21单电子薛定谔方程及其解.ppt
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
单电子原子体系的薛定谔方程及解
波尔半径
根据波尔原子模型，电子稳定地绕核运动，其圆周运动的向心力和电子与核 间的库仑引力大小数值相等，
即
mv 2 e2 = r 4πε 0 r 2
电子在稳定轨道上运动的能量E等于电子运动的动能和静电吸引的势能之和
mv 2 e2 e2 E= − =− 2 4πε 0 r 8πε 0 r
根据能量量子化条件，电子轨道运动角动量为
原子的结构和性质－ 第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
（2）Θ(θ )方程的解
1 d dΘ m2 − sin θ + 2 Θ = l (l + 1)Θ sin θ dθ dθ sin θ
Θl , m(θ ) = CPl (cos θ )
m
(2l + 1)(l − m ! 2 C= 2(l + m !
2 2 h 2 n x n y n z2 E= ( 2 + 2 + 2) 8m a b c
1 2
原子的结构和性质－ 第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
一、人类对物质构成认识历史
（一）“五行”学说
西周（公元前1046年—公元前771年）
中 文
日 文
日曜日 月曜日 火曜日 水曜日 木曜日 金曜日 土曜日
2
薛定谔方程
∂ ∂ϕ ∂ 2ϕ 8π 2 µ Ze 2 1 ∂ 2 ∂ϕ 1 1 + 2 E + ϕ = 0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 ∂θ r sin θ ∂φ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ h 4πε 0 r
卢瑟福, 卢瑟福 英国物理学家 （1）大部分射线可以穿透薄的金属薄，如入无人之境 (Ernest Rutherford, 1871—1937)
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
量子物理第二章薛定谔方程(20211023)(有补充)
第27章薛定谔方程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
·薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。
§1 薛定谔方程的建立(一种方法)一.薛定谔方程1.一维薛定谔方程·一维自由运动粒子无势场，不受力，动量不变。
· 一维自由运动粒子的波函数(前已讲)由此有· 再利用 可得此即 一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程·推广到若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有 ∂ψ∂ x = ( )P ψi h∂2ψ ∂ x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = P 22m E = +U (x , t )∂ t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ∂x 2∂ ∂2一维薛定谔方程 式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相比较,只要把再作用到波函数 ψ (x , t ) 上，即可得到 上述方程。
P 22m E = +U (x , t )2.三维薛定谔方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式· 拉普拉斯算符(三维薛定谔方程式在球坐标下的形式请见 教材B 版p332)·当 U (r , t) = 0时，方程的解， 即三维自由运动粒子的波函数∂2 ∂x 2 ∂2 ∂y 2 ∇2≡ + + ∂2 ∂z 2·波函数的叠加原理薛定谔方程是ψ的线性微分方程；若ψ1、ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。
(c1、c2是常数)★E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)薛定谔(1887-1961)奥地利人创立量子力学二.定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 若粒子在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔方程式可用分离变量法求解。
第二章原子结构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其
第二章 原子结构与性质§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程H 原子和He +、Li 2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r ，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：r Ze V 024πε-= 将势能代入薛定谔方程： 得 0)(22282=ψ++ψ∇rZe h mE π或ψ=ψ-∇-E rZe mh ][22228π为了解题方便，将x 、y 、z 变量换成极坐标变量r 、θ、φ。
其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y = φcos r z =2222z y x r++=1)/(cos 222z y x Z ++=θx y tg /=φ})(sin )({2222sin 1sin 1212φθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∇r rr r 代入薛定谔方程：)()(sin )(2222222228sin 11sin 1121=ψ++++∂∂∂ψ∂∂∂∂∂∂∂rZe h mr r r rr E r πφθθθθθ2.1.2.分离变量§法：上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。
含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代入方程：并乘以ΘΦR r θ22sin 移项可得：)(s)(s )(228s i2si n122222V E r r hud d d d dr dR dr dRd d ----=ΘΘΦΦθθπθθθθφ左边不含r 、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m 2 ）Φ-=Φ222m d d φ, 而右边可为：（除以sin θ）)(sin )()(sin1sin 8212222θθθθπθd d d d m hur dr dR drdR V E r ΘΘ-=-+ 则有：K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin1sin 22θθK E r rZe hur dr dR drdR =++)()(2222821π2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解0222=Φ+Φm d d φ这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。
第二十七章薛定谔方程ppt课件
p 2x
2m(U0 E)
粒子进入该区域的速度为
xpx 2
v v p 2(U0 E)
m
m
则粒子进入的时间不确定度为
x
m
t
v 2 2m(U0 E) 2(U0 E) 4(U0 E)
根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为
E 2t 2(U0 E)
En
pn2 2m
,
k
n
a
x0 a 2
16E1
9E1 4E1 E1
ax
粒子的德布罗意波长
k n
n
h pn
2a n
2
k
a
, n 1, 2,...
波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一
n与两端固定弦的驻波波 长形式相同（见P158式n=2L/n）
n
n (x) 2
En
L
4 a 2
1 2L 1 2
2.无限深方势阱中粒子的波函数
一维定态薛定谔方程
2
2m
2
x2
U x
E
势阱外：x<0，x>a区域(边界条件)，U=∞，不会有粒子
存在，则
0 , x 0, x a
势阱内：0≤x≤a区域，U=0，则有方程
2
x2
2mE
2
0
令
k2
2mE
2
k
2mE
2
x2
k 2
0
2
x2
k 2
0
与简谐运动方程
d2x dt 2
用波函数来描述微观粒子的运动
经典波的波函数:
机械波 y(x,t) Acos 2π( t x )
第二章原子构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其
第二章 原子结构与性质§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程H 原子和He +、Li 2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r ，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：r Ze V 024πε-=将势能代入薛定谔方程：得 0)(22282=ψ++ψ∇rZe h mE π或ψ=ψ-∇-E rZe mh ][22228π为了解题方便，将x 、y 、z 变量换成极坐标变量r 、θ、φ。
其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y =φcos r z =2222z y x r++=21)/(cos 222z y x Z ++=θx y tg /=φ})(sin )({2222sin 1sin 1212φθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∇r rr r 代入薛定谔方程：)()(sin )(2222222228sin 11sin 1121=ψ++++∂∂∂ψ∂∂∂∂∂∂∂rZe h mr r r rr E r πφθθθθθ2.1.2.分离变量§法：上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。
含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代入方程：并乘以ΘΦR r θ22sin 移项可得：)(sin )(sin )(228sin 2sin 122222V E r r hu d d d ddr dR drdR d d ----=ΘΘΦΦθθπθθθθφ左边不含r 、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m 2 ）Φ-=Φ222m d d φ, 而右边可为：（除以sin θ）)(sin )()(sin1sin 8212222θθθθπθd d d d m hur dr dR drdR V E r ΘΘ-=-+ 则有：K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin1sin 22θθθθθK E r rZe hur dr dR drdR =++)()(2222821π2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解0222=Φ+Φm d d φ这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。
2-1 单电子原子的薛定谔方程 ppt
Y0,0
1 s 4
3 Y1,0 pz cos 4
Y1, 1
3 py sin sin 4 3 px sin cos 4
cos m
• 实函数解不是角动量z轴分量算符的本征函数，但便 于作图。 • 复函数解和实函数解是线性组合关系，彼此之间 没有一一对应关系。
m 0 1 -1 2 -2 复函数解
0
1
实函数解
0 1 2
1 2
1 i e 2 1 i 1 e 2
2 1 i 2 e 2
1 2 1 1 2 r 2 sin 2 2 2 r r r r sin r sin
2 2
●变换为极坐标后的Schrödinger方程为：
1 2 1 1 2 8 2 2 E V 0 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin h
年，J.J.Thomson发
现电子，打开了原子
内部结构的大门，化
学进入现代时期；
1909－1911年间，
Rutherford用α粒
子作穿透金箔的实
验，提出原子结构
的“行星绕太阳” 的模型；
1913，Bohr提出 两点假设：定态规 则和频率规则。 Bohr原子结构模 型解释了氢原子光 谱，但其他原子均 不能解释，需要用 量子力学规律解释。
2
1 i 2 e 2
cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 2 2 sin 1 sin 2 2
薛定谔方程
n
ˆ (r ˆ, t ) H ˆ, t ) (r 因为它满足含时薛定谔方程：i t
则，t>0的态是不同定态迭加的态： i En t (r , t ) cn n (r )e
这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程。 3 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；
知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻 的波函数.
2 i r , t U r , t r , t t 2m
2
4
4
4 薛定谔方程中含有虚数 i 所以它的解 (r , t )必然是复数， 只有 (r , t ) 的模方才有直接的物理意义。 5
其定态薛定谔方程：
2 d 2 ( x) V ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
o
a
x
特点：
粒子在势阱内受力为零 势能为零
V→∞
V→∞
V(x)
在阱内自由运动 在阱外势能为无穷大 在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外
E
0
V=0 a
x
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
讨论二：n不取负数
( x) A sin kx A sin kx
2 E
此时波函数与 n取正数时代表相同的概率分布，即无 法给出新的波函数，故舍去。
k
ka n , n 1,2,3,......
因为
2mE k 2
2
结论：
En
ka n n 1,2,3, 2 2 2
薛定谔方程与单电子原子的薛定谔方程
T2 cos 2 T1 cos 1 0
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
（7.1.1）
作用于小1.2)
2 2 仅考虑微小的横振动，夹角 1 , 2 为很小的量，忽略 1 , 2
2! 13 sin 1 1 1 tan 1 , 3!
2 2
cos 1 1
12
1,
cos 2 1
sin 2 2 tan 2
ds (dx) (du) 1 (ux ) dx dx
2
注意到:
故由图7.1得
M'
T'
纵向： T sin T 'sin ' gds ma
ds
'
T
M
gds
x x dx x
m ds 2 u ( x, t ) 其中： a t 2
ds dx
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
这样，(7.1.1)和(7.1.2)简化为
T2 u x x dx T1 u x x gdx utt dx T2 T1 0
(7.1.3) (9.1.3)
(7.1.4) (9.1.4)
因此在微小横振动条件下，可得出
，弦中张力不随 故有
(7.1.5)
x
而变， 可记为
另一方面，计算动量守恒公式中右边弦段 [ x , x x ] 所受外力在时段 [t , t t ] 产生的冲量
对于弦段
[ x , x 张力在 x]
量子力学课件--薛定谔方程
V
w d Jd , V t
S
d WV J dS , S dt
V内部几率变化
等式右方用Gauss定 理，得
由边界流入或流出的量。
薛定谔方程能够满足全空间几率守恒
物理上应该满足随r趋向无穷远而迅速趋于零，于是
d Wv J dS dt i （ ） dS 0 2
2
再推广到含有势能U的情况
E p / 2 +U（r）
2
两边作用于波函数
Ei t
p i
2 i U ( r ). t 2
2
便于记忆的形式
i H t
H p / 2 +U（r）
2
( p i )
H
2
记住
2
2 U ( r )
代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数 守恒。 相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也 不成立；实际上相对论情况有粒子产生和消 灭，粒子数一般不守恒！，
电流密度
几率流密度
i J ( ), 2
i 电流密度 J eJ e ( ), e 2
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
几率密度 w( r , t ) ( r , t ) 根据薛定谔方程
2
几率流密度：J
几率流密度的推导（单粒子）
• 几率密度的时间演化：
2 w( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ),
回顾：叠加原理
cnn .
n
几率振幅。
常数相位
单电子原子体系的薛定谔方程及解 33页PPT文档
土、水、气、火
第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
（ 三 ） 道 尔 顿 ( D a lto n ) 的 原 子 论
1 8 0 3 年 1 0 月 2 1 日 ， 道 尔 顿 报 告 了 他 的 化 学 原 子 论 。 1 8 0 8 年 ， 道 尔 顿 出 版 了 《 化 学 哲 学 的 新 体 系 》 认 为 构 成 物 质 的 最 小 颗 粒
结 论 原 子 间 的 排 列 并 不 紧 密
（ 2 ） 少 量 粒 子 在 穿 过 金 属 薄 时 ， 方 向 发 生 了 改 变 ， 个 别 粒 子 被 弹 回 来 结论
原子里面一定有带正电的坚硬的核，粒子打正了，就 被弹回来，打偏了就改变方向，没有打着，就穿过去
第二章 原子的结构和性质－原子的量子力学处理
（ 1 ） 偏 转 幅 度 小 、 带 正 电 的 射 线 ， 称 为 射 线
（ 2 ） 偏 转 幅 度 大 、 带 负 电 的 射 线 ， 称 为 射 线
（ 3 ） 不 偏 转 的 射 线 ， 称 为 射 线
粒 子 的 散 射 实 验 发 现
（ 1 ） 大 部 分 射 线 可 以 穿 透 薄 的 金 属 薄 ， 如 入 无 人 之 境 (Erne卢st瑟Ru福th, e英rf国or物d, 理18学71家—1937)
动 ， 既 不 放 出 能 量 也 不 吸 收 能 量 ， 即 电 子 作 圆
周 运 动 的 角 动 量 M 必 须 等 于 h 2 的 整 数 倍 ， 此
为量子化条件
M nh 2
n1,2,3,...
H.D.玻尔(N.H.D.Bohr) 1885~1962, 丹麦人
（2）频率规则
当 电 子 由 一 个 定 态 跃 迁 到 另 一 个 定 态 时 ， 就 会 吸 收 或 发 射 频 率 为 v E h 的 光 子 ， 这 E h v 称 为 两 个 定 态 之 间 的 能 量 差 。
第二章 原子结构与性质
③ 电子填入顺序 基态原子: ns →(n–2)f→ (n–1)d→ np 价电子电离: np →ns→(n1)d → (n–2)f 徐光宪： 原子 (n+0.7l)， 离子(n+0.4l) 越大能级越高
28
ⅠA-ⅡA ⅠB-ⅡB
ⅢA-ⅧA ⅢB-Ⅷ
La系 Ac系
例:氩(Z=18)的电子组态 1s2 2s22p6 3s23p6 Fe (Z=26) Cu (Z=29)
轨道角动量与z轴的夹角
e m mμB 2. 磁矩在磁场方向的分量量子化: μz 2me
3. m决定磁场中轨道的空间方向，磁矩与外磁场的作用能
18
2.4 电子的自旋运动与泡利原理
一. 电子的自旋运动
19
●自旋角动量量子化
Ls s(s 1)
电子的自旋量子数 s ≡1/2
26
四. 原子核外电子的排布规则 1. Pauli不相容原理 2. 能量最低原理 3. Hund规则：简并轨道上全充满、半充满或全空较稳定 4. 原子的构造: ① 电子组态：确定每个电子的n,l ② 电子层：ns2到ns2np6构成一个能级组 4(N) 3(M) 2(L) 1 2 0 1 2 3 0 1 0 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 ±1 ±1 ±1 ±2 ±2 ±2 ±3 亚层轨道数 1 1 3 5 7 3 5 1 3 1 42 12 22 32 电子层轨道数 27 第n能层有n2个“轨道”，可以容纳2n2个电子 电子层 1(K) 角量子数l 0 电子亚层符号 1s 0 磁量子数m 可能取值
7
氢原子或类氢离子的轨道波函数举例 轨道 n
1s 2s
薛定谔方程课件.ppt
(常数)
可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：
一个是变量为t 的方程 i d f E d t
f 可以把它先解出来：
其解为
f
A
e
i
Et
……（★）
（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）
一个是变量为x 的方程
2 2m
d2
d x2
U
E
……（★）
若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ，电子就会穿 过电极间的势垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
硅晶体表面的STM扫描图象
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,
3.最低能量不为零（称零点能）
22
———符合不确定关系。
E1 2ma 2 0
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。
但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的
概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点） 。
n 2
En
在大量子数的极限情况下，量子体系行为将 趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。
其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。
由上面可以看出:
(x,t) 2
(
x
)
e
i
t
2
(x) 2
即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数， 上面（★）式是 (x)满足的方程，
21单电子薛定谔方程及其解
4 0r
2.1.1 定态Schrödinger方程
电子相对运动的Hamilton算符为
H 8h222
Ze2
40r
电子运动的Schrödinger方程为
(2-1)
me M me M
me 1836.1me
me 1836.1me 0.99946me
1 r2
rr2rr2s1insinr2s1in222
8h22E4Z e20r
令 r,,R r ，代入上式，得：
1 r2
rr2
R
r
r2s1insinR
8h2 2 24Z 2 0re r,,E r,, (2-2)
1. 球极坐标表达式
2 r 1 2 r r 2 r r 2 s 1i n si n r 2 s 1 2 i n 2 2
乘以 r 2 sin 2
R
sin2 dr2
R dr
ddR rs inddsindd 1dd2 2
8h22r2sin2E4Z e20r
移项整理
1 d2 82 d2 h2
r2
sin2E
Ze2
内容提纲
2.1 单电子体系的Schrödinger方程及其解 2. 2 量子数的物理意义 2.3 波函数及电子云的图形表示 2.4 多电子原子的结构 2.5 电子自旋与泡利原理 2.6 原子光谱
2.1 单电子体系的Schrödinger方程及其解
类氢体系
是指核外只有一个电子的原子或离子，如H, He+, Li2+, Be3+等，它们的核电荷数为Z，核与电 子的吸引位能为：
量子力学课件-薛定谔方程
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量本征态时，粒子能量是确定的，就是 能量本征值。
（三）求解定态问题的步骤
• 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准 条件求解能量 E 的 本征值问题，得：
若V(r)是库伦场势，则方程的解代表库伦场中粒子的态。
若V(r)是谐振子势场，则方程的解代表谐振子势场中粒子的态。
……
态叠加原理： 一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那 末它们的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. 其中C1 和 C2 是复常数，这就是量子力学的态叠加原 理。
•
（2）几率流密度与时间无关
i J n (r , t ) [nn n n ] 2
i [ n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / ) 2 n e xp( iE n t / ) n e xp( iE n t / )]
ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻 ψ(r,0)的定态波函数。
能量本征值方程
[ h 2 V ] E 2
ˆ E 表达成 H
（1）上述方程的形式特点是： 一个算符作用于一个函数上等于一个常数乘以该函数， 这种形式的等式在《数学物理方法》中，叫本征值方程， 本征值方程中的那个待求函数叫本征函数， 方程右边的那个与本征函数相乘的常数叫本征值。
i [ n ( r ) n ( r ) n ( r ) n ( r )] 2
作
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原子结构知识回顾
➢ Bohr模型
➢ 定态规则 ➢ 频率规则 ➢？波性
量子力学在原子结构的应用
氢原子的 Schrödinger 方程是目前唯一能够精确求解的 原子体系的微分方程。处理单电子体系发展起来的思想为处 理多电子原子的结构奠定了基础，由单电子体系的求解结果 引出的诸如原子轨道、波函数径向分布、角度分布、角动量、 能量等概念及表达式是讨论化学问题的重要依据。
内容提纲
2.1 单电子体系的Schrödinger方程及其解 2. 2 量子数的物理意义 2.3 波函数及电子云的图形表示 2.4 多电子原子的结构 2.5 电子自旋与泡利原理 2.6 原子光谱
2.1 单电子体系的Schrödinger方程及其解
类氢体系
是指核外只有一个电子的原子或离子，如H, He+, Li2+, Be3+等，它们的核电荷数为Z，核与电 子的吸引位能为：
1. 球极坐标表达式
2 r 1 2 r r 2 r r 2 s 1i n si n r 2 s 1 2 i n 2 2
电子运动的Schrödinger方程为
-8h2 2r12rr2rr2s1insinr2s1i2n22 4Z 2 0erE
2.1.2 定态Schrödinger方程的解
s 1in d d sin d d sm i2 2 n ll 1
1
d 2
d 2
m2
2.
复数解与本征值
角动量沿Z轴分量的算符
ih d 2 d
M zm2ihdd 21eim
复数形式的Ф函数是该算符的本征函数
M
z
hm
2
三角函数形式的Ф函数不是该算符的本征函数
3.
s 1in d d sin d d sm i2 2 n ll 1
主量子数：
n1,2,3
角量子数：对任意一个指定的 n，轨道角量子数
l0,1,2(n1)
磁量子数：对任意一个指定的 l，轨道磁量子数
m0,1,2l
★氢原子和类氢原子的波函数（参见教材28页）
复函数：对应量子数
实函数对应坐标图
小结
➢写出薛定谔方程 ➢薛定谔方程的解
➢ 变数分离法 ➢ 量子数
1.
-8h2 2r12rr2rr2s1insinr2s1i2n22 4Z 2 0erE
1 r2
rr2rr2s1insinr2s1in222
8h22E4Z e20r
令 r,,R r ，代入上式，得：
1 r2
rr2
R r r2s1in
si
nR
1 2R 82 Ze2
r2sin2
2
h2
E40rR
求微分
r2ddrr2
ddRrr2Rsin
d
d
sin
d
d
r2Rsin2 dd22 8h22E4Ze20rR
乘以 r 2 sin 2
R
sin2 dr2
R dr
ddR rs inddsindd 1dd2 2
8h22r2sin2E4Z e20r
移项整理
பைடு நூலகம்
1 dd22 8h22r2sin2E4Ze20r
V Ze e
4 0r
2.1.1 定态Schrödinger方程
电子相对运动的Hamilton算符为
H 8h222
Ze2
40r
电子运动的Schrödinger方程为
(2-1)
me M me M
me 1836.1me
me 1836.1me 0.99946me
8h2 2 24Z 2 0re r,,E r,, (2-2)
sin2
R
d r2 dr
dRsin
dr
d
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dd
1
d 2
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m2
8h22r2s
in2E4Ze20rsiRn2
d r2 dr
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sin
ddsindd m2
移项整理
82r2
h2
E
Ze2
4 0r
1 R
d r2 dr
dR dr
m2
sin2
1
sin
d
d
sin
dd
8h 22r2 E 4 Z2 0 r e R 1d d r r2d d R r ll 1
4.
8h 22r2 E 4 Z2 0 r e R 1d d r r2d d R r ll 1
2.1.3 单电子原子的波函数
n , l , m ( r ,,) R n , l ,( r ) l , m () m () R n , l ,( r ) Y l , m (,)