计量经济学中相关证明
计量经济学讲义第六讲(共十讲)
第六讲 多重共线一、 FWL 定理及其应用考虑模型：112233i i i i i y a b x b x b x ε=++++ （1）假如我们只关注1ˆb，则通过如下步骤可以获得之。
第1步：把1x 对其他解释变量进行回归（请注意，截距所对应的解释变量为1），即有： 101223ˆˆˆˆi i i ix x x v βββ=+++ （2）第2步：把y 也对（2）中的解释变量进行回归，即有：01223ˆˆˆˆi i i i y x x w ϕϕϕ=+++ （3）第3步：把ˆw 对ˆv 进行回归（不含截距，当然你可以包含截距，但你会发现，截距的估计结果是零，这是因为ˆw 与ˆv 其均值都为零），即有模型：ˆˆi i i ve w η=+ （4） 则有：2ˆˆˆˆi i iw v v η=∑∑，可以验证，1ˆˆb η=，且残差ˆi e 等于初始的残差ˆi ε。
此即著名的FWL 定理（Frisch-Waugh-Lovell theorem ）。
关于FWL 定理的一个简单证明见附录1。
思考题：利用关于“偏导数”的直觉，你能够理解1ˆˆb η=吗？ 考察2ˆˆˆˆi i iw v v η=∑∑，把01223ˆˆˆˆi i i i y x x w ϕϕϕ=---代入，现在分子是：2012230123ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆi i i i i i i ii i i v x i i y x x y v x v v v wv ϕϕϕϕϕϕ------∑∑∑==∑∑∑应该注意到，在进行第一步回归时，OLS 法保证了203ˆˆˆi i i i i v x x vv ===∑∑∑ 因此，22ˆˆˆˆˆˆi i i i i iw v y v v v η==∑∑∑∑ 显然，如果把y 对ˆv 直接进行无截距回归：*ˆiiiy v ης=+ （5）我们也可以得到：*122ˆˆˆˆˆˆˆi i i i i i y v w v b v vηη====∑∑∑∑。
计量经济学随机项方差无偏估计量的证明
故
即 是 的无偏估计量，从而
而样本残差平方和 的自由度 。
因为，样本残差可以看作是总体随机项的估计量，而样本残差 ，是完全可以计算的，因此，可以用样本残差的方差来估计总体随机项的方差。
我们目的是得到 的无偏估计量，因此，我们需要确定样本残差平方和的自由度 ，使得
（3.4.3）
由于 ，所以，上式等价于
（3.4.4）
可以证明 ，其中n是样本容量。下面给出证明：
证明
证明：为了得到 的值，我们不妨先求 ，看它和 是什么关系。由于
而
两边求均值，有
所以
而
两边求均值有：
由于 ，所以有：
将 和 代入 有
对上式平方求和再取期望值有：
在式中：
由于 ，其中 ，所以，上式可以写为：
注意式中 是n项之和，而 则是n(n-1)项之和。
注意：式中 是n项之和，而 则是nn-1)项之和。
《计量经济学》试题及答案大全(二)
《计量经济学》试题及答案第一章绪论一、填空题：1．计量经济学是以揭示经济活动中客观存在的___数量关系_______为内容的分支学科，挪威经济学家弗里希，将计量经济学定义为______经济理论____、______统计学____、___数学_______三者的结合。
2．数理经济模型揭示经济活动中各个因素之间的____理论______关系，用______确定____性的数学方程加以描述，计量经济模型揭示经济活动中各因素之间的____定量_____关系，用_____随机_____性的数学方程加以描述。
3．经济数学模型是用___数学方法_______描述经济活动。
第一章绪论4．计量经济学根据研究对象和内容侧重面不同，可以分为___理论_______计量经济学和___应用_______计量经济学。
5．计量经济学模型包括____单方程模型______和___联立方程模型_______两大类。
6．建模过程中理论模型的设计主要包括三部分工作，即选择变量、确定变量之间的数学关系、拟定模型中待估计参数的取值范围。
7．确定理论模型中所包含的变量，主要指确定__解释变量________。
8．可以作为解释变量的几类变量有_外生经济_变量、_外生条件_变量、_外生政策_变量和_滞后被解释_变量。
9．选择模型数学形式的主要依据是_经济行为理论_。
10．研究经济问题时，一般要处理三种类型的数据：_时间序列_数据、_截面_数据和_虚变量_数据。
11．样本数据的质量包括四个方面_完整性_、_可比性_、_准确性_、_一致性_。
12．模型参数的估计包括_对模型进行识别_、_估计方法的选择_和软件的应用等内容。
13．计量经济学模型用于预测前必须通过的检验分别是_经济意义检验、_统计检验、_计量经济学检验和_预测检验。
14．计量经济模型的计量经济检验通常包括随机误差项的_异方差_检验、_序列相关_检验、解释变量的_多重共线性_检验。
15．计量经济学模型的应用可以概括为四个方面，即_结构分析_、_经济预测_、_政策评价_、_检验和发展经济理论_。
《计量经济学》各章主要知识点
第一章：绪论1.计量经济学的学科属性、计量经济学与经济学、数学、统计学的关系；2.计量经济研究的四个基本步骤（1）建立模型（依据经济理论建立模型,通过模型识别、格兰杰因果关系检验、协整关系检验建立模型）；（2）估计模型参数（满足基本假设采用最小二乘法，否则采用其他方法：加权最小二乘估计、模型变换、广义差分法等）；（3 ）模型检验:经济意义检验（普通模型、双对数模型、半对数模型中的经济意义解释，见例1、例2 ）,统计检验（T检验，拟合优度检验、F检验,联合检验等）；计量经济学检验（异方差、自相关、多重共线性、在时间序列模型中残差的白噪声检验等）；（4 ）模型应用。
例1:在模型中，y某类商品的消费支出，x收入，P商品价格，试对模型进行经济意义检验，并解释A"》的经济学含义。
In X = 0.213 +0.25 In 一0.31£其中参数卩'",都可以通过显著性检验。
经济意义检验可以通过（商品需求与收入正相关、与商品价格负相关\商品消费支出关于收入的弹性为0.25 （ 1心/畑）=0.251】心/仏））；价格增加一个单位，商品消费需求将减少31%。
例2 :硏究金融发展与贫富差距的关系，认为金融发展先使贫富差距加大（恶化）, 尔后会使贫富差距降＜氐（好转），成为倒U型。
贫富差距用GINI系数表示，金融发展用（贷款余额/存款总额）表示。
回归结果G/^VZ r =2.34 + 0.641；-1.29x；/模型参数都可以通过显著性检验。
在X的有意义的变化范围内,GINI系数的值总是大于1 ,细致分析后模型变的毫无意义；同样的模型还有：GINI系数的值总是为负= —13.34 + 7.12 兀一14.31#O3.计量经济学中的一些基本概念数据的三种类型：横截面数据、时间序列数据、面板数据；线性模型的概念；模型的解释变量与被解释变量，被解释变量为随机变量（如果—个变量为随机变量,并与随机扰动项相关，这个变量称为内生变量），被解释变量为内生变量,有些解释变量也为内生变量。
计量经济学在经济政策分析中的应用探究
计量经济学在经济政策分析中的应用探究计量经济学是一门研究经济变量之间相互关系的学科，它通过利用统计学、数学和经济学的方法，来寻找数据中存在的模式，推断出相互关系，进而用于经济政策的制定和评估。
本文将从计量经济学的定义、应用、模型、案例等方面，对计量经济学在经济政策分析中的应用进行探究。
一、计量经济学的定义计量经济学是以量化数据为基础，运用经济理论、数学和统计学的方法，对经济变量之间的关系进行研究，从而提供对经济现象和政策的分析和预测。
它旨在建立一些模型来描述、预测和解释经济现象，并以此为基础进行经济政策的制定和评估。
二、计量经济学的应用计量经济学在经济政策制定和评估中的应用主要包括以下几个方面。
1.政策制定时的参考政府部门在制定政策时，需要对该政策所涉及的经济变量之间的关系进行分析，这就需要运用计量经济学。
例如，政府部门要制定财政政策，需要预测出国内生产总值和各种收入的数量，就需要通过计量经济学分析出不同政策措施对经济变量的影响。
2.政策效果的评估政府部门在制定政策后，需要对政策实施效果进行评估，这时同样需要计量经济学的分析方法。
例如，政府对某一行业采取扶持政策，需要通过计量经济学来进行对比分析，以了解政策效果是否达到了预期。
3.预测和预警计量经济学可以预测未来经济发展趋势，提供政策制定的参考。
例如，通过计量模型对某一发展的城市进行研究，可以预测未来该城市经济的增长趋势，为政府提供决策参考。
4.分析政策影响计量经济学可以分析政策变化对经济现象的影响，为政府部门决策提供科学参考。
例如，政府在某一税收政策上进行改变，就需要通过计量经济学来分析改变后的影响，以做出适当的调整。
三、计量经济学的模型分类计量经济学的模型可以分为宏观模型和微观模型两种。
宏观模型主要是从整体经济环境的角度对经济变量进行研究，又可以分为几类：宏观经济周期模型、宏观经济结构模型、宏观经济增长模型等。
微观模型是以个体经济行为为基础，从微观环境的角度对经济变量进行研究，又可以分为：消费者行为模型、企业行为模型、市场结构模型等。
计量经济学题库(超完整版)及答案.详解
40
15
13
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35
43
Y798源自11548
10
9
10
若建立的消费Y对收入X的回归直线的Eviews输出结果如下：
Dependent Variable: Y
Variable
Coefficient
Std. Error
X
0.202298
0.023273
C
2.172664
0.720217
R-squared
12．根据对某企业销售额Y以及相应价格X的11组观测资料计算：
（1）估计销售额对价格的回归直线；
（2）当价格为X1＝10时，求相应的销售额的平均水平，并求此时销售额的价格弹性。
13．假设某国的货币供给量Y与国民收入X的历史如系下表。
某国的货币供给量X与国民收入Y的历史数据
年份
X
Y
年份
X
Y
年份
X
Y
1985
30．指出下列假想模型中的错误，并说明理由：
（1）
其中， 为第 年社会消费品零售总额（亿元）， 为第 年居民收入总额（亿元）（城镇居民可支配收入总额与农村居民纯收入总额之和）， 为第 年全社会固定资产投资总额（亿元）。
（2） 其中， 、 分别是城镇居民消费支出和可支配收入。
（3） 其中， 、 、 分别是工业总产值、工业生产资金和职工人数。
， ， ， ，
假定满足所有经典线性回归模型的假设，求 ， 的估计值；
16.根据某地1961—1999年共39年的总产出Y、劳动投入L和资本投入K的年度数据，运用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：
(0.237) (0.083) (0.048)
计量经济学第3章习题作业
A n ≥ k +1 B n ≤ k +1 C n ≥ 30 D n ≥ 3(k +1)
6. 对于 Yi =βˆ0 + βˆ1Xi +ei ，以σˆ 表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有（ ） A σˆ＝0时，r=1
B σˆ＝0时，r=-1
C σˆ＝0时，r=0
7. 简述变量显著性检验的步骤。 8. 简述样本相关系数的性质。 9. 试述判定系数的性质。
五、综合题
1. 为了研究深圳市地方预算内财政收入与国内生产总值的关系，得到以下数据：
年份
地方预算内财政收入 Y
国内生产总值(GDP)X
（亿元）
（亿元）
1990
21.7037
171.6665
1991
27.3291
184.7908
1436.0267
2000
225.0212
1665.4652
2001
265.6532
1954.6539
要求：
（1）建立深圳地方预算内财政收入对 GDP 的回归模型；
（2）估计所建立模型的参数，解释斜率系数的经济意义；
（3）对回归结果进行检验；
（4）若是 2005 年的国内生产总值为 3600 亿元，确定 2005 年财政收入的预测值和预
）
A 可靠性
B 合理性
C 线性
D 无偏性
E 有效性
5. 剩余变差是指（
）
A 随机因素影响所引起的被解释变量的变差
B 解释变量变动所引起的被解释变量的变差
C 被解释变量的变差中，回归方程不能做出解释的部分
D 被解释变量的总变差与回归平方和之差
二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的证明
二阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares, 2SLS）和工具变量法（Instrumental Variables, IV）在计量经济学中被广泛应用，用于解决因果关系的内生性问题。
虽然这两种方法在形式上有所不同，但是它们在某些条件下可以得到相同的结果。
本文将就二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的证明展开探讨。
1. 二阶段最小二乘法的基本原理及公式我们需要了解二阶段最小二乘法的基本原理。
在计量经济学中，当自变量存在内生性问题时，我们无法直接使用最小二乘法进行回归分析。
这时，我们可以通过引入工具变量来解决内生性问题。
二阶段最小二乘法包括两个阶段，第一阶段是利用工具变量估计内生变量的值，第二阶段是利用第一阶段的估计值替代内生变量进行普通最小二乘法回归分析。
其公式为：[Y_i = _0 + _1X_i + _i][X_i = _0 + _1Z_i + _i]其中，(Y_i)代表因变量，(X_i)代表内生解释变量，(Z_i)代表工具变量，(_i)和(_i)分别为误差项。
通过两个阶段的回归分析，我们可以得到最终的估计结果。
2. 工具变量法的基本原理及公式工具变量法是一种处理内生性的方法，其基本原理是利用与内生解释变量相关但与误差项不相关的外生变量作为工具变量，通过工具变量的线性组合来替代内生变量进行估计。
工具变量法的回归模型可以表示为：[X_i = _0 + _1Z_i + _i] [Y_i = _0 + _1 + _i]其中，()是利用工具变量估计的内生变量的值。
3. 二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的条件现在让我们来探讨二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的条件。
事实上，当工具变量法满足一定条件时，其结果与二阶段最小二乘法是等价的。
具体而言，若工具变量满足外生性和相关性条件（即与内生变量相关），并且内生变量的影响能够完全通过工具变量进行替代，那么工具变量法的结果将与二阶段最小二乘法一致。
《计量经济学(第二版)》习题解答(第1-3章)
《计量经济学（第二版）》习题解答第一章1.1 计量经济学的研究任务是什么？计量经济模型研究的经济关系有哪两个基本特征？ 答：（1）利用计量经济模型定量分析经济变量之间的随机因果关系。
（2）随机关系、因果关系。
1.2 试述计量经济学与经济学和统计学的关系。
答：（1）计量经济学与经济学：经济学为计量经济研究提供理论依据，计量经济学是对经济理论的具体应用，同时可以实证和发展经济理论。
（2）统计数据是建立和评价计量经济模型的事实依据，计量经济研究是对统计数据资源的深层开发和利用。
1.3 试分别举出三个时间序列数据和横截面数据。
1.4 试解释单方程模型和联立方程模型的概念，并举例说明两者之间的联系与区别。
1.5 试结合一个具体经济问题说明计量经济研究的步骤。
1.6 计量经济模型主要有哪些用途？试举例说明。
1.7 下列设定的计量经济模型是否合理，为什么？（1）ε++=∑=31i iiGDP b a GDPε++=3bGDP a GDP其中，GDP i （i =1，2，3）是第i 产业的国内生产总值。
答：第1个方程是一个统计定义方程，不是随机方程；第2个方程是一个相关关系，而不是因果关系，因为不能用分量来解释总量的变化。
（2）ε++=21bS a S其中，S 1、S 2分别为农村居民和城镇居民年末储蓄存款余额。
答：是一个相关关系，而不是因果关系。
（3）ε+++=t t t L b I b a Y 21其中，Y 、I 、L 分别是建筑业产值、建筑业固定资产投资和职工人数。
答：解释变量I 不合理，根据生产函数要求，资本变量应该是总资本，而固定资产投资只能反映当年的新增资本。
（4）ε++=t t bP a Y其中，Y 、P 分别是居民耐用消费品支出和耐用消费品物价指数。
答：模型设定中缺失了对居民耐用消费品支出有重要影响的其他解释变量。
按照所设定的模型，实际上假定这些其他变量的影响是一个常量，居民耐用消费品支出主要取决于耐用消费品价格的变化；所以，模型的经济意义不合理，估计参数时可能会夸大价格因素的影响。
计量经济学1-5章(超详细完整版)
26
理论计量经济学和应用计量经济学
计量经济学根据研究对象和内容侧重面不同，
可以分为理论计量经济学和应用计量经济学。 理论计量经济学：是以介绍研究计量经济学的 理论与方法为主要内容，侧重于理论与方法的数学 证明与推导。
应用计量经济学：以建立与应用计量经济学模
型为主要内容，强调应用模型的经济学和经济统计
拉格纳·弗里希（ R. Frish ）
19
计量经济学是用数学语言 来表达经济理论，以便通 过统计方法来论述这些理 论的一门经济学分支。
计量经济学可定义为：根据
理论和观测的事实，运用合
适的推理方法使之联系起来 同时推导，对实际经济现象 进行的数量分析。
20
教科书中的一般表述： 统计学、经济
理论和数学
（1.1） （1.1）式为数理经济模型，该模型是不可以 估计的。要研究收入I 的变化对消费支出C的数量 影响程度，需要对（1.1）进行改造模型。
35
首先，明确（1.1）式的函数形式。例如， C a bI （1.2） 其中 a、 b 为未知的参数， 其次，在（1.2）式右端引入随机变量u，以
16
当前的计量理 论前沿问题
17
○ 计 量 经 济 学 在 中 国 的 发 展
我国计量经济学研究
和应用水平同世界前
沿的差距迅速缩小
2000年
我国计量经济学研 究和应用的普及阶 段
成立了“中国数量经济研
究会”，为创立我国的计
1984年 量经济学奠定了基础
1979年
18
二、什么是计量经济学？
用数学方法探讨经济学可以从好几个方面着手，但 任何一个方面都不能和计量经济学混为一谈。计量 经济学与经济统计学绝非一码事；它也不同于我们 所说的一般经济理论，尽管经济理论大部分具有一 定的数量特征；计量经济学也不应视为数学应用于 经济学的同义语。经验表明，统计学、经济理论和 数学这三者对于真正了解现代经济生活的数量关系 来说，都是必要的，但本身并非是充分条件。三者 结合起来，就是力量，这种结合便构成了计量经济 学。
计量经济学第二章
y ˆ0 ˆ1x
ˆ0 y ˆ1x
由cov(x,u)=E(xu)=0 得E[x(y – 0 – 1x)] = 0
对于给定的数据样本，有
n
n1 xi yi ˆ0ˆ1xi 0
i1
n
xi yi y ˆ1x ˆ1xi 0
i 1
n
n
xi yi y ˆ1 xi xi x
OLS的无偏性 OLS估计量的方差
计量
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OLS的无偏性
我们首先在一组简单假定的基础上构建 OLS的无偏性。
假定SLR.1 线性于参数 在总体模型中，因变量y与自变量x的误差项u的
关系如下： y 0 1x u
其中， 0 和 1 分别表示总体的截距和斜率参数。
计量
39
OLS的无偏性
假定SLR.2 随机抽样 我们具有一个服从从整体模型方程
E(yxi)01xi
yi 01xi ui
yˆi ˆ 0 ˆ1 xi
yi ˆ0 ˆ1 xi ei
如果能够通过某种方式获得
ˆ
1 和ˆ
的数值，显然:
0
● ˆ 1 和 ˆ 0是对总体回归函数参数 1 和 0 的估计
●
yˆ
是对总体条件期望
i
E ( y x i ) 的估计
● e i 在概念上类似总体回归模型中的u i ，可视
yi y 2 yi yˆi yˆi y 2 uˆi yˆi y 2
uˆi2 2uˆi yˆi y yˆi y 2 SSR 2uˆi yˆi y SSE 又因为uˆi yˆi y 0，所以得证
计量
31
拟合优度
拟合优度（又称判定系数）
我们定义R2 = SSE/SST = 1 – SSR/SST为拟合 优度，又称判定系数，总是介于0到1之间
计量经济学一些结论和证明
xi2 yi2
(2)
又知：
b2
xi yi xi2
将 b2 带入（2）式可得到：
r 2 (
xi yi )2
xi2
yi2
化简得到如下正规方程：
(Yt b1 b2 X t ) 0
(Yt b1 b2 X t ) X t 0
由正规方程得到如下解：
b1 Y b2 X
b2
X tYt
1 n
Xt2
1 n
(
X t Yt
Xt )2
XtYt nXY X t 2 nX 2
xt yt xt 2
(2)关于b1
E(b1) E (Dt (B1 B2 X t ut )) E( B1Dt B2 Dt X t Dtut )
B1Dt B2Dt X t (Dt E(ut )) B1 Dt B2 Dt X t 0
B1
所以，b1是B1的无偏估计量。
3.有效性
首先求解b1和b2的方差
ct 2
gt2 2
xt gt xt 2
ct 2
gt2 2
Xt gt X xt 2
gt
ct2 gt2
因此
Var(b%2 ) 2 ( ct2 gt2 )
2 xt 2
2
gt 2
Var(b2 ) 2 gt2
所以
Var(b2) Var(b%2)
(2)关于b1 其证明和b2类似。
1.线性
（1）关于b2。 证：
b2
xt yt xt 2
xtYt xt 2
xt xt 2
Yt
ctYt
其中，ct
xt xt 2
由于ct是非随机变量，所以b2是关于Yt的线性函数。
计量经济学基础知识梳理(超全)
X1 X 2 X n X X n n
三、加权算术平均
加权平均是将各数据先乘以反映其重要性的权 数（w），再求平均的方法。其定义如下式：
w1 X 1 w2 X 2 wn X n wi X i Xw w1 w2 wn w
四、变化率
换言之，对数“解除了”指数，反之亦然。对数函数和指数 函数互为反函数。
指数函数的两个有用性质是
exp（x1+x2）=exp（x1）exp（x2） 和 exp﹝c· log（x）﹞=xc
4.微分学
记忆：经济学中常用的一些函数及其导数有
y 0 1x 2 x2 ; dy dx 1 22 x y 0 1 x ; dy dx 1 x2
变化率的定义如下式：
X t X t 1 (t 2,3, n) X t 1
五、几何平均
几何平均是n个数据连乘积的n次方根 ，其定义如下式：
G n X 1 X 2 X n
六、线性函数
如果两个变量x和y的关系是： 我们便说y是x的线性函数：而 0 和 1 是描述这一关 0 为截距（Intercept），1 为斜率。 系的两个参数， 一个线性函数的定义特征在于，y的改变量总是x y 1x 的改变量的 1倍： 其中，表示“改变量”。换句话说，x对y的边 1 的常数。 际效应是一个等于
例： 对数工资方程
假设小时工资与受教育年数有如下关系： 根据前面所述方程，有
logwage 2.78 0.094edu
%wage 100 0.094edu 9.4edu
由此可知，多受一年教育将使小时工资增加约9.4%。
通常把%△y/△x称为y对x的半弹性，半弹性表示当x增加 一个单位时y的百分数变化。在上述模型中，半弹性是个常 数并且等于 100 ，在上述例子中，我们可以方便的把工 1 资和教育的关系概括为：多受一年教育——无论所受教育的 起点如何——都将使工资提高约9.4%。这说明了这类模型 在经济学中的重要作用。
《计量经济学》课程中有关的证明过程
有关的证明过程1． 线性特性∑∑∑∑-==222)(ˆii i i i i x Y Y x x y x β∑∑∑∑∑=-=ii iii iiY K x x Y Y x x 22∑-=-=i i Y K X Y X Y 21ˆˆββ ∑∑∑⎪⎭⎫⎝⎛-=-=i i i i i Y X K n Y X K Y n 112． 无偏性∑∑++==)(ˆ212i i i i i u X K Y K βββ∑∑∑++=i i i i i u K X K K 21ββ ∑∑∑++=i i i i i u K X K K 21ββ其中：0)222=-===∑∑∑∑∑∑∑i i i i i ii x X X x x x x K （∑∑∑∑+-==22)(i i i i i ii i x X X X x X x x X K∑∑∑+-=2)(i i i i x X x X X x11222==+=∑∑∑∑∑i i i ii x x x x Xx故有：∑+=i i u K 22ˆββ2222)(ˆββββ=+=+=∑∑i i i i Eu K u K E E ii Y X K n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1ˆ1β()i i i u X X K n ++⎪⎭⎫⎝⎛-=∑211ββ∑∑∑++=n u n X nii21ββ∑∑∑---i i i i i u X K X X K X K 21ββ∑∑∑---++=i i i i i u K X X K X K X u X 2121ββββ∑-+=i i u K X n )1(1β ∑=-+=∴111)1(ˆβββi i Eu X K n E 3． 有效性首先讨论参数估计量的方差。
2222))ˆ(ˆ()ˆ(βββE E Var -= 2222222)())(()ˆ(∑∑=-+=-=i i i i u K E u K E E ββββ()))((221122112n n n n i i u K u K u K u K u K u K u K ++++++=∑∑∑∑≠+=ji ji j i i i u u K K u K 2)(∑∑∑∑≠+=∴ji ji j i i i i i u u K K Eu K Eu K E 22)()(∑∑∑∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2222222i i ii i x x x Eu K οο 即：∑=222)ˆ(i x Var οβ同理有：∑∑=2221)ˆ(i i x n X Var οβ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=22111)1())ˆ(ˆ()ˆ(i i u X K n E E E Var βββ22211i i i i u X K n u X K n ∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-j i j j i i u u X K n X K n ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑≠112211)ˆ(∑⎪⎭⎫⎝⎛-=X K n Var i οβ∑+-=)21(2222X K n X K n i i ο∑∑+-=222222i i K X K n Xn οοο∑∑+=22222)(i i x n X nοο⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑22222)()(i i i x X x n n ο∑∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222222)(1)(i i i x n X nX n X n ο∑∑=222i i x n X ο显然各自的标准误差为：∑=22)ˆ(i x se οβ，∑∑=221)ˆ(i i x n X se οβ标准差的作用：衡量估计值的精度。
计量经济学公式推导
计量经济学公式推导⼀、最⼩⼆乘估计式推导过程：由⽅程组0?)(112=??∑=βnt t e (1)0?)(212=??∑=βnt t e …………………(2) ，得（注意：根据导数运算法则，若)(x f 和)(x g ）在⼀个共同的区间),(b a 上有定义，并且在每⼀点),(b a x ∈都可导，则有)()(])()([x g x f x g x f '±'='±；)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '*+*'='*；对于常数c ，则)(])([x f c x cf '='；当0)(≠x g 时，2)]([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f '-'='）因此，由（1）式得，0?)(?)(1122=??=??∑∑==nt t nt t e e ββ (3)由（2）式得，0?)(?)(122212=??=??∑∑==nt t nt t e e ββ (4)根据复合函数微商定理：若对于)(y g z =，)(x f y =，若)(x f y =在⼀点0x 可导，且)(y g z =在相应的点)(00x f y =处可导，则复合函数))((x f g 在0x 可导，且有公式)()())((000x f y g dx x f dg x x ''==因此，依复合函数微商定理，由（3）式得，0)?)()()((?)(112112=??*??=??∑∑==n t t t t nt t e e e e ββ…………(5)⼜依据微商运算公式：1)(-='m m mxx ，⼜t)12(112112=?-*=??*??=??∑∑∑∑=--==t nt t n t t t t nt t e e e e e e βββ………(7) 同理根据复合函数微商定理，由（4）式得，0))?()()()((?)(122122=??*??=??∑∑==n t t t t nt t e e e e ββ……………(6) 同理⼜依据1)(-='m m mxx ，及tt t t t t t t X Y e e X e Y Y 2121ββββ--=?++=+= 可得，0)?1)(2())?()()()((?)(11)11(2)12(12 2122=-*?=??*??=??∑∑∑∑==--==n t t t n t t t n t t tt nt t X e X e e e e e βββ……(8) 同样根据：tt t t t t t t X Y e e X e Y Y 2121ββββ--=?++=+=，可以得到⽅程组： 0)??(1211=--=∑∑==nt ttn t t X Ye ββ……………………(9) 0)??(1211=--=∑∑==nt tt ttX X YX e ββ………………(10) ⽅程（9）、（10）称为正规⽅程，合起来组成的⽅程组称为正规⽅程组。
计量经济学中的各种检验
需要说明的问题
在实际应用中，我们往往希望所建立模型的决定 系数或修正的决定系数越大越好。但应注意，决 定系数只是对模型拟合优度的度量，决定系数或 修正的决定系数越大，只能说明列入模型的解释 变量对被解释变量整体的影响程度很大，并不能 说明模型中各个解释变量对被解释变量的影响程 度显著。因此在选择模型时，不能单纯地凭决定 系数的高低来断定模型的优劣，有时从模型的经 济意义和整体可靠程度的角度出发，可以适当降 低对决定系数的要求。
拟合优度检验和F检验的关系
F检验和拟合优度检验都是把总变差TSS分 解为回归平方和与残差平方和，并在这一 分解的基础上构造统计量进行的检验。区 别在于前者有精确的分布而后者没有。一 般来说，模型对观测值的拟合程度越高， 模型总体线性关系的显著性越强。
拟合优度检验和F检验的关系
F显著==>拟合优度必然显著
这两准则均要求仅当所增n 加n的解释变量能够减少 AIC值或SC值时才在原模型中增加该解释变量。
回归模型的总体显著性检验
拟合优度检验可以说明模型对样本数据的 近似情况。模型的总体显著性检验则一般 用来检验全部解释变量对被解释变量的共 同影响是否显著。
回归模型的总体显著性检验
检验全部解释变量对被解释变量的共同影响是否显著，或者说，检验回
TSS=RSS+ESS 被解释变量Y总的变动（差异）=解释变量
X引起的变动（差异）+除X以外的因素引 起的变动（差异） 如果X引起的变动在Y的总变动中占很大比 例，那么X很好地解释了Y；否则，X不能 很好地解释Y。
计量经济学第4章
yi yˆ i ei ˆ1 xi ei
y
2 i
yˆ
2 i
ei2
ˆ12
x
2 i
ei2
TSS ESS RSS
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4.1.1 总离差平方和的分解
已知由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2…,n 得到如下样本回归直线
Yˆi ˆ0ˆ1Xi
y i Y i Y ( Y i Y ˆ i) ( Y ˆ i Y ) e i y ˆ i
XiYi 204200 Xi2315400
Y2 ，i
133300
假定满足所有的古典线性回归模型的假设，且总体回归方程的
形式为
，，
Yi 01Xii
，
根据上述给出的条件，进行假设检验和参数估计，
并求得R2
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上机练习：汽车零售额
• 从课件系统下载“汽车零售额”数据 • 对数据进行描述性统计 • 建立GWY（收入总水平）来解释（GCDAN）汽车零售额
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如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。
这时，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。
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对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差 的平方和，可以证明：
记 T Sy S i2(Y i Y )2 总体平方和（Total Sum
of Squares）
ˆ t c r S i( tˆ ) E * ˆ t c r S i( tˆ ) E
• 这样就回到了置信区间方法。
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由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与 总体参数真值的“接近”程度，因此，在给定置信 水平下，置信区间越小越好。
计量经济学 终稿
一、考虑储蓄函数sav=β0+β1inc+u, u=√inc e. 其中,.是一个随机变量,且具有E(.)=0和Var(.)=σ2., 假设.独立于inc(1)证明:若E(u丨inc)=0, 则满足零条件均值的关键假设(2)证明:若Var(u丨inc)=σe2inc, 则不满足同方差假定SLR.5.(3)讨论支持储蓄方差随着家庭收入递增的证据.答案(1)∵.独立于inc则E(.丨inc)=E(.)=0∴E(u丨inc)=E(√inc e.丨inc)=√inc E(.丨inc)=0即满足零条件均值的假设(2)Var(u丨inc)=var(√inc e.丨inc)=(√inc)2evar(.丨inc)=incevar(.丨inc)∵e独立于inc, var(e丨inc)=var(e)=∴var(u丨inc)=σ2e*inc(3)一个低收入家庭会把大部分收入用在食物衣服等生活必需品上,可能有一部分储蓄, 随着收入的增加, 他们的额消费范围会扩大,也就是说储蓄方差会变大二、用WAGE2 RAW中有关男工人的数据估计了如下方程(1)Sibs是否具有预期的影响?(2)讨论对m.duc的系数的解释(3)假设一个男工人A没有兄弟姐妹答案:(1)有预期的影响,因为sibs前系数为-0 094,即代表兄弟姐妹每增加1个,预期受教育年数少0 094年Δsibs=1/0.094=10.64,即为使预测受教育程度较少一年需增加sibs10.64个(2)M.duc系数为0 131,代表母亲受教育年数每增加一年男工人预期受教育年数增加0 131年̂A)=10 36-0+0 131e12+0 21e12=14 425(3)E(eduĉB)=10 36-0+0 131e16+0 21e16=15 816E(eduĉ)=1 364∆E(educ三、刚从法学院毕业的学生的起薪中位数由下式决定(1)解释为什么我们预期(2)你预计其他斜率参数的符号如何?(3)使用LAWSCH85 RAW中的数据(4)解释变量log(libvol)的系数(5)你是否认为应该进入一个排名更高的法学院?答案:(1)因为β5是rank的系数, 而rank越小代表法学院越好,即毕业生的工资越高所以rank值应和工资相关, 所以β5≤0(2)预计β≥1, β4均大于0 因为图书馆书量越多,学费越高代表教学条件越高,学生所获取只是越多,应与工资正相关=77.01%(100∗0.248)=24.8%(3)1.7701−11(4)log libvol的系数为0 095表示图书馆藏书量增加1%工资增加0 095%(5)应当进入排名更高的法学院当∆rank=20时, ∆lang=1 1641即排名相差20位, 工资起薪相差16 41%四、在一项调查大学GPA与每种活动中所耗时间之关系的研究(1)在模型中保持sl..p和l.isur.不变而改变study有意义?(2)解释为什么这个模型违背了假定MLR 3(3)你如何才能将这个模型重新表述?答案:(1)无意义,时间之和为参值(2)四活动之和为168,即四者中人任意者均可由其他三者线性表示, 与MLR 3不存在完全共线性矛盾(3)讲study变成168-work-sl..p-l.isur.GPA=β0+168β1+(β2-β1)work+(β3-β1)sl..p+(β4-β1)l.isur.+μ五、假定一名大学生正在修读三门课,一门两学分一门三学分和一门四学分答案:三门课在总学分中所占权重分别为22+3+4=2932+3+4=1342+3+4=49E(GPA)=3 5e2/9 +3e1/3 +3e4/9 = 10/3六、令X为美国大学教授以千美元计的年薪, 假定平均年薪52 3 答案:设一下美元计的年薪为YY=1000X∵E(X)=52.3 sd(X)=14.6∴E(Y)=E(1000X)=52300(美元)Sd(Y)=sd(1000X)=14600所以以美元计的年薪均值和标准值分别为52300和14600七、假定在一所大型的大学里,大学平均成绩GPA和SAT分数的关系由条件期望(1)求当SAT=800时的期望GPA, 求并评论(2)若该大学的平均SAT为1100, 则平均GPA是多少?(3)若一个学生的SAT是1100, 这是否意味着答案:(1)∵E(GPA丨SAT)=0 70+0 002SAT∴ SAT=800时E(GPA)=E(GPA丨SAT)=2.30E(GPA丨SAT =1400)=3.50由于给定的SAT成绩不同,所以GPA不同(2)E(GPA)=0.70+0.002*100=2.90(3)总体均值为2.90, 不一定个体均值也是。
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课本中相关章节的证明过程第2章有关的证明过程2.1 一元线性回归模型有一元线性回归模型为：y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t称解释变量（自变量），u t称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t) = β0 + β1 x t,（2）随机部分，u t。
图2.8 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，收入与支出的关系；如脉搏与血压的关系；商品价格与供给量的关系；文件容量与保存时间的关系；林区木材采伐量与木材剩余物的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自各个不同收入水平，使其他条件不变成为不可能，所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
随机误差项u t中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以，在经济问题上“控制其他因素不变”实际是不可能的。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容，（1）非重要解释变量的省略，（2）人的随机行为，（3）数学模型形式欠妥，（4）归并误差（粮食的归并）（5）测量误差等。
回归模型存在两个特点。
（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。
（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。
通常，线性回归函数E(y t) = β0 + β1 x t是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t) = β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。
在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项u t做出如下假定。
(1) u t 是一个随机变量，u t 的取值服从概率分布。
(2) E(u t) = 0。
(3) D(u t) = E[u t - E(u t) ]2 = E(u t)2 = σ2。
称u i 具有同方差性。
(4) u t 为正态分布（根据中心极限定理）。
以上四个假定可作如下表达：u t~ N (0,σ2)。
(5) Cov(u i, u j) = E[(u i - E(u i) ) ( u j - E(u j) )] = E(u i, u j) = 0, (i≠j )。
含义是不同观测值所对应的随机项相互独立。
称为u i 的非自相关性。
(6) x i 是非随机的。
(7) Cov(u i , x i ) = E[(u i - E(u i ) ) (x i - E(x i ) )] = E[u i (x i - E(x i ) ] = E[u i x i - u i E(x i ) ] = E(u i x i ) = 0. u i 与x i 相互独立。
否则，分不清是谁对y t 的贡献。
(8) 对于多元线性回归模型，解释变量之间不能完全相关或高度相关（非多重共线性）。
在假定（1），（2）成立条件下有E(y t ) = E(β0 + β1 x t + u t ) = β0 + β1 x t 。
2.2 最小二乘估计（OLS ） 对于所研究的经济问题，通常真实的回归直线是观测不到的。
收集样本的目的就是要对这条真实的回归直线做出估计。
图2.9怎样估计这条直线呢？显然综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。
怎样用数学语言描述“处于样本数据的中心位置”？设估计的直线用t y ˆ =0ˆβ+1ˆβ x t 表示。
其中t y ˆ称y t 的拟合值（fitted value ），0ˆβ和1ˆβ分别是 β0 和β1的估计量。
观测值到这条直线的纵向距离用t uˆ表示，称为残差。
y t =t y ˆ+t u ˆ=0ˆβ+1ˆβ x t +t u ˆ 称为估计的模型。
假定样本容量为T 。
（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。
但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。
但绝对值的计算比较麻烦。
（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。
用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性（这种方法对异常值非常敏感）。
设残差平方和用Q 表示，Q = ∑=Ti t u 12ˆ= ∑=-T i t t y y 12)ˆ(= ∑=--Ti tt x y 1210)ˆˆ(ββ， 则通过Q 最小确定这条直线，即确定0ˆβ和1ˆβ的估计值。
以0ˆβ和1ˆβ为变量，把Q 看作是0ˆβ和1ˆβ的函数，这是一个求极值的问题。
求Q 对0ˆβ和1ˆβ的偏导数并令其为零，得正规方程， 0ˆβ∂∂Q = 2∑=--Ti t t x y 110)ˆˆ(ββ(-1) = 0 (2.7) 1ˆβ∂∂Q = 2∑=--T i t t x y 110)ˆˆ(ββ(- x t ) = 0 (2.8) 下面用代数和矩阵两种形式推导计算结果。
首先用代数形式推导。
由（2.7）、（2.8）式得，∑=--Ti tt x y 110)ˆˆ(ββ= 0 (2.9) ∑=--T i tt x y 110)ˆˆ(ββx t = 0 (2.10) （2.9）式两侧用除T ，并整理得，0ˆβ= x y 1ˆβ- (2.11) 把（2.11）式代入（2.10）式并整理，得，])(ˆ)[(11∑=---Ti ttx x y yβx t = 0 (2.12) ∑∑==---Ti t tTi t t x x xx y y 111)(ˆ)(β= 0 (2.13)1ˆβ= ∑∑--ttt txx x y y x )()( (2.14)因为∑=-Ti ty yx 1)(= 0，∑=-Ti tx xx 1)(= 0，[采用离差和为零的结论：∑==-Ti tx x10)(，0)(1=-∑=Ti ty y]。
所以，通过配方法，分别在（2.14）式的分子和分母上减∑=-Ti ty yx 1)(和∑=-Ti tx xx 1)(得，1ˆβ= ∑∑∑∑------)()()()(x xx x x x y yx y y x ttttt t(2.15)=∑∑---2)())((x x y y x x tt t(2.16) 即有结果：1ˆβ= ∑∑---2)())((x x y y x x t t t t t （2.17）0ˆβ= x y 1ˆβ- 这是观测值形式。
如果以离差形式表示，就更加简洁好记。
1ˆβ= ∑∑2ttt xyx0ˆβ= x y 1ˆβ- 矩阵形式推导计算结果：由正规方程，ˆβ∂∂Q = 2∑=--T i t t x y 110)ˆˆ(ββ(-1) = 0 1ˆβ∂∂Q = 2∑=--T i t t x y 110)ˆˆ(ββ(- x t ) = 0 0ˆβT +1ˆβ (∑=T i t x 1) = ∑=Ti t y 1ˆβ∑=Ti t x 1+1ˆβ (∑=Ti tx 12) = ∑=Ti t t y x 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑2ttt xx x T⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10ˆˆββ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑t t t y x y ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10ˆˆββ=12-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑∑t tt x x x T ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑t t t y x y=22)(1∑∑-t t x x T ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--∑∑∑T x x x tt t 2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑t t t y x y = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222)()(t t t t t t t t t t t t t x x T y x y x Tx x T y x x y x 注意：关键是求逆矩阵12-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑∑t tt x x x T。
它等于其伴随阵除以其行列式，伴随阵是其行列式对应的代数余子式构成的方阵的转置。
写成观测值形式。
1ˆβ= ∑∑---2)())((x x y y x x t t t t t0ˆβ= x y 1ˆβ- 如果，以离式形式表示更为简洁：1ˆβ= ∑∑2ttt xyx0ˆβ= x y 1ˆβ-2.3 一元线性回归模型的特性1． 线性特性（将结果离差转化为观测值表现形式）∑∑∑∑-==222)(ˆi i i i i i x Y Y x x y x β∑∑∑∑∑=-=ii iii iiY K x x Y Y x x 22∑-=-=i i Y K X Y X Y 21ˆˆββ∑∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=i i i i i Y X K n Y X K Y n 112． 无偏性∑∑++==)(ˆ212i i i i i u X K Y K βββ ∑∑∑++=i i i i i u K X K K 21ββ∑∑∑++=i i i i i u K X K K 21ββ其中：0)222=-===∑∑∑∑∑∑∑i i i i i ii x X X x x x x K （∑∑∑∑+-==22)(i i i i i ii i x X X X x X x x X K ∑∑∑+-=2)(i i i i x X x X X x11222==+=∑∑∑∑∑i i i ii x x x x Xx故有：∑+=i i u K 22ˆββ2222)(ˆββββ=+=+=∑∑i i i i Eu K u K E E ii Y X K n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1ˆ1β()i i i u X X K n ++⎪⎭⎫⎝⎛-=∑211ββ∑∑∑++=n u n X n i i21ββ∑∑∑---i i i i i u X K X X K X K 21ββ∑∑∑---++=i i i i i u K X X K X K X u X 2121ββββ∑-+=ii u K X n )1(1β∑=-+=∴111)1(ˆβββi i Eu X K n E3． 有效性首先讨论参数估计量的方差。
2222))ˆ(ˆ()ˆ(βββE E Var -=2222222)())(()ˆ(∑∑=-+=-=i i i i u K E u K E E ββββ()))((221122112n n n n i i u K u K u K u K u K u K u K ++++++=∑∑∑∑≠+=ji ji j i i i u u K K u K 2)(∑∑∑∑≠+=∴ji ji j i i i i i u u K K Eu K Eu K E 22)()(∑∑∑∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2222222i i ii i x x x Eu K οο即： ∑=222)ˆ(i x Var οβ同理有：∑∑=2221)ˆ(i i x n X Var οβ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=22111)1())ˆ(ˆ()ˆ(i i u X K n E E E Var βββ22211i i i i u X K n u X K n ∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-j i j j i i u u X K n X K n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑≠112211)ˆ(∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X K n Var i οβ∑+-=)21(2222X K n X K n i i ο∑∑+-=222222i i K X K nXn οοο∑∑+=22222)(i i x n X nοο⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑22222)()(i i i x X x n n ο∑∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222222)(1)(i i i x n X nX n X n ο∑∑=222i i x n X ο显然各自的标准误差为：∑=22)ˆ(i x se οβ，∑∑=221)ˆ(i i x n X se οβ标准差的作用：衡量估计值的精度。