弱简并玻色气体和费米气体

根据偏导公式：
(dU Ydy
d(uv)=vdu+udv
dN ) d (ln ln ln )
d N 的积分因子。
上式指出是
dU Ydy
1 与dS (dU Ydy dN )比较 T
令
1 kT

把 ln l ln( 1 e l )代入上式，得
l
熵与微观状态数的关系 ６
S k ln
玻耳兹曼关系
以T，V，为自然变量的特性函数是巨热力学化学势
J U TS N
ln T [k (ln ln ln )] （ ln ）
重要特例
证明
1 P ln V
5 系统的熵统计表达式 由开系方程
dU TdS Ydy dN
1/T 是dS的积分因子
1 dS (dU Ydy dN ) T
配分函数＝ （， ， y ）的全微分为
ln ln ln d ln d d dy y
巨热力势J与巨配分函数的关系：
J kT ln
（二）费米系统
巨配分函数
l [1 e l ]l
l l
其对数为
ln l ln(1 e l )
l
平均总粒子数 N ln
广义作用力 熵
Y 1 ln y
内
能 U ln
重要特例 P 1 ln V

kT
S k (ln
ln ln )

1 kT
熵与微观状Baidu Nhomakorabea数的关系
巨热力势
S k ln
玻耳兹曼关系
J kT ln
§ 8.2
弱简并玻色气体和费米气体
]
取对数为
ln l ln(1 e l )
l
对取偏导为
ln
ln( 1 e ) l
l
l
l (1 e
l
l
) (1) [(e l )]
l
1
第八章 玻色统计和费米统计
§8. 1 热力学量的统计表达式 §8. 2 弱简并玻色气体和费米气体 §8. 3 光子气体 §8. 4 玻色----爱因斯坦凝聚 §8. 5 金属中的自由电子气体
§ 8.1 热力学量的统计表达式
回忆一下玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布.
费
米
分布
al al
e
l
l
1 1 al e l b
l
b=1
玻
色
分布
e
l
l
b=-1
下面推导一下玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式.
一 首先考虑玻色系统
把, 和y看作由实验确定的参量. 1 引入 巨配分函数
l [1 e
l l
l l

kT
1 1 (dU Ydy dN ) (dU Ydy dN ) dS kT k
dS k (dU Ydy
dN )
dS kd (ln ln ln )
积分得 系统的熵统计表达式
S k (ln ln ln )
l l
分布总要满足的另一个条件是
e l 1
ll
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值.
3 系统的内能
U ln
证明
l l l 4 外界对系统的广义作用力 Y y al e l 1 y l l
1 Y ln y
２
在体积V内，在到+d的能量范围内，分子可能的 微观状态数
2V D( )d g 3 (2m) 3 / 2 1 / 2 d h
其中： g由粒子可能具有自旋而引入的简并度． ３ 系统的总分子数
N al
l
代入

l
e l
l
1/ 2 2V d 3/ 2 g 3 (2m) 0 1 h e 1
４
系统的内能
U al l
l
代入

l
3/ 2 l l 2V d 3/ 2 g 3 (2m) 0 e 1 h e 1
l
下面要确定式子中的拉氏乘子．
系统的总分子数 系统的内能 3/ 2 1/ 2 2 V d 2V d 3/ 2 3/ 2 U g 3 (2m) N g 3 (2m) 0 0 h e 1 h e 1 引入变量x= ，
一
分类
一般气体满足经典极限条件e1，可用玻耳兹曼分布处理
（１）满足经典极限条件的气体称为非简并性气体 （２）需要用玻色分布或费米分布讨论的气体称为简并性气体 其中又分为完全简并气体和弱简并气体．
二 １
弱简并气体 分子的能量 （不考虑分子内部结构，只有平动自由度）
1 2 2 2 ( px py pz ) 2m
根据前面求出的已知量，可求得 (拉氏乘法原理，加上一个为０的项)
(dU Ydy ln 1 ln ln d N ) [d ( ) ( )dy d ( )] y
(dU Ydy
ln ln ln d N ) d ( ) dy d ( ) y

e l l
l
1 e
l
上下同乘e
l ln l e 1 l
系统的平均总粒子数 N
a
l
l

l
e l 1
l
比较, 得
2 系统的平均总粒子数
N ln
U l al