21单电子薛定谔方程及其解.ppt

4.
8h 22r2 E 4 Z2 0 r e R 1d d r r2d d R r ll 1
2.1.3 单电子原子的波函数
n , l , m ( r ,,) R n , l ,( r ) l , m () m () R n , l ,( r ) Y l , m (,)
E40rR
求微分
r2ddrr2
ddRrr2Rsin
d
d
sin
d
d
r2Rsin2 dd22 8h22E4Ze20rR
乘以 r 2 sin 2
R
sin2 dr2
R dr
ddR rs inddsindd 1dd2 2
8h22r2sin2E4Z e20r
移项整理
1 dd22 8h22r2sin2E4Ze20r
s 1in d d sin d d sm i2 2 n ll 1
1
d 2
d 2
m2
2.
复数解与本征值
角动量沿Z轴分量的算符
ih d 2 d
M zm2ihdd 21eim
复数形式的Ф函数是该算符的本征函数
M
z
hm
2
三角函数形式的Ф函数不是该算符的本征函数
3.
s 1in d d sin d d sm i2 2 n ll 1
V Ze e
4 0r
2.1.1 定态Schrödinger方程
电子相对运动的Hamilton算符为
H 8h222
Ze2
40r
电子运动的Schrödinger方程为
(2-1)
me M me M
me 1836.1me
me 1836.1me 0.99946me
8h2 2 24Z 2 0re r,,E r,, (2-2)
1. 球极坐标表达式
2 r 1 2 r r 2 r r 2 s 1i n si n r 2 s 1 2 i n 2 2
电子运动的Schrödinger方程为
-8h2 2r12rr2rr2s1insinr2s1i2n22 4Z 2 0erE
2.1.2 定态Schrödinger方程的解
1.
-8h2 2r12rr2rr2s1insinr2s1i2n22 4Z 2 0erE
1 r2
rr2rr2s1insinr2s1in222
8h22E4Z e20r
令 r,,R r ，代入上式，得：
1 r2
rr2
R r r2s1in
si
nR
1 2R 82 Ze2
r2sin2
2
h2
第2 章 原子结构及性质
原子结构知识回顾
➢ Bohr模型
➢ 定态规则 ➢ 频率规则 ➢？波性
量子力学在原子结构的应用
氢原子的 Schrödinger 方程是目前唯一能够精确求解的 原子体系的微分方程。处理单电子体系发展起来的思想为处 理多电子原子的结构奠定了基础，由单电子体系的求解结果 引出的诸如原子轨道、波函数径向分布、角度分布、角动量、 能量等概念及表达式是讨论化学问题的重要依据。
主量子数：
n1,2,3
角量子数：对任意一个指定的 n，轨道角量子数
l0,1,2(n1)
磁量子数：对任意一个指定的 l，轨道磁量子数
m0,1,2l
★氢原子和类氢原子的波函数（参见教材28页）
复函数：对应量子数
实函数对应坐标图
小结
➢写出薛定谔方程 ➢薛定谔方程的解
➢ 变数分离法 ➢ 量子数
内容提纲
2.1 单电子体系的Schrödinger方程及其解 2. 2 量子数的物理意义 2.3 波函数及电子云的图形表示 2.4 多电子原子的结构 2.5 电子自旋与泡利原理 2.6 原子光谱
2.1 单电子体系的Schrödinger方程及其解
类氢体系
是指核外只有一个电子的原子或离子，如H, He+, Li2+, Be3+等，它们的核电荷数为Z，核与电 子的吸引位能为：
sin2
R
d r2 dr
dRsin
dr
d
d
sin
dd
wenku.baidu.com
1
d 2
d 2
m2
8h22r2s
in2E4Ze20rsiRn2
d r2 dr
dR dr
sin
ddsindd m2
移项整理
82r2
h2
E
Ze2
4 0r
1 R
d r2 dr
dR dr
m2
sin2
1
sin
d
d
sin
dd
8h 22r2 E 4 Z2 0 r e R 1d d r r2d d R r ll 1