一种多输入多输出系统传递函数的实用计算方法

决问题。 本方法分 2 步：分别为（SI-A）行列式的
计算和最终结果计算 。
1 行列式的计算
根据 G（s）的表达式，首先应计算（SIA)-1 而任何矩阵在求逆运算的过程中都不可避 免地计算行列式，这里是 A 矩阵的特征多项式， 下面给出方法。
[ 特征多项式算法 ]：给定 nxn 系统矩阵 A, 其特征多项式具有形式：
an-3= Step n-1：计算 R1=R2A+a2I
a1= Step n：计算 R0=R1A+a1I
a0= 典型例题：给定 4×4 系统矩阵 A 为：
计算其特征多项式。 解：
a3=
=2
a2=
=-10
同理有 a1=-28，a0=-14 所以 a(s)=det(sI-A)=S4+2S3-10S2-28S-14
y1(s)=g11(s)u1(s)+g12(s)+u2(s)+……+g1p(s) up(s)
y2(s)=g21(s)u1(s)+g22(s)u2(s)+……+g2p(s) up(s)
…… yq(s)=gq1(s)u1(s)+gq2(s)u2(s)+……+gqp(s) up(s) 简写为 y(s)=G(s)U(s) 考虑线性时间连续系统，状态空间描述 为：
=Ax+Bu Y=Cx+Du 则 传 递 函 数 矩 阵 G(s) 的 基 于 系 数 矩 阵 ｛A,B,C,D｝的基本关系式为 G(s) =C(SI-A)-1B+D 证：对上述两个方案取拉普拉斯变换后， 可导出： （SI-A）x(s) = BU(s) 因为矩阵（SI-A）非奇异， 故有 x(s)=(SI-A)-1u(s), 结论成立。 显 然， 基 于 关 系 式 建 立 了 G（s） 和 ｛A,B,C,D｝间的显式关系，为分析和揭示系 统两种描述间的关系提供了基础，但是，在求 解过程中包含了对含有字母 S 的方阵的求逆运 算，若系统为 6 维，求逆必求行列式，则在求 行列式时人们还需计算 6 个 5 维子式。在计算 每个子式又要 5 个 4 维子式，计算每个 4 维子 式又需计算 4 个 3 维子式，操作十分繁琐，人 工极易出错，且即使使用计算机，后续过程亦 十分复杂。况且，大型过程中又要经常用到这 样的计算和操作，因此，本文给出了一种实用、 便捷、易于计算机编程的算法，能够迅速地解
作者简介 王家豪（1997-），男，河南省平顶山市人。 大学本科在读，就读于合肥工业大学电气工程 与自动化工程学院。主要研究方向为自动化。
作者单位 合肥工业大学电气工程与自动化工程学院 安 徽省合肥市 230009
112 • 电子技术与软件工程 Electronic Technology & Software Engineern-1=I Rn-2= Rn-1A+an-1I ……
R1=R2A+an-1 I
R0=R1A+a1 I
再代入有：Rn-1= I
Rn-2=A+an-1I Rn-3=A2+an-1A+an-2 I
……
R1=An-2+an-1 An-3+…+a2 I R0=An-1+an-1 An-2+…+a1 I 即可证得。
a(s)=det(sI-A)=sn+an-1sn-1+a1s+a0 则 其 系 数 an-1, an-2,……,a1, a0
可按下述步骤给出的顺序来递推地定出。 Step1：计算 Rn-1=I
an-1= Step2：计算 Rn-2=Rn-1A+an-1I
an-2= Step3：计算 Rn-3=Rn-2A+an-2I
2 最终结果计算
[G(s) 的实用算式 ]：对多输入线性系统首
先要定出特征多项式，设为 a(s)。
和一组系数矩阵：
En-1=CB En-2=CAB+an-1CB ...... E1=CAn-2 B+an-1 CAn-3 B+…+a2 CB E0=CAn-1 B+an-1 CAn-2 B+…+a1 CB 则计算 G(S) 的一个实用关系式为：
算 的， 适 于 任 意 阶 数 的 传 递 函 数
计算方法，并给出了相应的实例。
【关键词】实用计算方法 传递函数计算 多输 入多输出
多输入多输出线性时不变系统的传递函 数矩阵，定义为零初始条件下输出的拉普拉斯 变换与输入的拉普拉斯变换之间的因果关系。
设输入变量组为 {u1, u2,…,up}，输出变量 组为 {y1, y2,…,yq} 且线性时不变系统初始条件 为零。根据线性系统的叠加原理 , 可导出拉普 拉斯变换意义下的输出输入关系式为 :
G(S)= E0]+ D
=[En-1 Sn-1+ En-2 Sn-2+…+E2 s+
证：设（SI-A)-1=
=
[RN-1 SN-1+Rn-2 Sn-2+…+R2S+R0]
则 ISn+ an-1ISn-1+…+a1IS+a0I=Rn-1Sn+(Rn-2
-Rn-1 A) Sn-1+…+(R0-R1A)S-R0 A
G(S)=
[CRn-1 BSn-1+CRn-2 BSn-2
+…+CR1BS+CR0B]+D
结论成立。
注：可以看出，运用此方法计算 G(S) 时，
只限于矩阵乘和加，复杂程度明显降低
3 结语
通 过 以 上 分 析，G（s） 的 计 算 可 变 得 简 便快速，在实际应用过程中，可以使用程序设 计语言根据以上算法编程实现，该方法具有巨 大的便捷性和工程应用价值。
• 计算机技术应用 the Application of Computer Technology
一种多输入多输出系统传递函数的实用计算方法
文/王家豪
摘
在多输入多输出线性系统中，
传递函数矩阵定义为零初始条件 要 下，输出的拉普拉斯变换 y（s）
和输入的拉普拉斯变换 u（s）之比，
本文介绍了一种便于计算机和笔