正交小波包算法
小波包分解原理计算公式
小波包分解原理计算公式小波包分解是一种信号处理方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而更好地理解信号的特性和结构。
小波包分解的计算公式是其核心，下面我们将介绍小波包分解的原理和计算公式。
1. 小波包分解原理。
小波包分解是基于小波变换的一种信号分解方法。
小波变换是一种多尺度分析方法，它可以将信号分解成不同尺度的子信号，从而揭示信号的局部特征。
小波包分解是小波变换的一种推广，它可以更灵活地选择小波基函数，从而更好地适应信号的特性。
小波包分解的原理是将信号分解成不同频率的子信号。
在小波包分解中，我们首先选择一个小波基函数作为分解的基础，然后根据需要选择不同的尺度和频率，将信号分解成不同频率的子信号。
这样可以更好地理解信号的频率特性，从而更好地分析和处理信号。
2. 小波包分解计算公式。
小波包分解的计算公式是其核心。
在小波包分解中，我们首先需要选择一个小波基函数作为分解的基础。
常用的小波基函数包括Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
这些小波基函数具有不同的频率特性和尺度特性，可以根据需要选择合适的小波基函数。
假设我们选择了一个小波基函数ψ(t)，我们可以将信号f(t)进行小波包分解。
小波包分解的计算公式如下：\[D_{j,k} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\psi_{j,k}(t)dt\]其中，\(D_{j,k}\)表示信号f(t)在尺度为j，频率为k的小波基函数ψ(t)上的分解系数。
ψj,k(t)表示小波基函数ψ(t)在尺度为j，频率为k时的尺度变换和平移变换。
通过计算分解系数\(D_{j,k}\)，我们可以得到信号f(t)在不同频率和尺度上的子信号。
3. 小波包分解的应用。
小波包分解在信号处理领域有着广泛的应用。
它可以用于信号的去噪、压缩、特征提取等方面。
通过小波包分解，我们可以更好地理解信号的频率特性和尺度特性，从而更好地处理信号。
在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的小波基函数和尺度、频率，进行小波包分解。
小波包PPT课件
引言
小波分解示意图----每层分解只对低频部分细分
S
A1
D1
A2
D2
A3
D3
4
引言
小波包分解，在小波分解的基础上进一步细分高频部分，达 到更优的时频局部化效果
S
A1
D1
A2,1
D2,1
A2,2
D2,2
5
A3,1
D3,1
A3,2
D3,2
A3,3
D3,3
A3,4
D3,4
小波包原理
❖ 所谓小波包，简单地说就是一个函数族。由 它们构造出的规范正交基库。从此库中可以 选出的许多规范正交基，小波正交基只是其 中的一组，所以小波包是小波概念的推广。
包，称为小波包系数。G，H为小波分解滤波器， H与尺度函数 有关，G与 j (t)有关。二进小波包 分解的快速算法为：
p01 (t) p 2i 1
j
f
(t) H (k
2t
)
p
i j
1
(t
)
k
p
2i j
k
G(k
2t
)
p
i j
1
(t
)
9
重构算法为：
p
i j
(t
)
2[
h(t
2k
)
p
2 i 1 j 1
(t
)
g
(t
2k
)
p
2i j 1
(t
)]
k
k
式中，j J 1, J 2,,1，0；i 2 j ,2 j1,,2,1;
J
log
N 2
, h,
g为小波重构滤波器，
基于正交小波包分解的语音去噪增强
ａ ｃ ｒ ｉｇ ｔ 盯 ｒ ｌ ．Ｆ ｎ ｌ ｃ ｏ ｄｎ ｏ ３ ｕ ｅ ｉ ａｌ ｙ．ｔｅ ｄ — ｏｓ ｎ ｎ ａ ｃ ｄ ｓ ｅ ｃ ｅ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｖａ ｔ ｅ ｉｖ ｒｅ ｗ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ ｈ ｅ ｎ ｉ ａ ｄ ｅ ｈ ｎ ｅ ｐ ｅ ｈ ｓ ｗｅｅ ｏ ｔ ｉｅ ｉ ｈ ｎ ｅ ａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ｅ ｓ ｔ ｎ ｆｒ ｒ ｓ ｍ．Ｂ ｓ ｄ Ｏｌ ａ ｏ ａ ｅ ｉ ＭＡ ＡＢ，ｆｒ ｔｅ ｓ ｅ ｃ ｉｎ ｔ ｏ ｓ ｓ ｄ ｎ ｉ ｄ ａ ｄ ｅ ａ ｃ ｄ ＴＬ ｏ ｈ ｐ ｅ ｈ ｓ ａ ｗｉ ｎ ｉｅ ｗａ ｅ ｏｓ ｎ ｎ ｎ ｅ ．Ｔ ｅ ｅ ｐ ｒ ｎ ｓ ｓ ｏ ｇｌ ｈ ｅ ｈ ｈ ｘ ｅｍｅ ｔ ｈ ｗ
３ ８ ・— ８ － ・ —
用动态阈值 对小波系数进行噪声抑制 ， 而可 以有效 地去 除 从
噪声 ， 强语音 。 增
系数 主要 由语音信号控制 。因此设置一个 合适 的阈值 ， 仅利 用超过 阈值 的那 些显著的小波系数来重 构语音信号 ， 可较 就
好地 去除噪声。
一
２ 小 波包 阈值 增强 新算 法
ｌ 引言
噪 声 不 仅 影 响语 音 可懂 度 和清 晰度 ， 且 造 成 人 耳 听 觉 而
取 阈 值 是小 波包 增 强 算 法 的 关 键 。早 期 的 文 献 通 常 局 限 于
不 变 阈 值 ， Ｄ ｎ ｂ 和 Ｊｈｓ ｎ 如 ｏｏｏ ｏｎｔ ｅ提 出 的非 线 性 小 波 变 换 阈 ｏ
疲劳。语音增强 的 目的就是为 了抑制背 景噪声 ， 改善语音质 量， 同时提高语音 的可懂度 和清 晰度 … 。一般来说 ， 语音 增
强 方法 分 为 ２大 类 ： 时域 方 法 （ 子 空 间 法 ） 频 域 方 法 （ 如 和 如
小波变换 5 矢量小波、双正交小波、小波包
双正交小波
• 定义： 假设 {Vj | j Z和{V%j | j Z}是两个多分辨分析，
和%分别是其尺度函数．如果
(t),~(t k) 0,k , k Z
则称和%是双正交尺度函数。
• 尺度函数的双尺度方程：
(t) hn(2t n), %(t) h%n%(2t n)
nZ
nZ
频域形式：
ˆ(2) H ()ˆ(), R ,
200
400
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
600
0
compressed signal
200
400
图
双 正 交 小 波 用 于 信 号 压 缩
600
5-1
结果表明，尽管压缩后的图像仅由约16%的小波系数重建而成，但却保 留了原图像几乎全部的能量，获得了很好的压缩效果。从视觉上看，压缩后 的图像与原图像几乎没有区别。
j,n(t),un(t k) j ,1,0;n 2,3, , k Z
是L2 (R) 的一个正交基
正交小波包
小波包的分解算法与重构算法
分解算法：
alj,2n
k
1 2
hk
2l
a j1,n k
alj,2n1
k
1 2
g a j1,n k2l k
重构算法：
a j1,n l
[hl2k akj,2n gl2k akj,2n1 ]
WjΒιβλιοθήκη U2 j 1U
3 j 1
U
4 j2
U
5 j2
U
6 j2
U
7 j2
L
U
2k j
k
U 2k 1 jk
小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换
其他领域
正交小波变换还广泛应用于金 融、医学、地球物理等领域的 数据分析和处理。
03
多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都是小波分析中的重要概念，共同构成了小波 分析的基础。
多分辨分析为正交小波变换提供了理论框架，正交 小波变换是多分辨分析的具体实现。
正交小波变换可以看作是多分辨分析的一种特例， 其中尺度函数和小波函数都是正交的。
正交小波变换的应用场景
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ01
02
03
04
信号处理
正交小波变换在信号处理中主 要用于信号去噪、压缩和特征 提取等。
图像处理
正交小波变换在图像处理中主 要用于图像压缩、去噪、增强 和特征提取等。
数据压缩
正交小波变换可用于数据压缩 领域，特别是对于非平稳信号 和图像数据的压缩，具有较好 的压缩效果和重建精度。
多分辨分析与正交小波变换的区别
02
01
03
多分辨分析主要关注的是函数在不同尺度上的表示， 而正交小波变换更注重在不同尺度上的细节信息。
正交小波变换具有更好的灵活性和适应性，可以针对 特定问题设计特定的小波函数和尺度函数。
正交小波变换在信号处理、图像处理等领域的应用更 为广泛，而多分辨分析更多用于理论分析。
正交小波变换的算法与实现
算法
正交小波变换的算法主要包括一维离散正交小波变换和二维离散正交小波变换。一维离散正交小波变换的算法包 括Mallat算法和CWT算法等，而二维离散正交小波变换的算法主要基于图像分块处理。
实现
正交小波变换的实现通常需要使用数字信号处理库或图像处理库，如Python的PyWavelets库或OpenCV库等。
小波包算法
小波包算法1.1小波包变换在脑电信号处理中的应用小波包技术首先在脑电信号的预处理中有着滤波和去噪的功能，其次小波包变换在脑电信号处理中的一个主要应用就是提取特征。
其主要步骤如下:(1) 选择适当的小波滤波器，对给定的采样脑电信号进行小波包变换，获得树形结构的小波包系数。
(2) 选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。
(3) 对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。
(4) 对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。
对于重构得到的信号我们可以计算其均值，方差和能量和也就是其特征值，然后利用支持向量机分类器根据所得特征值进行分类。
1.2 小波包变换的基本概念及算法研究小波变换是一种分析非平稳信号的有效方法，它能够把信号分解成不同尺度基小波的加权和，主要不足是在高频段的频率分辨率较低，导致在一些应用中，不能满足实际要求。
小波包的概念是在小波变换的基础上提出来的，它提供了一种更为精细的信号分析方法，将信号高频部分进行进一步分解，即对高频部分也用二分滤波器进行分解，所以能根据信号的特征选取相应频带与信号频谱匹配，进一步提高了时频分辨率，因此小波包分析具有更广泛的应用价值。
小波分解是基于尺度函数和小波函数为基函数进行分解的。
用ϕ(t)和ψ(t)分别表示小波变化的尺度函数和小波母函数，在小波包分解中，为了统一函数表示，令ψ0(t)= ϕ(t)，ψ1(t)= ψ(t)。
那么根据二尺度方程可以构造如下的小波基：)()()(,,t n h 2t k 221ni n k 21j jji 2i 2kj ∑--ψ=-ψ=ψ(1.1))()()(,,t n g 2t k 221nink 21j jj 1i 21i 2kj ∑--++ψ=-ψ=ψ(1.2)其中：i 为节点号，j 为分解级数，h(n)和g(n)=( −1)n h(1 – n)为一对正交镜像滤波器。
信号f(t)=00d 在第j 级和k 点处的小波包分解系数可以用下述递推公式表示：∑⎰-=ψ=-ni 1j i 2k j i2j n k 2d n h dt t t f k d )()()()()(, (1.3)∑⎰-=ψ=-++nij i k j i jn k dn g dt t t f k d )2()()()()(112,12 (1.4)假设原始信号长度为m·2N 点，则f(t)信号的完全重构可以表示为：∑∑∑∑----⋅=-⋅=++-⋅=-⋅=ψ+ψ=112012012,121201202,2)()()()()(j j N j j N m i m k i k j i j m i m k i k j i jt k dt k dt f (1.5)其中，i k j 2,ψ(t)和12,+i k j ψ(t)为根据二尺度方程构造出的小波包基函数，i j d 2(k)和12+i jd （k ）是信号f(t)=在第j 级,k 点处的小波包分解系数。
向量值正交小波包
向量值正交小波包
陈清江;程正兴;杨守志
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2005(18)4
【摘要】引进对应于2尺度向量值尺度函数的多分辨分析和向量值小波的概念.给出向量值小波包的定义及其构造算法,研究了向量值正交小波包的正交性,并讨论了空间L2(R,CN)的正交分解.
【总页数】7页(P505-511)
【关键词】向量值多分辨分析;向量值尺度函数;向量值小波包;加细方程;矩阵符号【作者】陈清江;程正兴;杨守志
【作者单位】西安交通大学理学院;汕头大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.一类三元多重向量值双正交小波包的研究 [J], 周强;孟广德;石明奎;李玉龙
2.双向多尺度双正交向量值小波和小波包的构造 [J], 张建基;库福立;卢维娜
3.具有整数伸缩因子的多变量向量值双正交多小波包 [J], 朱玉清;卫艳荣;程正兴
4.二元向量值多重小波包的双正交性质研究 [J], 陈绍东;宋亮
5.向量值正交小波的构造与向量值小波包的特征 [J], 陈清江;刘洪运
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双正交小波及小波包
ˆ ˆ H1 ( ) H1 ( ) H1 ( ) H1 ( ) 2
ˆ ˆ H0 ( )H1 ( ) H0 ( )H1 ( ) 0
ˆ ˆ H1 ( )H0 ( ) H1 ( ) H0 ( ) 0
ˆ ˆ N 1 N 2 1 N 2 N 1 1 , 2 2
和
ˆ ˆ N 1 N 2 1 N 2 N 1 1 , 2 2
ˆ ˆ 它们的长度都是 ( N 2 N1 N 2 N1 ) / 2
第12章
双正交小波及小波包
ˆ (k )h1 (n 2k )
d d 式中a j (n) ，j (n) 分别是a j (n) ，j (n) 作二插值得到的序列
第12章
双正交小波及小波包
12.3 双正交小波的构造
(t ) ，ˆ (t ) ， (t ) 及ˆ(t ) 的 双正交小波的构造包括 H 构造，而它们又都源于分解滤波器 H 0 ( z) 、 1 ( z) 及用 ˆ ˆ 于重建的对偶滤波器 H0 ( z) 和 H1 ( z) 。(12.1.14)式给 ˆ ˆ 出了H1 ( z) 、H1 ( z) 和 H 0 ( z) 及H0 ( z)的关系，因此，双正交 ˆ 小波构造的核心问题是H 0 ( z)和 H0 ( z)的构造，这和正
a
j 1
(k )h0 (k 2n) (k )h1 (k 2n)
k
a
j 1
' ' ˆ ˆ a j 1 (n) a j (n) h0 (n) d j (n) h1 (n)
' '
k
a
j
007-小波分析(第二讲)-多分辨率分析与正交小波变换
ψ m,n构成 一个框架
ψ m,n构成 一个正交基
non-orthogonal orthogonal DWT DWT 冗余 无冗余
北京科技大学 机械工程学院
18/ 73
Haar小波
1, 0 t 1/2 (t) - 1, 1/2 t 1 0 , others
小波进行重构的基本条件
北京科技大学 机械工程学院
6/ 73
信号的重构---如何进行离散小波逆变换？
连续小波变换的逆变换
x(t ) 1 C
0
da 1 t WT (a, ) ( )d a 2 R a a
( w)
w
2
R
dw
只要满足“可容许条件”，即可进行逆变换
dense
j
V
j
{0}
f Vn f V0
f (2 n t ) V0
f (t n) V0 , 对所有n Z
正交基存在性 ψV0 使得{ψ(tn):nZ}是V0的 正交基。
可放宽为Reisz基，因为由Reisz 基可构造出一组正交基来
北京科技大学 机械工程学院 27/ 73
1986年秋，Mallat和Meyer提出了MRA框架
统一了在此之前的小波构造 提供了构造新的小波基方便的工具
北京科技大学 机械工程学院
22/ 73
小结
连续小波离散小波的关键问题：
离散的方式 尺度因子、平移因子 离散后构成框架、Reisz基或正交基 信号的重构 母小波的构造
14/ 71
小波分析中的框架
小波框架 小波母函数，经过平移和伸缩后构成一系列小波函 数，实际中都要将平移和伸缩因子离散化。
基于正交匹配小波算法的台风云系提取研究
１ 引 言
自然灾 害 是 当今 人 类 面 临 的 全 球 性 重 大 问题
云系 分割 处 理成 为气 象卫 星 云 图处 理 中 十分重 要但
又是 一个 不 容易处 理 好 的问题 。
目前 已有众 多研 究学 者利 用各 种 算法 进行 了台 风云 系分 割及 特 征 提 取 研 究 。最 经典 、 常用 的方 最
标 和噪声 信号 。当混合 信号 中噪 声相 对于 日标 和背 景信 号很 小 时 ， 忽 略不 计 或 者 直 接假 设 无 噪声 信 可
号 ， 得 出 实 际 得 到 的投 影 ｚ— Ｐ 。 可 Ｓ
２ 算 法 原理
对 于一 个 原 始 光 谱 信 号 （ ）， 空 问可 以 被 其
的数 目是很 大 的 。因此 波 段 函数 的选 择应 使 目标 与
背 景正 交 ， 最 大程 度 上 与 目标 信 号 向垂 直 于 背景 在 的信号 空 间的投 影相 近似 ， 即 ｚ— Ｐ Ｓ 可 以用 也 ｂ
一
组线 性 滤波 函 数 的和 来 描 述 。但 在 很 多 时候 ， 用
景信 号 ｓ 的干 扰 影 响 ， 提高 信 噪 比， 入一 个 针 对 引 背景 信号 的分 类 算 子 Ｐ ，Ｐ 一 卜 Ｓ （ ２ ｓ、 ） Ｓ
Ｓ 。将此 算 子 作 用 于 式 （ ） 以将 背 景 信 号 最 小 ４可
化 ， 即 也 Ｐ｝ — Ｐ｝ ＋ Ｐｌ ｚ Ｓａ ｎ， （） ５
收 稿 日期 ： ０ １Ｏ ７ 修 订 日期 ： ０ ２Ｏ ８ ２ １一６２ ； ２ １ ８ １ 。
身 的难 度 ， 使研 究 没 有 大 的突 破 性 进 展 。主要 问题
基 金 项 目 ： 苏省 自然科 学 基金 项 目（ Ｋ２ １ １ ５ ； 放 军 理 工 大 学 预 研 基 金 项 几（ ０ １ ４ １ ； 家 自然 科学 基 金 （ ０ ０ ０ ６ 资 助 项 目。 江 Ｂ ０ １ ） 解 ２ ２ １０ ０ ） 国 ４８５０）
提升算法的正交小波包复用系统研究
提升算法的正交小波包复用系统研究谭鸽伟;潘光武;林薇【摘要】正交小波包复用(OWPM)系统利用小波函数的非零平移自正交性,一定程度上有效地避免了符号间干扰和信道间干扰,具有比正交频分复用(OFDM)系统更高的频谱利用率和抗干扰性能.提升方案是一种可原位进行的快速小波变换算法,其运算量比Mallat算法减少一半.研究了基于提升理论的正交小波包复用系统,该系统与基于Mallat算法的OWPM系统(非提升OWPM系统)相比,既提高了运算效率,又节省了存储空间.给出了该系统在不同信道下的误码率,并和非提升OWPM系统、OFDM系统进行比较.仿真结果证实了该系统的可行性和实用价值.【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(033)002【总页数】6页(P222-227)【关键词】正交小波包复用系统;正交频分复用;提升算法;小波包变换【作者】谭鸽伟;潘光武;林薇【作者单位】华侨大学信息科学与工程学院,福建厦门361021;华侨大学信息科学与工程学院,福建厦门361021;华侨大学信息科学与工程学院,福建厦门361021【正文语种】中文【中图分类】TN911.23正交频分复用技术通过将高速率的宽带信号转化为并行低速率窄带信号的方式，增大单个数据比特的时间周期，有效消除了信号多径传播造成的影响，因此成为未来移动通信的关键技术[1]．OFDM系统为了消除符号间干扰以及信道间干扰，必须插入保护间隔和循环前缀，这是以牺牲传输速率为代价来提高系统的传输性能．在频率日益紧张的无线通信领域,这是不得不考虑的问题．基于小波包变换的正交小波包复用(OWPM)系统因其不需要加循环前缀，从而具有更高的频谱利用率而备受关注[2-4]．此外，小波变换具有时频局部性，其时域、频域正交，主、副瓣功率相差45 dB，在不加窗的情况下，就能很好地抑制频谱旁瓣，从而减少符号间干扰的影响[5-6]．小波提升理论是Sweldens和Daubechies等学者于20世纪90年代中期提出的一种不依赖于傅立叶变换的简单通用的小波构造方案[7]，具有结构简单、运算量低、原位运算、节省存储空间等优点．相对于Mallat 算法，提升算法是一种更加快速有效的小波实现方法[8]．小波提升算法应用于正交小波包复用系统，首先由于提升算法可以实现原位运算，节省存储空间，因此降低了系统的复杂程度；其次由于小波提升结合了小波与提升算法的优势，OWPM的调制与解调过程采用的逆提升小波变换(ILWT)与提升小波变换(LWT)提高了系统的传输速率和运算效率．下面给出基于提升算法的正交小波包复用系统的结构和信号模型，并对系统在不同信道下的性能进行仿真，并和OFDM系统进行比较．用ILWT与LWT实现多载波通信的调制与解调，既克服了OFDM系统对频偏和相位噪声非常敏感的弱点，又比Mallat算法的运算效率高，系统模型如图1所示．OWPM系统的调制器是一个多路输入单路输出的综合滤波器组，而解调器是单路输入多路输出的分析滤波器组．无论是调制器还是解调器，都可以通过多级提升实现，而用提升步骤代替滤波器组，就可以实现基于小波提升理论的OWPM系统．发送端通过ILWT将小波域的数据变换到时间域，该数据可以表示为式中：xk(n)为第k个子载波上的第n个比特；Tk为第k个子载波上码元的持续时间(根据小波包子空间的不同选择，各个子载波的码元持续时间可以各不相同)；ψk(t)为第k个子载波．各个子载波满足时间轴上的平移自正交性和各个子载波之间的互正交性，即式(2)指每个小波包函数都是整数位移正交的，满足这个条件可以消除符号间干扰；式(3)指同一尺度级下的小波包函数奇偶序号之间是正交的，满足这个条件则可以消除相邻信道间干扰．接收端信号的解调就是对r(t)进行小波包变换过程，若传输信道受高斯噪声加性干扰，接收信号为r(t)=d(t)+w(t)，利用子载波的正交性提取序列为式中：xk(n)是`信道传输的有用数据；W(n)为高斯噪声引起的干扰．若信号经瑞利衰落信道传输，除高斯噪声的加性干扰外，信道中还存在乘性干扰，则接收端信号可以表示为用小波包变换对接收信号解调时，得若信号经多径衰落时变信道，则有式中：N为多径数；ai为第i条路径的幅度衰减系数；τi为第i条路径相对于直达路径的时延；fdi为第i条路径的多普勒频移；w(t)为加性高斯白噪声．接收端经过小波包分解来实现信号的解调当多径时延τi为码元持续时间Tm的整数倍且多普勒频移可忽略时，得到式(8)的第一项，这是信道传输的有用信息；第二项为多径传播和多普勒频移引起的干扰，它描述了信道的频率选择性和时变性[3]；第三项是高斯白噪声产生的干扰．提升方案把小波变换分为分裂、预测和更新3个步骤，而反变换分为反更新、反预测和合并[8]．任何离散小波变换或具有有限长滤波器的两通道滤波器组小波变换都可以被分解成为一系列简单的提升步骤，所以，所有可以用Mallat算法实现的小波都可以采用提升算法实现，多级滤波器组可以通过多个提升步骤实现．提升算法流程如图2所示．第1步(Split)：将输入信号s进行奇偶分裂，将其偶数下标的元素构成一个集合，称为偶序列se，奇数下标的元素组成奇序列so，这个过程也称为懒小波变换．第2步(Predict)：其本质是用偶序列预测奇序列，预测误差为式中：P为预测算子．这个误差构成第一次提升后新的奇序列，即小波系数．第3步(Update)：用预测误差更新偶序列，式中：U为更新算子．这一更新结果就是原信号的近似，即尺度系数，这个过程也称为对偶提升，产生新的偶序列．经过多次预测与更新，最后得到小波变换后的低频信息c(n)和细节信息d(n)．实现提升算法的关键就是求得预测算子与更新算子．将上述过程反方向执行且把加减运算取反就可实现逆小波变换．本系统采用Daubechies(9,7)提升小波实现多载波信号的调制与解调，需要用到两次预测和两次更新．其小波变换结构如图3所示．其中，预测算子和更新算子分别为α=-1.586 134 342，β=-0.052 980 118，γ=0.882 911 075，δ=0.443 506 852，比例系数K=1.149 604 398.实现算法如下.第1步(偶序列预测奇序列)：d(2n+1)=s(2n+1)+α[s(2n)+s(2n+2)].第2步(用预测误差更新偶序列)：c(2n)=s(2n)+β[d(2n-1)+d(2n+1)].第3步(第二次预测)：d(2n+1)=d(2n+1)+γ[c(2n)+c(2n+1)].第4步(第二次更新)：c(2n)=c(2n)+δ[d(2n-1)+d(2n+1)].第5步(比例变换):c(2n)=c(2n)/K,d(2n+1)=K×d(2n+1)．下面对基于提升算法的正交小波包复用系统在各种信道下的性能进行仿真．仿真参数：输入串行数据包括1024个数符，128个子载波，每个子载波传输8个数符，4QAM映射，OFDM系统仿真时需加循环前缀32；瑞利衰落信道的Doppler频率为100 Hz，采样率为1 024．仿真结果如图4所示．图4所示是信噪比在-20～20 dB之间基于提升算法的OWPM系统和采用Mallat 算法的OWPM系统以及OFDM系统在瑞利衰落信道中，当多普勒频移为100 Hz时的性能比较．由图4可知，随着信噪比的增加，3种系统的误码率都在下降．提升OWPM系统和非提升OWPM系统的误码率曲线几乎重合，传输性能接近，都优于OFDM系统．在误码率为10-1时，OWPM系统对应的信噪比约4 dB，而OFDM系统对应的信噪比约6 dB，即OWPM系统相比于OFDM系统在误码率为0.1时获得了2 dB的增益．仿真结果说明，该系统具备一定的抗信道时变能力．OWPM系统不仅因其不需要循环前缀，提高了频谱利用率，而且传输质量也优于OFDM系统．此外，提升OWPM系统和非提升OWPM系统的传输性能接近，但提升算法比Mallat算法的运算量减半，运算效率提高了1倍．图5是信噪比在-20～20 dB之间高斯信道下，提升OWPM系统、非提升OWPM系统和OFDM系统的性能比较．由图5可知，OWPM系统的传输质量在低信噪比时优于OFDM系统，但在高信噪比时，OFDM的性能较好．由于无线移动信道中乘性噪声不可避免，提升OWPM系统在实际通信中的应用价值不可因此忽视．多径瑞利时变信道采用仿真参数为：小波调制与解调采用(9,7)提升小波，子信道个数为8，多径瑞利信道中多径时延分别为[0,0.3,08,1.5,4]，功率延迟分布服从指数分布．载波频率为2 GHz．多径瑞利衰落信道的多普勒频移分别为50 Hz和100 Hz，相当于移动台速度为27 km/h和54 km/h．图6是在多径瑞利信道中多普勒频移分别为0，50，100 Hz时，提升OWPM系统的误码率曲线．由图6中可知，在多径条件下，随着多普勒频移的增加，提升OWPM系统的传输质量下降．当多普勒频移为100 Hz，即移动台速度为54 km/h时，系统误码率趋于10-1，在这种情况下，要提高系统的传输性能，必须加入信道估计技术[9]．图7是在多径瑞利信道中多普勒频移为100Hz时，提升OWPM系统和OFDM系统的误码率比较．由图7中可知，在多径条件且存在多普勒频移时，2个系统的传输质量都急剧恶化．当多普勒频移为100 Hz，OFDM系统的误码频率趋于0.2，提升OWPM系统的误码频率趋于10-1，这说明提升OWPM系统的抗多径能力和抗信道的时变性能都高于OFDM系统．图8所示为提升OWPM系统在3种典型信道中的误码率比较．在高斯信道中，系统性能最好；在单径瑞利信道中，由于乘性干扰的加入，系统性能降低；在多径瑞利信道中，当多普勒频移为100 Hz时，多径引起频率选择性衰落，系统性能进一步恶化．从上面分析可知：当信道同时具有频率选择性和时间选择性时，系统的传输性能急剧下降．在复杂信道下，可通过采用信道估计技术提高基于提升的OWPM系统的传输质量[9-10]．小波函数的整数平移自正交性和不同子空间的小波函数的互正交性能有效克服多载波通信中的符号间干扰和子信道间干扰，因此，正交小波包复用技术引起通信工作者的关注．小波变换的提升方案可原位进行，运算效率是Mallat算法的2倍，因此，基于提升算法的正交小波包复用系统的研究具有实际意义．本文的研究结果说明，该系统在3种典型信道中的性能都优于OFDM系统，由于不需要加循环前缀，它节省了30%左右的频谱资源[11]，提高了频谱利用率．此外，提升算法结构简单，运算效率高，因此，基于提升算法的正交小波包复用技术会成为未来移动通信的关键技术．E-mail：******************【相关文献】[1] WEINSTEIN S B，EBERT P M. Data Transmission by Frequency Division Multiplexing Using the Discrete Fourier Transform[J].IEEE Transactions onCommunications,1971,19(5):628-634.[2] LI N，WILLIAM SHIEH,RODNER S TUCKER. Wavelet Packet Transform-Based OFDM for optical communications[J]. Journal of Lightwave Technology, 2010,28(24):3519-3528. [3] NAWAZ T, BAIG S.Wavelet OFDM-A solution for reliable communication in a frequency selective Rayleigh fading channel. International Bhurban Conference on Applied Sciences and Technology[C]//slamabad, Pakistan, 2012:413-417.[4] CHUNTAO MAN,WEI WANG,YANTAO CHI,et al..The research of OFDM modulation and demodulation technology based on wavelet packet[C]//International Forum on Strategic Technology. Harbin, China：IFOAT，2011:902-906.[5] MATTHIEU G, MARYLIN A, JOEL LIENARD.Efficient wavelet Packet Modulation for Communication[C]//Third Advanced International Conference on Telecommunications. Morne,Mauritius:AICT，2007:13-19.[6] OLTEAN M, ISAR A. On the time-frequency localization of the wavelet signals, with application to orthogonal modulations[C]// International Symposium on Signals, Iasi, Romania：ISSCS， 2009:173-177.[7] SWELDENS W.The lifting scheme: A construction of second generationwavelets[J].SIAM J Math Anal,1998,29(2):511- 546.[8] DAUBECHIES I, SWELDENS W. Factoring wavelet transforms into lifting steps[J]. J Fourier Anal Appl, 1998,4(3):245-267.[9] MAHESH KUMAR GUPTA, SARIKA SHRIVASTAVA, RAGHUVANSHIA A S, et al. Channel estimation for wavelet based OFDM system[C]// International Conference on Devices and Communication. Bali Island, Indonesia：ICDECOM, 2011:1-4.[10] CANUTE VAZ, DAVID G DAUT.Effect of Wavelet Choice in Fast-Fading Channel Estimation Using Wavelet Transform-Based Deconvolution[C]// International Symposium on Communication and Information Technologies. Hangzhou, China:ISCIT,2011:93-96. [11]SABELKIN,MIKE,GAGNON,FRANCOIS. Fast transform for multi-carrier wireless communications[C]// Wireless Advanced. London，United kingdom：WIAD, 2011:1-6.。
小波包分解算法-Read
小波空间的精细分割
小波空间的分解：
Vj1 Vj Wj , j Z
U0 j 1
U
0 j
U1j ,
jZ
Un j 1
U
2n j
U
, 2n1
j
j
Z
对于每个 j 1, 2,L ,
Wj
U
2 j 1
U
3 j 1
=U
4 j 1
U
5 j 1
U
6 j 1
U
7 j 1
=LL
=U
2k jk
U 2k 1 jk
L
U 2k11 jk
如果原信号的长度为 N ，则最佳基算法的计算复杂度为 O N log N
小波包变换的应用
几种不同变换对应的时频平面铺砌
小波包变换的应用
信号小波包分析的基本实现步骤如下：
1）选择适当的小波滤波器，对给定的采样信号进行小波包变换， 获得树形结构的小波包系数。 2）选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。 3）对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。 4）对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。
log 0 0
H u pk log pk kZ
u k 2
pk u k 2 kZ
M u uk 2 log uk 2,log 0 0 kZ
0 log 0 0
最佳小波包基的选取
在一般情况下，具有最小代价函数值的序列不易计算出来。所幸的是， 正如10.3节所谈到的，在实际应用中我们通常考虑的是 L2(R)的一个 子空间的小波包分解,这种分解可以用一个小波包二叉树表示.我们可 以采取自底向顶的快速搜索法发现最佳小波包基。
2
3g
双正交小波包提升格式算法
文章编号 ：６ ３９ ９ （ ０７ ０ －０ １０ １７ －５０ ２ ０ ）２ ００ －３
双 正 交小 波 包 提 升格 式 算 法
李 秀梅 万维明 ， ， 刘明才２
（． １ 大连交通大学 数理系， 辽宁 大连 １６ ２ ；２ 大连 民族学院 ， 宁 大连 １６０ ） １０ ８ ． 辽 １０ ０
． 本
１ 小 波 提 升格 式
１ １ 基 本原理 ．
满足如下条件的有限脉冲响应双正交滤波器 （ ， ，， 构造出紧支集双正交小波基 ＾ｇ ）
（ ） ） ＝ｅ ）＋ （ ＋仃） ∞ （ ＋仃） ， ＋仃）＝２ （ ＋仃）
中图分类号 ： ７ ． ０１４ ２ 文献标识码 ： Ａ
Ｓ ｕｄ ｆＢｉ ｔ ｏ ｏ ａ ａｖ ｌ ｔＰａ ｋ ｔＬｉｔｎｇ Ｓ ｈｅ ｅ ｔ ｙ ｏ ｏｒ ｈ ｇ ｎ ｌＷ ｅ ｅ ｃ ｅ ｆｉ ｃ ｍ
Ｌ ｕ． ｉ Ｗ ＡＮ ｅ ． ｎ ， Ｉ Ｍｉ ｇ ｃ ｉ ＩＸｉ ｍｅ ， Ｗ ｉｍｉ ｇ Ｌ Ｕ ｎ ． ａ
维普资讯
第２ ８卷
第 ２期
大 连 交 通 大 学 学 报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＤＡ Ｉ ＪＡＯＴ Ｇ ＵＮＩ ＲＳＴ Ｌ ＡＮ Ｉ ＯＮ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖ０． ８ Ｎ ． １２ ｏ ２
２０ ０７年 ６月
Ｊｎ ２０ ｕ ．０ ７
一种基于正交小波包分解和2v-SVM的医学图像融合新方法
一种基于正交小波包分解和2v-SVM的医学图像融合新方法王安娜;吴洁;张新华;孙海静
【期刊名称】《小型微型计算机系统》
【年(卷),期】2007(28)12
【摘要】针对现有的图像融合算法在特征表达及信息取舍上的局限性,提出了一种基于正交小波包分解和2v-SVM的医学图像融合新算法.采用正交小波包将图像信号频带进行多层次分解,提取特定的频率成分,对低频分量节点逼近系数采用本文提出的基于2v-SVM的线性加权融合算子处理,结合两幅图像中大的高频分量节点逼近系数构成新的节点系数矩阵,最后通过小波包重构得到融合后的图像.实验结果证明了该方法的有效性和优越性.
【总页数】4页(P2268-2271)
【作者】王安娜;吴洁;张新华;孙海静
【作者单位】东北大学,信息科学与工程学院,辽宁,沈阳,110004;东北大学,信息科学与工程学院,辽宁,沈阳,110004;东北大学,信息科学与工程学院,辽宁,沈阳,110004;沈阳大学,信息工程学院,辽宁,沈阳,110044
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.一种基于HSI和小波变换的可见光和红外图像融合新方法 [J], 许抗;徐伯庆
2.基于2v-SVM和一致性检验的医学图像融合算法 [J], 任国超;师黎
3.基于双正交小波变换的CT/PET医学图像融合 [J], 龙燕;姜威;涂春美
4.一种基于多尺度稀疏分解的遥感图像融合新方法 [J], 徐金东;倪梦莹;童向荣;张艳洁;郑强
5.一种基于遗传算法的自适应多聚焦图像融合新方法 [J], 杨勇;郑文娟;黄淑英;魏文明;刘心韵
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地震数据的小波包压缩方法_吴爱弟
= F1 { x
}( p)
2n+ 1, j - 1
( 10)
= { x p }p∈ Z ∈ l 为一序列 , 其重构算法为 x p = F0 { x
n, j * 2n , j - 1
} ( p ) + F1 {x
*
}( p)
( 11)
3 应用实例
应用张量积的方法 , 可以把一维小波包推广到二维的情形 , 每对信号做一次二维正交小波 分解 ,即把信号分解成四部分 . 其中第Ⅰ 部分代表信号的低频低波数部分 , 包含大部分的反射 能量 ; 第 Ⅱ 部分代表信号的低频高波数部分 , 以大倾角反射的能量占优势 ; 第 Ⅲ 部分代表高频 低波数部分 ; 第 Ⅳ 部分代表高频高波数部分 , 以高频噪声为主 . 如果只对第 Ⅰ 部分进行反复分 解 , 就是二维正交小波分解 , 如果对四部分都做进一步分解 ,就是小波包分解 . 也可以有选择地 进行分解 . 最佳小波基算法可以表明某一部分分解到某一层可以不必做进一步分解 . 图 1是某 油田一段地震剖面 , 应用二维正交小波包技术对它进行压缩的剖面情况 . 从图形上可以看出 , 恢复的剖面能很好地保留原剖面的同相轴 , 相当于一个去噪剖面 , 从视觉上以及后继处理上都 是可以接收的 . 表 1 列出了用不同的 Daubechi es 正交小波及不同的阈值所得的结果 , 压缩比 和信噪比在这里定义为恢复剖面的能量与误差剖面的能量之比 . 从表 1中可以看出 , 当 N 取 5 时 , 可以得到比较好的效果 .
1996 年 第 20 卷 第 6 期
石油大学学报 (自然科学版 ) Journal of the University of Petroleum , China
Vol . 20 No . 6 Dec . 1996
正交小波包分析方法在分数阶系统特性识别中的应用
别．
关键词
正 交小 波 包 分 析 方 法 ， 时 间序 列 ， 分 数 次 Ｃ ｅ 统 ， 混 沌 ｈｎ系
引 言
方法， 以受 控齐 次分 数 阶 Ｃ ｅ 统 为例 ， 出 了 ｈ ｎ系 给
该方 法 的具 体 实施 步骤 ； 后 ， 出 了简 单 的结 论 ， 最 给
并对 需要进一步研究 的内容进 行 了展望．
率 谱 、 信 息量 、 互 信息 熵等 ｕ ． 于 能够用 显式 微分 对
方 程表示 的系统 ， 这些 方法 能够 比较 全 面地 分 析 系 统 所蕴 含 的混沌 或周 期等 特性 ； 而对 于 只 是用 时 间 序 列表示 的一组 或多 组非线 性 关 系的数 据 ， 如何 揭 示 数据 蕴含 的规 律及 本质 ， 上述 方法 并 不 能很 好地 解 决该 问题 ． 管 目前 研 究 者 常采 用 Ｗｏ 方 法 、 尽 ｌ ｆ Ｐ
时间序 列所 蕴含 本质 的方 法 一 直 是非 线 性 科 学 研
究 领域关 注 的问题 之 一 ．
文献 ［ ］ ［ ］ ６ ，７ 根据小波 分析 理论 及 正交 小波 包 的特性 ， 对混沌 信号 的特 征识 别 问题 进行 了初步 的
探讨 ， 这一方法 的技术细节 不够 清晰 、 理论分 析 但 其
统 的动 力学分 析 研究领 域
， 并通 过数值 仿 真实
带 功率 谱 和遍历 性等 等 ．
日前 ， 图从 理 论 上 揭 示 混 沌 本 质 ， 画其 基 试 刻
例验 证 了这一 新方 法 的有效 性． 文 的其 余 部分 结 本
第六讲双正交小波及小波包
- 352 -第六讲 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。
正交小波有许多好的性质，如)()(),(',,'k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'k k t t kj k j -=δψψ，0)(),(',,=t t k j k j ψφ ，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。
Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。
但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。
)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。
本讲，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要介绍小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及- 353 -实现准确重建的条件。
所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。
将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。
注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和)(1z H ，而是)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。
基于正交小波包的图像压缩算法
基于正交小波包的图像压缩算法
覃焕昌;韦家儒
【期刊名称】《计算机科学》
【年(卷),期】2008(35)8
【摘要】本文提出了一种新的图像压缩方法,深入研究了正交小波包在图像压缩中的分解与重构算法,详细介绍了正交小波最优基的选取,并应用MATLAB软件进行仿真实验.仿真结果显示,该方法压缩比大,信息损失小,能够较好恢复原有图像.【总页数】3页(P235-237)
【作者】覃焕昌;韦家儒
【作者单位】百色学院物理与电信工程系,广西百色,533000;百色学院计算机与信息科学系,广西百色,533000
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.基于小波包变换的图像压缩算法研究 [J], 谢力;王忠
2.基于模糊剪枝的最优小波包基图像压缩算法 [J], 欧阳春娟;孙凌宇;朱平
3.基于小波包变换的指纹图像分级压缩算法 [J], 李建坡;唐宁;朱绪宁
4.基于小波包变换的岩心图像压缩算法研究 [J], 张岩;聂永丹;唐国维
5.基于小波包最优基的图像压缩算法研究 [J], 冯登超;杨兆选
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U3
H
U20
H
G
G
U12
H
G
U10
HG
U1 1 U1 2 U1 3
HG
H
G
H
G
U00 U01 U02 U03 U04 U05 U06 U07
同一尺度上的所有子空间相互正交。
每一层滤波器子带覆盖信号所占有的频率。各层频率分辨率不同。
■重构时的层间组合选择与时频窗特性
小波包子空间所对应的时频窗的特性： 当尺度由较细的指标 j+1变为较粗的 j 时，对尺度函数或小波函数而言，时窗宽度加倍， 频窗宽度缩半，时频窗面积不变。 H和G的作用是将U所代表的频带（频窗）作分半处理。
则小波包wn (t)的Fourier变换为 式中
■定理3.5
令函数族{wn}是由标准正交化多分辨分析的生成元 (t)生成的小波
包，则对任意固定的 nZ+ ，以下正交性恒成立：
■分解的迭代
可得到小波子空间Wj 的各种分解
序列的标准正交基为 当l = 0和m = 0时，简化为
若n = 2l + m为一个倍频程细划分的参数，具有尺度指标j、位置 指标k和频率指标n的小波包简记为
小波变换的基函数和时频网格
t 尺度参数大，对应高频端；尺度参数小，对应低频端。
■小波包数据分解关系
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
H
G
s1 s2 s3 s4
H
G
d1 d2
H
d3 d4
G
ss1 ss2 ds1 dd2 sd1 sd2 dd1 dd2
HG
HG
H
G
H
G
sss dss sds dds ssd dsd sdd ddd
Wj空间分解的子空间序列可以写成
若n是一个倍频程细划分参数，即令n=2l+m，则小波包简记为：
其中 与小波相比，小波包在离散尺度和离散平移之外，增加了一个频率参数n，使得小波包克 服了小波时间分辨率高时频率分辨率差的缺点。n表示的零交叉个数，也就是其波形的振 荡次数。 ■定理3.4 非负整数n的二进制表示为
U3
U20
U21
—t
U10 U1 1 U1 2 U1 3
U00 U01U02 U03U04 U05U06 U70
尺度子空间和小波子空间的统一表达：
空间的正交分解：
■小波包：定义子空间 度方程（递归）：
是wn(t)的闭包空间， 是w2n (t)的闭包空间，满足如下双尺
式中，两系数正交： w0(t)=(t)和w1(t)=(t)，递归序列{wn}nZ称为由基函数w0(t)=(t)确定的小波包。
其中
■小波库 由 (t) 生成的函数族j,k,n(t) （ 其中 n Z+，j, k Z ）称为由尺度函数 (t) 构造的小波 库。
■例：函数离散值为{x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8,}，定义域为[0,1]， Harr 滤波器的h = {1/2, 1/2}，g = {1/2, -1/2} Haar小波包的波形