正交小波包算法

其中
■小波库 由 (t) 生成的函数族j,k,n(t) （ 其中 n Z+，j, k Z ）称为由尺度函数 (t) 构造的小波 库。
■例：函数离散值为{x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8,}，定义域为[0,1]， Harr 滤波器的h = {1/2, 1/2}，g = {1/2, -1/2} Haar小波包的波形
则小波包wn (t)的Fourier变换为 式中
■定理3.5
令函数族{wn}是由标准正交化多分辨分析的生成元 (t)生成的小波
包，则对任意固定的 nZ+ ，以下正交性恒成立：
■分解的迭代
可得到小波子空间Wj 的各种分解
序列的标准正交基为 当l = 0和m = 0时，简化为
若n = 2l + m为一个倍频程细划分的参数，具有尺度指标j、位置 指标k和频率指标n的小波包简记为
U3
U20
U21
源自文库
—t
U10 U1 1 U1 2 U1 3
U00 U01U02 U03U04 U05U06 U70
尺度子空间和小波子空间的统一表达：
空间的正交分解：
■小波包：定义子空间 度方程（递归）：
是wn(t)的闭包空间， 是w2n (t)的闭包空间，满足如下双尺
式中，两系数正交： w0(t)=(t)和w1(t)=(t)，递归序列{wn}nZ称为由基函数w0(t)=(t)确定的小波包。
小波变换的基函数和时频网格
t 尺度参数大，对应高频端；尺度参数小，对应低频端。
■小波包数据分解关系
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
H
G
s1 s2 s3 s4
H
G
d1 d2
H
d3 d4
G
ss1 ss2 ds1 dd2 sd1 sd2 dd1 dd2
HG
HG
H
G
H
G
sss dss sds dds ssd dsd sdd ddd
Wj空间分解的子空间序列可以写成
若n是一个倍频程细划分参数，即令n=2l+m，则小波包简记为：
其中 与小波相比，小波包在离散尺度和离散平移之外，增加了一个频率参数n，使得小波包克 服了小波时间分辨率高时频率分辨率差的缺点。n表示的零交叉个数，也就是其波形的振 荡次数。 ■定理3.4 非负整数n的二进制表示为
二叉树
■小波包空间分解结构
U3
H
U20
H
G
G
U12
H
G
U10
HG
U1 1 U1 2 U1 3
HG
H
G
H
G
U00 U01 U02 U03 U04 U05 U06 U07
同一尺度上的所有子空间相互正交。
每一层滤波器子带覆盖信号所占有的频率。各层频率分辨率不同。
■重构时的层间组合选择与时频窗特性
小波包子空间所对应的时频窗的特性： 当尺度由较细的指标 j+1变为较粗的 j 时，对尺度函数或小波函数而言，时窗宽度加倍， 频窗宽度缩半，时频窗面积不变。 H和G的作用是将U所代表的频带（频窗）作分半处理。