地图学第二章地图的数学基础

North Pole
Polar Axis
b
椭球的扁率 f
Equator
a
Equatorial Axis
世界大地测量坐标系WGS－84 a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m a－b 6378137－ 6356752.3 1 f = —— = ———————— = ——— a 6378137 298.257
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
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§4 地图投影变形
一、投影变形的概念
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长度变形 地图投影变形 面积变形 角度变形
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二、 变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当 作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这 个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这样的椭圆称为 变形椭圆。
过观测点作铅垂线的反相 延长线与天球相交的点 过天顶、南、北天极的平 面与天球相交所成的大圆
天顶
天文子午面
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天文经度
过观测点的天顶子午面与过格林尼 治天文台的天顶子午面间的二面角 经过地心并同地球自转轴垂直的平 面为赤道面，这个赤道面延伸与天 球相交的大圆就是天赤道 某点天顶方向（铅垂线）和天球赤道平 面的夹角
经纬线相互正交。每两条纬线间等经差的球面梯 形，形状相同，面积相等。每两条经线间等纬差 的球面梯形，由低纬向高纬缩小。
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二、地图投影
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地图 投影
按照一定的数学法则，将参考椭球面上的经 纬网转换到平面上，使地面点位的地理坐标 与地图上相对应点位的平面直角坐标或平面 极坐标间，建立起一一对应的函数关系
x = f1(j , l ) y = f2(j , l )
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地图投影过程中出现的问题
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三、地图的比例尺
1. 地图比例尺的含义
地图比 例尺
变按 形地 情图 况投 分影
地图上一直线段长度与地面 相应直线垂直投影长度之比
tan
b tan tan tan tan tan 1 a a b tan tan tan tan tan 1 a a b
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根据三角函数公式： tan tan
2 2 2 2
2
ab a b
m n 2mn sin
2 2
m n 2mn sin
2 2
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2.面积比和面积变形
面积比
投影平面上微小面积（变形椭圆 面积）与球面上相应的微小面积 （微分圆面积）之比。
dF dF P dF dF
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解析几何中的阿波隆尼定理： 椭圆共轭半径的平方和为一常数，并等于长、短半轴的 平方和。 以椭圆两共轭半径为边所构成的三角形面积为常数，并 等于以椭圆长、短半轴为边构成的三角形的面积。
K L P Q
2 2 2
2
1 2
KL sin
1 2
PQ
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天赤道
天文纬度
在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标
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三、大地坐标 —— 建立在参考椭球上，以法线为基本方向
法线 在参考椭球面上过某一个点作一个与椭球体 相切的平面，再通过这个点所作的垂直于这 个平面的直线 地面某点的法线同参考椭球体旋转轴构成的 平面 参考椭球面上过某点的子午面与起始子午 面间的二面角 通过椭球中心且垂直于旋转轴的平面 参考椭球面上某点的法线与赤道平面的夹角
水 平 面
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大地水准面的意义
大地水准面是地球形体的一级逼近，与地球形状很 近似，其面上高出与面下缺少的质量相当
大地水准面的起伏波动对大地测量和地球物理学有 研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体
大地水准面实际上是重力等位面，因此可使用仪器 测得相对于大地水准面的海拔高程
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三、地球的数学表面
参考椭球 用大小与大地体很接近的旋转椭球作 为地球的参考形状和大小，是对地球 形体的二级逼近。它的表面称为参考 椭球面，是测量计算的基准面
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长轴 a（赤道半径） 椭球体 三要素 短轴 b（极半径）
角度变形 投影面上任意两方向线所夹之角 与球面上相应的两方向线夹角之 差，称为角度变形。 以ω表示 角度最大 变形。
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tan
x x
y x
tan
y y
y x
∵
a
b
上式两边各用tanα加和减，得：
b
∴ tan
by ax

b a
第二章 地图的数学基础
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9 §10 地球的形状和大小 地面点位置的表示 地图投影概述 地图投影变形 地图投影分类 方位投影 圆柱投影 圆锥投影 变形复杂的投影 地图投影的应用
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§1
地球的形状和大小
一、地球的自然表面
——大地原点
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§2 地理坐标系
一、地理坐标
球面 经纬度
地理坐标
天文坐标
大地wk.baidu.com标
地心坐标
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二、天文坐标 —— 建立在天球上，以铅垂线为基本方向
天球 以地心（或观测者等）为球心， 以任意长为半径的假想的球面
天极
地球自转轴延长线与天球相交的 两个点，分别称为南、北天极
2 2
根据公式
P ab mn
90

适用于对方向精度要求高的交通图、洋流图、风向图等
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等积投影
投影面与椭球面上相应区域的面积相等 P＝1
a 1 b
无面积变形，Vp＝0
b sin tan 1 a cos cos
sin cos cos
b sin tan 1 a cos cos
上面两式相除得：
a b ab
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证明: 球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆
m X X n Y Y
X
X m
Y
Y n
设地面上微分圆r＝1 X2＋Y2＝1
X' m
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2
2

Y' n
2
2
1
三、投影变形的性质和大小
将 K mr，L nr
Q ar，P br
将带入阿波隆尼的公式中得：
mr
2
nr ar br
2 2
2
1 2
r mn sin
2
1 2
r ab
2
m n a b
2 2 2
2 2
2
mn sin ab
2 2 2
m n 2mn sin a 2ab b a b m n 2mn sin a 2ab b a b
d D

1 M
主比例 尺
在投影面上没有变形的点或线 上的比例尺
局部比 例尺
在投影面上有变形处的比例尺
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2. 地图比例尺的表示
数字式比例尺 文字式比例尺 图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺 如 1:10000 如 百万分之一

sin sin
sin
a b ab
sin
当α + α ′=90°时，sin(α + α ′)=1， α － α ′的差值最大，则 ：
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sin
a b ab
铅垂线
水准面 水平面 大地水准面 重力（离心力和地球引力的合力） 的方向线，是测量工作的基准线 静止的海水面向陆地延伸，形成的 封闭曲面，处处与重力方向垂直 与水准面相切的平面 通过平均海水面的水准面 ，是 测绘工作的基准面 大地水准面所包围的地球实体，代 表了地球的形状和大小
大地体
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1.长度比和长度变形
长度比
投影面上一微小线段（变形椭圆 的半径）和球面上相应微小线段 （球面上微小圆的半径）之比。
长度比与1的差值。
V 0 V 0 V 0

ds ds
长度变形
V 1
1 1 1
无变形
变长 变短
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经线长度比m 纬线长度比n 最大长度比a 最小长度比b 经线方向 纬线方向 主方向 长轴方向 短轴方向
South Pole
在普通测量中，可视椭球为圆球，其半径为6371km
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参考椭 球定位
将参考椭球定位到与局部地区大地水准面最 贴近的位置上，是对地球形体的三级逼近
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中国1952年前采用海福特椭球体 1953～1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联 普尔科沃天文台），称为“北京54坐标系” 自1980年开始采用GRS1975（国际大地测量与地球物理学联 合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县 永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点
180 2 180 2 2




2 sin


2
μ α
μ′
α′

a b ab
B
sin
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B′

m n 2mn sin
2 2
2
m n 2mn sin
大地子午面
大地经度 赤道面 大地纬度
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四、地心坐标 —— 以地球椭球体质量中心为基点
地心经度 参考椭球面上过某点的子午 面与起始子午面间的二面角
地心纬度
参考椭球面上某点和椭球中 心连线与赤道面之间的夹角
在地理学研究及地图学的 小比例尺制图中，通常将 椭球体当成正球体看，采 用地心经纬度
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地球不是一个正球体，而是一个极半 径略短、赤道半径略长，北极略突出、 南极略扁平，近于梨形的椭球体
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二、地球的物理表面
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§3 地图投影概述
一、地球仪
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地球仪上经纬网的特性
经线都是等长的大圆线，收敛于两极点，纬差相 等的经线长度相等
纬线都是垂直于经线的圆，周长以赤道最大，向 高纬逐渐缩小，至两极缩为一点。纬圈相互平行 ，同一纬圈上，经差相等的纬线长度相等。
2 2
§5 地图投影分类
一、按地图投影的变形性质分类
等角投影 投影面上某点的任意两方向线夹角 与椭球面上相应两线段夹角相等 由
2 2
无角度变形，ω=0
sin

2

a b ab
a＝b θ ＝90° m＝n 面积变形大
或者
sin

2

m n 2mn sin m n 2mn sin
P
ar br r
2
ab
P ab mn sin P ab mn
90

90

面积变形
面积比与1的差值。
VP P 1
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P 1 P 1 P 1
VP 0
无变形
VP 0
VP 0
变大
变小
3.角度变形