热力学统计物理_第七章_玻耳兹曼统计

fs e l
能量为εl的一个量子态s上的平均粒子数
3.粒子配分函数的经典表达式 处于能层 l 内，运动状态处于相体积
元内 的粒子数为 ： l
p
l
l l l N l e al r f s r e r Z1 h0 h0 h0
玻尔兹曼、玻色、费米系统之间的关系
玻色粒子，玻色分布
费密粒子，费密分布
＝ ＋ e 1


非兼并条件
e 》 1 l l

＝ ＋ e 1


注意：全同性带
可分辨粒子，玻尔兹曼分布
来的微观状态 数目的差异
－－ ＝ e
注意：全同性带
MB BE＝ N！
ln Z ' S Nk ln Z S
ln Z ' S Nk ln Z S U Nk ln N S ' N k N ln N N U S '
其中令
1 kT
熵
ln Z ' S Nk ln Z S S是积分常数，熵常数
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三. 熵S的统计意义：
经过一系列推导，我们得 到了服从玻耳兹曼分布的 系统的熵S与粒子数N、温 度T、内能U之间的关系。 其中，熵常数S待定。
l

1
能级不变 分布变
al
1
0
l'
0

U al l
l 0
al
1'
能级变 分布不变
0'
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8
dU al d l l dal
l 0 l 0


能级 l 的值，是力学方程 在指定的边界条件下的解。 力学系统不变，方程不变， 能级变，只有边界条件变。 改变边界，即做功。

e
来的微观状态 数目的差异
MB FD＝ N！
全同性对微观状态数目的影响：粒子之间的交换能否引起系统微观状态的改变！ （N！）
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现在，我们已经知道：
1、微观粒子运动状态的描述 2、可能状态数目（态密度）的计算方法 3、系统微观状态数目的计算 4、处于平衡态的系统的分布公式等 Therefore,
Z1 e
l l
x
l
l h0r
N l l al e r Z1 h0
取 l 足够小，求和可化为积分：
Z1 e l
d ( p , q ) dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr e r r h0 h0
l 每个粒子受力：f l y
能级变 分布不变
外界对系 统的力
能级不变 分布变
Y
l
l al l l e l y y l
e (
1 l e ) l y l
N 1 1 ln Z1 Z1 N Z1 y y
We are ready to go!
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后面的任务：
近独立粒子系统的宏观性质的计算： 一、玻尔兹曼统计 二、玻色统计 三、费米统计
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§7.1 热力学量的统计表达式
一、粒子配分函数
1、确定α、β
ll
al l e
N ln Z1 p V
l al 功 Ydy dy y l
广义力统计表达式
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al d l
l

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3. 熵
由 得
dQ dU Ydy dS T T
dQ dU Ydy
ln Z1 1 ln Z1 Nd ( ) N dy y
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二、热力学量
1. 内能
U l l e l
l 0

e (

l 0

l e )
l
N Z1 l n Z1 ( ) N Z1
2. 功
l
统计表达式
al '
dU dW dQ
目前还是看不出熵 的统计意义是什么。
N eα Z ln Z ln N
l l
l
e e e aa
ll l l
l
l
N N
N al l e l Z1
Z1 l e l
l
粒子 配分 函数
1 kT
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e

N Z1
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2、粒子配分函数的物理意 义
粒子处在该 能级的几率
ln Z1 ln Z1 d dy y
(dU Ydy) Nd (
ln Z1 ln Z1 ) N dy y
ln Z1 d ( N ln Z1 N )
由 得到
dQ dU Ydy dS T T
ln Z1 N dS d (ln Z1 ) T ln Z1 Nkd (ln Z1 )
l
有效状 态数
N l al l e Z1
玻耳兹 曼因子
al l e N Z1
l e e l
l
l
粒子总是优先占据较低能级；温度升高，占 据该能级的几率增大。 一个粒子所有可能达到的有效状态的总和。
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Z1——有效状态和
等式两边同乘β：
(dU Ydy) Nd (
ln Z1 ln Z1 ) N dy y
l fl y
而
Z1 l e l
l 0

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且
所以
Z1 Z1 ( , y )
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求全微分 之前求得
d ln Z1