值. （3）不妨令11111()x x x e x h x x e xe----=-=，设11(),(1,),()10x x u x e x x u x e --'=-∈+∞=->在(1,)+∞恒成立，()u x 在[1,)+∞单调递增，()(1)0u x u ∴>=，10x e x -∴-≥在(1,)+∞恒成立，所以，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，由（2）知，当0,1m x ≤>时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f <=恒成立；所以不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >. 当01m <<1>，由（1）知()f x 在⎛ ⎝上单调递减， 所以(1)0f f<=，不满足题意.当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e -=---+， 因为1,1m x ≥>，所以11111,1,01,10x x x mx x e ee---≥><<-<-<，322122111111()1x x x x F x mx x x x e x x x---+'=-++->-++-=， 即()22(1)1()0x x F x x--'>>，所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0F =，所以(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立， 即()()0f x h x ->恒成立，故存在m 1≥，使得不等式111()x f x x e->-在(1,)+∞上恒成立， 此时m 的最小值是1.例5【衡水中学2020 届高三第一学期期末】 已知函数1()x f x ea -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈.（1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x ex x -->-+成立.解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞，因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a x x+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，令()0g x '>，得10x a <<-，令()0g x '<，得1x a >-， 所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.（2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立， 即1ln 10x ex a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立.设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-.当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立；当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞. （3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x ex x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立.令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>， 所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->. 所以1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，所以原不等式成立.[特训跟踪]1.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数()ln ,f x x x kx k R =+∈. （1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式2()f x x x ≤+恒成立，求k 的取值范围；（3）求证：当*n N ∈时，不等式()2212ln 4121ni n n i n =-->+∑成立.【答案】（1）(1)1y k x =+-（2）k 2≤（3）证明见解析 【解析】（1）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()1ln f x x k '=++，(1)1f k '=+，∵(1)f k =，∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)(1)y k k x -=+-， 即(1)1y k x =+-.（2）由2()f x x x ≤+，()ln f x x x kx =+，则2ln x x kx x x +≤+，即ln 1x k x +≤+，设()ln 1g x x x k =-+-，1()1g x x'=-， ()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增， ()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∵不等式2()f x x x ≤+恒成立，且0x >，∴ln 10x x k -+-≤，∴max ()(1)20g x g k ==-≤即可，故k 2≤. （3）由（2）可知：当2k =时，ln 1x x ≤-恒成立， 令2141x i =--，由于*i N∈，21041i >-. 故，2211ln14141i i <---，整理得：()221ln 41141i i ->--， 变形得：()21ln 411(21)(21)i i i ->-+-，即：()211ln 41122121i i i ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭1,2,3,,i n =时，11ln 31123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，11ln 51123⎛⎫>-- ⎪⎝⎭……，()2111ln 41122121n n n ⎛⎫->-- ⎪-+⎝⎭两边同时相加得：()22211122ln 4112212121ni n n ni n n n n =-⎛⎫->--=> ⎪+++⎝⎭∑， 所以不等式在*n N ∈上恒成立.[特训练习]1.（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知函数()2ln f x x ax =-，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅰ）当1a =-时，令2()()g x x f x =-，其导函数为()g x '，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()g x '的零点？并说明理由.【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在2(0,)a 单调递增，在2(,)a+∞上单调递减. （Ⅰ）不是，理由见解析 【解析】（Ⅰ）依题意知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()2f x a x'=- , （1）当0a ≤时， ()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.（2）当0a >时，由()0f x '=得：2x a=， 则当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>；当2,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<.所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a > 时，()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅰ）122x x +不是导函数()g x '的零点. 证明如下： 当1a =-时，()()222ln g x x f x x x x =-=--. ∵1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<，22111111222222222ln 02ln 2ln 02ln x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--=-=∴⇒⎨⎨--=-=⎩⎩，两式相减得：()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-即： ()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-， 又()221g x x x-'=-. 则()()()121212121212121212122ln ln 24421ln ln 2x x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+⎛⎫=+--=-=--'⎢⎥ ⎪+-+-+⎝⎭⎣⎦. 设12x t x =，∵120x x <<，∴01t <<， 令()()21ln 1t t t t ϕ-=-+，()()()()22211411t t t t t t ϕ-=-=+'+.又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増 函数， 则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时，()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦，故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．（1）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（2）若存在01x >-，使得当()01,x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(,2)-∞ 【解析】（1）证明：当2k =时，()2(1)g x x =+令2()()()2ln(2)(1)2(1)H x f x g x x x x =-=+-+-+，2286()2x x H x x ---'=+，令()0H x '=，即22860x x ---=，解得1x =-或3x =-（舍）． 所以当1x >-时，()0H x '<，()H x 在(1,)-+∞上单调递减． 所以max ()(1)0H x H <-=，所以对于1,x ∀>-()0H x <，即()()f x g x <.（2）由（1）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立，即对于1,x >-22ln(2)(1)2(1)x x x +-+<+，不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x >-，10x +>，此时2(1)(1)x k x +<+， 所以22ln(2)(1)2(1)(1)x x x k x +-+<+<+， 即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ；当2k <时，令2()()()2ln(2)(1)(1)h x f x g x x x k x =-=+-+-+，22(6)(22)()2x k x k h x x --+-+'=+，令2()2(6)(22)t x x k x k =--+-+，又()y t x =为一开口向下的抛物线，且x →+∞时，()t x →-∞， 又(1)2(6)(22)20t k k k -=-++-+=->， 所以必存在0(1,)x ∈-+∞，使得()00t x =．所以()01,x x ∈-时，()0t x >，()0h x '>，()h x 单调递增； 当0(1,)x ∈-+∞时，()0t x <，()0h x '<，()h x 单调递减． 当()01,x x ∈-时，()(1)0h x h >-=，即()()0f x g x ->恒成立， 综上，k 的取值范围为(,2)-∞．3．（2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅰ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅰ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-. 【答案】（Ⅰ）函数()f x在(1-2-+，上单调递减，在()-2+∞单调递增；（Ⅰ）2；（Ⅰ）证明见解析． 【解析】（Ⅰ） ()f x 的定义域为()1-+∞，， ()()22421x x f x x ++=+'1分当12x -<<-+ ()0f x '<，当2x >-+ ()0f x '>2分所以函数()f x在(1-2-+，上单调递减，在()-2+∞单调递增. 3分 （Ⅰ）设()()22ln 11x g x x ax x =++-+，则 ()()()()()22222121142112111x x x x g x a a a x x x +++-++⎛⎫=-=-=--+- ⎪+⎝⎭++'因为x ≥0，故211101x ⎛⎫-<--≤ ⎪+⎝⎭5分（Ⅰ）当2a ≥时， 20a -≤， ()0g x '≤，所以()g x 在[)0,+∞单调递减，而()00g =，所以对所有的x ≥0， ()g x ≤0，即()f x ≤ax ；（Ⅰ）当12a <<时， 021a <-<，若20,1a x a ⎛-∈ -⎝⎭，则()0g x '>， ()g x 单调递增，而()00g =，所以当0,x ⎛∈ ⎝⎭时， ()0g x >，即()f x ax >； （Ⅰ）当1a ≤时， 21a -≥， ()0g x '>，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，而()00g =，所以对所有的0x >， ()0g x >，即()f x ax >；综上， a 的最小值为2. 8分（Ⅰ）由()()1111n n a a +-+=得， 11n n n n a a a a ++-=⋅，由11a =得， 0n a ≠， 所以1111n n a a +-=，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列， 故1n n a =， 1n a n =， 111n a n +=+9分 11ln 2n n n na S a a ++>- ⇔ ()()111ln 112123n n n n++<+++++ 由（Ⅰ）知2a =时， ()22ln 121x x x x ++≤+， 0x >， 即()()2ln 121x x x x ++<+， 0x >. 10分法一：令1x n=，得()111ln 21n n n n n ++<+， 即()1111ln 1ln 21n n n n n⎛⎫+-+-< ⎪+⎝⎭ 因为()()()1111ln 1ln ln 12121nk nk k n k k n =⎡⎤⎛⎫+-+-=++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦∑11分 所以()()111ln 112123n n n n++<+++++12分 故11ln 2n n n na S a a ++>-12分 法二：11ln 2n n n na S a a ++>- ⇔ ()()1111ln 12321nn n n ++++>+++ 下面用数学归纳法证明．（1）当1n =时，令1x =代入()()2ln 121x x x x ++<+，即得11ln24>+，不等式成立（2）假设()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即()()1111ln 12321k k k k ++++>+++ 则1n k =+时， ()()111111ln 1231211k k k k k k +++++>++++++ 令11x k =+代入()()2ln 121x x x x ++<+，得()()121ln 11212k k k k k +>+++++ ()()()()()()121ln 1ln 1ln 211211212k k k k k k k k k k k ++++>++++++++++()()()()()()211ln 2ln 221222k k k k k k k k +++=++=+++++即()()111121ln 223122k k k k +++++>++++ 由（1）（2）可知不等式()()1111ln 12321n n n n ++++>+++对任何n *N ∈都成立. 故11ln 2n n n na S a a ++>-12分 4.（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-.（Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅰ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<． 【答案】（Ⅰ）极大值为5ln 36--，无极小值；（Ⅰ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）()()23ln 2,0,2h x x x x x =--∈+∞，()()()2311132132x x x x h x x x x x--+--+='∴=--=， 由()()()3110x x h x x--+'==得13x =，且当103x <<时，()0h x '>，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当13x >时，()0h x '<，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴当13x =时，()h x 有极大值，且()15=ln336h x h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭极大值，无极小值． （Ⅰ）函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x <<，()21111ln 02a h x x x bx ∴=--=，()222222ln 02h x x x bx =--=． ()()2212111222ln ln 22a ah x h x x x bx x x bx ∴-=-----()()22121212ln ln 02a x x x x b x x =-----=， 即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+-， 又()()()()1h x f x g x ax b x ='=-''-+，1202x x x +=，()1201222x x h x a b x x '+⎛⎫∴=-+ ⎪+⎝⎭，()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+∴-=--- ⎪+⎝⎭'()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦()()1212122ln ln x x x x x x -=--+12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+．令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t ，-=-<<+()()()()222141011t r t t t t t--∴=-=<++'， ()r t ∴在()0,1上单调递减，故()()10r t r >=，12112221ln 01x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴->+，即()()1200x x h x '->，又120x x -<，()00h x ∴'<．5.（2020·山东高三下学期开学）已知函数()ln 1f x x x =-，()()22g x ax a x =--.（1）设函数()()()H x f x g x '=-，讨论()H x 的单调性；（2）设函数()()()2G x g x a x =+-，若()f x 的图象与()G x 的图象有()11A x y ，，()22B x y ，两个不同的交点，证明：()12ln 2ln 2x x >+.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】（1）()()()()221H x f x g x lnx ax a x =-=++-+'，定义域为(0,)+∞，()()()()()2221211122ax a x x ax H x ax a x x x -+-+-++=-+-='=. 当0a ≥时，()H x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减. 当20a -<<时，令()0H x '>，得1102x a ⎛⎫⎛⎫∈-+∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以()H x 在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增；令()0H x '<，得112x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以()H x 在112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减. 当2a =-时，()0H x '≥，()H x 在()0+∞，上单调递增. 当2a <-时，令()0H x '>，得1102x a ⎛⎫⎛⎫∈+∞⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以()H x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，10a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增；令()0H x '<，得112x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以()H x 在112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减.（2）()()()22G x g x a x ax =+-=，因为函数()f x 的图象与()G x 的图象有两个不同的交点，所以关于x 的方程21ax xlnx =-，即1ax lnx x=-有两个不同的根. 由题知1111lnx ax x -=①，2221lnx ax x -=②，①+②得()()12121212x x ln x x a x x x x +-=+③，②-①得()22121112x x x ln a x x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭④.由③，④得()()1212212122112x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，记211x t x =>.令()()()2111t F t lnt t t -=->+，则()()()2101t F t t t '-=>+，所以()F t 在()1+∞，上单调递增，所以()()10F t F >=， 则()211t lnt t ->+，即()2121122x x x lnx x x ->+，所以()()12122121221122x x x x x ln x x ln x x x x x ++-=>-. 因为()()()()12121212121222x x ln x x ln x x ln x x x x +-<==所以22>，即1>.令()2x lnx xφ=-，则()x φ在()0+∞，上单调递增.又)12112ln ln e -=+-<，所以)1ln >>，即)φφ>，所以2122x xe >.两边同时取对数可得()1222ln x x ln >+，得证.6.（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数()()20f x lnx ax x a =--+≥．()1讨论函数()f x 的极值点的个数；()2若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12322f x f x ln +>-．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】()1函数()()20f x lnx ax x a =--+≥，()()2212121210ax x ax x f x ax x x x x-+-+-∴=--+>=-'=， 0x > 0a ≥，∴当0a =时，()1x f x x'-=，0x >，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当1x =时，()f x 有极小值；当18a ≥时，0≤，故()0f x '≤，()f x ∴在()0,+∞上单调递减，故此时()f x 无极值； 当108a <<时，0>，方程()0f x '=有两个不等的正根1x ，2x ．21可得1x =2x =10,4x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭及1,4x a ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当11,44x a a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '> ；()f x 单调递增； ()f x ∴在1x x =处有极小值，在2x x =处有极大值．综上所述：当0a =时，()f x 有1个极值点； 当18a ≥时，()f x 没有极值点；当108a <<时，()f x 有2个极值点． ()2由()1可知当且仅当10,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 有极小值点1x 和极大值点2x ，且1x ，2x 是方程的两个正根， 则1212x x a +=，1212x x a=． ()()()(()()2121212121211[)2ln 212144f x f x x x a x x x x lnx lnx a lna ln a a ⎤∴+=+-+--+=++=+++⎦； 令()1214g a lna ln a =+++，108a <<；()24104a g x a -'=<， ()g a ∴在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()13228g a g ln ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭， ()()12322f x f x ln ∴+>-．。
山东省潍坊市2020届高三第二次模拟考试数学试题含答案
16.已知函数
f
x
ln x,
2
x3
3x
2
A.甲是律师，乙是医生，丙是记者
B.甲是医生，乙是记者，丙是律师
C.甲是医生，乙是律师，丙是记者
D.甲是记者，乙是医生，丙是律师
4.以抛物线 E : x2 4 y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为
A. x 12 y2 4
B. x 2 y 12 4
C. x 12 y2 4
潍坊市高考模拟考试
数学
2020．5 本试卷共 6 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效．
0, 0 的右焦点为 F，过点 F 且与 x 轴垂
直的直线与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A（点 A 在第一象限），点 B 在双曲线 C 的渐近
线上，且 BF/OA，若 AB OB 0 ，则双曲线 C 的离心率为
23
A.
3
B. 2
C. 3
D.2
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分.
D. x2 y 12 4
1
5. 设 函 数 f x 为 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 ， f x ex cos x ， 则 不 等 式 f 2x 1 f x 2 0 的解集为
A. ,1
2019-2020年高三第二次模拟考试数学试题
2019-2020年高三第二次模拟考试数学试题全卷满分为150分，完成时间为120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置上。
） 1、设集合2{|0}M x x x =-<，{|||2}N x x =< 则 （ ）（A ） M N ⋂=∅ （B ） M N M =⋂ （C ） M N M ⋃= （D ） M N ⋃=∅2、某校高中共有900名学生，高一年级300名，高二年级200名，高三年级400名，现采用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） （A ） 15 ，10 ，20 (B ） 15 ，15 ，15 （C ） 10 ，5 ，30 （D ） 15 ，5 ，253、已知,,αβγ为平面，命题p ：若,βα⊥βγ⊥则//αγ；命题q ：若α上不共线的三点到β的距离相等，则βα//．对以上两个命题，下列结论中正确的是 （ ） （A ）命题“p 且q”为真 （B ）命题“p 或q ⌝”为假 （C ）命题“p 或q”为假（D ）命题“p ⌝”且“q ⌝”为假4、函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =,则()f a -的值为 （ ） （A ）3 （B ）0 （C ）-1 （D ）-25、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为 （ ）（A ）3 （B ）23（C ）4 （D ） 13 6、（理）设随机变量 ξ服从正态分布(2,9)N ，若 (1)(1)P c P c ξξ>+=<-，则c = ( )（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4（文）设3log 2=a ，6log 4=b ，9log 8=c ，则下列关系中正确的是 （ ）（A ） b c a >> （B ）c b a >> （C ）a b c >> （D ）b a c >> 7、函数1xy a =+(01)a <<的反函数图象大致是 （ ）8、设,x y 满足约束条件242y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22222t x y x y =++-+的最小值为 （ ）（A ）（B ）95（C ） 2 （D ） 3(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( ) (A) 24 (B) 28 (C) 14 (D) 4810、（理科）数列{}n a 中，2221(1)n n a n n +=+ ， 12n n S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ， 则lim n n S →∞=（ ） （A ）2 （B ）12 （C ）1 （D ）23（文科）在等差数列 1,4,7,⋅⋅⋅⋅⋅⋅中 ， 6028是它的 （ ） （A ）第2008项 （B ）第2009项（C ）第2010项 （D ）第2011项11、（理科）复数2()(1)m i mi +⋅+是实数，则实数m = （ ） （A ） 1 （B ）1- （C（D）（文科）抛物线 2y ax =的准线方程为 1y =，则 a 的值为 （ ）（A ）14 （B ） 14- （C ） 4（D ） 4-12、双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为 ( ) (A) (1,3)（B ）[)3,+∞ (C) (3,+∞)(D) (]1,3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上。
山东省潍坊市2020届高三数学4月模拟考试 理(潍坊市二模,无答案)
山东省潍坊市2020届高三数学4月模拟考试 理（潍坊市二模，无答案）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。
4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 (1)i z i +⋅=，则z 的虚部为A ． 2i -B ． 12-C ．2iD ．122．设集合 {}{}|213,|lg(1)A x x B x y x =-≤==-，则 A B =IA.(1,2)B.[1,2]C.(1,2]D.[1,2)3．下列结论正确的是A.若向量a ∥b ，则存在唯一的实数 λ使 a b λ=B.已知向量a ，b 为非零向量，则“a ，b 的夹角为钝角”的充要条件是“a ⋅b<0’’ c ．“若 3πθ=，则 1cos 2θ=”的否命题为“若 3πθ≠，则 1cos 2θ≠” D ．若命题 2:,10p x R x x ∃∈-+<，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>4．已知 21()sin(),'()42f x x x f x π=++为 ()f x 的导函数，则 '()y f x =的图象大致是5．已知 ,αβ表示平面，m ，n 表示直线， ,m βαβ⊥⊥，给出下列四个结论：① ,n n αβ∀⊂⊥；② ,n m n β∀⊂⊥；③,//n m n α∀⊂；④ ,n m n α∃⊂⊥， 则上述结论中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数 2()f x x x =+，执行右边的程序框图，若输出的结果是 3132，则 判断框中的条件应是 A. 30n ≤ B ． 31n ≤C ． 32n ≤D ． 33n ≤ 7．已知双曲线 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F 过 2F 垂直x 轴的直线与双曲线C 的两渐近线的交点分别是M 、N ，若1MF N ∆为正三角形，则该双曲线的离心率为A ． 213B ． 3C ． 13D ． 23+8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A ． 43πB ． 323πC ． 4πD ． 16π 9．在区间[-3，3]上任取两数x ，y ，使 210x y --<成立的概率为A ． 827B ． 727C ． 16D ． 42710．已知定义在R 上的函数 ()y f x =对任意的x 满足 (1)()f x f x +=-，当-l ≤x<l时， 3()f x x =．函数 log ,0,()1,0a x x g x x x⎧>⎪=⎨-<⎪⎩若函数在 [)6,-+∞上有6个零点，则实数a的取值范围是A ． 1(0,)(7,)7+∞U B. (]11,7,997⎡⎤⎢⎥⎣⎦U C. (]1,1,1,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭U D ． [)11,7,997⎛⎤ ⎥⎝⎦U 第Ⅱ卷 （非选择题共1 00分）注意事项：将第Ⅱ卷答案用0. 5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．1 1．已知 12,e e 是夹角为 60o 的两个单位向量，若向量 1232a e e =+，则 a =________.12.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法种数共有_________．（用数字作答）13.已知抛物线 2:2(0)C y px p =>上一点 (2,)(0)P m m >，若P 到焦点F 的距离为4，则以P 为圆心且与抛物线C 的准线相切的圆的标准方程为_________．14．曲线 sin y x =在点 (,),(,)2222A B ππππ-处的切线分别为 12,l l ,设 12,l l 及直线 x-2y+2=0围成的区域为D(包括边界)．设点P(x ，y)是区域D 内任意一点，则x+2y 的最大值为________.15.如右图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东 45o，与观测站A 距离 202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时 后，又测得该货船位于观测站A 东偏北 (045)θθ<<o o 的C 处，且4cos 5θ=，已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为 海里／小时___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数 ()sin()(0,0)4f x A x A πωω=+>>的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为 3π． (I)若 26(),03125f a a ππ+=<<，求sina ； (Ⅱ)将函数 ()y f x =的图象向右平移 6π个单位得到 ()y g x =的图象，若函数 ()y g x k =-是在 110,36π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数 k 的取值范围． 17．（本小题满分1 2分）直三棱柱 111ABC A B C -中，,2,AB BC BC ⊥=，112,BB AC =与1A C 交于一点P ，延长 1B B 到D ，使得BD=AB ，连接DC ，DA ，得到如图所示几何体．(I)若AB=1，求证：BP ∥平面ACD,(Ⅱ)若直线 1CA 与平面 11BCC B 所成的角为 30o，求二面角 1D AC C --的余弦值．18．（本小题满分12分）某超市制定“五一”期间促销方案，当天一次性购物消费额满1000元的顾客可参加“摸球抽奖赢代金券”活动，规则如下：①每位参与抽奖的顾客从一个装有2个红球和4个白球的箱子中逐次随机摸球，一次只摸出一个球；②若摸出白球，将其放回箱中，并再次摸球；若摸出红球则不放回，工作人员往箱中补放一白球后，再次摸球；③如果连续两次摸出白球或两个红球全被摸出，则停止摸球．停止摸球后根据摸出的红球个数领取代金券，代金券数额Y 与摸出的红球个数x 满足如下关系：Y=144+72x(单位：元)．(I)求一位参与抽奖顾客恰好摸球三次即停止摸球的概率；(Ⅱ)求随机变量Y 的分布列与期望．19．（本小题满分12分）已知等差数列 {}135468,42,69n a a a a a a a ++=++=;等比数列 {}1,2n b b =， 2123log ()6b b b =．(I)求数列 {}n a 和数列 {}n b 的通项公式；(Ⅱ)设 n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和 n T ．20.（本小题满分13分） 如图，椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为2，点P 为上顶点，圆 222:O x y b +=将椭圆C 的长轴三等分，直线 4:(0)5l y mx m =-≠与椭圆C 交于A 、B 两点，PA 、PB 与圆O 交于M 、N 两点．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)求证△APB 为直角三角形；(Ⅲ)设直线MN 的斜率为n ，求证： m n为定值．21．（本小题满分14分）已知函数 2()ln (01)x f x a x x a a a =+->≠且． ( I)求函数 ()f x 的单调区间；(Ⅱ)a>l ，证明：当 (0,)x ∈+∞时， ()()f x f x >-； (Ⅲ)若对任意 1212,,x x x x ≠，且当 12()()f x f x =时，有 120x x +<，求a 的取值范围，。
2020届山东省潍坊市高考数学二模试卷(理科)(有答案)(精品)
山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．C．D．2．设集合M={x|x≤0}，N={x|lnx≤1}，则下列结论正确的是（）A．B．M=N C．M∪∁R N=R D．M∩∁R N=M3．要从编号为1～50的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，324．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x﹣b）的图象是（）A． B． C． D．5．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若⊥，则tan（α+）=（）A．7 B．C．﹣7 D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米9．已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A．20 B．16 C．10 D．510．已知函数f（x）=，g（x）=kx﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有4个不同的零点．则实数k的取值范围为（）A．（1，6）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．如图所示的程序框图中，x∈[﹣2，2]，则能输出x的概率为．12．在平行四边形中，AC与BD交于点O，=，CE的延长线与AD交于点F，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．13．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=．14．（x+y）（x﹣y）7的展开式中，x3y5的系数为．15．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．18．已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，且b n=log2a n．（I）求b n，S n；（Ⅱ）设c n=，证明：++…+＜S n+1（n∈N*）．19．甲乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制（先赢三场的队伍获得胜利．比赛结束）②双方各派出三名队员．前三场每位队员各比赛﹣场已知甲俱乐部派出队员A1、A2．A3，其中A3只参加第三场比赛．另外两名队员A1、A2比赛场次未定：乙俱乐部派出队员B1、B2．B3，其中B1参加第一场与第五场比赛．B2参加第二场与第四场比赛．B3只参加第三场比赛根据以往的比赛情况．甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如表：A1A2A3B1B2B3（I）若甲俱乐部计划以3：0取胜．则应如何安排A1、A2两名队员的出场顺序．使得取胜的概率最大？（Ⅱ）若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）20．已知椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过点P的直线l交椭圆C1于A、B两点．（i）证明：线段AB的中点G恒在椭圆C2：=1的内部；（ii）判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣bln（x+1）（a＞0），g（x）=e x﹣x﹣1，曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线．（1）若x=0为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用a表示）；（2）若∀x≥0，g（x）≥f（x）+x2，求a的取值范围．山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵==，∴复数的虚部为．故选：A．2．设集合M={x|x≤0}，N={x|lnx≤1}，则下列结论正确的是（）A．B．M=N C．M∪∁R N=R D．M∩∁R N=M【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|lnx≤1}=（0，e]，利用集合的运算性质即可得出．【解答】解：集合M={x|x≤0}，N={x|lnx≤1}=（0，e]，则上述结论正确的是M∩∁R N=M．故选：D．3．要从编号为1～50的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为50÷5=10，则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43，故选：B4．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=log a（x﹣b）的图象是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据f（x）的图象可以求出a，b的范围，根据对数函数的图象和性质即可判断．【解答】解：函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，∴﹣1＜b＜0，a＞1，∴g（x）=log a（x﹣b）为增函数，∵x﹣b＞0，∴g（x）=log a（x﹣b）由y=log a x的图象向左平移|b|的单位得到的，故选：B．5．下列命题中，真命题是（）A．∀x∈R，2x＞x2B．∃x∈R，e x＜0C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dD．ac2＜bc2是a＜b的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，B，C 根据特殊值法和指数函数的性质直角判断即可；D主要是对c=0特殊情况的考查．【解答】解：A当x=2时，2x=x2，故错误；B根据指数函数性质可知对任意的x，都有e x＞0，故错误；C若a＞b，c＞d，根据同向可加性只能得出a+c＞b+d，故错误；Dac2＜bc2，可知c≠0，可推出a＜b，但反之不一定，故是充分不必要条件，故正确．故选D．6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若⊥，则tan（α+）=（）A．7 B．C．﹣7 D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的化简求值．【分析】根据平面向量垂直时数量积为0求出tanα，再利用两角和的正切公式求值即可．【解答】解：∵=（x，y），向量=（3，4），且⊥，∴3x+4y=0，则=﹣，∴tanα=﹣，∴tan（α+）===．故选：D．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由该几何体的三视图得到该几何体是以1为半径的球去掉一个底面半径为1母线长为的圆锥，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由该几何体的三视图得到该几何体是以1为半径的球去掉一个底面半径为1母线长为的圆锥，∴该几何体的体积为V=（）﹣=．8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）A．6平方米B．9平方米C．12平方米D．15平方米【考点】扇形面积公式．【分析】在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=，可得：矢=4﹣2=2，由AD=AO•sin=4×=2，可得：弦=2AD=2×2=4，所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．故选：B．9．已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则|AB|=（）A．20 B．16 C．10 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B 的坐标，即可求得．【解答】解：由抛物线C：y2=﹣8x，可得F（﹣2，0），设A（1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，∵，∴1+2=﹣3（m+2），∴m=﹣3，∴n=±2，∵a=﹣3n，∴a=±6，∴|AB|==20．故选：A．10．已知函数f（x）=，g（x）=kx﹣1，若函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有4个不同的零点．则实数k的取值范围为（）A．（1，6）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简可得函数f（x）=与g（x）=kx﹣1的图象有四个不同的交点，从而作图，结合图象求导，利用导数的几何意义求解．【解答】解：∵函数y=f（x）﹣g（x）有且仅有4个不同的零点，∴函数f（x）=与g（x）=kx﹣1的图象有四个不同的交点，作函数f（x）=与g（x）=kx﹣1的图象如下，，易知直线y=kx﹣1恒过点（0，﹣1）；设A（x，x2+4x），y′=2x+4；故2x+4=，故x=﹣1；故k=﹣2+4=2；设B（x，xlnx），y′=lnx+1，则lnx+1=，解得，x=1，故k=ln1+1=1，结合图象可知，实数k的取值范围为（1，2），故选C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．如图所示的程序框图中，x∈[﹣2，2]，则能输出x的概率为．【考点】程序框图．【分析】由|x|+|x﹣1|≤2α，可解得：x∈[﹣，]，即当x∈[﹣，]时满足框图的条件，能输出x的值，结合x∈[﹣2，2]，利用几何概型即可计算得解．【解答】解：∵|x|+|x﹣1|≤2α，∴，或，或，∴解得：﹣≤x＜0，或0≤x＜1，或1≤x≤，即x∈[﹣，]时满足框图的条件，能输出x的值．∵x∈[﹣2，2]，∴能输出x的概率为：=．故答案为：．12．在平行四边形中，AC与BD交于点O，=，CE的延长线与AD交于点F，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=﹣．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用三角形的相似关系，求得=，再根据向量的加法的三角形法则，求得λ和μ的值．【解答】解：∵△FED∽△CEB，DF：CD=DE：EA=1：3，过点F作FG∥BD交AC于G，FG：DO=2：3，AG：AO=2：3，∴=，∵=+=，∴=+，=，λ+μ=﹣．故答案为：﹣．13．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=﹣1．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据奇函数的性质可得f（0）=0，由条件可得f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，f（x）=f（x+6），函数为周期函数，进而求出结果．【解答】解：奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，∴f（0）=0，f（3）=f（﹣3）+f（3）=0，∴f（x）=f（x+6），函数为周期函数，∴f=f（5）+f（0）=f（5）=f（﹣1）+f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1．故答案为﹣1．14．（x+y）（x﹣y）7的展开式中，x3y5的系数为14．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（x﹣y）7的展开式的通项公式T r+1=，令r=5，满足7﹣r=2，此时T6=﹣，令r=4，7﹣r=3，此时T5=，∴x3y5的系数为+=14．故答案为：14．15．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）两条渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，对于区域Ω（包含边界），对于区域Ω内任意一点（x，y），若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为（1，）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，画出区域Ω，由=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，结合图象，连接PA，可得斜率最大，再由双曲线的a，b，c关系和离心率公式计算即可得到所求范围．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=﹣4x的准线1：x=1，渐近线l1，l2与抛物线y2=﹣4x的准线1围成区域Ω，如图，=﹣1的几何意义是点（x，y）与点P（﹣3，﹣1）的斜率与1的差，求得A（1，），B（1，﹣），连接PA，可得斜率最大为，由题意可得﹣1＜0，可得＜3，即3a＞b，9a2＞b2=c2﹣a2，即c2＜10a2，即有c＜a．可得1＜e＜．故答案为：（1，）．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式，并求函数f（x）在[﹣，]上的值域；（2）在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，求sin2B．【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）由函数图象可得周期，进而由周期公式可得ω值，代点（，2）可得φ值，可得解析式，再由x∈[﹣，]和三角函数的值域可得；（2）由（1）的解析式和三角形的知识可得A=，由余弦定理可得BC，再由余弦定理可得cosB，进而可得sinB，代入sin2B=2sinBcosB，计算可得．【解答】解：（1）由函数图象可知函数的周期T满足T=﹣=，解得T=π，∴ω===2，故f（x）=2sin（2x+φ），又函数图象经过点（，2），故2sin（2×+φ）=2，故sin（+φ）=1，结合0＜φ＜π可得φ=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+），由x∈[﹣，]可得2x+∈[0，]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴2sin（2x+）∈[0，2]，故函数的值域为[0，2]；（2）∵在△ABC中，AB=3，AC=2，f（A）=1，∴f（A）=2sin（2A+）=1，即sin（2A+）=，结合三角形内角的范围可得2A+=，A=，由余弦定理可得BC2=32+22﹣2×3×2×，BC=，∴cosB==，故sinB==，∴sin2B=2sinBcosB=2××=17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据面面平行的性质定理证明平面OBE∥平面PAD，即可证明BE∥平面PAD；（2）建立空间坐标系，根据二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，得到AD=1，然后求出平面的法向量，利用直线和平面所成角的定义即可求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【解答】（1）证明：∵，∠DAC=∠AOB∴AD∥OB，∵E是PC的中点，O是AC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，∵PA∩AD=A，平面OBE∥平面PAD，∵BE⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD；（2）∵AC是圆O的一条直径，∴AC⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，则CD⊥平面PAD，则CD⊥PD，则∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，则tan∠PDA==2，即AD=1，建立以D为坐标原点，DA，DC，垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则B（，，0），P（1，0，2），=（，﹣，2）D（0，0，0），C（0，，0），则=（0，，0），=（1，0，2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=﹣2，y=0，即=（﹣2，0，1），则直线PB与平面PCD所成角的正弦值sin＜，＞=|cos＜，＞|=||=18．已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，且b n=log2a n．（I）求b n，S n；（Ⅱ）设c n=，证明：++…+＜S n+1（n∈N*）．【考点】数列的求和．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，可得首项为2，公比为4，可得a n=22n ﹣1，由对数的运算性质可得b n=2n﹣1，运用等差数列的求和公式即可得到S n；（Ⅱ）求得c n==n，原不等式即为++…+＜（n+1）2．运用数学归纳法证明．结合分析法，注意运用假设，化简整理，即可得证．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，由a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），可得a1（1+q）•q n﹣1=10•4n﹣1，即有q=4，a1（1+q）=10，解得a1=2，则a n=2•4n﹣1=22n﹣1，b n=log2a n=log222n﹣1=2n﹣1，S n=（1+2n﹣1）n=n2；（Ⅱ）证明：c n==n，不等式++…+＜S n+1，即为++…+＜（n+1）2．运用数学归纳法证明．当n=1时，左边=，右边=×4=2，不等式成立；假设n=k时，不等式++…+＜（k+1）2．当n=k+1时，++…++＜（k+1）2+，要证（k+1）2+＜（k+2）2．即证＜（k+2）2﹣（k+1）2=（2k+3），平方可得k2+3k+2＜k2+3k+，即有2＜成立．可得n=k+1时，不等式也成立．综上可得，++…+＜S n+1（n∈N*）．19．甲乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制（先赢三场的队伍获得胜利．比赛结束）②双方各派出三名队员．前三场每位队员各比赛﹣场已知甲俱乐部派出队员A1、A2．A3，其中A3只参加第三场比赛．另外两名队员A1、A2比赛场次未定：乙俱乐部派出队员B1、B2．B3，其中B1参加第一场与第五场比赛．B2参加第二场与第四场比赛．B3只参加第三场比赛根据以往的比赛情况．甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如表：A1A2A3B1B2B3（I）若甲俱乐部计划以3：0取胜．则应如何安排A1、A2两名队员的出场顺序．使得取胜的概率最大？（Ⅱ）若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）先求出A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛甲俱乐部计划以3：0取胜的概率，再求出A1、A2两名队员分别参加第二场和第一场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率．由此能求出甲俱乐部安排A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，则三场即获胜的概率最大．（2）由题意比赛场次X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率p1=．设A1、A2两名队员分别参加第二场和第一场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率p2==．∵p1＞p2，∴甲俱乐部安排A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，则三场即获胜的概率最大．（2）由题意比赛场次X的可能取值为3，4，5，P（X=3）==，P（X=4）=+=，P（X=5）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，∴X的分布列为：X 3 4 5P∴EX==．20．已知椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）过点P的直线l交椭圆C1于A、B两点．（i）证明：线段AB的中点G恒在椭圆C2：=1的内部；（ii）判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．（Ⅱ）（i）椭圆C2的方程为=1，设直线l方程为y=kx﹣，代入，得=0．由此利用韦达定理能证明点G恒在椭圆C2内部．（ii）当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），再证明Q（0，1）适合题意，从而以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：的离心率，其右焦点到直线2ax+by﹣=0的距离为，∴，解得a=，b=c=1，∴椭圆C1的方程为=1．证明：（Ⅱ）（i）椭圆C2的方程为=1，当直线l垂直于x轴时，AB的中点为（0，﹣）在椭圆C2内部．当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx﹣，代入，并整理，得=0．∴=﹣，∴G（，﹣），∵+==＜1恒成立，∴点G恒在椭圆C2内部．解：（ii）当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为，由，得，由此可知若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），下面证明Q（0，1）适合题意．由（i）知：，，∴=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）==（1+k2）x1x2﹣=（1+k2）﹣+==0，∴，即Q（0，1）在以AB为直径的圆上．综上，以AB为直径的圆恒过定点（0，1）．21．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣bln（x+1）（a＞0），g（x）=e x﹣x﹣1，曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线．（1）若x=0为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用a表示）；（2）若∀x≥0，g（x）≥f（x）+x2，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）f′（x）=a﹣x﹣，（x＞﹣1），g′（x）=e x﹣1．由曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线，可得f′（0）=g′（0），b=a．因此f′（x）=，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．（2）由g′（x）=e x﹣1，x＞0时，g′（x）＞0，可得e x≥x+1，从而x≥ln（x+1）．设F（x）=g（x）﹣f（x）﹣x2=e x+aln（x+1）﹣（a+1）x﹣1，F′（x）=e x+﹣（a+1），对a分类讨论a=1，0＜a＜1，a＞1，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=a﹣x﹣，（x＞﹣1），g′（x）=e x﹣1．∵曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线，∴f′（0）=g′（0），∴a﹣b=0．∴b=a．∴f′（x）=a﹣x﹣=，a=1时，f′（x）=≤0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，舍去．a＞1时，x=0为f（x）的极小值点，舍去．0＜a＜1时，﹣1＜a﹣1＜0，当x∈（﹣1，a﹣1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（a﹣1，0），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴x=0时，x=0为f（x）的极大值点．因此可得：当x∈（﹣1，a﹣1）时，函数f（x）单调递减；x∈（a﹣1，0），函数f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，函数f（x）单调递减．（2）∵g′（x）=e x﹣1，x＞0时，g′（x）＞0，故x=0时，g（x）取得最小值0，∴g（x）≥0，即e x≥x+1，从而x≥ln（x+1）．设F（x）=g（x）﹣f（x）﹣x2=e x+aln（x+1）﹣（a+1）x﹣1，F′（x）=e x+﹣（a+1），①a=1时，∵x≥0，∴F′（x）≥x+1+﹣（a+1）=x+1+﹣2≥0，∴F（x）在[0，+∞）递增，从而F（x）≥F（0）=0，即e x+ln（x+1）=2x﹣1＞0，∴g（x）≥f（x）+x2．②0＜a＜1时，由①得：e x+ln（x+1）﹣2x﹣1＞0，∴g（x）=e x﹣x﹣1≥x﹣ln（x+1）≥a（x﹣ln（x+1）），故F（x）≥0即g（x）≥f（x）+x2，③a＞1时，令h（x）=e x+﹣（a+1），则h′（x）=e x﹣，显然h′（x）在[0，+∞）递增，又h′（0）=1﹣a＜0，h′（﹣1）=﹣1＞0，∴h′（x）在（0，﹣1）上存在唯一零点x0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，h（x）在[0，x0）递减，x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即g（x）＜f（x）+x2，不合题意，综上，a∈（0，1]．。
山东省潍坊市2020届高三模拟(二模)考试数学试卷
数学本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,2,3,6,7U UA B A C B ===⋂=，则A.{}1,4B.{}1,4,5C.{}4,5D.{}6,72.若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是 A.1B.0C.1-D.2-3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一个是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是 A.甲是律师，乙是医生，丙是记者 B.甲是医生，乙是记者，丙是律师 C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师4.以抛物线2:4E xy =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为A.()2214x y -+=B.()2214x y ++= C.()2214x y ++=D.()2214x y +-=5.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x=-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为A.(),1-∞B.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.()1,+∞6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二士岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中，ABC BCD ∆∆和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为A.224B.212C.26D.248.已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y C a a b-=>>：的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF/OA ，若0AB OB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为A.233B.2C.3D.2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全.按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤——比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据下图可知在2010-2019年A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10.若1,0a b c <<->，则下列不等式中一定成立的是A.11a b a b->-B.11a b b a-<-C.()ln0b a ->D.c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O xy +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记,x y θ关于的表达式分别为()(),x f y g θθ==，则下列说法正确的是 A.()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数B.()x f θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数，()y g θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数 C.()()102fg πθθθ⎡⎤+≥∈⎢⎥⎣⎦对于，恒成立D.函数()()22tf g θθ=+的最大值为33212.如图，平面α⋂平面,,l A C βα=是内不同的两点，B,D是β内不同的两点，且A,B,C,D ∉直线l ，M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是 A.若AB//CD ，则//MN l B.若M,N 重合，则//AC lC.若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F u u r u u r ，且12,F F u u r u u r与水平夹角均为1245102F F N ==ou u r u u u r ，，则物体的重力大小为_________N. 14.已知50sin tan 245ππααα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则__________. 15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答） 16.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,23,3a b c a A π==，已知.（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值. 18.（2分） 已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答. ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2,PD 的中点F.（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF//平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.（2）若__________，求二面角F AC D --的余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.（12分）已知函数()()1ln ,x e f x a x g x x x=+=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：()()211ln e a f x g x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时，. 21.（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.2015年至2019年五年期间，中国的区块企业数量逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如下表：注：参考数据5555111174.691,312.761,10.980,40.457ii i i i i i i i i yx y z x z ========∑∑∑∑（其中ln z y =）附：样本()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的最小二乘法估计公式为()()()$121niii ni i x x y y bay bx x x==--==--∑∑$$，. （1）根据表中数据判断，dx ya bx y ce =+=与（其中 2.71828e =⋅⋅⋅，为自然对数的底数）哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？22.（12分）已知椭圆()()221222:121,x y C a b P F F a b+=>>0过点，，分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-u u u r u u u r.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两。
2020届山东省潍坊市高三年级模拟考试(二模)数学考试试题(无答案)
试卷类型:A潍坊市高考模拟考试数学 2020.5 本试卷共4页,满分150分.考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。
3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}1,2,3,45,6,7,2,3,4,5,{2,3,6,7},U A B ===，则A∩ U B={}{}{}{}.1,4.1,4,5.4,5.6,7A B C D2.若复数21a z i+=-在复平面内对应的点在第二象限内,则实数a 的值可以是 A.1 B.0 C.-1 D.-23.甲、乙、丙三人中,一人是律师,一人是医生,一人是记者已知丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小根据以上情况,下列判断正确的是A.甲是律师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者丙是律师C.甲是医生,乙是律师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是律师4.以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心,且与E 的准线相切的圆的方程为 ()22.14A x y -+=()22.14B x y ++=()22.14C x y ++=()22.4+1D x y -=5.设函数()f x 为奇函数,且当0x ≥时()cos ,x f x e x =-则不等()()2120f x f x -+->的解集为().,1A -∞ 11.,.,.(1,)33B C D ⎛⎫⎛⎫-∞+∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁,….生数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”某老年公寓住有20位老人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂,其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90-100),其余19人的年龄依次相差一岁,则年长者的年龄为A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中,△ABC 和BCD ∆均是边长为1的等边三角形,已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上,且AD 是该球的直径,则四面体ABCD 的体积为A B D 8.已知O 为坐标原点,双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F,过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A(点A 在第一象限),点B 在双曲线C 的渐近线上,且BF ∥OA,若0,AB OB ⋅=则双曲线C 的离心率为..23A B 二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.9.我国是世界第一产粮大国,我国粮食产量很高,整体很安全按照14亿人口计算,中国人均粮食产量约为950斤—比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年,我国粮食产量(千万吨)与年末总人口(千万人)的条形图,根据下图可知在2010-2019年中A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10.若1,0a b c <<->则下列不等式中一定成立的是1111...ln()0A a b B a b C b a a b b a ->--<-->.e ea b D b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O x y +=上任取一点(),,P x y 圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ,记x,y 关于8的表达式分别为(),(,)y x f g θθ==则下列说法正确的是().A x f θ=是偶函数(),g γθ=是奇函数.()B x f θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，()g θ在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数 ().()1C f g θθ+≥对于00,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立D.函数()()22t f g θθ=+ 12.如图,平面α∩平面l β=，A,C 是α内不同的两点,B,D 是β内不同的两点,且A,B,C,D 直线l,M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是A.若AB ∥CD,则MN ∥lB.若M,N 重合,则AC lC.若AB 与CD 相交,且AC ∥l,则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线,则MN 不可能与平行三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别是F 1,F 2,且F 1,F 2与水平夹角均为45°,12||10,2,F F N ==则物体的重力大小为 ▲14.已知0,,sin tan 24x ππαα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 ▲ 15.植树造林,绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动,准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗,且关于抛物线的如图所示,其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称,现有三种树苗,要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗,则共有不同的种植方法数是 ▲ (用数字作答)16.已知函数32()2l 1,,31n 1f x x x x x x ⎧=+<≥-⎨⎩则[-1,]()x e f x ∈时，的最小值为 ▲ 设()2()()g x f x f x a ⎡⎤=-+⎣⎦若函数g(x)有6个零点,则实数a 的取值范围是 ▲ (本题第一空2分,第二空3分)四、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知,3a A π==(1)若4B π=,求b;(2)求△ABC 面积的最大值18.(12分)已知数列{a n }为正项等比数列,a 1=1:数列{b n }满足3122313(23)2n n b a b a a b a b b n +++=+- (1)求a n ;(2)求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n. 19.(12分)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答①,AB BC ⊥②FC 与平面ABCD 所成的角为π6,③∠ABC=π3如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD,且2,PA PD PB ==的中点为F.(1)在线段AB 上是否存在一点G,使得AF ∥平面PCG?若存在,指出G 在AB 上的位置并给以证明;若不存在,请说明理由(2)若 ▲ ,求二面角F AC D --的余弦值注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分,20.(12分)已知函数()()1,,xe f x alnx g x x x=+= (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)证明()()211ln .e a f x g x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时， 21.(12分)区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后,下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器,将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间,中国的区块链企业数量逐年增长,居世界前列现收集我国近5年区块链企业 总数量相关数据,如下表注：参考数据5555111174.691,312.761,10.980,40.457i i i i i i i i i i y x y z x z ========∑∑∑∑（其中z=lny ） 附:样本)(,)(1,2,,i i x y i n =的最小二乘法估计公式为121()(),()ni ii n ii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑ (1)根据表中数据判断,y=a+bx 与y=ce dx (其中 2.71828e =,为自然对数的底数) ,哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量?(给出结果即可,不必说明理由) (2)根据(1)的结果,求y 关于x 的回归方程(结果精确到小数点后第三位);(3)为了促进公司间的合作与发展,区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛, 邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下:①每场比赛有两个公司参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一个公司首先获胜两场,则本次比赛结束,该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”,已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为35,乙胜丙的概率为12,请通过计算说明,哪两个公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公司”的概率最大?22.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点12(,1),,2P F F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-(1)求椭圆C 的方程;,(2)过P 点的直线l 1与椭圆C 有且只有一个公共点, 直线l 2平行于OP (O 为原点),且与椭圆C 交于两点A 、B,与直线x=2交于点M(M 介于A 、B 两点之间)(i)当△PAB 面积最大时,求l 2的方程;Ⅱ)求证:||||||||PA MB PB MA ,并判断12,l l PA,PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列?。
山东省潍坊市2020届高三二模数学试题(wd无答案)
山东省潍坊市2020届高三二模数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 已知集合 U＝{1，2，3，4，5，6，7}， A＝{2，3，4，5}， B＝{2，3，6，7}，则A∩∁U B ＝（）A．{1，4}B．{1，4，5}C．{4，5}D．{6，7}(★★) 2. 若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实数 a的值可以是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2(★★) 3. 甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是律师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是律师C．甲是医生，乙是律师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是律师(★★★) 4. 以抛物线的焦点为圆心，且与 E的准线相切的圆的方程为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 设函数 f（ x）为奇函数，且当 x≥0时， f（ x）＝ e x﹣ cosx，则不等式 f（2 x﹣1）+ f（ x﹣2）＞0的解集为( )A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（1，+∞）(★★★) 6. 《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( )A．94B．95C．96D．98(★★★) 7. 在四面体 ABCD中，△ ABC和△ BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且 AD是该球的直径，则四面体 ABCD的体积为( )A．B．C．D．(★★) 8. 已知 O为坐标原点，双曲线 C：的右焦点为 F，过点 F且与 x轴垂直的直线与双曲线 C的一条渐近线交于点 A（点 A在第一象限），点 B在双曲线 C的渐近线上，且BF∥ OA，若，则双曲线 C的离心率为（）A．B．C．D．2二、多选题(★★) 9. 我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（）A．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C．2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定D．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰(★★) 10. 若，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．(★★★) 11. 在单位圆 O： x 2+ y 2＝1上任取一点 P（ x， y），圆 O与 x轴正向的交点是 A，设将 OA绕原点 O旋转到 OP所成的角为θ，记 x， y关于θ的表达式分别为 x＝ f（θ）， y＝g（θ），则下列说法正确的是（）A．x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数B．x＝f（θ）在为增函数，y＝g（θ）在为减函数C．f（θ）+g（θ）≥1对于恒成立D．函数t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为(★★★) 12. 如图，平面α∩平面β＝ l， A， C是α内不同的两点， B， D是β内不同的两点，且 A， B， C， D∉直线 l， M， N分别是线段 AB， CD的中点．下列判断正确的是（）A．若AB CD，则MN lB．若M，N重合，则AC lC．若AB与CD相交，且AC l，则BD可以与l相交D．若AB与CD是异面直线，则MN不可能与l平行三、填空题(★★) 13. 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是 F 1， F 2，且 F 1， F 2与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为_____．(★★) 14. 已知，则tanα＝_____．(★★★) 15. 植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的 ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中 A、 B、 C分别与 E、 F、 G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．四、双空题(★★★★) 16. 已知函数则x∈[﹣1， e]时， f（ x）的最小值为_____；设 g（ x）＝[ f（ x）] 2﹣ f（ x）+ a若函数 g（ x）有6个零点，则实数 a的取值范围是_____．五、解答题(★★) 17. 在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知，（1）若，求 b；（2）求△ ABC面积的最大值．(★★★) 18. 已知数列为正项等比数列，；数列满足.（1）求；（2）求的前项和.(★★★) 19. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．① AB⊥ BC，② FC与平面 ABCD所成的角为，③∠ ABC ．如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PA⊥平面 ABCD ，且 PA ＝ AB ＝2，， PD 的中点为 F ．（1）在线段 AB 上是否存在一点 G ，使得 AF 平面 PCG ？若存在，指出 G 在 AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角 F ﹣ AC ﹣ D 的余弦值．(★★★) 20. 已知函数 f （ x ），（1）讨论函数 f （ x ）的单调性；（2）证明： a ＝1时， f （ x ）+ g （ x ）﹣（1） lnx ＞ e ．(★★★) 21. 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表年份20152016201720182019编号12345企业总数量y （单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224注：参考数据（其中 z ＝ lny ）．附：样本（ x i ， y i ）（ i ＝1，2，…， n ）的最小二乘法估计公式为（1）根据表中数据判断， y ＝ a+ bx 与 y ＝ ce dx（其中 e ＝2.71828…，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果，求 y 关于 x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？(★★★★) 22. 已知椭圆：过点，、分别为椭圆 C的左、右焦点且（1）求椭圆 C的方程；（2）直线平行于 OP（ O为原点），且与椭圆 C交于两点 A、 B，与直线 x＝2交于点 M（ M介于 A、 B两点之间）．（ I）当△ PAB面积最大时，求的方程；（ II）求证：.。
山东省潍坊市2020届高三第二次模拟考试(数学)
潍坊市高考模拟考试数 学2020．5本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,2,3,6,7U U A B A C B ===⋂=，则 A. {}1,4B. {}1,4,5C. {}4,5D. {}6,72.若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是 A.1B.0C. 1-D. 2-3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一个是医生，一人是记者.已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是 A.甲是律师，乙是医生，丙是记者 B.甲是医生，乙是记者，丙是律师 C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师4.以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为 A. ()2214x y -+=B. ()2214x y ++=C. ()2214x y ++=D. ()2214x y +-=5.设函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式()()2120f x f x -+->的解集为A. (),1-∞B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二士岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中，ABC BCD ∆∆和均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为A.24B.12C.6D.48.已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y C a a b-=>>：的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF/OA ，若0AB OB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为A. 3B.C.D.2二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全.按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤——比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据下图可知在2010-2019年A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10.若1,0a b c <<->，则下列不等式中一定成立的是A. 11a b a b->-B. 11a b b a-<-C. ()ln 0b a ->D. c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O x y +=上任取一点(),P x y ，圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记,x y θ关于的表达式分别为()(),x f y g θθ==，则下列说法正确的是 A. ()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数 B. ()x fθ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数，()y g θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数 C. ()()102f g πθθθ⎡⎤+≥∈⎢⎥⎣⎦对于，恒成立D.函数()()22t fg θθ=+的最大值为3312.如图，平面α⋂平面,,l A C βα=是内不同的两点，B,D 是β内不同的两点，且A,B,C,D ∉直线l ，M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是A.若AB//CD ，则//MN lB.若M,N 重合，则//AC lC.若AB 与CD 相交，且//AC l ，则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与l 平行 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,F F u u r u u r ，且12,F F u u r u u r与水平夹角均为1245102F F N ==ou u r u u u r，，则物体的重力大小为_________N.14.已知50sin tan 24ππααα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则__________. 15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答） 16.已知函数()32ln ,1231,1x x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，则[]1,x e ∈-时，()f x 的最小值为________，设()()()2g x f x f x a =-+⎡⎤⎣⎦，若函数()g x 有6个零点，则实数a 的取值范围是_________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,23,3a b c a A π==，已知.（1）若4B π=，求b ；（2）求ABC ∆面积的最大值.18.（2分）已知数列{}n a 为正项等比数列，11a =；数列{}n b 满足21122333,b a b a b a b =++⋅⋅⋅()3232n n n a b n +=+-.（1）求n a ；（2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19.（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答. ①AB BC ⊥，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③3ABC π∠=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2,PD 的中点F.（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF//平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.（2）若__________，求二面角F AC D --的余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.（12分）已知函数()()1ln ,xe f x a x g x x x=+=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：()()211ln e a f x g x x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时，.21.（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术.区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式.2015年至2019年五年期间，中国的区块企业数量逐年增长，居世界前列.现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如下表：注：参考数据5555111174.691,312.761,10.980,40.457ii i i i i i i i i yx y z x z ========∑∑∑∑（其中ln z y =）附：样本()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的最小二乘法估计公式为()()()$121niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑$$，. （1）根据表中数据判断，dxy a bx y ce =+=与（其中 2.71828e =⋅⋅⋅，为自然对数的底数）哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”. 已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？22.（12分）已知椭圆()()221222:121,x y C a b P F F a b+=>>0过点，，分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-u u u r u u u r.（1）求椭圆C 的方程；（2）过P 点的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间）.（i ）当PAB ∆面积最大时，求2l 的方程；（ii ）求证：PA MB PB MA =，并判断12,,,l l PA PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
试卷类型:A潍坊市高考模拟考试数学本试卷共4页,满分150分.考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。
3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}1,2,3,45,6,7,2,3,4,5,{2,3,6,7},U A B ===，则A∩⇑U B={}{}{}{}.1,4.1,4,5.4,5.6,7A B C D2.若复数21a z i+=-在复平面内对应的点在第二象限内,则实数a 的值可以是 A.1 B.0 C.-1 D.-23.甲、乙、丙三人中,一人是律师,一人是医生,一人是记者已知丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小根据以上情况,下列判断正确的是A.甲是律师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者丙是律师C.甲是医生,乙是律师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是律师 4.以抛物线2:4E x y =的焦点为圆心,且与E 的准线相切的圆的方程为()22.14A x y -+= ()22.14B x y ++= ()22.14C x y ++= ()22.4+1D x y -=5.设函数()f x 为奇函数,且当0x ≥时()cos ,x f x e x =-则不等()()2120f x f x -+->的解集为().,1A -∞11.,.,.(1,)33B C D ⎛⎫⎛⎫-∞+∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁,….生数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”某老年公寓住有20位老人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂,其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90-100),其余19人的年龄依次相差一岁,则年长者的年龄为A.94B.95C.96D.987.在四面体ABCD 中,△ABC 和BCD ∆均是边长为1的等边三角形,已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上,且AD 是该球的直径,则四面体ABCD 的体积为241264A B D 8.已知O 为坐标原点,双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F,过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A(点A 在第一象限),点B 在双曲线C 的渐近线上,且BF ∥OA,若0,AB OB ⋅=u u u r u u u r则双曲线C 的离心率为..23A B 二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.9.我国是世界第一产粮大国,我国粮食产量很高,整体很安全按照14亿人口计算,中国人均粮食产量约为950斤—比全球人均粮食产量高了约250斤.下图是中国国家统计局网站中2010-2019年,我国粮食产量(千万吨)与年末总人口(千万人)的条形图,根据下图可知在2010-2019年中A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰 10.若1,0a b c <<->则下列不等式中一定成立的是1111...ln()0A a b B a b C b a a b b a ->--<-->.e ea b D b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.在单位圆22:1O x y +=上任取一点(),,P x y 圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP所成的角为θ,记x,y 关于8的表达式分别为(),(,)y x f g θθ==则下列说法正确的是().A x f θ=是偶函数(),g γθ=是奇函数.()B x f θ=在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，()g θ在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数().()1C f g θθ+≥对于00,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立D.函数()()22t fg θθ=+的最大值为212.如图,平面α∩平面l β=，A,C 是α内不同的两点,B,D 是β内不同的两点,且A,B,C,D 直线l,M,N 分别是线段AB,CD 的中点.下列判断正确的是 A.若AB ∥CD,则MN ∥l B.若M,N 重合,则AC l PC.若AB 与CD 相交,且AC ∥l,则BD 可以与l 相交D.若AB 与CD 是异面直线,则MN 不可能与平行三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别是F 1,F 2,且F 1,F 2与水平夹角均为45°,12||10,2,F F N ==u u r u u r则物体的重力大小为 ▲14.已知0,,sin ,tan 245x ππαα⎛⎫⎛⎫∈-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 ▲ 15.植树造林,绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动,准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗,且关于抛物线的如图所示,其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称,现有三种树苗,要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗,则共有不同的种植方法数是 ▲ (用数字作答)16.已知函数32()2l 1,,31n 1f x x x x x x ⎧=+<≥-⎨⎩则[-1,]()x e f x ∈时，的最小值为 ▲设()2()()g x f x f x a ⎡⎤=-+⎣⎦若函数g(x)有6个零点,则实数a 的取值范围是 ▲ (本题第一空2分,第二空3分)四、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知,3a A π==(1)若4B π=,求b;(2)求△ABC 面积的最大值 18.(12分)已知数列{a n }为正项等比数列,a 1=1:数列{b n }满足3122313(23)2nn b a b a a b a b b n +++=+-L(1)求a n ; (2)求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n.19.(12分)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答 ①,AB BC ⊥②FC 与平面ABCD 所成的角为π6,③∠ABC=π3如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD,且2,PA PD PB ==的中点为F. (1)在线段AB 上是否存在一点G,使得AF ∥平面PCG?若存在,指出G 在AB 上的位置并给以证明;若不存在,请说明理由(2)若 ▲ ,求二面角F AC D --的余弦值 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分, 20.(12分)已知函数()()1,,xe f x alnx g x x x=+=(1)讨论函数()f x 的单调性; (2)证明()()211ln .e a f x g x e x ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭时， 21.(12分)区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后,下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器,将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间,中国的区块链企业数量逐年增长,居世界前列现收集我国近5年区块链企业注：参考数据5555111174.691,312.761,10.980,40.457ii i i i i i i i i yx y z x z ========∑∑∑∑（其中z=lny ）附:样本)(,)(1,2,,i i x y i n =L 的最小二乘法估计公式为$121()(),()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑$$ (1)根据表中数据判断,y=a+bx 与y=ce dx (其中 2.71828e =L ,为自然对数的底数) ,哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量?(给出结果即可,不必说明理由) (2)根据(1)的结果,求y 关于x 的回归方程(结果精确到小数点后第三位);(3)为了促进公司间的合作与发展,区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛,邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下:①每场比赛有两个公司参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一个公司首先获胜两场,则本次比赛结束,该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”,已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为13,甲胜丙的概率为35,乙胜丙的概率为12,请通过计算说明,哪两个公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公司”的概率最大?22.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点12(,1),,2P F F 分别为椭圆C 的左、右焦点且121PF PF ⋅=-u u u r u u u u r(1)求椭圆C 的方程;,(2)过P 点的直线l 1与椭圆C 有且只有一个公共点,直线l 2平行于OP (O 为原点),且与椭圆C 交于两点A 、B,与直线x=2交于点M(M 介于A 、B 两点之间) (i)当△PAB 面积最大时,求l 2的方程;Ⅱ)求证:||||||||PA MB PB MA =,并判断12,l l PA,PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列?。